不等式高考真题汇编(含答案)
不等式(原卷版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》真题汇编及答案
【最新】数学《不等式》期末复习知识要点一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1 222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．设变量,x y满足约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知，当直线5z x y=+过点()1,0A时，纵截距最大，即z最大，由211x yx y+=⎧⎨+=⎩得A（1，0）∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．设实数满足条件则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．232D ．421【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一需要在A B件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,x yx y+=⎧⎨+=⎩得()2,3P，则max324318z=⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．设x，y满足102024xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x=r，()1,b m y=-r，则满足a b⊥r r的实数m 的最小值为（）A．125B．125-C．32D．32-【答案】B【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】 【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．13．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.14．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）AB．2C．D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.17．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
不等式考试题及答案
不等式考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，则下列哪个不等式有相同解集？A. \( ax^2 + bx + c < 0 \)B. \( -ax^2 - bx - c > 0 \)C. \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)D. \( -ax^2 - bx - c < 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 3| < 2 \)，下列哪个区间是其解集？A. \( (1, 5) \)B. \( (-1, 7) \)C. \( (-2, 4) \)D. \( (3, 5) \)答案：A3. 若不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( A \)，则 \( A \) 与 \( (2, 3) \) 的交集是什么？A. \( \emptyset \)B. \( (2, 3) \)C. \( (2, 3) \cap A \)D. \( (3, 4) \)答案：C4. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x > 0 \) 的解集包含 \( (1, 2) \)，那么下列哪个不等式也包含 \( (1, 2) \) 作为其解集的一部分？A. \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \)B. \( -x^3 + 3x^2 - 2x < 0 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2x \leq 0 \)D. \( -x^3 + 3x^2 - 2x \geq 0 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( 2x -3 > 5 \) 的解为 \( x > \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 不等式 \( |x + 1| \geq 3 \) 的解集为 \( x \leq -4 \) 或\( x \geq 2 \)，那么 \( |x + 1| < 3 \) 的解集为 \( x \in\_\_\_\_\_ \)。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知变量满足：，则的最大值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，令，可知在点处取得最大值，所以的最大值为。
【考点】线性规划及指数函数的单调性。
2.若二元一次线性方程组无解，则实数的值是__________．【答案】-2【解析】二元一次线性方程组无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则解得．【考点】二元一次方程组．3.若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，将三个点的坐标分别代入目标函数得，所以目标函数的取值范围为，故选A.【考点】线性规划.4.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲设对于任意实数，不等式≥恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将不等式≥恒成立，转化为，用零点分段法，将转化为分段函数，再每一段分别求最值；第二问，结合第一问的结论，将m的值代入，利用零点分段法将绝对值不等式转化成不等式组，分别求解．试题解析：（1）设，则有当时有最小值8当时有最小值8当时有最小值8综上有最小值8所以（2）当取最大值时原不等式等价于：等价于：或等价于：或所以原不等式的解集为【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题．5.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数．（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解不等式；第二问，先解不等式，再结合的解集为，从而得到a的值，再利用特殊值1将转化为，再利用基本不等式求函数的取值范围．试题解析：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；（2）即，解得，而解集是，，解得,所以所以．【考点】绝对值不等式的解法、基本不等式．6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当时，；当时，；当时，；故取值范围为，故选C．【考点】1．简单的线性规划；2．向量的数量积．7.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．试题解析：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 3分不等式的解集是 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立． 10分【考点】含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．8.若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上是减函数，又，所以，故选D．【考点】不等式的性质．9.选修4-5：不等式选讲已知x，y为任意实数，有（1）若求的最小值；（2）求三个数中最大数的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用消元法可得关于x的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值．