均值不等式高考题
高考数学基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式-10.23
基本（均值）不等式与其他知识相结合的9种方式基本（均值）不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一。
本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用。
一、不等式与三角函数1．已知αβγπ++=，β为锐角，tan 3tan αβ=，则11tan tan γα+的最小值为（ ） A ．12B ．43C ．32 D ．34解析：∵αβγπ++=， ∴2tan tan 4tan tan tan()1tan tan 13tan αββγαβαββ+=-+=-=---，22113tan 119tan 1tan tan 4tan 3tan 12tan ββγαβββ-+∴+=+= 31321tan 49tan 432ββ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1tan 9tan ββ=即1tan 3β=时取等号， 所以11tan tan γα+的最小值为12.故选：A.二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b 的最小值. 解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b)=ba +2a b+3≥3+2√2，当且仅当ba =2ab，即a =√2−1,b =2−√2时取到等号，则y =1a +2b 的最小值为3+2√2. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b +1c 的最小值； （2）已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81−2x 的最小值；（3）已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1， 求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12.解析：（1）∵a +b +c ＝1，∴y =1a +1b +1c =（a +b +c ）(1a +1b +1c )=3+(b a+a b+c a+a c+c b+b c)≥3+2√b a⋅ab+2√ca ⋅a c +2√cb ⋅bc=9， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号．即y =1a +1b +1c 的最小值为9． （2）y =22x +81−2x =(22x +81−2x )(2x +1−2x)=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ，而x ∈(0，12)，∴2⋅1−2x 2x+8⋅2x 1−2x≥2√2(1−2x)2x⋅8⋅2x1−2x =8，当且仅当2(1−2x)2x =8⋅2x1−2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81−2x 的最小值为18． （3）∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝1， ∴2S ＝（a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n 2a n +a 1）[（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+…+（a n +a 1）]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+[a 12a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1(a 1+a 2)+a 12a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+（2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1）=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A B C D ．【解析】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则2AG ==．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为114sin120232⨯⨯⨯︒⨯=．故选：B ．4．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A ．有最大值43B ．有最大值34C ．有最小值43D ．有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c b b c=，即b c =时等号成立. 故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，KL AL BC AB =，LM BLAD AB=， 所以KL AL =，LM BL =，故KL LM AL BL +=+=，222KL LM S KL LM +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭截面，当且仅当KL LM =时成立，故选：C.四、不等式证明6．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都大于4D ．至少有一个不小于4【解析】假设三个数144x y +<且144y z +<且144z x+<， 相加得：11144412x y z x y z+++++<， 由基本不等式得：144x x +；144y y +；144z z+；相加得：11144412x y z x y z+++++，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数14x y +、14y z +、14z x+至少有一个不小于4． 故选：D ．7.已知a ，b ，R c ∈，2221a b c ++=．()1证明：112ab bc ca -≤++≤． ()2证明：()()()22222222223a b c b c a c a b +++++≤．【解析】()1证明：由()222222212220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++=+++≥，得12ab bc ca ++≥-．另一方面，222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222222222a b c ab bc ca ++≥++，即1ab bc ca ++≤．所以112ab bc ca -≤++≤．()2证明：()()()222222222a b c b c a c a b +++++()()()()2222224441111a a b b c c a b c =-+-+-=-++，因为()()24442222222224444442221a b c a b ca b b c c a a b b c c a ++=++---≥-+++++，即()44431a b c ++≥，则44413a b c ++≥， 所以()()()22222222223a bc b c a c a b +++++≤．8.已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤【解析】（1）1a b c ++=，故111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 332229b a c a c ba b a c b c =++++++≥+++=，当13a b c ===时等号成立. （2）易知10,10,10a b c ->->->.()()()()1111ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c ++-=-+++++-=---31118327a b c -+-+-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当13a b c ===时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x y 1+=．()1若2y 12x 3--<，求x 的取值范围；()2若x 0>，y 0>，求证：1215x y 2+． 