高考数学真题汇编8 不等式 理( 解析版)

2012高考真题分类汇编：不等式

1.【2012高考真题重庆理2】不等式

01

21

≤+-x x 的解集为 A.??? ??-

1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ?

?

-∞-,121, 对

【答案】A

【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12

1

<<-x 或1=x ，所以不等式的解为12

1

≤<-

x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.

A.若2a

+2a=2b

+3b ，则a ＞b B.若2a

+2a=2b

+3b ，则a ＞b C.若2a

-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a

-2a=a b

-3b ，则a ＜b 【答案】A

【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则

()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其

余选项用同样方法排除．故选A

3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A 、1800元

B 、2400元

C 、2800元

D 、3100元

【答案】C.

【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ，

则约束条件为???????>>≤+≤+0

012

2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+，

可行域为，当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，

联立方程组??

?=+=+12

212

2y x y x 得)4,4(M ，代入目标函数得2800=z ，故选C.

4.【2012高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥??

+≤??-≥-?

，则目标函数

3z x y =-的取值范围是

（A ）3[,6]2- （B ）3

[,1]2

-- （C ）[1,6]- （D ）3

[6,]2

-

【答案】A

【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得

z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截

距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，

由??

?=+-=-4214y x y x ，解得??

?

??==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范

围是]6,2

3

[-

，选A. 5.【2012高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010??

?

??≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为

(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D

【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。

6.【2012高考真题广东理5】已知变量x ，y 满足约束条件??

?

??≤-≥+≤112y x y x y ，则z=3x+y 的最大值

为

A.12

B.11

C.3

D.-1 【答案】B

【解析】画约束区域如图所示，令0=z 得x y 3-=，化目标函数为斜截式方程z x y +-=3得，当2,3==y x 时，11max =z ，故选B 。

7.【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是

A.

B.

C.

D.

【答案】Ｃ.

【解析】此类题目多选用筛选法，对于Ａ当4

1

=

x 时，两边相等，故Ａ错误；对于Ｂ具有基本不等式的形式，但是x sin 不一定大于零，故Ｂ错误；对于Ｃ，

0)1(012||21222≥±?≥+±?≥+x x x x x ，显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．故选

Ｃ．

8.【2012高考真题江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为

A ．50，0

B ．30，20

C ．20，30

D ．0，50 【答案】B

【命题立意】本题考查函数的简单应用，以及简单的线性规划问题。

【解析】设黄瓜的种植面积为x ,韭菜的种植面积为y ，则有题意知???

??≥≤+≤+0,549.02.150y x y x y x ，即

??

?

??≥≤+≤+0

,1803450

y x y x y x ，目标函数y x y x y x z 1099.02.163.0455.0+=--?+?=，作出可行域

如图,由图象可知当直线经过点E 时，直线

z x y 910

910+-

=的解决最大，此时z 取得最大值，由??

?=+=+1803450y x y x ，解得???==20

30y x ，选B.

9.【2012高考真题湖北理6】设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，

22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则

a b c

x y z

++=++

A ．

1

4

B ．13

C ．1

2

D ．

3

4

【答案】C

【解析】由于222222)())((2

cz by ax z y x c b a ++≥++++

等号成立当且仅当

,t z

c

y b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++=

==t z

y x c

b a z y x

c b a z c y b x a 所以，答案选C. 10.【2012高考真题福建理9】若函数y=2x

图像上存在点（x ，y ）满足约束条件??

???≥≥--≤-+m x y x y x 0320

3，

则实数m 的最大值为 A ．

12 B.1 C. 3

2

D.2 【答案】Ｂ．

【解析】如图

当直线m x =经过函数x

y 2=的图像与直线

03=-+y x 的交点时，

函数x

y 2=的图像仅有一个点在可行域内，有方程组???=-+=0

32y x y x

得1=x ，所以1≤m ，故选Ｂ．

11.【2012高考真题山东理13】若不等式42kx -≤的解集为{}

13x x ≤≤，则实数

k =__________. 【答案】2=k

【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ，所以321≤≤

x k ，所以12

=k

，故2=k 。 12.【2012高考真题安徽理11】若,x y 满足约束条件：0

2323x x y x y ≥??

+≥??+≤?

；则x y -的取值范围为

_____．

【答案】[3,0]-

【命题立意】本题考查线性规划知识，会求目标函数的范围。

【解析】约束条件对应ABC ?边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2

A B C ，则

[3,0]t x y =-∈-。

13.【2012高考真题全国卷理13】若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值

为_________.

【答案】1-

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图

，由y x z -=3得

z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截

距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .

14.【2012高考江苏13】（5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，

若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2

=0x ax b ++时有2

40a b =-=，即2

4

a b =

， ∴2

222

()42a a f x x ax b x ax x ??=++=++

=+ ???

。 ∴2

()2a f x x c ?

?=+< ??

?解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴()()2622

a

a c c c ----==，解得

9c =。

15.【2012高考江苏14】（5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则

b

a

的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，

。 【考点】可行域。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：

354a c a b c c a b

c c

b e c

??+≥???+≤????≥?。 设

==a b

x y c c

，，则题目转化为： 已知x y ，满足35

4

00x

x y x y y e x >y >+≥??+≤?

?≥?

??

，，求y x 的取值范围。 作出（x y ，）所在平面区域（如图）。求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则

00000

==y ex m m

e x x x ++

，要使它最小，须=0m 。 ∴

y

x

的最小值在()00P x y ，处，为e 。此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。 当（x y ，）对应点C 时， =45=205=7=7=534=2012y x y x y

y x y x y x

x --??????

?--??， ∴y

x

的最大值在C 处，为7。 ∴

y x 的取值范围为[] 7e ，

，即b

a

的取值范围是[] 7e ，。 16.【2012高考真题浙江理17】设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2

－ax －1)≥0，

则a ＝______________．

【答案】a =

【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A

)2

(1)1010a x x ax ≤??≤?

－－

－－， 无解； (B )2

(1)1010

a x x ax ≥??

≥?－－

－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)

我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2

－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (

1

1

a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2

－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：2

11011

a a a ??

--= ?--??，解之得：2a =±，舍去2a =-，得答案：2a =．

17.【2012高考真题新课标理14】 设,x y 满足约束条件：,0

13x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值

范围为 【答案】]3,3[-

【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z 2-=得

z x y 2121-=

，平移直线x y 21=，由图象可知当直线经过点)0,3(D 时，直线z x y 2

121-=的截距最小，此时z 最大为32=-=y x z ，当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，

由???=+-=-31y x y x ，解得?

??==21y x ，即)2,1(B ，此时3412-=-=-=y x z ，所以33≤≤-z ，

即z 的取值范围是]3,3[-.