均值不等式常见题型整理

均值不等式
一、 基本知识梳理
1.算术平均值：如果ａ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值.
2．几何平均值:如果a ﹑b ∈Ｒ+，那么 叫做这两个正数的几何平均值
３.重要不等式：如果a ﹑b ∈Ｒ,那么a ２+b 2
≥ （当且仅当a=ｂ时，取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +，那么
2
a b
+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形：
()()()
()()()
22
2
2
1;2
2;
230;425a b ab a b b a ab a b
a b +≤
+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
+≥>+⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
≤；
５．利用均值不等式求最值,“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则
可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。

注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负；（２）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“＝”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。

二、 常见题型:
１、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A
x mg y ++
=)
()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例:求函数)01(11
2>->+++=
a x x x ax y 且的最小值。

解:1
)1(11112++-+=++-+=+++=x a
a ax x x ax ax x x ax y
1212211
)1(=-+≥-+++
+=a a a x a
x a 当1
)1(+=
+x a
x a 即ｘ=0时等号成立,1min =∴y ２、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。

例:已知19
1,0,0=+>>b
a b a 且
，求b a +的最小值。

解法一：169210991=+≥+++=+b
a
a b b a
思路二:由19
1=+b
a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--
b a b a 然后将b a +变形。

解法二:16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。

此类题型可扩展为：
设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求3
21111a a a S ++=
的最小值。

)111)((13
21321a a a a a a m S ++++=
)]()()(3[1
3
22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=
m
m 9
)2223(1=+++≥
，等号成立的条件是321a a a ==。

3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来
求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围,根据取值范围来进行逆向转换。

例：求函数]3,2
1
[,37∈-=
x x x y 的最小值。

思路：由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间]3,2
1
[∈x 入手，可得一个不等式0)3)(21(≤--x x (当且仅当2
1
<
x 或3=x 时取等号),展开此式讨论即可。

解：,0)3)(2
1(≤--x x 即,372,03722
2
-≤∴≤+-x x x x
,3
72,0x
x x -≤
∴> 得2m in =y ４、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 22
2
≥+同
时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。

例:已知a,ｂ，
c 均为，求证：c b a a c c b b a ++≥++2
22。

证明:c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222, c b a a c c b b a a
c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(2
22 总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。

在应用均值不等式时,不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。

【巩固练习】
１、若,0,0>>b a 求函数b
ax x
y +=2
最值。

答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1
32
<++=
x x x x
y 的值域。

答案:[-3,０］ 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求
y
x 1
1+的最小值。

答案：223+ 4、已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=
y x S 的最小值。

答案：2
9 ５、若)0](,1
[>∈a b a x ,求x
b
x ab y -+=
)1(的最小值。

答案：a
6、设c b a ,,为整数，求证:2
222c
b a b a
c a c b c b a ++≥+++++。

三、利用不等式解题的典型例题解析：
题型一:利用均值不等式求最值（值域）
例1、（1)已知0>x ，求x x x f 312
)(+=
的最小值 (2）已知3<x ，求x x x f +-=
34
)(的最大值 变式１： 1、若R x ∈,求x x x f +-=
3
4
)(的值域 ２、函数()022>-=x x x y 的最大值为
变式2:1、已知0,0>>y x 且
19
1=+y
x ,求y x +的最小值 2、R x ∈，求1
sin 5
1sin )(2
2
++
+=x x x f 的最小值 ３、当b a x ,,10<<为正常数时,求x
b x a y -+=12
2的最小值 变式3：1、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点，若点Ａ在直线
01=++ny mx 上,其中0>mn ,则
n
m 2
1+的最小值为 2、求2
)3(22
2++=
x x y 的最小值为
3、已知x
x x f x sin 12009
sin 1)(,2
0-+
=
<
<π
的最小值为 变式４：1、已知y x ,都是正实数，且053=+-+xy y x
（1)求xy 的最小值 (2)求y x +的最小值
题型二:利用均值不等式证明不等式 例2、已知R c b a ∈,,,求证:
（1）ca bc ab c b a ++≥++2
22 (2）()c b a a c c b b a ++≥
+++++2222222
（3)()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++2
2
2
2
2
2
4
4
4
变式５:１、已知,,,+
∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证:
c b a c
ab b ac a bc ++>++ 2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ,求证:3
12
22≥++c b a
3、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证:91111≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。