高考中的八大斜率定值（定点）模型与应用
与斜率相关的定值定点
与斜率相关的定值定点
在数学中，与斜率相关的定值定点问题有很多，以下是其中一些常见的模型和结论：- 椭圆（双曲线）的第三定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于常数，双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值等于常数，这个常数就是焦距。
- 中点弦与点差法：通过设点作差，构造出中点弦的斜率与直线斜率之间的关系式，进而解决定点定值问题。
- 四点共圆充要条件：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆，反之亦然。
- 极点极线斜率成等差：在圆锥曲线中，通过设定一个点为极点，则过该点与极点距离最大的直线叫做极线。
极点与极线的斜率成等差数列。
- 斜率倒数恒等式：圆锥曲线上的点到焦点和准线的距离之比为离心率的倒数，可据此建立斜率倒数的恒等式，进而解决定点定值问题。
- 蝴蝶定理与斜率之比：在圆锥曲线中，通过设定蝴蝶定理的相关条件，可得到蝴蝶定理与斜率之比的关系式，进而解决定点定值问题。
这些定值定点问题在数学中具有重要的地位和应用，它们可以帮助我们深入理解圆锥曲线的性质，并提高解决问题的能力。
高考数学斜率定值问题解答题专项讲解(含答案)
高考数学斜率定值问题解答题专项讲解（含答案）一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为√22．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．【答案】(1)x 22+y2=1;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）解：由题意，得c=1，e=ca =√22，故a=√2，从而b2=a2−c2=1，所以椭圆的方程为x 22+y2=1．①5分（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，②直线CD的方程为y=−k(x−1)，③7分由①②得，点A，B的横坐标为±√22k2+1，由①③得，点C，D的横坐标为2k 2±√2(k2+1)2k2+1，9分记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1−x3))，D(x4，k(1−x4))，则直线AC，BD的斜率之和为kx1−k(1−x3)x1−x3+kx2−k(1−x4)x2−x4=k⋅(x1+x3−1)(x2−x4)+(x1−x3)(x2+x4−1)(x1−x3)(x2−x4)=k⋅2(x1x2−x3x4)−(x1+x2)+(x3+x4)(x1−x3)(x2−x4)13分=k⋅2(−22k2+1−2(k2−1)2k2+1)−0+4k22k2+1(x1−x3)(x2−x4)=0．16分考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由已知条件可得的值，进而得的关系，再利用与椭圆相交于，两点，，可得；（2）斜率存在时设出直线，的斜率分别为，，，利用，表示的斜率，利用直线相交分别求的坐标，再利用斜率公式求，运算化简含式子，得出结果，最后再考虑斜率不存在情况亦成立．试题解析：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故=2，=2；（2）由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N ，从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、分类讨论；4、直线的斜率．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()21A ，． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若P Q ，是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】(Ⅰ) 22182x y +=；（Ⅱ）1.2 【分析】（I ）由离心率可得,a c 关系，再将点A 坐标代入，可得,a b 间关系，又222a b c =+，解方程可得22,a b 的值；（II ）由PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，可判断直线,PA AQ 的斜率互为相反数，由两直线都过A 点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去x 或y 的值，可得一元二次方程，又A 点满足条件，可求得,P Q 点的坐标，用k 表示．再由斜率公式可得直线PQ 的斜率为定值． 【详解】(Ⅰ) 因为椭圆C , 且过点()2,1A ,所以22411a b +=, 2c a =. 因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =,所以椭圆C 的方程为22182x y +=.(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k −. 所以直线PA 的方程为()12y k x −=−, 直线AQ 的方程为()12y k x −=−−.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,{1,82y k x x y −=−+=消去y , 得()()222214168161640k x k k x k k +−−+−−=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根,则2216164214P k k x k −−=+, 所以2288214P k k x k −−=+. 同理2288214Q k k x k +−=+.所以21614P Qk x x k −=−+. 又()28414P Q P Q ky y k x x k −=+−=−+. 所以直线PQ 的斜率为12−==−P Q PQ P Qy y k x x . 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x −=−, 直线QA 的斜率2212QA y k x −=−. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =−, 即121211022y y x x −−+=−−, ① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③由②得()()22114410x y −+−=, 得()111112241y x x y −+=−−+, ④同理由③得()222212241y x x y −+=−−+, ⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ 由①得()()12211212240x y x y x x y y +−+−++=, ⑦ ⑥-⑦得()12122x x y y +=−+.②-③得22221212082x x y y −−+=,得()12121212142y y x x x x y y −+=−=−+. 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x −==−为定值.法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PA y k x −=−, 直线QA 的斜率2212QAy k x −=−. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =−, 即12121122y y x x −−=−−−, 化简得()()12211212240x y x y x x y y +−+−++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440kx x b k x x b +−−+−+=. (*)由22,{1,82y kx b x y =++=消去y 得()222418480k x kbx b +++−=, (**) 则2121222848,4141kb b x x x x k k −+=−=++,代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k −−−−−+=++, 整理得()()21210k b k −+−=, 所以12k =或12b k =−. 若12b k =−, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. 若12k =时, 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. 4．已知直线l 经过椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左焦点和下顶点，坐标原点O 到直线l 的距离为12a .