【解析】()1由21x y +=，得12y x =-，所以不等式2123y x --<，即为4123x x --<，所以有{1423x x x <-+<或1041423x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪--<⎩或144123x x x ⎧>⎪⎨⎪--<⎩ 解得10x -<< 或10?4x ≤≤或 124x <<， 所x 的取值范围为()1,2x ∈-．()20x >，0y >，21x y +=所以()1212424448y xx y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时取等号．又2122x y +≥-=-，当且仅当122x y ==时取等号，所以12152x y +≥，当且仅当122x y ==时取等号．10、在锐角ABC ∆中，证明：（1）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（2）tan tan tan A B C ⋅⋅≥证明：（1）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-∴tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=（5分）（2）解法1：tan ,(0,)2y x x π=∈是凸函数，∴tan tan tan A B C ≥解法2：3tan tan tan tan tan tan ()3A B C A B C ++≤，∴tan tan tan A B C ≥五、最值问题11.设0,0x y >>且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是 A ．167B ．73C ．2310D ．94【解析】∵4x y +=，∴（x+1）+(y+2)=7∴()()()()2222121124241212x x y y x y x y x y +-+++-+++=+++++=1+()1414x 1y 214y 24x 112216112?x 1y 2x 1y 277777x 17y 2777⎛⎫++++⎛⎫+=+++=++++≥+⨯= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭（）（） 12.已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【解析】因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦ 当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．13．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】因为00a b a b >>⇒->； 所以22224114()()ab ab b b b b a b b a b b ++=-+++--2214()2(246()b a b b b a b b a b b =-+++-=+=-．当且仅当1()()b a b b a b -=-，224b b=时取等号，∴241()ab b b a b ++-的最小值为6．故选：D ．六、不等式与函数14.已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设,,m n p 为正实数，且()2m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤.【解析】（1）不等式2216x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩或2336x x >⎧⎨-<⎩，所以不等式2216x x -++<的解集为()1,3-； （2）证明：因为3m n p ++=，所以()22222229m n p m n p mn mp np ++=+++++=， 因为,,m n p 为正实数，所以由基本不等式222m n mn +≥（当且仅当m n =时等号成立）， 同理22222,2m p mp p n pn +≥+≥，所以222m n p mn mp np ++≥++， 所以()22222229333m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++， 所以3mn mp np ++≤.15.已知函数()f x =的定义域为R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值. 【解析】（1）函数()f x =R .∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++ 222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=，当且仅当222221233a b c +=+=+=，即2193a =，2163b =，2133c =时等号成立，∴222111123a b c +++++的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量,m n 满足||||1m e m e n e n e --⋅=--⋅=（e 为单位向量），且m n ⊥，则||m n -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由非零向量,m n 满足m n ⊥，可设(,0)m a =，(0,)n b =，其中,a b 均不为0． 因为e 为单位向量，可设(cos ,sin )e θθ=，因为||(cos 1m e m e a a θ--⋅=-=，所以222222cos cos sin 12cos cos a a a a θθθθθ+=++-+，即2sin 4cos a θθ= ①， 同理，由||1n e n e --⋅=可得2cos 4sin b θθ= ②，由①②，可得22224416cos 16sin sin cos a b θθθθ+=+=42242244cos sin cos sin sin cos 16sin cos θθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭42421116tan tan 16(22)64tan tan θθθθ⎛⎫=+++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2tan 1θ=时，等号成立，所以当2tan 1θ=时，min ||8m n -=， 故选：D ．17.已知平行四边形ABCD的面积为，23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则AF 的最小值为___________． 【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF kDE =，()=AF AD DF AD kDE AD k DC CE ∴=++=++，DC AB =，12CE DA =，则1+2AF AD k AB k DA =+， 所以11122AF k AB AD k AD k AB k AD ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又56AF AB AD λ=+，则有：15126k k λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13k λ==，即1536AF AB AD =+， 平行四边形ABCD的面积为，即2sin3AB AD π⋅=18AB AD ∴⋅=， 2222151525369936AF AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，即：2221525cos 9936AF AB AB AD BAD AD ∴=+⋅∠+， 222221512512518=+599236936AF AB AD AB AD ⎛⎫∴=+⨯⨯-+- ⎪⎝⎭，即：222125=+5936AF AB AD -， 222212512552=218=1093618AB AD AB AD +≥⨯⨯⨯，即22125+10936AB AD ≥， 所以22125+55936AB AD -≥，25AF ∴≥，5AF ∴≥，当且仅当：22125=936AB AD 时，取等号，AF ∴的最小值为.18.平面向量,,a b c →→→满足||1a →≤，||1b →≤，|2()|||c a b a b →→→→→≤--+，则||c →的最大值为_______． 