(完整版)均值不等式含答案

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(完整word版)均值不等式专题20道-带答案

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均值不等式专题3学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1.若则的最小值是__________.2.若,且则的最大值为______________.3.已知,且,则的最小值为______.4.已知正数满足,则的最小值是_______.5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是______.6.设正实数满足,则的最小值为________7.已知,且,则的最小值是________8.已知正实数x,y满足,则的最小值是______9.已知,函数的值域为,则的最小值为________.10.已知,,且,则的最小值为__________.11.若正数x,y满足,则的最小值是______.12.已知正实数x,y满足,则的最小值为______.13.若,,,则的最小值为______.14.若,则的最小值为________.15.已知a,b都是正数,满足,则的最小值为______.16.已知,且,则的最小值为______.17.已知点在圆上运动,则的最小值为___________.18.若函数的单调递增区间为,则的最小值为____.19.已知正实数,满足,则的最大值为______.20.已知,,则的最小值为____.参考答案1.【解析】【分析】根据对数相等得到,利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则,即由题意知,则,则当且仅当,即时取等号本题正确结果:【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系,从而构造出符合基本不等式的形式.2.【解析】【分析】先平方,再消元,最后利用基本不等式求最值.【详解】当时,,,所以最大值为1,当时,因为,当且仅当时取等号,所以,即最大值为,综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.3.4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果.【详解】∵,∴,∴,当且仅当,时取等号,故答案为:4.【点睛】本题考查的知识要点:代数式的恒等变换,均值不等式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.4.【解析】【分析】由题得,所以,再根据基本不等式即可求出答案.【详解】正数,满足,则,则,当且仅当时,即,时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值,考查了变形的能力,考查了计算能力,属于中档题.5.4【解析】【分析】由题意可得经过圆心,可得,再+利用基本不等式求得它的最小值.【详解】圆,即,表示以为圆心、半径等于2的圆.再根据弦长为4,可得经过圆心,故有,求得,则,当且仅当时,取等号,故则的最小值为4,故答案为:4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,基本不等式的应用,属于基础题.6.8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令,则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.7.【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号,所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.8.【解析】【分析】由已知分离,然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解.【详解】正实数x,y满足,则当且仅当且即,时取得最小值是故答案为:【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,解题的关键是进行分离后利用1的代换,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.9.【解析】【分析】由函数的值域为,可得,化为,利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为,,,,,当,即是等号成立,所以的最小值为,故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质,以及基本不等式的应用,属于中档题. 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.10.【解析】【分析】由已知将化为一次式,运用“1”的变换,再利用基本不等式可得.【详解】因为,所以,=(当且仅当,即,时取等号),所以的最小值为,故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换,化为积为常数的形式是关键,属于中档题.11.【解析】【分析】利用乘“1”法,借助基本不等式即可求出.【详解】正数x,y满足,则,,当且仅当时取等号,故的最小值是12,故答案为:12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题.12.2【解析】【分析】利用“1”的代换,求得最值,再对直接利用基本不等式求得最值,再结合题意求解即可【详解】正实数x,y满足,,,当且仅当,即,时,取等号,的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本不等式的应用,熟记不等式应用条件,多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到,是中档题13.9【解析】【分析】由条件可得,即有,由基本不等式可得所求最小值.【详解】若,,,即,则,当且仅当取得最小值9,故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式的运用,注意运用“1”的代换,考查化简运算能力,属于基础题.14.【解析】【分析】由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。