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 经过点()2,1P ，点A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且APB ∠的角平分线总是垂直于y 轴，试问：直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2；（2）是定值，定值为1. 【分析】（1）先求出直线l 的方程，再由点到直线的距离公式得出原点O 到直线l 的距离，从而可得出答案. (2)由条件结合（1）先求出椭圆方程，根据条件可得AP BP k k =−，设直线AP 的方程为1(2)y k x −=−，与椭圆方程联立，求解出点A 的横坐标，同理求出点B 的横坐标，从而可得直线AB 的斜率，得出答案. 【详解】解：（1）过点(,0)c −，(0,)b −的直线l 的方程为0bx cy bc ++= 则坐标原点O 到直线l 的距离为12bc d a a ===可得242224224()4410c a bc a a c c e e e a =⇒=−⇒−+=⇒==.（2）由（1）易知a =，则椭圆C ：222212x y b b+=经过点(2,1)P ，解得23b =，则椭圆C ：22163x y +=. 因为APB ∠的角平分线总垂直于y 轴，所以AP 与BP 所在直线关于直线1y =对称. 则AP BP k k =−，设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为k −所以设直线AP 的方程为1(2)y k x −=−，直线BP 的方程为1(2)y k x −=−− 设点11(,)A x y ，22(,)B x y .由221(2)163y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(12)4(2)8840k x k k x k k ++−+−−=.因为点(2,1)P 在椭圆C 上，则有212884212k k x k −−⋅=+，即21244212k k x k−−=+. 同理可得22244212k k x k+−=+. 所以122812k x x k −−=+，又121228()412ky y k x x k k −−=+−=+. 所以直线AB 的斜率为12121y y x x −=−. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和椭圆中的定值问题，解答本题的关键是由条件得出AP BP k k =−，设直线AP BP ，的方程，与椭圆方程联立，求解出点,A B 的横坐标，属于中档题.5．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13−．【分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON →→→=+得0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =−，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12−． 【详解】解：（1）由题意可知：222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=； （2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=， ∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =−，即13OM ON k k ⋅=−， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13−． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程;（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=，（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=，定值为34− 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出,,a b c 即可（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线l 与椭圆有且仅有一个公共点，推出2243m k =+，然后通过直线与圆的方程联立，设()111,P x y ，()222,P x y ，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出12k k 为定值，然后再验证直线l 的斜率不存在时也满足即可 【详解】 （1）由题意得：12c a =，222a b c =+ 又因为点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上 所以221914a b+=解得2,1a b c ===所以椭圆的标准方程为：22143x y +=（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=证明如下：假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：222(0)x y r r +=> 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+由方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++−=因为直线l 与椭圆有且仅有一个公共点 所以()()()222184434120km k m ∆=−+−=即2243m k =+由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得()2222120k x kmx m r +++−= 则()()()222222410km k m r∆=−+−>设()111,P x y ，()222,P x y ，则221212222,11km m r x x x x k k −−+==++ 设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k −−⋅+⋅+−++==−−+ 将2243m k =+代入上式得()2212224343r k k k k r−+=+−要使得12k k 为定值，则224343r r−=−，即27r = 所以当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34−当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±此时圆与l 的交点1P ，2P 也满足12k k 为定值34−综上：当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34−【点睛】涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.7．已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2(1≤r ≤3)，圆F 2：(x -1)2+y 2= (4-r )2． （1）证明：圆F 1与圆F 2有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）已知点Q (m ，0)(m <0)，过点E 斜率为k (k ≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为k 1，直线QN 的斜率为k 2，是否存在实数m 使得k (k 1+k 2)为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析，22143x y +=（2）存在，2m =−【分析】（1）求出圆1F 和圆2F 的圆心和半径，通过圆F 1与圆F 2有公共点求出12F F 的范围，从而根据124PF PF +=可得P 点的轨迹，进而求出方程；（2）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =−，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及111y k x m =−，212y k x m =−，可得()212222(624)4(1)312m k k k k m k m −+=−+−，根据其为定值，则有23120m −=，进而可得结果. 