试题解析：（1）解：当时，最小值为（2）设，则所以即中最大数的最小值为【考点】配方法，绝对值不等式，最值．10.若实数，满足不等式组．则的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【答案】D【解析】画出可行域如图：当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大同时也最大, 最大值为;当时,作出目标函数线,平移目标函数线使之经过可行域四边形但不包括边,当目标函数线经过点时纵截距最大同时也最大, 的最大值为．综上可得的最大值为14．【考点】简单的线性规划．11.已知函数，．（1）若，解不等式；（3）若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围．【答案】（1）：，：；（2）．【解析】（1）根据的取值情况进行分类讨论，将表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的单调性讨论即可求解；（2）利用二次函数的单调性首先课确定的大致范围，再利根据条件方程在总存在两不相等的实数根，建立关于的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，若：令解得：∴不等式的解为：；若：令，解得：，，根据图象不等式的解为：，综上：：不等式的解为；：不等式的解为；（3），∵，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增，∴或，∴在单调递增，∴，若：在单调递减，在单调递增，∴必须，即；若：在单调递增，在单调递减，，即；综上实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．12.设函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当，圆不等式变为，可利用绝对值的集合意义求解，从而得到不等式的解集；（2）求当，，a的取值范围，可先对a进行分类讨论：，对后两种情形，只需求出的最小值，最后“，”的充要条件是，即可求得结果．试题解析：由题意得，（Ⅰ）当时，．由，得，（ⅰ）时，不等式化为，即．不等式组的解集为．（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．不等式组的解集为．（ⅲ）当时，不等式化为，即．不等式组的解集为．综上得，的解集为．（Ⅱ）若，不满足题设条件．若的最小值为．若的最小值为．所以的充要条件是，从而的取值范围为．【考点】绝对值不等式的求解及其应用．13.变量满足约束条件，当目标函数取得最大值时，其最优解为．【答案】.【解析】作出可行域，画出目标函数的图象，由图知最优解为.【考点】线性规划.14.（1）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数），直线和曲线相交于两点，求线段的长．（2）选修4—5：不等式选讲已知正实数满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；曲线的参数方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理求线段的长．（2）利用基本不等式得，，再根据不等式的性质得，因为，得证.试题解析：（1）由直线的极坐标方程是，可得由直线的直角坐标方程是，化为参数方程为（为参数）；曲线（为参数）可化为．将直线的参数方程代入，得．设所对应的参数为，，，所以．（2）证明：因为正实数，所以．同理可证：．．，．当且仅当时，等号成立．【考点】1、极坐标方程；2、参数方程；3、直线与椭圆；4、基本不等式；5、不等式的性质.【方法点睛】（1）先由直线的极坐标方程得直线的直角坐标方程，再化为参数方程；再把曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后把直线的参数方程与曲线联立，利用韦达定理和弦长公式求出线段的长．把直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立能够简化解题过程；（2）利用基本不等式及不等式的性质进行证明.15.已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】B【解析】将化为，作出可行域（如图所示），当时，当直线向右下方平移时，直线在轴上的截距减少，当直线过原点时，（舍）；当时，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，若，即时，当直线过点时，，解得（舍），当，即时，则当直线过点时，，解得；故选B．【考点】1.简单的线性规划；2.数形结合思想．【易错点睛】本题主要考查简单的线性规划与数形结合思想的应用，属于中档题；处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率的符号，还要讨论斜率与边界直线斜率的大小关系.16.如果实数满足关系，则的最小值是．【答案】2【解析】满足不等式组的平面区域，如图所示，因表示定点到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点到直线的距离，即，所以的最小值为2．【考点】1、平面区域；2、点到直线的距离公式．【方法点睛】（1）平面区域的确定，已知，则，表示的区域为直线的右方（右下方或右上方），表示的区域为直线的左方（左下方或左上方）；（2）具有一定的几何意义，即几何意义为点到的距离的平方．17.（2014•河南模拟）已知函数f（x）=|x+a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x的解集包含[，1]，求a的取值范围．【答案】（1）原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）[﹣]．【解析】对第（1）问，利用零点分段法，令|x+1|=0，|2x﹣1|=0，获得分类讨论的标准，最后取各部分解集的并集即可；对第（2）问，不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤2x的解集与区间[，1]的关系．解：（1）当a=1时，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x﹣1|≥2，①当x≥时，原不等式可化为（x+1）+（2x﹣1）≥2，得x≥，∴x≥；②当﹣1≤x＜时，原不等式可化为（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤0，∴﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣（x+1）﹣（2x﹣1）≥2，得x≤，∴x＜﹣1．综上知，原不等式的解集为{x|x≤0，或}．（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[，1]，等价于f（x）≤2x在[，1]内恒成立，从而原不等式可化为|x+a|+（2x﹣1）≤2x，即|x+a|≤1，∴当x∈[，1]时，﹣a﹣1≤x≤﹣a+1恒成立，∴，解得，故a的取值范围是[﹣]．【考点】绝对值不等式的解法．18.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】或．故B正确．【考点】一元二次不等式．19.直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．3+2B．4+2C．6+4D．8【答案】C【解析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可．解：∵直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的面积，∴圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0的圆心（﹣2，1）在直线上，可得﹣2a﹣2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3++）≥6+4，当且仅当：=时“=”成立，故选：C．【考点】直线与圆的位置关系．20.已知实数满足不等式组，则的最大值为________．【答案】9．