均值不等式含答案

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课时作业15均值不等式时间:45分钟满分:100分课堂训练5 31.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )A V【答案】当且仅当3x=5y时取等号.42・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( )xA.无最大值,有最小值7B.无最大值,有最小值一1C.有最大值7,有最小值一1D.有最大值一1,无最小值【答案】D4【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3✓V= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+34=—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号,有最大值一1,无最小值.1 43・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理.【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1= 吊4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=94当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立.mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)・••当x=\时,工+7x+l° 灯仆-1 — $函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —【解析】斤胃字E+芥沁+树+2胡畔4. 求函数y=以+7卄10~x+1(Q-1)的最小值. mx+n1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是(A. 3 B・ 3—3也C. 3-2\/3 D・一1【答案】C[解析】y=3 —3x—2=3 —(3x+g)W3— =3_2^/5.当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・2.下列结论正确的是()A.当x>0 且xH 1 时,lgx+占$2C.当诈2时,x+2的最小值为2D.当0<A W2时,x—丄无最大值X【答案】B【解析】A中,当x>0且兀工1时,lgx的正负不确定,・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2; C中,当诈2时,(x+£)min=|; D中当1 I 30aW2 时,),=兀一?在(0,2]上递增,(x--).…ax=2-3.如果d, b 满足0<a<b, a+b= 1,则g, u,2ub, a2+b2中值最大的是()A. 3C. 3-2^3A iB • aD. cr+b 1【答案】D【解析】 方法一:*.* 0<ci<b,・ *. 1 =a+b>2a i 又 a 2+b 2^2cib 9・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,ab<^,1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.I ? 45方法二:特值检验法:取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3,^cr+b 1 最大.4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是() 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c1 ___2 b~c a~c]a~b【答案】A【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,••・("_4士+爲C. lab 1<21 b —c= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口匚+丄宀丄5. 下列函数中,最小值为4的是(C. /(x) = 3x +4X3"v【答案】D ・ /(x) = lgx+log v 10«+5 工+4+1 —•血)=2X 严=2X = 2X(尸 +寸;+4)24,要取等号,必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不 可能的,排除.故选C.6. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它 称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量 分别为“,则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量 的结果的一半大了还是小了?()a+bA.—^―;大 C.\[ab ;大 【答案】D4A. f(x)=x+~ 工+5B ・・22X 严 【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不 b~c a~b22+2、/三•戸=4能取等号, B ・¥力 D.\[cib ;小【解析】 设物体真实重量为血,天平左.右两臂长分别为d 12,则ml [=al2® m 【2 = bh ②①X ②得加2川2 =如2 • • m =yfcib又・・•字鼻颁且“Hb,・・・等号不能取得,故g 字. 7・已知x>0,)>0, x+2y+2xy=8,则x+ly 的最小值是( )A. 3B. 49 C 2【答案】B•: — l<x<8,8—x 9 I Q・・・+)=卄2•百亍(卄1)+吊-222屮+1)•吊—2 = 94,当且仅当x+l=—y 时“="成立,此时x=2, y=l,故选B.1 F -HxH -18 .在区间[㊁,2]上,函数.心)=工+加+c (Z?、c G R )与g (x )=: --------------------------------------------------------------------------- ---- 在同一点取得相同的最小值,那么/(对在区间百,2]上的最大值是 ( )5D 4F+x+11【解析】 Tx+2y+2x)=88—x2x+2>0, C. 8【解析】•••g(x) = -—=X+£+1N3,当x=l时取等号,即当x=l时取最小值3, :.fix)的对称轴是x=l, ・•”=—2,将(1,3)代入即得c=4, 5)=工一加+4,易得在右,2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分,共20分)工+29.比较大小:-7=7= ________ 2(填“>”y,“N” 或“W”)・帖+1【答案】2Q+2 J ________ 1【解析】脅7T声1+肩百浓10.当X>1时,不等式^+土鼻“恒成立,则实数"的取值范X— 1围是_______ .【答案】(一8, 3]【解析】Tx>l, ・°・x+— >0,x— 1要使x+JryNd 恒成立,设f{x) =x+-^~r(x> 1),则dW/(X)min 对x>\恒成立.又./W=x+=7=x—1+7^7+1鼻2寸(%^)><^^+1=3,当且仅当x—1=亠即兀=2时取“=”・X— 1・・・aW3.三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设兀,yWR*,且x+y+xy=2,(1)求x+y的取值范围;(2)求厂的取值范围.Y-H V【解析】(1) 2 = x+y+xy W x+y+(2,当且仅当x=y时取“•二(x+yF+4(x+y) — 8 $0.・:[(x+y)+2]2212.*/x+y>0, .*.x+y+2・・」+〉—2也一2,当且仅当x=y=羽一1时取“ ="•故x+y的取值范围是[2萌一2, +8).(2)2=x+y+xy2y[xy+xy,当且仅当x=y=\[3— 1 时取“=”.•: (y[xy)2~\~2ylxy^2.1)?W3.又x、)>0, .\y[xy+1>0. .\y[xy+ 1羽—1.・・・()5W4—2萌,即厂的取值范围是(0,4—2羽].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?【解析】(1)设船捕捞刃年后的总盈利y万元.则,n(n— 1)y=50/?-98-[12Xn+ 2X4]= -2/r+40/?-98=-2(/1-10)2+102・:捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.v 4W(2)年平均利润为匚=—2 n+—-20r~49W_2〔2\” •万_20,= 1249当且仅当”=节,即n=7时上式取等号.所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定31域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.。