【详解】（1）因为1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以122F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r −，又因为13r ≤≤，所以|4|2r r −−≤，即12|4||4|r r F F r r −−≤≤−+， 所以圆1F 与圆2F 有公共点，设公共点为P ，因此124PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F −，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，12c a =⇒=，b =即轨迹E 的方程为22143x y +=；（2）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =−，设()11,M x y ，()22,N x y由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩消去y 得到()22224384120k x k x k +−+−=， 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+， ①因为111y k x m=−，212y k x m =−，所以()()()121212121211k x k x y y k k k k k x m x m x m x m −−⎛⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭()()()()()()2212211212121111x x m x x m x x k k x m x m x m x m −−+−−⎛⎫−−=+= ⎪−−−−⎝⎭()()21212212122(1)2x x m x x mk x x m x x m −+++=−++，将①式代入整理得()212222(624)4(1)312m k k k k m k m −+=−+− 因为0m <，所以当23120m −=时，即2m =−时，()121k k k +=−. 即存在实数2m =−使得()121k k k +=−. 【点睛】本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.8．已知△ABC 中,B （-1，0）,C （1，0）,AB =6,点P 在AB 上,且∠BAC =∠PCA ． (1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)若813Q ⎛⎫⎪⎝⎭，,过点C 的直线与E 交于M ，N 两点,与直线x =9交于点K ,记QM ,QN ,QK 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,试探究k 1,k 2,k 3的关系,并证明．【答案】(1)()221398x y x +=≠±．(2) k 1+k 2=2k 3证明见解析；【分析】(1)利用已知条件判断P 的轨迹为椭圆,转化求解即可．(2)如图,设M （x 1，y 1）,N （x 2，y 2）,可设直线MN 方程为y =k （x -1）,则K （4，3k ）,联立直线与椭圆方程,通过韦达定理转化求解斜率关系,证明k 1+k 2=2k 3． 【详解】解：(1)如图三角形ACP 中,∠BAC =∠PCA ,所以P A =PC , 所以PB +PC =PB +P A =AB =6,所以点P 的轨迹是以B ,C 为焦点,长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），所以点P 的轨迹E 的方程为()221398x y x +=≠±．(2)k 1,k 2,k 3的关系：k 1+k 2=2k 3．证明：如图,设M （x 1，y 1）,N （x 2，y 2）， 可设直线MN 方程为y =k （x -1）,则K （4，3k ）,由()221981x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，，可得（9k 2+8）x 2-18k 2x +（9k 2-72）=0, 21221898k x x k +=+,212297298k x x k −=+, ()()1111118818331131y k x k k x x x −−−===−−−−,()22831k k x =−−,38813913k k k −==−−, 因为()()()()121323121212228112803311331x x k k k k x x x x x x +−⎛⎫−+−=−+=−⋅= ⎪−−−++⎝⎭, 所以：k 1+k 2=2k 3． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆的定义的应用,考查转化思想以及计算能力,是难题．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若点,A B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值； ②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）根据条件列方程组223221,1c a b =+=，解得2,a b ==，（2）①设()00,P x y，则可由直线交点得0042,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，再根据斜率公式化简12k k ，最后利用点P 在椭圆上得定值；②先探求定点为()1,0−，再根据点斜式写出直线m 方程，最后令y=0解得x=-1.试题解析：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点2⎫⎪⎪⎭， 所以223221,1c a b =+=，解得2,a b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）①设()()000,0P x y y ≠，则直线AP 的方程为()0022y y x x =++， 令2x =得0042,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，因为01022y k x =+，因为0202y k x =−，所以2012202y k k x =−，因为()()000,0P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=，所以1232k k =−为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =−，直线m 的斜率为112m x k y −=，则直线m 的方程为()()()11110111122422212x x y x y x y x x y y x y −−−=−+=−+=++， 所以直线m 过定点()1,0−.点睛：1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b =+，然后利用条件建立,k b 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．10．已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l的左上方．（1）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆右焦点2F ，求此时直线l 的方程； （2）求证：PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【答案】（1）11127y x =−．（2）见解析 【分析】（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ．由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由判别式大于0得m 的一个范围，由点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方再一个m 的范围，两者结合得m 的取值范围，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，说明220AF BF ⋅=，用坐标表示并代入1212,x x x x +可求得m ，注意m 的取值范围，即得直线方程；（2）由（1）计算0PA PN k k +=，即得直线1x =是APB ∠的内角平分线，可得结论． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为12y x m =+．设()11,A x y ，()22,B x y ． 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++−=，则12x x m +=−，2123x x m =−． 由()22430m m =−−>△，解得22m −<<． 又∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 的左上方，∴21m −<<． 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ， 则220AF BF ⋅=，即()()11221,1,0x y x y −−⋅−−=，化简得274110m m +−=，解得117m =−，或1m =（舍）．∴直线l 的方程为11127y x =−． （2）∵1212332211PAPBy y kk x x −−+=+−−12123131222211x m x mx x −−−−=+−− ()12111111m x x ⎛⎫=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x −+=+−−++()222221110132m m m m m m m m +−−+=+−=+=++−+−， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB △的内切圆的圆心在定直线1x =上． 