【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2()|||c a b a b -+≤-，可得|2|||||c a b a b -+≤-，即|2|||||c a b a b ≤++-，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a b +，a b -为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，2222||||||||AC AB AD AB AD ==++2||||cos AB AD BAD +⋅∠，由余弦定理可知222||||||2||||cos BD AB AD AB AD BAD -=+⋅∠，则22||||AC BD +=222||2||AB AD +，显然||||AC BD +若取最大值，则||AB ，||AD 应为最大1，即()()2222||||||||4||||||22||4||||2AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=⇒=--+=⇒由基本不等式可知()()()222|||||||||||282|||||||||4AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=≤⇒⇒++≤-≤当且仅当||||AC BD =时取等号，所以当||1a =，||1b =且||||a b a b +=-时，||||a b a b ++-取得最大值则|2|||||22c a b a b ≤++-≤，即||2c ≤，所以||c ．八、不等式与解三角形19．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()CBC +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1D．【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac B B b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A20.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ）A ．B ．CD ．【解析】设AC 中点为D ，则()BO AC BD DO AC ⋅=+⋅ BD AC =⋅ ()()12BC BA BC BA =+⋅- 221122BC BA =-，22111522a c ∴-=，即c = 由c a <知角C 为锐角，故222cos 2a b c C ab+-=2301301212b b b b +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 1212b ⨯=，当且仅当30b b =，即b =cos C 最小，又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，故C 最大.此时，恰有222a b c =+，即ABC 为直角三角形，ABC12Sbc ==，故选A .21.在ABC 中,已知·9AB AC =,sin cos sin B A C =,6ABCS =,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP xyCACB=+,则xy 的最大值为________.【解析】由sin cos sin B A C =得2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由·9AB AC =得29,3,4AC b a =∴== 又P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+,所以1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤ ，当且仅当3,22x y ==时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为A．2B ．34C ．32D【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（）的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．3【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S abc =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S c c c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以5S ≤， 当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B24.已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．433+ 【解析】因为,,M G N 三点共线，故()1AG t AM t AN =+-，因为,AM x AB AN y AC ==，所以()1AG txAB t yAC =+-，又G 为重心，故1331AG AB AC =+，而,AB AC 不共线，所以()11,133tx t y =-=，也即是113x y +=.()1111333433y x x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由基本不等式可以得到：3y x x y +≥13x y ==+等号成立，故3x y +的最小值为433+，故选D .25.已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____．【解析】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n mn m n ⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n=即2211,28n m ==时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【解析】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1B C A B C B C B C B C +++=⋅⋅=⋅-．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==1223(22)m m m ⎫=++=⎪⎭当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为27.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【解析】因为3cos cos 5a Cc A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+，所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈， 所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C C A C A C C C C--===+++ 又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C -=≤+， 所以tan()A C -的最大值为34．28.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足0,cos cos a b A B++=则2sin 2tan B C ⋅的取值范围是__________.【解析】0cos cos a b A B+=，即cos cos cos 0a B b A A +=，即sin cos sin cos cos 0A B B A C A ++=，()sin 10C A =，sin 0C ≠，故10A =，34A π=，故4B C π+=. ()()222222222cos 11cos sin 1sin 2tan cos 232cos cos cos cos C C C B C C C C C C --⎛⎫⋅=⋅==-+ ⎪⎝⎭， 0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故21cos ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故132y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据双勾函数性质知：函数在1,22⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减.故max 3y =-，当1t =时，0y = ，当12t =时，0y =，故(2sin 2tan 0,3B C ⋅∈-.故答案为：(0,3-.九、不等式与恒成立问题29.正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞ 【解析】190,0,1a b a b>>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤， 即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤ 6m ∴≥ 实数m 的取值范围是[6,)+∞30．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 【解析】由数列{} n a 满足112a =,1()(1)(1)x n n nna a n N n na +=∈++， 两边取倒数可得：1111(1)n n n a na +-=+，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列, 公差为1, 首项为2 12(1)1n n n na ∴=+-=+，1(1)n a n n =+∴ 由241(1)0n n a n nλ++-恒成立,得221414(1)(1)n n n n n n n λ---⋅--=+, 当 n 为偶数时，(1)(4)4(5)n n n n nλ-++=-++, 则9λ≥-，当n 为奇数时，45n n λ++,则283λ ，∴实数λ的取值范围为289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
