高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
3.均值不等式(全国卷1)
第三节：均值不等式1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋＋的最大值为A.9B.23C.32 D.2 答案：D3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABCA B C ∆∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ∆的周长的取值范围是__________.答案：](32，4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 答案：C5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项的最小值为 （ ） A ．B ．C ．D ．9答案：A6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y+的最小值是. 答案：47. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a=+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 1144,a m n=+则325394(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A.21 答案：A8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足恒成立，则 的最大值为.答案：19. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4答案：A10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=，则对任意的正实数t ，1||c ta b t++ 的最小值是（ ）A ．2B ．．4 D ．答案：B11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y xm m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．42m m ≥≤或－B ．24m m ≥≤或－C ．24m －＜＜D ．42m －＜＜ 答案：D12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案：,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩1a 2b13.★★( 2013 河南郑州二模文)函数3101a y log x a a =+≠（）﹣（＞且）的图象恒过定点A ，若点A 在20mx ny ++=上，其中0mn ＞，则+的最小值为 ． 答案：14.★( 2013 河南安阳市二中期中文)下列条件：000000ab ab a b a b ①＞，②＜，③＞，＞，④＜，＜，其中能使2b aa b+≥成立的条件的个数是________． 答案：315. ★★(2011 河南焦作市修武一中期中理)若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为。
专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证： ；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则 ；(2)若 ，则 ；
(3)若a＝2，b＝3，则 ；(4)若a＝1，b＝5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．
1.均值不等式(含答案)
②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n
≥
n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b
≥
≥
ab ≥
2；
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ；
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ；
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ； ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ；
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ； (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.2．(文)(2010·山东潍坊质检)已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m ，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 12·q m ＋n －2＝16a 12，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎣⎡⎦⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．3．(2010·茂名市模考)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax ≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋ax＝x ＋4x≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 4．(2010·广西柳州市模考)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab ≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b ≥2ab 得4ab ≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab ≤1，但当4ab ≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab ≤1，但－5＋1≠1，故选A.5．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.高考总复习 数学讲师 朱屿含详解答案a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.6．(文)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥4. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．(理)半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 [答案] C[解析] 根据题意可知，设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则可知AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角．故a 2＋b 2＋c 2＝64，而S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 24＝a 2＋b 2＋c 22＝32.等号在a ＝b ＝c ＝833时成立．7．(文)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2][答案] D[解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca>1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.故选D.(理)已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3][答案] D[解析] |PF 1|2|PF 2|＝(2a ＋|PF 2|)2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3，∴e∈(1,3]．8．(2010·南昌市模拟)已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a ＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.9．(2010·河南新乡调研)已知全集R ，集合E ＝{x |b <x <a ＋b2}，F ＝{x |ab <x <a }，M＝{x |b <x ≤ab }，若a >b >0，则集合M 等于( )A ．E ∩FB ．E ∪FC ．E ∩(∁R F )D ．(∁RE )∩F[答案] C [解析] ∵a >b >0，∴a ＝a ＋a 2>a ＋b 2>ab >b 2＝b ，如图可见集合M 在E 中，不在F 中，故M ＝E ∩∁R F .10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92高考总复习 数学讲师 朱屿含详解答案[答案] D[解析] ED →＝AD →－AE →＝12(AB →＋AC →)－AE →＝12(λAE →＋μAF →)－AE →＝⎝⎛⎭⎫λ2－1AE →＋μ2AF →， EF →＝AF →－AE →.∵ED →与EF →共线，且AE →与AF →不共线，∴λ2－1－1＝μ21，∴λ＋μ＝2，∴1λ＋4μ＝12⎝⎛⎭⎫1λ＋4μ(λ＋μ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋μλ＋4λμ≥92，等号在μ＝43，λ＝23时成立． (理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC→n ，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2m 、N ⎝⎛⎭⎫2n ，0， ∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤(m ＋n )24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.二、填空题11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b >0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵两直线垂直，∴ab 2－(b 2＋4)＝0，∴a ＝b 2＋4b 2，∵b >0，∴ab ＝b 2＋4b＝b＋4b ≥4，等号在b ＝4b，即b ＝2时成立． 12．(文)(2010·重庆文，12)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y2n＝1(m >0，n >0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 由题易得，点A 的坐标为(2,4)，因为点A 在直线x m ＋y2n ＝1(m >0，n >0)上，所以1＝2m ＋42n ≥22m ·42n，∴mn ≥16，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2(mn )≥4，故log 2m ＋log 2n 的最小值为4.13．