【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，考查直线的对称性．直线与椭圆相交问题采取设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，用1212,x x x x +参与运算求解．11．如图已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2OC OB BC BA −=−.（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）设,P Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB λ=，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）223144x y +=（Ⅱ）max λ= 【分析】（Ⅰ）易知2,a =根据条件确定AOC ∆形状，即得C 坐标，代入椭圆方程可得2b ，（Ⅱ）即先判断PQ AB ∥是否成立，设PC 的直线方程，与椭圆联立方程组解得P 坐标，根据P 、Q 关系可得Q 坐标，利用斜率坐标公式即得PQ 斜率，进而判断PQ AB ∥成立，然后根据两点间距离公式计算PQ 长度最大值，即可得λ的最大值. 【详解】（Ⅰ）∵0AC BC ⋅=， ∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2OC OB BC BA −=−，即2BC AC =，22,OC AC OC AC == ∴AOC ∆是等腰直角三角形 ∵(2,0)A ， ∴(1,1)C 因为点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +==∴243b = ∴所求椭圆方程为223144x y +=（Ⅱ）对于椭圆上两点P 、Q ，∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，则CQ k k =−， 则PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x −=−⇒=−+ ①QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x −=−−⇒−−+ ②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +−−+−−= ③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k −−⋅==+ 以k −替换k ，得到2236131Q k k x k +−=+.222226242()211313121231313p Q p Q PQ p Q p Q k k k k y y k x x k k k k k k x x x x k k−−⋅−−+−++=====−−−−++因为(1,1)B −−,所以1,3AB k =∴,PQ AB k k = ∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ||(PQ x ====≤当2219k k =时即21,3k k ==时取等号， 又||10AB =maxλ==【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(1,()222A B −两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆22:3O x y +=相交于,M N 两点，试问直线OM 与ON 的斜率之积OM ON k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）为定值，12−【分析】（1）将,A B 两点坐标代入椭圆方程，建立22,a b 的方程组，即可求出结论；（2）先求出直线l 斜率不存在时OM ON k k ⋅的值，当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据已知求出,m k 关系，再将直线l 与圆方程联立，根据根与系数关系将,M N 坐标用,m k 表示，进而求出OM ON k k ⋅，即可得出结论. 【详解】（1）依题意，2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为x =若直线l的方程为x =M ，N的坐标为,1))−，12OM ON k k ⋅=−.若直线l的方程为x =M ，N的坐标为,(1)()−，12OM ON k k ⋅=−.当直线l 的斜率存在时，可设直线:l y kx m =+， 与椭圆方程联立可得()222124220kxkmx m +++−=，由相切可得()222222168(1)(21)8210k m m k k m ∆=−−+=−+=，2221m k ∴=+.又223y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2221230k x kmx m +++−= ()222222244(3)(1)4334(2)0k m m k k m k ∆=−−+='+−=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12221222131km x x k m x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩∴()()()222212121212231m k y y kx m kx m k x x km x x m k−=++=+++=+， 2222212222123213113213222OM ONy y m k k k k k k x x m k k −+−−⋅=⋅====−−+−−. 故OM ON k k ⋅为定值且定值为12−.综上，OM ON k k ⋅为定值且定值为12−. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及圆与直线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦问题，属于中档题.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， c =左、右焦点为12,F F ，点,,P A B 在椭圆C 上，且点,A B关于原点对称，直线,PA PB 的斜率的乘积为14−. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点()2,2Q ，且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若163QM QN =，判断直线l 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 【分析】（1）利用斜率乘积为2214b a −=−，c =222a b c =+可构造出方程组，求解得到2a 和2b ，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线l 与椭圆方程，可得关于x 的一元二次方程；利用判别式大于零可求得k 的取值范围；利用韦达定理表示出12x x +和12x x ；根据163QM QN =，可得到163QM QN ⋅=；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到()2216116143k k +=+，解方程可求得结果.【详解】（1）由题意知：2214PA PBb k k a ⋅=−=−，又c =222a b c =+可得：24a =，21b =，23c =∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）设直线l 的方程为：()22y k x −=−将其代入2214x y +=，整理可得：()221416(1)k x k k x ++−+216(1)40k −−=则()()()22216141416140k k k k ⎡⎤∆=−−+−−>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得：38k > 设()11,M x y ，()22,N x y则()12216114k k x x k −+=+，()()221222448316141414k k k x x k k−+−−==++ 又163QM QN =，且,0QM QN <>= 163QM QN ∴⋅=又()112,2QM x y =−−，()222,2QN x y =−− 所以()()()()12121622223x x y y −−+−−=又()1122y k x =−+，()2222y k x =−+()()()()()()()()()2212121212121622222212413x x y y x x k x x x x k ∴−−+−−=−−+=−+++=⎡⎤⎣⎦ ()()()222244831611624114143k k k k k k k ⎡⎤−+−⎢⎥∴−⨯++=++⎢⎥⎣⎦化简得：()2216116143k k +=+，解得：22k =38k >k ∴=∴直线l【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值类问题.