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：由图可知，当直线经过点时，取得最大值为：．故答案应填：9．【考点】线性规划．21.已知.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)利用零点分段讨论法将绝对值符号去掉，得到分段函数，再求各段的值域即可；(Ⅱ)利用基本不等式和不等式恒成立进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴的最小值为5，∴.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：的最大值等于5.∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5.当时，，又∵对任意实数，都成立，∴.∴的取值范围为.【考点】1.零点分段讨论法；2.基本不等式．22.设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出的最大值为,把问题转化为求解.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ) 因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【考点】.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题23.已知函数．（1）解不等式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为;(2) .【解析】(1)分区间去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，在每个区间上分别解不等式，最后再求并集即可；(2) 不等式对任意的恒成立，由（1）求出函数的最小值，解不等式即可.试题解析：（1）．当时，由，得，此时无解；当时，由，得，所以；当时，由，得，所以．综上，所求不等式的解集为．（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为不等式对任意的恒成立，即，解得，故的取值范围为．【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.24.设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．以上均不正确【答案】A【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，即恒成立，故，令，则，取，递减，所以时，；同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是，故选A．【考点】基本不等式的应用.方法点睛：本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到即得的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出的取值范围.25.已知函数（是常数）和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合上的最大值为（）A．B．C．4D．5【答案】D【解析】由题知，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为，所以，化简得，再由，可求得，所以，并且可判定在上是减函数，在上是增函数，由于，所以在集合上的最大值为，故选D.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的最值.【思路点睛】本题是一个利用导数研究函数的单调性、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题意判断出的最值关系，再由条件求出函数在定义域上的最小值，进而判断出的最值情况，并据此求出的值，从而得到的解析式，进一步可求出的最大值，问题得以解决.26.已知直线经过点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线经过点，所以，故，当且仅当时，等号成立.【考点】基本不等式.27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得的值域为，要，需，解得实数的取值范围是或.试题解析：（1）由题意得：，则不等式等价于或，解得：或，∴不等式的解集.（2）∵，∴的值域为，∴的解集.要，需，即或，∴或，∴实数的取值范围是或.【考点】含绝对值不等式的解法.28.设函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式、存在性问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，解绝对值不等式，先得到与解集对应系数相等，解出的值；第二问，先整理，构造函数，画出函数图象，结合图象，得到，或，从而解出的取值范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，因为不等式的解集为，所以，解得．（2）由（1）得．∴，化简整理得：，令，的图象如图所示：要使不等式的解集非空，需，或，∴的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.存在性问题.29.若，若的最大值为3，则的值是___________.【答案】【解析】画出可行域如下图所示，为最优解，故.【考点】线性规划.30.选修4-5：不等式选讲若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）利用基本不等式得，即，而，等号都是取得，（2）利用基本不等式得，即与矛盾，故不存在试题解析：解：（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，∴的最小值为.（Ⅱ）由，得，又由（Ⅰ）知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.【考点】基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.31.已知x、y满足，那么z=3x+2y的最大值为 .【答案】【解析】由题意得，作出不等式组表示平面区域，如图所示，可得平面区域为一个三角形，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为．【考点】简单的线性规划．32.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．2C．8D．0【答案】C【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取最大值8．【考点】简单的线性规划问题．33.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】因画出不等式组表示的区域如图, 的几何意义是区域内的动点与定点连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点与定点连线的斜率最大,最大值为，所以的最大值为,应选A.【考点】线性规划的知识及运用．34.已知，使不等式成立．（1）求满足条件的实数的集合；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用分类讨论的方法分段求解；（2）借助题设条件及基本不等式求解.试题解析:（1）令，则，由于使不等式成立，有（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式当且仅当时取等号，所以的最小值为6【考点】绝对值不等式、基本不等式及运用．35.设变量满足不等式组则目标函数的最小值是______.【答案】7【解析】不等式组对应的可行域如图，由图可知，，目标函数表示斜率为的一组平行线当目标函数经过图中点时取得最小值.故填：7.【考点】线性规划36.设x，y满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为____________.【答案】-4【解析】作出可行域，令得 .结合图象可知目标函数在处取得最大值，代入可得.故本题答案应填.【考点】线性规划.37.