35均值不等式
0<x≤16 (2)由限制条件知 162 ， 0< x ≤16
1 ∴10 ≤x≤16. 8 100 1 设 g(x)＝x＋ x (10 ≤x≤16)， 8 1 由函数性质易知 g(x)在[10 ，16]上是增函数， 8 1 162 ∴当 x＝10 时(此时 x ＝16)，g(x)有最小值， 8 即 f(x)有最小值 1 800 1296×(10 ＋ )＋12960＝38882(元)． 8 81 1 ∴当长为 16 米，宽为 10 米时，总造价最低，为 38882 元． 8
bc ac ab ≥2(a＋b＋c)， ∴2∴2 ( bcac acab ) ) ≥2(a＋b＋c)， ( bc ac ab ) ≥2(a＋b＋c)， ∴2 ( bc b c ab≥2(a＋b＋c)， ∴2 ( ∴2 ( a ) ≥2(a＋b＋c)， a a b b cc c a b bc bc acabab ac ab bc＋ac＋ab≥a＋b＋c. ac 即 bc＋ ac＋ c ≥a＋b＋c. 即 ＋ 即 a ＋b b ＋ c ≥a＋b＋c. 即 a ＋ b ＋c ≥a＋b＋c. 即a ab b c
a－2 4
变式训练 2
1.(2010·山东高考)已知x，y∈R+，且满足
x y 则xy的最大值为_______. 1 3 4
，
3
2.若实数x,y满足 12 12 1, 则x2+2y2有( B )
x y
(A)最大值 3 2 2
(B)最小值3 2 2
(C)最大值6
(D)最小值6
1 a 3.已知不等式(x+y)( )≥9对任意正实数x，y恒 x y 成立，则正实数a的最小值为( ) B
高考考前复习均值不等式典型题汇编
高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、（重庆理，2005）若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、（天津文，2009） 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.（福建文，2011）若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9例4、（重庆文，2011）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4例5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、（天津文，2011）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例9、（重庆文，2009）已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例10、（四川理，2009）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、（重庆文，2005）若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、（福建理，2005）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例13、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、（重庆理，2011）已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5例16、（天津理，2009）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、（重庆文，2010）0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、（湖北文，2004）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1 例20、（浙江理，2011）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文，2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、（重庆理，2007）若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15 B ．4 C ．5 D ．2例22、（重庆文，2006）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、（全国1，2004）,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B ．12 C ．12- D ．12+例28、（湖南理，2004）设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例29、（陕西理，2006）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、（全国1理，2008）若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a。
均值不等式【高考题】
应用一、求最值 直接求例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【的最小值是【】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、设y x b a b a b a R y x yx 11,32,3,1,1,,+=+==>>Î则若的最大值为【的最大值为【】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2x x+的最小值为的最小值为 . .练习2.设,x y 为正数为正数, , 则14()()x y x y++的最小值为【的最小值为【】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【的最大值等于【】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元万元//次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.练习5.求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）22213x x y += （2）x x y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则成等比数列，则2()a b cd+的最小值是【的最小值是【】A.0B.4C.2D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【最小值为【】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8凑系数例4、若x y Î+R ，，且14=+y x ，则x y ×的最大值是的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +Î，且满足134x y+=，则xy 的最大值为的最大值为 .. 练习2. 当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值的最大值. .凑项例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4 练习1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值的最大值. .