解决本题的关键是灵活利用韦达定理的形式来表示出已知中的等量关系，通过整理可得到关于k 的方程，解方程求得结果；要注意的是，需要通过判别式确定k 的取值范围.14．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，且过点()4,1M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+（3m ≠−）与椭圆C 交于,P Q 两点，记直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，试探究12k k +是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 221205x y += (2) 12k k +为定值，该定值为0.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a 2=4b 2，将M 代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）将直线l ：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k 1+k 2=0． 试题解析：（1）依题意，222221611,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪−=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得22220,5,15a b c ===，故椭圆C 的方程为221205x y +=；（2）120k k +=，下面给出证明：设()11,P x y ，()22,Q x y ，将y x m =+代入221205x y+=并整理得22584200x mx m ++−=，()()228204200m m ∆=−−>，解得55m −<<，且 3.m ≠−故1285m x x +=−，2124205m x x −=，则()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x −−+−−−−+=+=−−−−， 分子=()()()()12211414x m x x m x +−−++−−()()()()()()212122420852*******5m m m x x m x x m m −−=+−+−−=−−−=，故12k k +为定值，该定值为0.15．椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围．（3）在（2）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）2214x y +=；（2）3322m −<<；（3）-8 【解析】试题分析：（1）根据题意可得2221,2.b a b a ==即又因为2c e a ==，所以可得a ，b 的值，即可得方程；（2）设出点p 坐标，由两点式列出直线12,PF PF 方程，然后利用点m 到两直线的距离相等来确定m 值，再根据p 点，横坐标的范围，来确定m 范围；（3）设直线方程为()00.y y k x x −=−与椭圆方程联立，需满足()22200000,4210.x k x y k y ∆=−++−=即求得004x k y =−，由（2）可知0120211x k k y +=，代入化简即可试题解析：（1）由于22222222,1,,x y b c a b x c y a b a=−=−+==±将代入椭圆方程得由题意知2221,2.b a b a==即又222, 1. 1.4c x e a b C y a ====+=所以所以椭圆的方程为（2）设()()000,0.P x y y ≠())((121212000,,,:0,:0,PF PF F F PF PF l y x x y l y x x y −=−−=又所以直线的方程分别为=由于点P在椭圆上，所以221. 4xy+==00322,.433.(522m x m xm<<−<<==−<<因为所以因此分）（3）设()()000,0.P x y y≠则直线l的方程为()00.y y k x x−=−联立()()()() 22222222000000 001,{1484210.4,xyk x ky k x x y kx y k x y y k x x+=++−+−+−=−=−整理得由题意得()22200000,4210.x k x y k y∆=−++−=即又2222200000001,1680,.44x xy y k x y k x ky+=++==−所以故由（2）知00012000211,x x xk k y y y++=+=所以0012120042111118,y xkk kk k k k x y⎛⎫⎛⎫+=+=−⋅=−⎪⎪⎝⎭⎝⎭因此12118.kk kk+为定值，这个定值为－考点：1．椭圆方程的性质；2．直线与椭圆。
高考斜率知识点归纳
高考斜率知识点归纳斜率是高考数学中的重要知识点，涉及到函数的变化趋势和直线的倾斜程度等问题。
掌握斜率的概念和计算方法对于解决相关题目具有重要的指导意义。
本文将对高考中常见的斜率知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和应用。
一、斜率的定义斜率是表示直线倾斜程度的一个量。
对于一条直线上两个不同的点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，其斜率可以用以下公式进行计算：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)二、斜率的性质1. 垂直线的斜率不存在。
2. 平行线的斜率相等。
3. 斜率为正的线段上的点随着x的增大而y的增大，斜率为负的线段上的点随着x的增大而y的减小。
三、斜率与函数的关系1. 一次函数的斜率等于它的导函数。
对于一次函数y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
其导函数f'(x)也等于k。
2. 二次函数的斜率不是常数。
二次函数y = ax² + bx + c的斜率是变化的，不是一个常数。
其斜率随着x的变化而变化。
四、斜率的应用1. 判断函数的增减区间对于一元函数f(x)，若在某一区间内，f'(x) > 0，则函数在此区间上是单调递增的；若f'(x) < 0，则函数在此区间上是单调递减的。
2. 求切线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的切线方程，可以先求得该点的导数f'(a)，然后利用切线方程的一般形式y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为切线的斜率。
3. 求法线方程给定一个函数f(x)和一点P(a, f(a))，要求通过点P的法线方程，可以利用法线与切线垂直的性质，求得法线的斜率k₂，然后利用求直线的垂直斜率关系得到法线的斜率和方程。
五、常见考点1. 两点求斜率给定两个不同的点，通过斜率公式计算得到直线的斜率。
注意判断点的横坐标是否相同，避免分母为零的情况。
2. 导数与斜率与一次函数和二次函数相关的问题，需要掌握导数与斜率的关系，以及求导的方法。
【智博教育专题】斜率公式在解题中的妙用
斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点1122(,),(,)A x y B x y 求直线AB 的斜率可以用斜率公式1212AB y y k x x -=-来计算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，化为一个动点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质，对我们的解题起到事半功倍的效果。
一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】 函数2sin 2cos x y x-=+的最值。
【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题2sin 2cos x y x-=+变化成2sin 2(cos )x y x -=--看成动点(cos ,sin )x x -与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势来说明问题。
通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。
【解析】由题设直线2(2)y k x -=-与圆221x y +=相切，则联立方程222(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得222224(22)4(1)(483)0,3830,k k k k k k k k ∴∆=--+-+=-+=∴∴函数2sin 2cos x y x -=+的。
【例2】 求函数521x y x -=+的值域。