3-2-1《均值不等式》含答案

3-2-1《均值不等式》含答案

基 础 巩 固一、选择题1.若a 、b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A .a 2+b 2>2ab B .a +b ≥2ab C.1a +1b >2abD.b a +a b ≥2[答案] D[解析] ∵a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴A 错误. 对于B 、C ,当a <0,b <0时,明显错误. 对于D ,∵ab >0,∴b a +ab ≥2b a ·a b =2.2.设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a <b <ab <a +b2 B .a <ab <a +b2<b C .a <ab <b <a +b2 D.ab <a <a +b2<b[答案] B[解析] ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,A 、C 错误;ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,故选B. 3.设x 、y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值为( ) A .10B .6 3C .4 6D .18 3[答案] D[解析] x +y =5,3x +3y ≥23x ·3y =23x +y =235=18 3. 4.已知正项等差数列{a n }中,a 5+a 16=10则a 5a 16的最大值为( )A .100B .75C .50D .25[答案] D[解析] ∵a 5>0,a 16>0,a 5+a 16=10, ∴a 5·a 16≤(a 5+a 162)2=(102)2=25, 当且仅当a 5=a 16=5时,等号成立.5.(2012~2013学年度湖南师大附中高二期中测试)设a >0,b >0,若3是3a与3b的等比中项,则1a +1b 的最小值为( )A .8B .4C .1 D.14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b =3,∴a +b =1, ∴1a +1b =a +b a +a +b b =2+b a +a b ≥4. 当a =b =12时“=”成立.故选B.6.若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,则a +b,2ab ,2ab ,a 2+b 2中最大的一个是( )A .a 2+b 2B .2abC .2abD .a +b[答案] D[解析] 解法一:∵0<a <1,0<b <1,∴a 2+b 2>2ab ,a +b >2ab ,a >a 2,b >b 2, ∴a +b >a 2+b 2,故选D.解法二:取a =12,b =13,则a 2+b 2=1336,2ab =63,2ab =13,a +b =56,显然56最大.二、填空题7.设实数a 使a 2+a -2>0成立,t >0,比较12log a t 与log a t +12的大小,结果为________________.[答案] 12log a t ≤log a t +12[解析] ∵a 2+a -2>0,∴a <-2或a >1, 又a >0且a ≠1,∴a >1,∵t >0,∴t +12≥t ,∴log a t +12≥log a t =12log a t , ∴12log a t ≤log a t +128.函数y =x ·(3-2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________. [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1,∴3-2x >0,∴y =122x ·(3-2x )≤12[2x +(3-2x )2]2=98,当且仅当2x =3-2x 即x =34时,取“=”号. 三、解答题9.已知a 、b 是正数,试比较21a +1b 与ab 的大小.[解析] ∵a >0,b >0,∴1a +1b ≥21ab >0. ∴21a +1b ≤221ab=ab . 即21a +1b≤ab . 能 力 提 升一、选择题1.已知x >0,y >0,lg2x+lg8y=lg2,则 1x +13y 的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .2 3[答案] C[解析] 由lg2x +lg8y =lg2,得lg2x +3y =lg2, ∴x +3y =1,1x +13y =(1x +13y )(x +3y )=2+x 3y +3yx ≥4, 当且仅当x 3y =3y x ,即x =12,y =16时,等号成立.2.(2012~2013学年度山西忻州一中高二期中测试)a =(x -1,2),b =(4,y )(x 、y 为正数),若a ⊥b ,则xy 的最大值是( )A.12 B .-12 C .1 D .-1[答案] A[解析] 由已知得4(x -1)+2y =0,即2x +y =2. ∴xy =x (2-2x )=2x (2-2x )2≤12×(2x +2-2x 2)2=12.3.设函数f (x )=2x +1x -1(x <0),则f (x )( ) A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数[答案] A[解析] ∵x <0,∴f (x )=2x +1x -1 ≤-2(-2x )(-1x )-1=-22-1,等号在-2x =1-x ,即x =-22时成立.∴f (x )有最大值.4.已知x >0,y >0,x 、a 、b 、y 成等差数列,x 、c 、d 、y 成等比数列,则(a +b )2cd 的最小值是( )A .0B .1C .2D .4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a +b )2cd =(x +y )2xy =x y +yx +2≥2y x ·xy +2=4.当且仅当x =y 时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg(a +b 2),则P 、Q 、R 的大小关系是________.[答案] P <Q <R[解析] 因为a >b >1,所以lg a >lg b >0, 所以12(lg a +lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P ,又因为a +b 2>ab ,所以lg a +b 2>lg ab =12(lg a +lg b ),所以R >Q .故P <Q <R .6.函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1n 的最小值为________.[答案] 4[解析] 函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1). ∴m +n -1=0,即m +n =1.又mn >0,∴1m +1n =(1m +1n )·(m +n )=2+(n m +mn )≥2+2=4,当且仅当m =n =12时,等号成立.三、解答题7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论.[解析] 不对.设左右臂长分别为l 1,l 2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ,真实重量为G ,则由杠杆平衡原理有:l 1·G =l 2·a ,① l 2·G =l 1·b ,②①×②得G 2=ab ,∴G =ab ,由于l 1≠l 2,故a ≠b , 由均值不等式a +b2>ab 知说法不对, 真实重量是两次称量结果的几何平均数.8.求函数y =1-2x -3x 的值域. [解析] y =1-2x -3x =1-(2x +3x ). ①当x >0时,2x +3x ≥22x ·3x =2 6.当且仅当2x =3x ,即x =62时取等号. ∴y =1-(2x +3x )≤1-2 6.②当x <0时,y =1+(-2x )+(-3x ). ∵-2x +(-3x )≥2(-2x )·(-3x )=2 6.当且仅当-2x =-3x 时,即x =-62时取等号. ∴此时y =1-2x -3x ≥1+2 6综上知y ∈(-∞,1-26]∪[1+26,+∞).∴函数y =1-2x -3x 的值域为(-∞,1-26)∪[1+26,+∞).。