已知函数，其中为常数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设实数，，满足，若函数的最小值为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由．再由或或解集为；（2）由当且仅当，即时取等号，，则．解法一：由题设．解法二：由题设，，即，．试题解析：（1）当时，由，得或，即或所以不等式的解集为（2）因为，当且仅当，即时取等号，则．由已知，，则解法一：由题设，则，，解法二：由题设，，据柯西不等式，有，即，所以【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式；3、柯西不等式.38.若满足约束条件,则的最大值为．【答案】【解析】作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．【考点】简单线性规划的非线性运用．39.已知变量满足约束条件，目标函数的最大值为10，则实数的值等于（）A．4B．C．2D．8【答案】A【解析】由不等式组可得可行域（如图），当直线经过点时，取得最大值，且由已知，解得.【考点】简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.40.已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】1【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.41.设，则a， b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】，考察函数，该函数在上单调递减，，考察函数，该函数在上单调递增，，故选A．【考点】指数函数的单调性与幂函数的单调性．42.若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是:过定点与可行域内的点的直线的斜率，由图可知，当直线过点时，斜率取得最大值，此时的值分别为，所以．故选D．【考点】简单线性规划．43.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为即，，所以，故选A.【考点】指数函数、对数函数的性质.44.已知实数满足不等式组则的最大值是___________.【答案】6【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即.【考点】简单的线性规划问题.【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件.45.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）（-1,0）【解析】（1）（当且仅当时取等号）；（2）作出函数的图象，由图像可求出结果.试题解析：解：（1）（当且仅当时取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是（-1,0）.【考点】1.绝对值不等式；2.基本不等式.46.选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：(I)①当时，，所以②当时，，所以为③当时，，所以综合①②③不等式的解集(II)即由绝对值的几何意义，只需【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.47.设，满足约束条件则的取值范围为．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为，在点处取得最大值为.【考点】线性规划.48.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处的最大值是，在最小值是，所以而，所以的最大值是，故选B.【考点】1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.49.选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】（I）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：，或，或，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II）先化简不等式为，再利用绝对值三角不等式求最值：，再转化解不等式得实数的取值范围.试题解析：不等式化为，则，或，或，……………………3分解得，所以不等式的解集为.……………………5分（2）不等式等价于，即，由绝对值三角不等式知.……………………8分若存在实数，使得不等式成立，则，解得，所以实数的取值范围是.……………………10分【考点】绝对值三角不等式，绝对值定义【名师】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.50.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；。
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编(含答案)
2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则113a c+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且3223231a b c ++=，证明： （1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)≤(2)证明：()()()22241233x y z -+-+-≥4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a≥．答案以及解析1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++()2222223(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，当且仅当21a b c ===时取等号，所以2222(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，所以根据柯西不等式有()()2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得22221(2)43(111)111a b c a b c ++≤++=++（当且仅当21a b c ===时取等号），所以2(2)9a b c ++≤.又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，3332221a b c =++≥ 所以19abc ≤，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.（2）由基本不等式得b c +≥a b c ≤+， 同理得b ac ≤+c a b ≤+利用不等式的性质得a b cb c a c a b+++++≤333222bc=333222b c ==，当且仅当2313a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭时等号成立.3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()2222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22226412333x y z x y z ++--+-+-≥=， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，故()()()22241233x y z -+-+-≥.4、（1）答案：证明见解析解析：证明：由0a b <<，且0a b c ++=，得0c >，0a b ->->，5.