【分析】通常在求解这类一次分式函数时用的比较多的方法是通过求反函数或分离常数的方法来求值域，但是在仔细观察了这个函数的构成之后，特别是受到上个例题的启发，将这个函数进行变化后为52(1)x y x -=--，就是动点(2,)x x 与定点(1,5)-之间连线的斜率问题，而这个动点的轨迹就是直线1(1)2y x x =≠-，通过将 直线上的点与(1,5)-连线后就可以发现只有斜率为12取不到，从而可以直接判定函数521x y x -=+的值域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭了。
圆锥曲线一定两动斜率为定值的模型，高三的你会了吗？
圆锥曲线一定两动斜率为定值的模型，高三的你会了吗？
圆锥曲线一直以来都是很多学生的老大难问题，主要是计算就会让很多学生望而止步。
另外圆锥曲线的题目中，技巧性太强，导致很多不熟悉技巧的学生，生算硬算，结果不太理想。
今天我们就讲一类圆锥曲线中的例题。
我们在做题的过程中，经常会遇到下面的类型题：斜率倾斜角互补的问题。
我们从上面两种解法来对比来看，第一种相对来说属于常规操作。
但是后面开始涉及到因式分解的问题，这个就相对比较冗余复杂，这个时候第二种思路简直对比下来就简单了很多。
那么如果我们从这道题引申为一般类型，依旧是一定两动类型题，我们能得出哪些结论那。
涉及到一定两动斜率为定值的问题，
类型题训练
以上讲解了一定两动斜率为定值的问题，当然此类问题也可以设两动点过直线m(x-x0)+n(y-y0)=1，齐次化解决两动直线斜率和积问题有特效。
圆锥曲线中的斜率问题(解析版)
圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用k AB=k AC.【例1】(2023届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为 3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M ,F 为C的右焦点,若M ,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.【解析】(1)双曲线C：x2-y23=m(m≠0)的渐近线方程为y=±3x,不妨设A m,3m,B m,-3m因为三角形OAB的面积为3,所以12AB⋅m=3m2,所以3m2=3,又m>0,所以m=1.(2)双曲线C的方程为C：x2-y23=1,所以右焦点F的坐标为2,0,若直线l与x轴交于点p,0,故可设直线l的方程为y=k x-pk≠0,设M x1,y1,N x2,y2,则M x1,-y1,联立y=k x-px2-y23=1,得3-k2x2+2pk2x-k2p2+3=0,3-k2≠0且Δ=2pk22+43-k2k2p2+3>0,化简得k2≠3且p2-1k2+3>0,所以x1+x2=-2pk23-k2,x1x2=-k2p2+33-k2,因为直线MN的斜率存在,所以直线M N的斜率也存在,因为M ,F,N三点共线,所以k M F=k FN,即-y1x1-2=y2x2-2,即-y1x2-2=y2x1-2,所以-k x1-px2-2=k x2-px1-2,因为k≠0,所以x1-px2-2+x2-px1-2=0,所以2x1x2-(p+2)x1+x2+4p=0,所以2⋅-k2p2+3 3-k2-(p+2)-2pk23-k2+4p=0,化简得p=12,所以MN经过x轴上的定点12,0.【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:x24+y23=1的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线l1:x=4.(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l1上,求m的值；(2)过F 的直线l 2与椭圆W 相交于不同的两点C ,D (不与点A ,B 重合),直线CB 与直线l 1相交于点M ,求证：A ,D ,M 三点共线.【解析】(1)由题意知,直线l 3：x +my -4=0的斜率存在,且斜率为k 3=-1m,设点A 关于直线l 3对称的点为A 1,则A 1(4，n ),AA 1⊥l 3所以线段AA 1的中点1，n 2 在直线l 3上,又k AA 1=n6,k 3k AA 1=-1,有-1m ×n 6=-11+m ×n 2-4=0,解得m =1n =6 或m =-1n =-6 ,所以m =±1；(2)已知A (-2，0)，B (2，0)，F (1，0),当直线l 2的斜率不存在时,l 2：x =1,此时C 1，-32，D 1，32 ,有k CB =0+322-1=32,所以直线l CB ：y =32(x -2),当x =4时,y =3,所以M (4，3),所以k DM =3-324-1=12，k AD =32-01+2=12,所以k DM =k AD ,即A 、D 、M 三点共线；当直线l 2的斜率存在时,设直线l 2：y =k (x -1)(k ≠0),则x 24+y 23=1y =k (x -1),得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,Δ=(-8k 2)2-4(4k 2+3)(4k 2-12)=144k 2+144>0,设C x 1，y 1 ，D x 2，y 2 ,则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3,直线BC 的方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4,得M 4，2y 1x 1-2,所以直线AD 、AM 的斜率分别为k AD =y 2x 2+2，k AM =y 13(x 1-2),k AD -k AM =y 2x 2+2-y 13(x 1-2)=3y 2(x 1-2)-y 1(x 2+2)3(x 2+2)(x 1-2),上式的分子3y 2(x 1-2)-y 1(x 2+2)=3k (x 2-1)(x 1-2)-k (x 1-1)(x 2+2)=2kx 1x 2-5k (x 1+x 2)+8k=2k ⋅4k 2-124k 2+3-5k ⋅8k 24k 2+3+8k =0,所以k AD -k AM =0,即A 、D 、M 三点共线.综上,A 、D 、M 三点共线.(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点P m ,n 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一定点,点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值bm 2an 2n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ,2.设点P m ,n 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)一定点,点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB =λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值-bm 2an 2n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2m a 2λ ；3.设点P m ,n 是抛物线C ：y 2=2px p >0 一定点,点A ,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若k PA +k PB=λ,则λ=0时直线AB 斜率为定值-p n n ≠0 ,若λ≠0,则直线AB 过定点m -2nλ,-n +2p λ ；【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P 在直线y =t 上,证明直线PA ,PB 关于y =t对称,或证明直线y =t 平分∠APB ,可证明k PA +k PB =0.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M 0,2 是椭圆C 的一个顶点,△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点,设两直线MA ,MB 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=8,证明：直线AB 过定点．【解析】(1)由题意点M 0,2 是椭圆C 的一个顶点,知b =2,因为△F 1MF 2是等腰直角三角形,所以a =2b ,即a =22,所以椭圆C 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)若直线AB 的斜率存在,设其方程为y =kx +m ,由题意知m ≠±2．由y =kx +m x 28+y 24=1,得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-8=0,由题意知Δ=8(8k 2+4-m 2)>0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2,因为k 1+k 2=8,所以k 1+k 2=y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=2k +(m -2)×x 1+x 2x 1x 2=2k +m -2 ×-4km2m 2-8=8,所以k -km m +2=4,整理得m =12k -2,故直线AB 的方程为y =kx +12k -2,即y =k x +12 -2,所以直线AB 过定点-12,-2 ．