1.均值不等式(含答案)

1.均值不等式(含答案)

②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n

n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b


ab ≥
2;
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ;
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ;
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ; ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ;
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ; (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一.均值不等式1.若a,b?R,则a2?b2?2ab 若a,b?R,则ab2. 若a,b?R*,则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”)ab 若a,b?R,则a?b?22aba?b?若a,b?R,则ab??) ?? ?2a?b2注:当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的值域y=3x解:y=3x+11y=x+xx13x =∴值域为[,+∞)2x1x· =2; x1x· =-2x1≥22x1当x>0时,y=x+≥x11当x<0时, y=x+= -≤-2xx∴值域为解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?54,求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

1解:因4x?5?0,所以首先要“调整”符号,又?x?54,?5?4x?0,?y?4x?2?14x?5不是常数,所以对4x?2要进行拆、凑项,???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x,即x?1时,上式等号成立,故当x?1时,ymax?1。

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

技巧二:凑系数例1. 当时,求y?x的最大值。

解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。

注意到2x??8为定值,故只需将y?x凑上一个系数即可。

当,即x=2时取等号当x=2时,y?x的最大值为8。

32评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。

变式:设0?x?,求函数y?4x的最大值。

322x?3?2x?9解:∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

t
t
t
答案:[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值. x2 1
解析:令 x2 1 t,t 1,则 x2 t2 1 ,带入原式化简得 y t 2 2 2 , t
当 t 2 即 t 2 时等号成立. t
答案: 2 2
例 3 已知 x 1,求 f (x) x2 x 1 的最小值. 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案:
1
2
38
对勾函数:
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数. x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况.
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四:分离换元法求最值(二次比一次或一次比二次时用)
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域. x 1 2
解析:令 x 1 t,t 3 ,则 x t 1,带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ,
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ,当 t 4 即 t 2 时等号成立.
解析:构造对勾函数 y 3x 12 ,由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减, x

y
3x
12 x
y(3)
13

答案: (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ,求函数 y x 4 的最小值. x4
已知 x 3,求函数 y 2x 3 的值域. 2x

