高中数学讲义 均值不等式

微专题45 利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：12nn n G a a a = （3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：22212nn a a a Q n+++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a bab +≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x =+的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则2324y x x x=+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。

例如：上式中24y x x =+为了乘积消掉x ，则要将3x拆为两个2x，则2223342222334y x x x x x x x x =+=++≥⋅⋅=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。

则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。

例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求32x y+的最小值 解：()3232942366y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭94121224y x x y =++≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭ 所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y +=-注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 二、典型例题：例1：设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)41511x x y x x x ++==+++++，使用均值不等式可得：59y ≥+=，等号成立条件为4111x x x +=⇒=+，所以最小值为9 答案：9例2：已知0,0x y >>，且115x y x y+++=，则x y +的最大值是________ 思路：本题观察到所求x y +与11x y+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114112x y x y x yx y+≤⇒+≥++，代入方程中可得： ()()()()245540x y x y x y x y ++≤⇒+-++≤+，解得：14x y ≤+≤，所以最大值为4 答案：4例3：已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则2221m n m n +++的最小值为（ ） A.14 B. 415 C. 18 D. 13思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。

考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。

2241212121m n m n m n m n +=-+-++++++，结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出最值解：222244114121212121m n m n m n m n m n m n -+-++=+=-++-+++++++()4141322121m n m n m n =+-++=+-++++ ()()1214m n m n +=⇒+++= ()()()414141112214121214421n m m n m n m n m n +⎛⎫+⎛⎫∴+=+⋅+++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭19544⎛≥+= ⎝ 229122144m n m n ∴+≥-=++，即2221m n m n +++的最小值为14答案：A例4：已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为__________思路：本题所求表达式x y +刚好在条件中有所体现，所以考虑将x y +视为一个整体，将等式中的项往x y +的形式进行构造，()()()21xy x y xy x x y x y x y ++=+++=+++，而()1x y +可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于x y +的不等式，解不等式即可解：()()()24414xy x y xy x x y x y x y ++=⇔+++=⇔+++=()()2112x y x y ++⎡⎤+≤⎢⎥⎣⎦ ∴方程变形为：()()2142x y x y ++⎡⎤++≥⎢⎥⎣⎦()()21416x y x y ∴++++≥⎡⎤⎣⎦()()26150x y x y ∴+++-≥解得：3x y +≥= 答案：()x y +的最小值为3 例5：已知20a b >>，则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为()2b a b -，所以可将a 构造为()112222a a b b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二：观察到表达式中分式的分母()2b a b -，可想到作和可以消去b ，可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，从而244(2)a a b a b a +≥+-，设()24f a a a =+，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：()24322a a f a a =++≥= 答案：3小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。

所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例6：设二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞，则1919c a +++的最大值为__________思路：由二次函数的值域可判定0a >，且04ac ∆=⇒=，从而利用定值化简所求表达式：19918918511999913913a c a c c a ac a c a c a c +++++====++++++++++，则只需确定9a c +的范围即可求出1919c a +++的最值。

由均值不等式可得：912a c +≥，进而解出最值 解：二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞164040ac ac a ∆=-=⇒=⎧∴⎨>⎩()()()9911991891851191999913913a c a c a c c a c a ac a c a c a c ++++++++====++++++++++++912a c +≥=195611912135c a ∴+≤+=+++ 答案：65例7：已知,,x y z R +∈，则222xy yzx y zμ+=++的最大值是________ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xy yz 均含y ，故考虑将分母中的2y 拆分与22,x z 搭配，即22222221122xy yz xy yzx y z x y y z μ++==++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222211,22x y z y +≥=+≥=，所以μ≤=答案：2小炼有话说：本题在拆分2y 时还有一个细节，因为分子,xy yz 的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中,xy yz 也要相同，从而在拆分2y 的时候要平均地进行拆分（因为22,x z 系数也相同）。

所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。

例8：已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为________思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，()1a x y x y≤+++。

进而只需求得()1x y x y+++的最小值。

将x y +视为一个整体，将3x y xy ++=中的xy 利用均值不等式换成x y +，然后解出x y +的范围再求最小值即可 解：()21()()10x y a x y a x y x y+-++≥⇒≤+++ ,0x y > 22x y xy +⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭232x y x y xy +⎛⎫∴++=≤ ⎪⎝⎭()()2412x y x y ∴++≤+ 解得：6x y +≥或2x y +≤-（舍）()min 1137666x y x y ⎡⎤∴++=+=⎢⎥+⎣⎦ （在6x y +=时取得） 376a ∴≤例9：已知1,0,0x y y x +=>≠，则121x x y ++的最小值是___________ 思路：观察到所求121x x y ++的两项中x 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形12x的分子。