若直线AB 的斜率不存在,设其方程为x =x 0,A x 0,y 0 ,B x 0,-y 0 ．由题意得y 0-2x 0+-y 0-2x 0=8,解得x 0=-12,此时直线AB 的方程为x =-12,显然过点-12,-2 ．综上,直线AB 过定点-12,-2 ．【例4】(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A (2,1)在双曲线C :x 2a 2-y 2a 2-1=1(a>1)上,直线l 交C 于P ，Q 两点,直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan ∠PAQ =22,求△PAQ 的面积.【解析】(1)将点A (2,1)代入x 2a 2-y 2a 2-1=1中,得4a 2-1a 2-1=1,即a 4-4a 2+4=0,解得a 2=2,故双曲线方程为x 22-y 2=1；由题意知直线l 的斜率存在,设l :y =kx +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则联立直线与双曲线x 22-y 2=1得：(2k 2-1)x 2+4km x +2m 2+2=0,需满足2k 2-1≠0,Δ=8(m 2+1-2k 2)>0,故x 1+x 2=-4km 2k 2-1,x 1x 2=2m 2+22k 2-1,k AP +k AQ =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2+kx 2+m -1x 2-2=0,化简得：2kx 1x 2+(m -1-2k )(x 1+x 2)-4(m -1)=0,故2k (2m 2+2)2k 2-1+(m -1-2k )-4km 2k 2-1-4(m -1)=0,即2k 2+(m +1)k +m -1=0,即(k +1)(m +2k -1)=0,由题意可知直线l 不过A 点,即m +2k -1≠0,故l 的斜率k =-1.(2)设直线AP 的倾斜角为α,由tan ∠PAQ =22,∴2tan∠PAQ 21-tan2∠PAQ 2=22,得tan ∠PAQ 2=22,(负值舍去),由直线AP ，AQ 的斜率之和为0,可知2α+∠PAQ =π,即tan π-2α2=22,则tan π2-α =cos αsin α=22,得k AP =tan α=2,即y 1-1x 1-2=2,联立y 1-1x 1-2=2,及x 212-y 21=1得x 1=10-423,y 1=42-53,将x 1=10-423,y 1=42-53代入l :y =-x +m 中,得m =53,故x 1+x 2=203,x 1x 2=689,而|AP |=2+1|x 1-2|=3|x 1-2|,|AQ |=3|x 2-2|,由tan ∠PAQ =22,得sin ∠PAQ =223,故S △PAQ =12|AP |⋅|AQ |sin ∠PAQ =2|x 1x 2-2(x 1+x 2)+4|=2689-2×203+4 =1629.【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O 是坐标原点,且OF ⋅OP =-94.(1)求抛物线E 的方程；(2)过Q 1,0 的动直线与E 交于C ,D 两点,问：在x 轴上是否存在定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD ?若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点为F p 2,0设P -p 2,y P ,则OF =p 2,0 ,OP =-p 2,y P 因为OF ⋅OP =-94,所以-p 24=-94,得p =3.所以抛物线E 的方程为y 2=6x ;(2)假设在x 轴上存在定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD .设动直线的方程为x =my +1,点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立x =my +1y 2=6x,可得y 2-6my -6=0.∵Δ=36m 2+24>0恒成立,∴y 1+y 2=6m ,y 1y 2=-6设直线MC ,MD 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 1x 1-t +y 2x 2-t =y 1x 2-t +y 2x 1-t x 1-t x 2-t=y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t x 1-t x 2-t =2my 1y 2+1-t y 1+y 2 x 1-t x 2-t由定点M t ,0 t ≠0 ,使得x 轴平分∠CMD ,则k 1+k 2=0,所以2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0.把根与系数的关系代入可得m +mt =0,得t =-1.故存在t =-1满足题意.综上所述,在x 轴上存在定点M -1,0 ,使得x 轴平分∠CMD .(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =-b 2a 2；若点A ,B 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A ,B 不重合的点,则k PA ⋅k PB =b2a2.2.若圆锥曲线上任意一点P 作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A ,B ,若k PA ⋅k PB 为定值,则直线AB 过定点.【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点和右焦点分别为A 、B 和F ,直线l :x =my +t 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ,记直线AM 、BM ,BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.(1)求证：k 1k 2为定值；(2)若k 1=3k 3,求△FMN 的周长.【解析】(1)证明：设M x 0,y 0 ,易知A -2,0 、B 2,0 ,其中x 204+y 203=1,则x 20=4-43y 20,k 1k 2=y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=y 20x 20-4=y 204-43y 20-4=-34为定值.(2)解：∵k 1=3k 3,即-34k 2=3k 3⇒k 2k 3=-14,设M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ,而B 2,0 ,联立x =my +t3x 2+4y 2=12⇒3my +t 2+4y 2=12⇒3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0,则Δ=36m 2t 2-4×3m 2+4 3t 2-12 =483m 2+4-t 2 >0,且y 1+y 2=-6mt3m 2+4y 1y 2=3t 2-123m 2+4,k 2k 3=y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=-14,⇒my 1+t -2 my 2+t -2 +4y 1y 2=0.所以,m 2+4 y 1y 2+m t -2 y 1+y 2 +t -2 2=0⇒m 2+4 ⋅3t 2-123m 2+4+m t -2 -6mt 3m 2+4+t -2 2=0,∵t ≠2,∴m 2+4 ⋅3t +2 3m 2+4-6m 2t3m 2+4+t -2=0,所以,3m 2t +6m 2+12t +24-6m 2t +3m 2t -6m 2+4t -8=0,16t +16=0⇒t =-1,故直线MN 恒过椭圆C 的左焦点-1,0 ,所以,△FMN 的周长为4a =8.【例7】(2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 另解：设直线AB 的方程为m x -4 +n y -3 =1①,双曲线C 的方程x 24-y 23=1可化为3x -4 +4 2-4 y -3 +3]2=12,即3(x -4)2-4(y -3)2+24x -4 -y -3 =0②,由①②可得3(x -4)2-4(y -3)2+24x -4 -y -3 m x -4 +n y -3 =0,整理可得24m +3 (x -4)2-24n +4 (y -3)2+24n -m x -4 y -3 =0,两边同时除以(x -4)2,整理得24n +4 y -3x -4 2-24n -my -3x -4-24m +3 =0③,Δ=242(n -m )2+424n +4 24m +3 >0,则k 1,k 2是方程③的两个不同的根,所以k 1k 2=-24m +3 24n +4=32,即8m +12n +3=0④,由①④可得-3x -4 =8-3y -3 =12 ,解得x =43y =-1,故直线AB 恒过定点43,-1 .