练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【的最小值为【】A. 2B. 3C. 4D. 5 练习3.函数232(0)x x x+>的最小值为【的最小值为【】A.3932 B. 3942 C. 3952 D.392两次用不等式 例6、已知22log log 1a b +³，则39a b+的最小值为的最小值为__________. __________.例7、已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是【的最小值是【】 A.2 B ．22 C ．4 D ．5例8、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【的最小值是【 】 A.2 B.4 C.25 D.5练习1.设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是【的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 练习2.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是【的最小值是【】A. 2B. 3C. 4D. 5 练习3.设0a b ³>，则1(2)a b a b +-的最小值是【的最小值是【】 A.3322 B. 3332 C. 322 D. 3342 练习4.设20a b >>，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是的最小值是 . .换元例9、若y x y x -=+则,422的最大值是的最大值是 . . 练习1.设b a b a b a +=+Î则,62,,22R 的最小值是【的最小值是【】 A ．22- B ．335-C ．3-D ．27- 例10、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xy S x y =+-的最小值是【的最小值是【】 A.2- B. 2- C.222- D. 2(21)+ 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<£<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.A.无最大值也无最小值无最大值也无最小值无最大值也无最小值 B. B.无最大值但有最小值无最大值但有最小值 C.C.有最大值但无最小值有最大值但无最小值有最大值但无最小值 D. D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是的最小值是 . .练习1。
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式常考题型
.均值不等式2 21. ( 1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab (2)若a,b R ，则 ab a-(当且仅当 a b 时取“=”)22. (1)若 a,b R *，则-_b、ab (2) 若 a,bR *，则 a b 2. ab (当且仅当 a b 时取“=”)22(3)若a,b R *，则ab 乞上 (当且仅当a b 时取“=”)2113.若x 0，则x —2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0，则x —2 （当且仅当xxx右X0，则X1 X2即x 1 亠 -2或xX 1 -2 （当且仅当a b 时取“=”）X3.若 ab0， 则 a b2 (当且仅当ab 时取“=”）b a若ab0， 则 a b 2即a -2或 a b -2 （当且仅当a b 时取“=”）b ab a b a4.若 a,b R ， 则 (a b )2 a2b 2（当且仅当 a b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域(2) y = x + -xX•••值域为（一8，— 2] U [2， 解题技巧： 技巧一：凑项均值不等式及其应用解：(1) y = 3x 2 + +2x22； 2 =，•值域为[6，+（8l ）(2)当 x >0 时，y = x + 1 >2飞1x • = 2;x x -1)<-2 + 8)例1 ：已知x 4，求函数y 4x 2的最大值。
4x 5解：因4x 0，所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0， y4x 21 5 4x 5• 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 54x32 3 15 4x2)1丄，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
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应用一、求最值 直接求例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、设yx b a b a b a R y x yx 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B. 23C. 1D. 21练习1.若0x >，则2x x+的最小值为 .练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为【 】A.6B. 9C. 12D. 15练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.练习5.求下列函数的值域：（1）22213x x y += （2）xx y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是【 】A.0B.4C.2D.1例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【 】A. 5B. 6C. 7D. 8凑系数例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是 ．练习1.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值. 凑项例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4练习1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】A. 2B. 3C. 4D. 5练习3.函数232(0)x x x +>的最小值为【 】A.3932B. 39423952392例6、已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例7、已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5例8、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5练习1.设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4练习2.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5练习3.设0a b ≥>，则1(2)a b a b +-的最小值是【 】A. C. 练习4.设20a b >>，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 .换元例9、若y x y x -=+则,422的最大值是 .练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例10、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xy S x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1) 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 .练习1。
已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为两次用例12、已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则12zS xyz+=的最小值是【 】 A. 3B. 3(12+ C. 4D. 1) 练习1。