均值不等式

均值不等式

均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件(一) 原型: ;2:22ab b a R b a ≥+∈,都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有:、、对于任意的正数(二) 均值不等式:任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式:若,a b R +∈,则2a b+a b =时成立)三个数的均值不等式:若,,a b c R +∈,则a b c ++≥a b c ==时成立) (等号仅当a b c ===d 时成立) (三)均值不等式常见的变形时取得最小值)为常数,则若时取得最小值)(注意当且仅当的最小值为,则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若(注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式:① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭;③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+(可以推广到n 的情形)【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 (1)的几何意义ab b a 222≥+:如右图,不妨设0>>a b ,两个正方体的体积 之和为22b a +,两个矩形的面积之和为:ab 2 显然,这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有:、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2: 【其一】分析:设ab x =,其意义是什么?联想到圆幂定理:ab x =2如右图:设a AB =,b AC =,则a b BC -=,以BC 为直径作圆,切线AD 与圆相切于D 点,则有:AD=ab ,AO=2ba +(为什么?). 显然,AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义)(ab b a ≥+22: 如右图,设a AC =,b AB =,中点为BC D ,则,2b a AD +=,正方形ADEF 的面积=22)(b a + 矩形ACHG 的面积= ab ,这两面积的差= MHNE S 矩形,(为什么?)即22)(b a +=ab +S 矩形(注意:CD EN S S 矩形=(3)如右图:设a AC =,则,2ba AD +=, 则222b a +而b a )(22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22)(b a ++MNG S ∆(为什么?)ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+)()成立的是(则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证:、、)已知:(,证明:、、)已知:、( 【方法三种:均值不等式、构造函数的方法、配方法】(一)应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明:log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈)(、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+),求证:(、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、)(;()(求证:,若、设 9111 (3)≥++c b a ; ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证:、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a )(,求证:、设【第(1)题方法:具有代表性,五种方法。

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、填空题1.若则的最小值是__________.2.若,且则的最大值为______________.3.已知,且,则的最小值为______.4.已知正数满足,则的最小值是_______.5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是______.6.设正实数满足,则的最小值为________7.已知,且,则的最小值是________8.已知正实数x,y满足,则的最小值是______9.已知,函数的值域为,则的最小值为________.10.已知,,且,则的最小值为__________.11.若正数x,y满足,则的最小值是______.12.已知正实数x,y满足,则的最小值为______.13.若,,,则的最小值为______.14.若,则的最小值为________.15.已知a,b都是正数,满足,则的最小值为______.16.已知,且,则的最小值为______.17.已知点在圆上运动,则的最小值为___________.18.若函数的单调递增区间为,则的最小值为____.19.已知正实数,满足,则的最大值为______.20.已知,,则的最小值为____.参考答案1.【解析】【分析】根据对数相等得到,利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则,即由题意知,则,则当且仅当,即时取等号本题正确结果:【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系,从而构造出符合基本不等式的形式.2.【解析】【分析】先平方,再消元,最后利用基本不等式求最值.【详解】当时,,,所以最大值为1,当时,因为,当且仅当时取等号,所以,即最大值为,综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.3.4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果.【详解】∵,∴,∴,当且仅当,时取等号,故答案为:4.【点睛】本题考查的知识要点:代数式的恒等变换,均值不等式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.4.【解析】【分析】由题得,所以,再根据基本不等式即可求出答案.【详解】正数,满足,则,则,当且仅当时,即,时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值,考查了变形的能力,考查了计算能力,属于中档题.5.4【解析】【分析】由题意可得经过圆心,可得,再+利用基本不等式求得它的最小值.【详解】圆,即,表示以为圆心、半径等于2的圆.再根据弦长为4,可得经过圆心,故有,求得,则,当且仅当时,取等号,故则的最小值为4,故答案为:4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,基本不等式的应用,属于基础题.6.8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令,则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.7.【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号,所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.8.【解析】【分析】由已知分离,然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解.【详解】正实数x,y满足,则当且仅当且即,时取得最小值是故答案为:【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,解题的关键是进行分离后利用1的代换,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.9.【解析】【分析】由函数的值域为,可得,化为,利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为,,,,,当,即是等号成立,所以的最小值为,故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质,以及基本不等式的应用,属于中档题. 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.10.【解析】【分析】由已知将化为一次式,运用“1”的变换,再利用基本不等式可得.【详解】因为,所以,=(当且仅当,即,时取等号),所以的最小值为,故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换,化为积为常数的形式是关键,属于中档题.11.【解析】【分析】利用乘“1”法,借助基本不等式即可求出.【详解】正数x,y满足,则,,当且仅当时取等号,故的最小值是12,故答案为:12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题.12.2【解析】【分析】利用“1”的代换,求得最值,再对直接利用基本不等式求得最值,再结合题意求解即可【详解】正实数x,y满足,,,当且仅当,即,时,取等号,的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本不等式的应用,熟记不等式应用条件,多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到,是中档题13.9【解析】【分析】由条件可得,即有,由基本不等式可得所求最小值.【详解】若,,,即,则,当且仅当取得最小值9,故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式的运用,注意运用“1”的代换,考查化简运算能力,属于基础题.14.【解析】【分析】由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。