(文)(2010·南充市)已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．[答案] 6＋4 2 [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 同时成立时成立．即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．高考总复习 数学讲师 朱屿含详解答案(理)(2010·北京延庆县)已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是________． [答案]112[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x ·8y ＝2，即2x＋3y＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立．14．(文)(2010·重庆一中)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是________． [答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30° ＝32|AB |·|AC |＝23，∴|AB |·|AC |＝4， 由f (M )的定义知，S △ABC ＝12＋x ＋y ，又S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin30°＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)∴1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥2(5＋24)＝18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时成立，∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝18.(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______．[答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.三、解答题15．已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30米，AD ＝20米．记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值． (2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的长应在什么范围内？高考总复习 数学讲师 朱屿含详解答案[解析] (1)设DQ ＝x 米(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30(x ＋20)x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15(x ＋20)2x＝15(x ＋400x ＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号．(2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20米时，S 最小，且S 的最小值为1200平方米； (2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－(t －1)2＋98(t －1)＋352t＝50－⎝⎛⎭⎫t 2＋32t .∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t ，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．17．(文)(2010·广州市调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．[解析] (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－1)， ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)． 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，即x 2＝4y ， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)设圆M 的圆心坐标为(a ，b )，则a 2＝4b ① 圆M 的半径为|MD |＝a 2＋(b －2)2.圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋(b －2)2. 令y ＝0，则(x －a )2＋b 2＝a 2＋(b －2)2， 整理得，x 2－2ax ＋4b －4＝0②将①代入②得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ±2， 不妨设A (a －2,0)，B (a ＋2,0)， ∴l 1＝(a －2)2＋4，l 2＝(a ＋2)2＋4.∴l 1l 2＋l 2l 1＝l 12＋l 22l 1l 2＝2a 2＋16a 4＋64＝2(a 2＋8)2a 4＋64＝21＋16a 2a 4＋64③ 当a ≠0时，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a2≤21＋162×8＝2 2.高考总复习 数学讲师 朱屿含详解答案当且仅当a ＝±22时，等号成立．当a ＝0时，由③得，l 1l 2＋l 2l 1＝2. 故当a ＝±22时，l 1l 2＋l 2l 1的最大值为2 2. (理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以双曲线x 23－y 2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点． ①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA 、MB 与直线x ＝4分别交于点P 、Q ，求线段PQ 长度的最小值．[分析] 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a 、b ，即可写出椭圆方程，进而可求得点A ，B 坐标，设出M 点坐标，可列出k MA ·k MB 的表达式，利用M 在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A 、M 、P 三点共线和M 、B 、Q 三点共线就可以找到点P 、Q 的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ 长度的最小值．[解析] (1)易知双曲线x 23－y 2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，故在椭圆C 中a ＝2，e ＝32，∴c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①设M (x 0，y 0)，(x 0≠±2)，由题易知A (－2,0)，B (2,0)，则k MA ＝y 0x 0＋2，k MB ＝y 0x 0－2， 故k MA ·k MB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 02x 02－4， 点M 在椭圆C 上，则x 024＋y 02＝1， 即y 02＝1－x 024＝－14(x 02－4)，故k MA ·k MB ＝y 02x 02－4＝－14，直线MA ，MB 的斜率之积为定值．②解法一：设P (4，y 1)，Q (4，y 2)，则k MA ＝k P A ＝y 16，k MB ＝k BQ ＝y 22，由①得y 16·y 22＝－14，即y 1y 2＝－3，当y 1>0，y 2<0时，|PQ |＝|y 1－y 2|≥2－y 1y 2＝23，当且仅当y 1＝3，y 2＝－3时等号成立，同理可得，当y 1<0，y 2>0时，当且仅当y 1＝－3，y 2＝3时，|PQ |有最小值2 3.解法二：设直线MA 的斜率为k ，直线MA 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而P (4,6k )，由①知直线MB 的斜率为－14k ，直线MB 的方程为y ＝－14k(x －2)，故得Q ⎝⎛⎭⎫4，－12k ，故|PQ |＝|6k ＋12k |≥23，当且仅当k ＝±36时等号成立．。
高考数学命题热点名师解密：专题(34)均值不等式的灵活应用(理)(含答案)
专题34 均值不等式的灵活应用一．【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题. 类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab ；变式：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab叫做正数a ，b 的几何平均数．4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P 24；(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四．典例分析（一）基本不等式比较大小例1．若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定【答案】B【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，且，∴，即．故选B．练习3．设f(x)＝e x,0<a<b，若，，，则下列关系式中正确的是( )A．q＝r<p B．p＝r<q C．q＝r>p D．p＝r>q【答案】C【解析】由题意得，∵，∴，又函数为增函数，∴．故选C．（二）利用基本不等式证明例2.已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，，上面三式相加，得：，所以，.练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题 B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D．否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A“设a、，原命题“若，则”，【解析】原命题：是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.【答案】见解析【解析】因为，，都是正实数，且，所以，，，以上三个不等式相加，得：，即，因为，，不全相等，所以上述三个不等式中的“”不都同时成立，所以.练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.练习1．若正数满足，则的最小值为( )A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y 取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为：A．练习2．已知，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.练习3．已知，且，则的最小值为______．【答案】15（五）条件等式求最值例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( )A．