均值不等式习题课复习课程
新教材高中数学第2章均值不等式及其应用第1课时均值不等式学案含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：2.2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养． 2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？1．算术平均值与几何平均值 对于正数a ，b ，常把数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．2．均值不等式 (1)当a ＞0，b ＞0时，有a ＋b2≥ab a ＝b 时，等号成立．思考1：均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？ [提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． (2)均值不等式的常见变形①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[答案] (1)× (2)× (3)√[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.2．已知a ，b ∈(0，1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b D [∵a ，b ∈(0，1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．(教材P77习题2－2A ⑧改编)已知x ＞0，则y ＝x ＋3x＋2的最小值是________．23＋2 [∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时等号成立．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a ，b 都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.② [①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q .]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ⎝⎛由a ＋b ＞（a ＋b ）24⎭⎪⎫也就是a ＋b4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∵a ，b ，c 互为相等，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8.[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＞8. ,1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2.先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．知识：应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .方法：应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b2≥abB ．a ＋1a≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b≥2D [A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D.]2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<a b<1 C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．]3．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).] 4．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2B [∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。
均值不等式习题课
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
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建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
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练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
重
点 难 点 展 示
滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距 离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)
探 索 延 拓 创
思 之间有经验公式：
为保证安全行驶，要求在这条公 新
路 方 法 技 巧
路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离” 再加25米，现假设行驶在这条公路上的汽车的平均车身长为
名 师 辨 误 做 答
建 模 应
5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间
课
用 引
隔均是“安全距离”的时间表达式．
堂 巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
(1)试写出经过观测点A的每两辆车之间的间隔均是“安
自
主 预
全距离”的时间表达式．
习
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通
重
点 难 点 展 示
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2 ＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
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课时分层 作 业
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
《 2.2.4 均值不等式及其应用》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.2.4 均值不等式及其应用》学历案（第一课时）一、学习主题本节学习主题为高中数学课程中的《2.2.4 均值不等式及其应用》。
本节课将围绕均值不等式的定义、性质及其在数学问题中的应用展开，旨在使学生掌握均值不等式的基本概念和基本应用方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：（1）理解均值不等式的概念及表达式形式。
（2）掌握均值不等式的基本性质。
（3）能够运用均值不等式解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
（2）通过小组合作和交流，共同探讨和解决数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱。
（2）培养学生合作学习和交流的意识和能力。
（3）使学生认识到数学在日常生活和实际工作中的应用价值。
三、评价任务1. 了解学生对均值不等式概念的理解程度，能否正确表述其含义。
2. 检验学生是否掌握均值不等式的基本性质，能否正确运用这些性质解决数学问题。
3. 评价学生在小组合作和交流中的表现，是否能够积极参与讨论并发表自己的观点。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例引出均值不等式的概念，如平均数、中位数等，让学生感受均值不等式的实际应用。
2. 新课学习：（1）讲解均值不等式的概念及表达式形式，让学生理解其含义。
（2）通过具体例子，让学生感受均值不等式的基本性质。
（3）引导学生通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
3. 课堂活动：组织学生进行小组合作，共同探讨和解决数学问题，让学生相互交流、互相学习。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或随堂练习，检测学生对均值不等式概念及基本性质的理解和掌握情况。
2. 课后作业：布置相关作业题，让学生回家后独立完成，巩固所学知识。
