均值不等式习题大全
11均值不等式 习题 难
均值不等式习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 若a>1，则a+1a−1的最小值是( )A. 2B. aC. 2√aa−1D. 32. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )A. √32B. √22C. 12D. −143. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每天的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件4. 下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A. x+12x B. x2−1+1x2−1C. 2x+2−xD. x(1−x)5. 设0<a<b，则下列不等式正确的是( )A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b6. 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是( )A. 3B. 4C. 92D. 1127. 已知a，b，c均为正数，且(a+c)(b+c)=2，则a+2b+3c的最小值为( )A. √2B. 2√2C. 4D. 88. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A. 5km处B. 4km处C. 3km处D. 2km处9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，两次称得结果分别为a，b．设物体的真实质量为G，则( )A. a+b2=G B. a+b2≤G C. a+b2>G D. √ab<G10. 已知a>−1，b>−2，(a+1)(b+2)=16，则a+b的最小值是( )A. 4B. 5C. 6D. 711. 在下列函数中，最小值是2的是( )A. y=x5+5x(x∈R,x≠0) B. y=lgx+1lgx(1<x<10)C. y =3x +(13)x(x ∈R )D. y =sinx +1sinx(0<x <π2)12. 建造一个容积为 8 m 3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 ( )A. 1000 元B. 2000 元C. 2720 元D. 4720 元13. 若函数 f (x )=ax 2x−1(x >1) 有最大值 −4，则 a 的值是 ( )A. 1B. −1C. 4D. −4 14. 若 a >0，b >0，且 a +b =4，则下列不等式恒成立的是 ( )A.1ab≤14B. 1a+1b≤1C. √ab ≥2D. a 2+b 2≥8二、填空题（共4小题；共20分） 15. 若实数 x 满足 x >−4，则函数 f (x )=x +9x+4 的最小值为 ．16. 下列条件：① ab >0，② ab <0，③ a >0，b >0，④ a <0，b <0，其中能使 ba +ab ≥2 成立的条件的个数是 ．17. 如图，建立平面直角坐标系 xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx −120(1+k 2)x 2(k >0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．那么炮的最大射程为 km ．18. 若正实数 a ，b 满足 (2a +b )2=1+6ab ，则ab2a+b+1的最大值为 ．三、解答题（共2小题；共26分）19. 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室．在温室内，左、右两边及后边与内墙各保留 1 m 宽的通道，前边与内墙保留 3 m 宽的空地（如图所示），其余的地方（图中中间的小矩形）用来种植蔬菜，设矩形温室的一条边长为 x m ，蔬菜的种植面积为 S m 2，当 x 为何值时，S 取得最大值?最大值是多少?20. 已知a,b,c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：（1）(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）√a+√b+√c≤√3．第一部分 1. D2. C 【解析】由余弦定理知 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−12(a 2+b 2)2ab=a 2+b 24ab≥2ab 4ab =12．3. B4. C【解析】对于 A ，要分 x >0 和 x <0 两种情况，再分别用基本不等式求最值．对于B ，要分x 2−1>0 和 x 2−1<0 两种情况，再用基本不等式求最值．对于D ，只有当 0<x <1 时，才能用基本不等式求最值．对于 C ，因为 2x >0，2−x >0，且 2x ⋅2−x =1，所以可以用基本不等式直接求得最值． 5. B6. B【解析】考察均值不等式，x +2y =8−x ⋅(2y )≥8−(x+2y 2)2，整理得 (x +2y )2+4(x +2y )−32≥0，即 (x +2y −4)(x +2y +8)≥0，又 x +2y >0，所以 x +2y ≥4，当且仅当 x =2y 时，取得等号． 7. C 【解析】a +2b +3c =a +c +2(b +c )≥2√2(a +c )(b +c )=4． 8. A【解析】设仓库到车站的距离为 x ，有已知得 y1=20x，y 2=0.8x ，则费用之和 y =y 1+y 2=0.8x +20x≥2√0.8x ⋅20x=8，当且仅当 0.8x =20x，即 x =5 时等号成立．9. C【解析】设天平左、右臂长分别是 l 1，l 2，则 l 1⋅G =l 2⋅a ，l 2⋅G =l 1⋅b ，两式相乘得 G 2=ab ，所以 G =√ab ．由于 l 1≠l 2，故 a ≠b ，所以 a+b 2>√ab =G10. B【解析】因为 a >−1，b >−2， 所以 a +1>0，b +2>0， 又 (a +1)⋅(b +2)≤(a+1+b+22)2，即 16≤(a+b+32)2，则 a +b ≥5，当且仅当 a +1=b +2，即 a =3，b =2 时等号成立． 11. C12. B 【解析】设水池底面一边长为 x m ，则另一边为 4x m ，总造价 y =4×180+(4x +16x)×80=320(x +4x )+720≥1280+720=2000，当且仅当 x =4x ，即 x =2 时取等号． 13. B14. D 【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项B 不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项D 成立． 第二部分 15. 2【解析】因为 x >−4，所以 x +4>0，所以 f (x )=x +9x+4=x +4+9x+4−4≥2√(x +4)(9x+4)−4=2， 当且仅当 x +4=9x+4 即 x =−1 时取等号，故答案为：2． 16. 3【解析】要使 b a +a b ≥2 成立，需 b a >0，即 a 与 b 同号，故①③④均能使 b a +ab ≥2 成立． 17. 10【解析】令 y =0，得 kx −120(1+k 2)x 2=0，由实际意义和题设条件知 x >0，k >0，故 x =20k 1+k 2=20k+1k≤202=10，当且仅当 k =1 时取等号，所以炮的最大射程为 10 km ． 18. 16【解析】由题意可得：ab =(2a+b )2−16，故 ab2a+b+1=16⋅(2a+b )2−12a+b+1=16(2a +b −1)，而 ab =(2a+b )2−16≤12(2a+b 2)2，即 (2a +b )2≤4，所以 2a +b 的最大值为 2， 所以 ab 2a+b+1的最大值为 16．第三部分 19. 由题意，宽为 800x，S =(x −4)(800x−2)，S =800−2x −3200x +8， S =808−2(x +1600x)，S ≤808−2×2√x ⋅1600x=648，当且仅当 x =40 时，等于成立 所以最大为 648 m 2，x =40． 20. （1） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， (1a −1)(1b −1)(1c −1)=(b+c )(a+c )(a+b )abc≥2√bc⋅2√ac⋅2√ababc=8．（2） 因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， 2(a +b +c )≥2√ab +2√bc +2√ac ，两边同加 a +b +c 得 3(a +b +c )≥a +b +c +2√ab +2√ac +2√bc =(√a +√b +√c)2又 a +b +c =1，所以 (√a +√b +√c)2≤3， 所以 √a +√b +√c ≤√3．。