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课时作业15 均值不等式时间:45分钟 满分:100分课堂训练1.已知+=1(x >0,y >0),则xy 的最小值是( )5x 3y A .15 B .6C .60 D .1【答案】 C【解析】 ∵+=1≥2,5x 3y 15xy ∴xy ≥60,当且仅当3x =5y 时取等号.2.函数f (x )=x ++3在(-∞,-2]上( )4x A .无最大值,有最小值7B .无最大值,有最小值-1C .有最大值7,有最小值-1D .有最大值-1,无最小值【答案】 D【解析】 ∵x ≤-2,∴f (x )=x ++34x =-+3≤-2+3[(-x )+(-4x )](-x )(-4x )=-1,当且仅当-x =-,即x =-2时,取等号,4x∴f (x )有最大值-1,无最小值.3.已知两个正实数x ,y 满足x +y =4,则使不等式+≥m 恒1x 4y 成立的实数m 的取值范围是____________.【答案】 (-∞,94]【解析】 +==++≥+2=.1x 4y (x +y 4)(1x +4y )54y 4x x y 5414944.求函数y =(x >-1)的最小值.x 2+7x +10x +1【分析】 对于本题中的函数,可把x +1看成一个整体,然后将函数用x +1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.【解析】 因为x >-1,所以x +1>0.所以y ==x 2+7x +10x +1(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)++5≥2+5=94x +1(x +1)·4x +1当且仅当x +1=,即x =1时,等号成立.4x +1∴当x =1时,函数y =(x >-1),取得最小值为9.x 2+7x +10x +1【规律方法】 形如f (x )=(m ≠0,a ≠0)或者g (x )=ax 2+bx +c mx +n(m ≠0,a ≠0)的函数,可以把mx +n 看成一个整体,设mx +nax 2+bx +cmx +n =t ,那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数.课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)1.设x >0,则y =3-3x -的最大值是( )1x A .3 B .3-32C .3-2 D .-13【答案】 C【解析】 y =3-3x -=3-(3x +)≤3-21x 1x 3x ·1x=3-2.3当且仅当3x =,即x =时取“=”.1x 332.下列结论正确的是( )A .当x >0且x ≠1时,lg x +≥21lg x B .当x >0时,+≥2x 1x C .当x ≥2时,x +的最小值为21x D .当0<x ≤2时,x -无最大值1x 【答案】 B【解析】 A 中,当x >0且x ≠1时,lg x 的正负不确定,∴lg x +≥2或lg x +≤-2;C 中,当x ≥2时,(x +)min =;D 中当1lg x 1lg x 1x 520<x ≤2时,y =x -在(0,2]上递增,(x -)max =.1x 1x 323.如果a ,b 满足0<a <b ,a +b =1,则,a,2ab ,a 2+b 2中值12最大的是( )A. B .a 12C .2ab D .a 2+b 2【答案】 D【解析】 方法一:∵0<a <b ,∴1=a +b >2a ,∴a <,12又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ,∵1=a +b >2,∴ab <,ab 14∴1-2ab >1-=,即a 2+b 2>.121212方法二:特值检验法:取a =,b =,则13232ab =,a 2+b 2=,∵>>>,∴a 2+b 2最大.4959591249134.已知a >b >c >0,则下列不等式成立的是( )A.+>1a -b 1b -c 2a -cB.+<1a -b 1b -c 2a -cC.+≥1a -b 1b -c 2a -cD.+≤1a -b 1b -c 2a -c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0,∴a -b >0,b -c >0,a -c >0,∴(a -c )(1a -b +1b -c)=[(a -b )+(b -c )]·(1a -b +1b -c)=2++b -ca -b a -bb -c ≥2+2=4.b -c a -b ·a -bb -c ∴+≥>.1a -b 1b -c 4a -c 2a -c 5.