作业应包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
1502_高中数学习题：必修一 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 课时作业
第1课时均值不等式必备知识基础练1．下列不等式中正确的是()A．a 2＋b 2≥4ab B．a ＋4a ≥4C．a 2＋2＋1a 2＋2≥4D．a 2＋4a2≥42．已知当x ＝3时，代数式4x ＋ax(x >0，a >0)取得最小值，则a ＝()A．28B．32C．36D．403．已知a >b >c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．4．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________.5．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝4－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是()A．m >n B．m <n C．m ＝nD．不确定6．求函数y ＝（x ＋4）（x ＋9）x(x <0)的最大值．关键能力综合练7．(多选)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝4，ab 的最大值为t ，不等式x 2＋3x －t <0的解集为M ，则下列结论正确的是()A．t ＝2B．t ＝4C．M ＝{x |－4<x <1}D．M ＝{x |－1<x <4}8．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是()A．18B．16C．8D．109．(多选)下列表达式的最小值为2的有()A．当ab ＝1时，a ＋bB.当ab ＝1时，b a ＋abC．a 2－2a ＋3D．a 2＋2＋1a 2＋210．(多选)下列不等式一定成立的是()A．x 2＋14>x (x >0)B．x ＋1x ≥2(x >0)C．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D．1x 2＋1>1(x ∈R )11．已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．12．设x >－1，求（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值．核心素养升级练13．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．14．已知a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0.第1课时均值不等式必备知识基础练1．解析：A.a 2＋b 2－4ab ＝(a －b )2－2ab 不一定大于等于零，所以该选项错误；B．a ＋4a ，当a 取负数时，显然a ＋4a <0，所以a ＋4a ≥4错误，所以该选项错误；C．a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a 2＋2＋1a 2＋2>2，如a ＝0时，a 2＋2＋1a 2＋2＝52<4，所以该选项错误；D．a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时取等号，所以该选项正确．答案：D2．解析：4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，所以a2＝3，即a ＝36.答案：C3．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0.∴a －c 2＝（a －b ）＋（b －c ）2≥（a －b ）（b －c ），当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c24．解析：因为x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·(2x ＋3y 2)2＝16·(62)2＝32.x ＝3y ，x ＋3y ＝6，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.答案：325．解析：因为a >2，所以a －2>0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2（a －2）×1a －2＋2＝4.由b ≠0得b 2≠0，所以4－b 2<4，即n <4.所以m >n .答案：A 6．解析：y ＝（x ＋4）（x ＋9）x ＝x ＋36x＋13，当x <0时，－x >0，－36x >0，(－x )＋(－36x)≥2（－x ）（－36x）＝12.所以y ＝13－[(－x )＋(－36x )]≤13－12＝1.当且仅当－x ＝－36x，即x ＝－6时，等号成立，所以当x ＝－6时，y max ＝13－12＝1.关键能力综合练7．解析：由题意可得ab ≤(a ＋b 2)2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则ab 的最大值t＝4，故A 错误，B 正确；解不等式x 2＋3x －4<0得(x ＋4)·(x －1)<0，得解集是{x |－4<x <1}．答案：BC8．解析：∵x >0，y >0且8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(8x ＋1y )＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy，即x ＝12，y ＝3时，等号成立．答案：A9．解析：对于A，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对于B，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅b a ＝ab，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2；对于C，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；对于D，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.答案：BC10．解析：对于选项A，当x ＝12时，x 2＋14＝x ，所以A 不一定成立；对于选项B，当x >0时，不等式x ＋1x≥2成立，所以B 一定成立；对于选项C，不等式x 2＋1－2|x |＝(|x |－1)2≥0，即x 2＋1≥2|x |恒成立，所以C 一定成立；对于选项D，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立．答案：BC11．解析：因为x <3，所以x －3<0，所以3－x >0，所以f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－(43－x ＋3－x )＋3，因为43－x＋3－x ≥243－x ·（3－x ）＝4，(当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号)，所以f (x )≤－4＋3＝－1，即f (x )的最大值为－1.12．解析：因为x >－1，所以x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有：（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9.当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数取得最小值是9.核心素养升级练13．解析：因为x >0，所以xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15.当且仅当x ＝1时，等号成立，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15.答案：{a |a ≥15}14．证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，∴a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c ≥2(ab ＋bc ＋ac )，∴a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ac 即a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0.(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)。
高中数学人教B版教案：3.2《均值不等式》习题课8
解得x＋2y¡Ý4.
类型例1例2
总结总结
8.
