高考均值不等式经典例题

均值不等式高考冲刺练习

均值不等式练习1、设正数,a b 满足22144a b ab++=，则=a ，=b . 2、若,,a b c 是正实数，且满足a b c +≥，则b a a b c++的最小值为 . 3、若实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为 . 4、已知实数110,0,1,211a b a b a b >>+=+++则的最小值为 . 5、已知180,0,2,2x y x y x y x y>>-=-+则的最小值为 . 6、已知0,0,35,4x y x y xy x y >>+=+当3取得最小值时，2x y +的值为 .7、设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为 . 8、若实数,a b 满足22231a ab b +-=，则22a b +的最小值为 .9、设a b c >>，且11m a b b c a c+≥---恒成立，求m 的取值范围. 10、记((0,0)F x y a x x y =+-+>>.若对任意的0,0x y >>,恒有0F ≥请求出a 的取值范围.11、已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值为 .12、已知0,0,25,x y x y >>+=则的最小值为 . 13、已知,,x y z 均为正数，则2223xy yz x y z +++的最大值为 . 14、已知不等式12111112log (1)1232123a n n n n +++⋅⋅⋅+>-++++对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围.15、已知函数2()(3)21f x x a x a b =-++++.（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为{}23x x x <>或，求,a b 的值.（2）若关于x 的不等式()1f x b <-的解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围.16、已知函数22()f x x x =+.（1）求(1),(2)f f 的值；（2）设1a b >>，试比较(),()f a f b 的大小，并说明理由；（3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切实数x 恒成立，求实数m 的最大值.均值不等式练习1、设正数,a b 满足22144a b ab ++=，则=a ，=b .2、若,,a b c 是正实数，且满足a b c +≥，则b a a b c ++的最小值为 .3、若实数,a b 满足0ab >，则2a a a b a b -++的最大值为 .4、已知实数110,0,1,211a b a b a b >>+=+++则的最小值为 .5、已知180,0,2,2x y x y x y x y >>-=-+则的最小值为 .6、已知0,0,35,4x y x y xy x y >>+=+当3取得最小值时，2x y +的值为 .7、设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为 .8、若实数,a b 满足22231a ab b +-=，则22a b +的最小值为 .9、设a b c >>，且11m a b b c a c+≥---恒成立，求m 的取值范围.10、记((0,0)F x y a x x y =+-+>>.若对任意的0,0x y >>,恒有0F ≥请求出a 的取值范围.11、已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值为 .12、已知0,0,25,x y x y >>+=则的最小值为 .13、已知,,x y z 均为正数，则2223xy yz x y z +++的最大值为 .14、已知不等式12111112log (1)1232123a n n n n +++⋅⋅⋅+>-++++对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围.15、已知函数2()(3)21f x x a x a b =-++++.（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集为{}23x x x <>或，求,a b 的值.（2）若关于x 的不等式()1f x b <-的解集中恰好有1个整数，求实数a 的取值范围.16、已知函数22()f x x x =+.（1）求(1),(2)f f 的值；（2）设1a b >>，试比较(),()f a f b 的大小，并说明理由；（3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切实数x 恒成立，求实数m 的最大值.。

（完整版）均值不等式专题20道-带答案

（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。

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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

均值不等式【高考题】

利用一、求最值之杨若古兰创作直接求例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。

322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。

完整版)均值不等式测试题(含详解)

完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。

3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。

4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。

5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。

6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。

7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。

填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。

9．最小值为2，当x=2时取得。

10．最小值为2，当x=1时取得。

11．最大值为4，当x=2时取得。

解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。

经典均值不等式练习题

均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧2：分离配凑例求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧3：利用函数单调性例求函数2y =的值域。

技巧4：整体代换例已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。

均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。