答案：（1）75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）最大值为9，最小值为3解析：（1）当1a =时，不等式()6f x <可化为2216x x ++-<，2316x x <-⎧⎨--<⎩，解得723x -<<-；或12236x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+<⎩，解得122x -≤≤；或12316x x ⎧>⎪⎨⎪+<⎩，解得1523x << 综上可知，不等式的解集为75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2212222f a a a a a a a -=-++-=-++-当12a -≤<时，()[]2222224133,7a a a a a a -+-+=-+=-+∈， 当23a ≤≤时，[]22224,9a a a a -++-=∈， 故所求最大值为9，最小值为3． 6.答案：(1) {|4x x <-或23x >-}（2）2514解析：(1)当32x -时，2310x x --+->，解得4x <-； 当312x -<<时，2310x x ++->，解得213x -<<；当1x 时，2310x x +-+>，解得1x ，综上，不等式()0f x >的解集为{|4x x <-或23x >-}；（2）()34,2332,124,1x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+⎪⎪⎩可知，当32x =-时，()min 52f x =-，即52m =-，则235a b c ++=，因为()()()222222223123a b c a b c ++++++，所以()2222514a b c ++，即2222514a b c ++a 2+b 2+c 2⩾2514， (当且仅当123a b c==时等号成立)， 故222a b c ++的最小值为25147.答案：（1）1(,1)3；（2）12a -<<.解析：（1）因函数()1f x x =+，()21g x x =-，则()()1|1||21|1f x g x x x ->⇔+-->， 当1x <-时，1211x x --+->，解得3x >，无解， 当112x -≤<时，1211x x ++->，解得13x >，则有1132x <<， 当12x ≥时，1211x x +-+>，解得1x <，则有112x ≤<，综上得：113x <<，所以不等式()()1f x g x ->的解集是1(,1)3.（2）依题意，R x ∀∈，()()22|22||21|2f x g x ax x x ax +>+⇔++->+，当1x ≤-时，3222124x x ax a x ---+>+⇔>--，而34x --在(,1]-∞-上单调递增，当1x =-时，max 3(4)1x--=-，于是得1a >-，当112x -<<时，2221210x x ax ax +-+>+⇔-<，则有110210a a ⎧-≤⎪⎨⎪--≤⎩，解得12a -≤≤，当12x ≥时，1222124x x ax a x ++->+⇔<-+，而14x -+在1[,)2+∞上单调递增，当12x =时，min 1(4)2x -+=，于是得2a <，于是得2a <，综上得12a -<<，所以实数a 的取值范围12a -<<. 8.答案：（1）(,0]-∞（2）见解析解析： （1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=当且仅当a b c ===. 9.答案：(1) {22}xx -∣(2) 914解析：(1)1,()61216x f x x x -⎧⇔⎨---⎩或11,21216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++⎩或1,22116,x x x ⎧⎪⎨⎪-++⎩ 解得21x --或112x -<<或122x ， 所以22x -，即不等式()6f x 的解集为{22}xx -∣. (2)()()|1||21||1||1||21|2g x f x x x x x x x =++=-++++=-++∣2||21223x x ---=∣，当且仅当(21)(22)0x x -+时取等号，所以min () 3.g x m == 故233a b c ++=.由柯西不等式()()2222222123(23)9a b c a b c ++++++=，整理得222914a b c++， 当且仅当123a b c ==，即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 10.答案：(1) 2{|3x x ≤或2}x ≥(2)见解析解析：(1)由题意，22a b ==时，()2|f x x ≥｜即|22|||x x -≥， 则22|22|||x x -≥，即2384|0x x -+≥ ，解得23x ≤ 或2x ≥ ，故不等式解集为2{|3x x ≤ 或2}x ≥ ；(2)证明：()2|2+=||+||,(0)f x ax bx a x b x a b a-->>＝｜｜｜， 当0x < 时，()2-()22f x ax bx a b x -=-++>=， 当20x a ≤≤时，()2-()2f x ax bx b a x +=-+=，由于0b a -< ，故()22()(0)2b f f x f a a=≤≤=，当2x a > 时，()22-2()2()b f x ax bx a b x f a a +=+->==，综合以上，()2b f x a≥.。
不等式高考试题及答案
不等式高考试题及答案一、选择题1. 若不等式3x+2>7成立，则x的取值范围是：A. x < -1B. x > -1C. x < 1D. x > 1答案：D2. 已知不等式2(x-1) > 3(x+2)，则x的取值范围是：A. x < -7/5B. x > -7/5C. x < -1D. x > -1答案：C3. 若x<y，则对x+y，下列不等式成立的是：A. x + y < 2xB. x + y < 2yC. x + y > 2xD. x + y > 2y答案：C4. 若不等式5x+3y > 6成立，下列不等式中一定成立的是：A. 10x + 6y > 12B. 5x + 6y > 12C. 5x + 3y > 6D. 10x + 3y > 6答案：D5. 下列不等式组中，解集与其他三个不同的是：A. {x | -2 < x < 3}B. {x | 0 < x < 5}C. {x | 1 < x < 4}D. {x | -3 < x < 2}答案：B二、填空题1. 若不等式2x - 1 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 32. 若不等式-3(x - 1) < 2(x + 3)成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 13/53. 已知不等式2x - 3 < 5x + 4，则x的取值范围为________。
答案：x > -7/34. 若不等式x + 5 > 2x - 3成立，则x的取值范围为________。
答案：x < 85. 若不等式3x - 2 > 5成立，则x的取值范围为________。
答案：x > 7/3三、解答题1. 解不等式组{x | 2x + 3 > 5, x - 1 < 4}，并将解表示在数轴上。
2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)
2024年全国高考数学真题分类（不等式与不等关系）汇编一、单选题1．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞3．（2024ꞏ全国2卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．（2024ꞏ全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024ꞏ全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ） A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024ꞏ北京）已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A ．{}43x x -<< B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<7．（2024ꞏ北京）记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（ ） A ．12n n <B ．12n n >C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024ꞏ北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）A ．