均值不等式练习
均值不等式习题1.若x 2+y 2=4，则xy 的最大值是 ( ) A. B.1 C.2 D.42．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．123．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－54、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10 B. 63 C. 83 D. 185、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,2,a b ab ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. 2abC. 2abD. a b +6．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－47.已知当x=3时，代数式4x+(x>0，a>0)取得最小值，则a=________.8.(4分)已知x>0，y>0，且满足+=1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________.9.(4分)已知x>0，y>0，且xy=100，则x+y的最小值为________. 10已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．11.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是12.已知x>0，y>0且+=1，则x+y的最小值为________. 13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．14．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．15．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．16．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N＋)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？答案1【解析】选C.xy ≤=2，当且仅当x=y 时取“=”.2 C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]3 答案 C 解析 由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．4答案：D ：∵30,30x y >>,∴233233232318x y x y x y ++≥⋅=⨯=⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.5答案：D 解析：方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,2,,a b ab a b ab a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,6152,2,336ab ab a b ==+=,显然56最大,故选D.6 B [∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.] 7 4x+≥2=4(x>0，a>0)，当且仅当4x=，即x=时等号成立，所以=3，即a=36.8因为x>0，y>0且1=+≥2，所以xy ≤3.当且仅当==，即x=，y=2时取等号.：3 29【解析】x+y ≥2=20，当且仅当x=y=10时取“=”.答案：2010 12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．]11【解析】设矩形的一边为x m ，则另一边为×(20-2x)=(10-x)m ，所以y=x(10-x)≤=25，当且仅当x=10-x ，即x=5时，y max =25 m 2.答案：25 m 212【解析】因为x>0，y>0，所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x 时取等号)，所以当x=+1，y=2+时，x+y 的最小值为3+2.答案：3+213 1 760 [设水池的造价为y 元，长方体底面的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．] 14 [解] (1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 15[解] (1)法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.法二：因为x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8xy ，所以xy ≥8，xy ≥64.当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立，所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.。
经典均值不等式练习题
均值不等式之杨若古兰创作均值不等式别名基本不等式、均值定理、主要不等式.是求范围成绩最有益的工具之一，在方式上均值不等式比较简单，但是其变更多样、使用灵活.特别要留意它的使用条件（正、定、等）.1. (1)若R b a ∈,，则ab b a222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3. 均值不等式链：若b a 、都是负数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立.（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 技巧2：分离配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域.技巧4：全体代换 例 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若负数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 2859. 若0,0,2a b a b >>+=，则以下不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.以下命题中准确的是A 、1y xx =+的最小值是2B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2- 12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
经典均值不等式练习题