下列函数中,最小值为4的是( )A .f (x )=x +B .f (x )=2×4x x 2+5x 2+4C .f (x )=3x +4×3-x D .f (x )=lg x +log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中,不能保证两数为正,排除;B 选项不能取等号,f (x )=2×=2×=2×(+)≥4,x 2+5x 2+4x 2+4+1x 2+4x 2+41x 2+4要取等号,必须=,即x 2+4=1,这是不可能的,排x 2+41x 2+4除.故选C.6.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ,b (a ≠b ),则物体的实际重量为多少?实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了?( )A.;大B.;小a +b 2a +b 2C.;大 D.;小ab ab 【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ,天平左、右两臂长分别为l 1,l 2,则ml 1=al 2①ml 2=bl 1②①×②得m 2l 1l 2=abl 1l 2∴m =ab又∵≥且a ≠b ,∴等号不能取得,故m <.a +b2ab a +b27.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( )A .3 B .4C.D.92112【答案】 B【解析】 ∵x +2y +2xy =8,∴y =>0,8-x2x +2∴-1<x <8,∴x +2y =x +2·=(x +1)+-2≥2-2=4,8-x 2x +29x +1(x +1)·9x +1当且仅当x +1=时“=”成立,此时x =2,y =1,故选B.9x +18.在区间[,2]上,函数f (x )=x 2+bx +c (b 、c ∈R )与g (x )=12在同一点取得相同的最小值,那么f (x )在区间[,2]上的最x 2+x +1x12大值是( )A. B .4134C .8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )==x ++1≥3,当x =1时取等号,x 2+x +1x1x 即当x =1时取最小值3,∴f (x )的对称轴是x =1,∴b =-2,将(1,3)代入即得c =4,∴f (x )=x 2-2x +4,易得在[,2]上的最大值是4.12二、填空题(每小题10分,共20分)9.比较大小:________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).x 2+2x 2+1【答案】 ≥【解析】=+≥2.x 2+2x 2+1x 2+11x 2+110.当x >1时,不等式x +≥a 恒成立,则实数a 的取值范1x -1围是________.【答案】 (-∞,3]【解析】 ∵x >1,∴x +>0,1x -1要使x +≥a 恒成立,设f (x )=x +(x >1),则a ≤f (x )min 对1x -11x -1x >1恒成立.又f (x )=x +=x -1++1≥2+1=3,1x -11x -1(x -1)×1x -1当且仅当x -1=即x =2时取“=”.1x -1∴a ≤3.三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.设x ,y ∈R +,且x +y +xy =2,(1)求x +y 的取值范围;(2)求xy 的取值范围.【解析】 (1)2=x +y +xy ≤x +y +()2,x +y2当且仅当x =y 时取“=”.∴(x +y )2+4(x +y )-8≥0.∴[(x +y )+2]2≥12.∵x +y >0,∴x +y +2≥.12∴x +y ≥2-2,当且仅当x =y =-1时取“=”.33故x +y 的取值范围是[2-2,+∞).3(2)2=x +y +xy ≥2+xy ,当且仅当x =y =-1时取“=”.xy 3∴()2+2≤2.∴(+1)2≤3.xy xy xy 又x 、y >0,∴+1>0.∴+1≤.xy xy 3∴0<≤-1.xy 3∴0<xy ≤4-2,即xy 的取值范围是(0,4-2].3312.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元.则y =50n -98-[12×n +×4]n (n -1)2=-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元.(2)年平均利润为=-2yn (n +49n -20)≤-2=12(2n ·49n -20)当且仅当n =,即n =7时上式取等号.49n 所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元.【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量 ,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.。

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