课
后
反思
要注意均值不等式应用的条件以及等号成立的条件，学生整体掌握良好。
目标检测
1．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()
A．6B．4 C．2 D．8
答案B
解析¡ßa＋b＝3，¡à2a＋2b¡Ý2 ＝2 ＝2 ＝4 .
2．已知x¡Ý ，则f(x)＝ 有()
A．最大值 B．最小值
检测
检测题
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果
1、小考卷上作答。
2、组间互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的下节课
自主
学习
任务
1、优化学案第71页8-15题，第72页16题
2、针对本节课学习内容，每个小组出6道（每人1道）
3
分钟
7.
板
书
习题课：均值不等式
高中高二教案
主备人：使用人：时间：
课题
均值不等式
课时
第二课时
课型
习题课
教学
重点
1、利用均值不等式解决有关最值问题。
2、利用均值不等式证明一些简单不等式
依据：数学课程标准
教学
难点
利用均值不等式解决有关最值问题
依据：教参，教材
学习
目标
1、知识目标
1.牢记均值不等式的内容及证明.
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.
2．已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？
评价总结预习情况结果
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
20
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21
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注 条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋ b≥2 ab成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b；a2＋ b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝b.
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2．如果 0＜a＜b＜1，P＝a＋2 b，Q＝ ab，M＝ a＋b，那么 P，
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34
当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋1a≥2 a·1a＝2.( )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
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[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正 数时，不等式 a＋b≥2 ab成立．
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＝b＋a c·a＋b c·a＋c b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，
∴1a－11b－11c－1＞8.
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1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考 虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方 面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边 建立联系．
[思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”， 裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
栏目导航
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
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重 点 难
1．均值定理的内容：如果a、b∈R＋，那么
点
展 示
当且仅当．a＝b时，式中等号成立
探 索 延 拓 创
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2．均值定理成立的条件：
法
技 巧
．一正、二定、三相等
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重点：均值不等式的熟练应用．
重 点 难 点 展 示
难点：利用均值不等式求最值时，等号成立的条件． 探
索
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不
延 拓
创
等式求最值时一定要注意其“一正，二定，三相等”的条 新
思
路 方 法 技 巧
件．实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因 式”．
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5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间
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隔均是“安全距离”的时间表达式．
堂 巩
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数第学三（章人教B不版·必等修式5）
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(1)试写出经过观测点A的每两辆车之间的间隔均是“安
自
主 预
全距离”的时间表达式．
习
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通
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[点评] 原式中没有定值条件，所以将x变为x－3＋3，
自
主 预
出现
(x－3)定值，然后使用不等式.
重
点 难 点 展 示
过的汽车数量)最大？ [分析] 阅读此题抓住关键词：刹车距离、安全距离、
探 索 延 拓 创
思 时间间隔，以及数量关系：时间间隔＝车距/车速，而车距 新
路
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＝安全距离＋车身长．
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[例4] 汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前
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lg
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法
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巧
建 模 应 用 引 路
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[例1] 求2lg(x－2)－lg(x－3)的最小值．
探 索
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[分析]
由x－3为真数，可知x>3，函数表达式可化为
拓 创
新
，可先求真数的最小值再求函数的最小值．
名
师
辨
误
做
答
课 堂 巩 固 训 练
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∴2lg(x－2)－lg(x－3)≥lg4.
方
法 技
等号当且仅当x＝4时取得．
巧
故当x＝4时，2lg(x－2)－lg(x－3)的最小值为lg4.
名 师 辨 误 做 答
习
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的含意，抽象、归纳其中的数量关系、进而用不等式的知识
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解决．
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某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格
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[点评] 此题易犯的错误是由sinx>0，直接套用基本不
自
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等式得出y≥2的结论．
习
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点 难 点 展 示
(2)经过A点的车流量最大，即每两辆车之间的时间间隔 t最小，
探 索 延 拓 创
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故当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
堂 巩
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训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
[点评] 解不等式的应用问题，要弄懂题意中的关键词
重
点 难 点 示
滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距 离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)