均值没有等式之阳早格格创做均值没有等式又名基原没有等式、均值定理、要害没有等式.是供范畴问题最有利的工具之一，正在形式上均值没有等式比较简朴，然而是其变更百般、使用机动.更加要注意它的使用条件（正、定、等）.1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时与“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时与“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时与“=”）3. 均值没有等式链：若b a 、皆是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号创造.（注：以上四个式子分别为：调战仄衡数、几许仄衡数、代数仄衡数、加权（仄圆）仄衡数）一、 基原本领本领1：凑项例 已知54x <，供函数14245y x x =-+-的最大值. 本领2：分散配凑例 供2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 本领3：利用函数单调性例 供函数2y =的值域.本领4：完全代换 例 已知0,0x y >>，且191x y+=，供x y +的最小值. 典型例题1. 若正真数X ，Y 谦脚2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等好数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若没有等式x 2+ax+4≥0对于十足x ∈（0，1］恒创造，则a 的与值范畴为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若曲线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）仄分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈，且谦脚134x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 谦脚x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 2859. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列没有等式对于十足谦脚条件的,a b 恒创造的是(写出所有精确命题的编号)．①1ab ≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中精确的是A 、1y xx=+的最小值是2B 、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
经典均值不等式练习题
均值不等式之五兆芳芳创作 均值不等式又名根本不等式、均值定理、重要不等式.是求规模问题最有利的东西之一，在形式上均值不等式比较复杂，但是其变更多样、使用灵活.尤其要注意它的使用条件（正、定、等）. 1. (1)若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2
（当且仅当ba时取“=”） (3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”） 3. 均值不等式链：若ba、都是正数，则
2211222babaabba
，当且仅当ba时等号成立.
（注：以上四个式子辨别为：调战争均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 根本技能 技能1：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx的最大值. 技能2：别离配凑 例 求2710(1)1xxyxx的值域. 技能3：利用函数单调性 例 求函数2254xyx的值域. 技能4：整体代换 例 已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值. 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值规模为( ) A.,0B.,4C.,5D.
4,4
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，
则a2+b1的最小值是( )
A.1 B.5 C.42D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.
不等式-均值不等式-练习题
即 2 a2c b2a c2b a b c bc ca ab .
4.解：由于
2010 i 1
1
x 2008 i
x 2009 i
2010
x i1 i
x 2009 i
1
x 2009 i
.
令 yi xi
1
x 2009 i
，则对任意的1 i 2010 ，有
4
3
我们有 ab bc ac 1 a b c2 1 1 a ，（1）
4
3
4 12 4
以及 ab bc ac 1 a b c 1 bc
4
4
a 1 a 1 bc 1 1 bc bc ，（2）
4
44
y2009 i
1 2009
2009
x2009 i
1
x2009 i
2009
1
2009xi2009
2009
2009
2010
1
x2009 i
2010
1 2009
20092010 2010
1
即有
yi
1 2009
2009 2010
2009
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均值不等式题型汇总 杨社锋
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题
1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1
125()()4
a b a b ++≥
2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++
3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
b c a a b c a b c
++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222
1x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥
7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221
11()a b c a b c
+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y
∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求
112x y +的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab
+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x
=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122
y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22
41x y xy ++=，求2x y +的最大值。
9. 求函数216y x x =
--的最大值。
变式：152y x x =--
10. 设0x >求函数21x x y x
++=的最小值。
11. 设设1x >-求函数211
x x y x ++=+的最小值。
12. （2010山东高考）若任意0x >，231
x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22
x x y x x x -+=>-+的最大值。
类型三、应用题
1.（2009湖北）围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。
（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。
（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。
并求出最小总费用。
2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，
平均购地费用=购地总费用建筑总面积） 附加题：
若正数,,a b c 满足1a b c ++=，那么2221
11()()()a b c a b c +++++的最小值为。