10 B． C． D．【答案】C【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当a b时取等号）故选：C．练习1．已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．练习2．若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1【解析】∵点在椭圆上运动，即，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.练习4．已知，，，则的最小值为_______．【答案】3【解析】因为，，所以=（六）基本不等式的恒成立问题例6.已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2),使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得不等式可化为或或或解得．所以不等式的解集为．(2)，使得成立，等价于.由(1)知，当时，，当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，又，所以．故实数的取值范围为．【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，当等号成立.故恒成，化简得，解得，故选C.练习 2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]【解析】（1）∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当x=y时取等号由x+y+xy=8，可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）. 解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．对任意满足条件的m，n，恒有成立，则：．当且仅当n=m 时取等号．∴λ≤9．即λ的取值范围是（﹣∞，9]．练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(－∞，4)（七）对勾函数求最值例7．已知。
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
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高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b <。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22S xy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。
例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例3：已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．例4： 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 ．（类似例5）二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。
例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C.92 D. 1122.分式型函数（二次一次二次、、一次二次二次）求解最值。
例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是_________。
例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+三、解决恒成立问题例8：若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．变式训练：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．◆课后强化 一、选择题。
1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋ab≥－2 C.b a ＋ab ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥22．[2011·重庆卷] 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．对一切正数m ，不等式n <4m＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，42)C ．(42，＋∞)D ．[42，＋∞) 4．[2011·陕西卷] 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b5．[2011·安徽] 已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．设a 、b 、c 都是正数，那么a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a三个数( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于27．若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值是( )A.22B. 2 C ．2 2 D ．23 8．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－49．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝4，则5x ＋5y 的最小值是( ) A ．9 B ．25 C ．50 D ．16210．若log 2x ＋log 2y ＝82log ，则3x ＋2y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．4 6D ．86二、填空题。
1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。
3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知t o >,则函数2t 41t y t-+=的最小值为4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 。
（变式：求2x +y 的最小值为______）5．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y ＝x ＋4x (x >0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sin x ＋4sin x .6．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．7．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．三、解答题。
1．(13分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.2．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥0)，ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；(2)如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．5．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 对边为a 、b 、c ，且53cos =C ，206522=-+ab b a ）（ （1）求C ；（2）当三角形ABC 面积最大时，求sin A 。
答案◆课前热身（略） ◆考点剖析例1.解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy +≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，13xy，3.xy ∴≤，故xy 的最大值位3.例2.解：()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++- ＝11()()ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a 2,b 2满足条件。
故选择答案D例3. 1/5 例4.18例5.解： 因为x >0，y >0，所以2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 等号当且仅当22x y ==时成立，故选择答案B 。
例6.解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则 222(3)1133(1)(1)x S x x x -==-⋅+⋅⋅- 令22(3)()(01)1x f x x x -=<<-，则22269610()111x x x f x x x -+-+==--- 令35,(25)t x t =-+<<，则22261021818516110161()()103x t t t x t t t t -+===---+---++ 因为25t <<，所以16168t t t t+≥⋅=，等号当且仅当t=4，即13x =时成立。
所以16t t+最小值为8 故2269()1x x f x x -+=-的最小值为8，S 323。
sin α=||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+， 令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，令21,0t x t =+>，则22(1)(1)32233t t t t y t t t t----+===+-≥等号当且仅当2t t=，即t =时成立。
故min ()3PA PB •=-+.此时x =，选择答案D 。
例8.51≥a 变式：10 ◆课后强化 一、选择题。
1.D2.C3.B4.B5.C6.C7.A8.C 二、填空。
1.P<Q<R 2.51≥a 3.-2 4.18 5.①③ 6.3 三、解答题。
1.[解答] (1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.2．[解答] (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .①又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2(y ＞0)，∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，例5图当且仅当x2＝4x2，即x＝2时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝ 2.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋4x2，可知函数f(x)在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴y max＝5－2＝ 3.即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．。