12122log 22y y x x ++> B ．12122log 22y y x x ++< C ．12212log 2y y x x +>+ D ．12212log 2y y x x +<+ 9．（2024ꞏ天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题10．（2024ꞏ上海）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．三、解答题11．（2024ꞏ全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024ꞏ全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B. 3．B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 4．C【详细分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号详细分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【答案解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-； 若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意； 综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【名师点评】关键点名师点评：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性详细分析判断. 5．D【详细分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭， 则min 375122z =-⨯=-. 故选：D. 6．A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A. 7．C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩， 若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >； 若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==； 若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <； 结合选项可知C 正确，ABD 错误； 故选：C. 8．A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误； 对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误， 故选：A.9．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B10．{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x-'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=， 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=， 故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-.【名师点评】思路名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。
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【2010课标卷】设函数f(x)=241x -+
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.
【答案】
【2011课标卷】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集
（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。
( Ⅱ) 由()0f x ≤得： 30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a
x x ≤- 由题设可得2a
-= 1-，故2a =
【2012课标卷】 已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。
【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323
x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤
【2013课标Ⅰ卷】已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
（Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12
)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【解析】当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，
设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0
∴原不等式解集是{|02}x x <<.
（Ⅱ）当x ∈[2a -
，12
)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2
a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43].
【2013课标Ⅱ卷】设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
（Ⅰ）13
ab bc ac ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥
【2014课标Ⅰ卷】若0,0a b >>，且
11ab a b +=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ) 由112ab a b ab
=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=，且当2a b ==
时等号成立，∴33a b +的最小值为42. （Ⅱ）由62326a b ab =+≥，得32
ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立.
【2014课标Ⅱ卷】设函数()f x =1(0)x x a a a
++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.
【2015课标Ⅰ卷】已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
，
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. 【2015课标Ⅱ卷】设,,,a
b
c
d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（Ⅰ）若ab cd >a b c d >
a b c d >+是a b c d -<-的充要条件．
【解析】（Ⅰ）因为2(2a b a b ab =++，2(2c d c d cd =++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22()a b c d >+a b c d > （Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因
为a b c d +=+，所以ab cd >a b c d >
． a b c d >22a b c d >. 即2a b ab ++>2c d cd ++a b c d +=+，所以ab cd >.
于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-.
a b c d >+是a b c d -<-的充要条件．。