已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则212S xyz =的最小值是【 】A. 3B.92C. 4D. 练习2.已知,,x y z 均为正数，则222xy yzx y z+++的最大值是【 】 A.练习3.已知实数,,x y z 满足2221,x y z ++=yz +的最大值是整体代换例13、已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5 例14、函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 例15、设0,0.a b >>1133a ba b+与的等比中项，则的最小值为A. 8B. 4C. 1D. 14例16、已知,,a b c都是正实数，且满足93log (9)log a b +=，则使4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]练习1.函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__________． 练习2.若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .练习3.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值.练习4.若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值.练习5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值.练习6.已知212121,1,1000,x x x x >>=则1213lg lg x x +的最小值等于【 】练习7.若01,,x a b <<为常数，则221a b x x+-的最小值是 练习8.已知11ma b c a b b c a c>>+≥---且恒成立，则m 的取值范围是 练习9.,(0,),31,a b a b ∈+∞+=+最小值为 分离法【分式】例17、0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例18、已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1练习1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 练习2.若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为 .放缩法—— 解不等式例19、设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值 是 .例20已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例21、若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】B ．4 C D ．2 练习1.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是__________.练习2.若正实数,X Y 满足26,X Y XY ++= 则XY 的最小值是 练习3.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是【 】A.3B.4C.92D.112练习4.已知1)(,0,0=+->>b a ab b a ，求b a +的最小值.练习5：已知532(0,0)x y x y+=>>恒成立，则xy 的最小值是 .练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.练习7.若实数,x y 满足114422x y x y +++=+则22x y t =+的取值范围是取平方例22、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2练习1.若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为【 】11 C. 2 D. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】 A.12 B. 13 C. 14D. 15 结合单调性——与函数例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2练习1.求函数2y =的值域.练习2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈练习3．已知01x <<，求函数y =.练习4．203x <<，求函数y =. 练习5.设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】A.12-B.212- C.12+ D.212+ 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B. 12C. 14D. 18练习1.若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是的最大值为 .练习1.已知22,,1,2b a b R a +∈+=，则 】A. 1B.122例27、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c++最小值为【 】A. 12B. 18C. 24D. 27 直接取值【讨论】例28、,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12B ．12- C ．12-D ．12+例1、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是【 】A ．222a b ab +> B ．a b +≥C ．11a b +>．2b a a b +≥ 例2、设,,a b c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+ C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+213 例3、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例4、已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例5、若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 练习1.设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】A.4)11)((≥++b a b aB.ab ab b a 222≥+C.21≥+abab D.ab b a ab ≤+2 练习2.已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是【 】A.0个B.1个C.2个D.3个 练习3.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 练习4.若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】A.22B.2C.2D.1练习5.已知,a b R +∈，则使不等式333()()a b k a b +≤+成立的最小k 的值是【 】 A.1B. 2C. 3D. 4练习6.是否存在常数c ，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论.例1、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：4))((≥++b b a a .例2、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a .例3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：8)11)(11)(11(>---z y x .练习1.在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2++≥+c b a .练习2.证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+.应用四、比较大小 例1、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .例2、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .练习1.若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是【 】 A. 1122a b a b + B. 1212a a b b + C. 1221a b a b + D. 21。