(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例8】(2022届山东省学情高三上学期12月质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1(-1，0),F 2(1，0).过F 2与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点D ,点D 在x 轴上方,且DF 1 =322.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在一定点M 使得k MA +k MB 为定值,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】(1)由己知得c =1,|DF 1|=322,所以|DF 2|=22,所以2a =22+322=22⇒a =2,∴b =1.所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)如果存在点M ,由于椭圆的对称性可知点M 一定在 x 轴上,设其坐标为(x 0,0),因为椭圆右焦点F (1,0),直线斜率存在时设l 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1<2,x 2<2,将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1得：(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0,所以x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1,又k MA +k MB =y 1x 1-x 0+y 2x 2-x 0由y 1=kx 1-k ,y 2=kx 2-k 得：k MA +k MB =2kx 1x 2-k (x 1+x 2)(x 0+1)+2x 0k(x 1-x 0)(x 2-x 0).则2kx 1x 2-k (x 1+x 2)(x 0+1)+2x 0k =2(x 0-2)k2k 2+1⋅当x 0=2时,k MA +k MB =0,当直线斜率不存在时,存在一定点M (2,0)使得k MA +k MB 为定值0.综上:存在定点M (2,0)使得k MA +k MB 为定值0.【例9】(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【分析】(1)依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；(2)设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3,将点Q 坐标代入抛物线方程得到t =-16k 4k 2+3 9,将此式代入4k 2-t 2+3>0得到k 4+34k 2-9322<0,解不等式即可.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12 得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x 2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得：t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.三、跟踪检测1.(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上,且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ,B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ,在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1,点P 到椭圆右顶点M 的距离为132,则132=a -1 2+94,解得a =2,b =3,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意,直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0),M 2,0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．联立y =kx +m 3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．2.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴,y 轴,且过A(-2,0),B 1,32两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点,直线l 交椭圆C 于P ,Q (不与点A 重合)两点,记直线AP ,AQ ,l 的斜率分别为k 1,k 2,k ,若k 1+k 2=-3k,证明：△FPQ 的周长为定值,并求出定值.【解析】(1)由已知设椭圆C 方程为：mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),代入A -2,0 ,B 1,32 ,得m =14,n =13,故椭圆C 方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =kx +m ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由y =kx +m ,3x 2+4y 2=12⇒4k 2+3 x 2+8km x +4m 2-12=0得,x 1+x 2=-8km4k 2+3x 1⋅x 2=4m 2-124k 2+3,Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =192k 2-48m 2+144,又k 1=y 1x 1+2=kx 1+m x 1+2,k 2=kx 2+mx 2+2,故k 1+k 2=kx 1+m x 1+2+kx 2+mx 2+2=2kx 1x 2+2k x 1+x 2 +m x 1+x 2 +4m x 1x 2+2x 1+x 2 +4=8km 2-24k -16k 2m -8km 2+16k 2m +12m 4m 2-12-16km +16k 2+12=3m -6k m 2-4km +4k 2,由k 1+k 2=-3k,得m 2-3km +2k 2=0,故m -2k m -k =0⇒m =2k 或m =k ,①当m =2k 时,直线l :y =kx +2k =k x +2 ,过定点A -2,0 ,与已知不符,舍去；②当m =k 时,直线l :y =kx +k =k x +1 ,过定点-1,0 ,即直线l 过左焦点,此时Δ=192k 2-48m 2+144=144k 2+144>0,符合题意.所以△FPQ 的周长为定值4a =8.3.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22,上顶点为D ,斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,M 为线段AB 的中点,当点M 的坐标为(2,1)时,直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时,若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数,求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知,离心率e=22,所以a=2b=2c,设A x1,y1,B x2,y2,x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得k⋅k OM=-b2a2=-12,所以k=-1；所以直线为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,椭圆方程为x218+y29=1；(2)设直线为y=kx+m,由y=kx+mx2+2y2=18得1+2k2x2+4km x+2m2-18=0,则x M=x1+x22=-2km1+2k2,y M=m1+2k2,Δ=16k2m2-41+2k22m2-18=818k2-m2+9>0,所以k DM=y M-3x M-0=6k2+3-m2km=-k,解得m=6k2+31-2k2,1-2k2≠0,k≠±22因为l不过D点,则6k2+31-2k2≠3,即k≠0则18k2+9-6k2+321-2k22>0,化简得4k4-4k2-3>0,解得2k2-32k2+1>0,k2>3 2,所以k>62或k<-62.4.(2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A ,A分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A A,AB∥OP,FA=2- 2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证：k1k2为定值.【解析】(1)因为PF⊥A A,故可设P-c,y0,因为AB∥OP,故k AB∥k OP,即-ba=-y0c,解得y0=bca.又P-c,bc a在椭圆C上,故c2a2+b2c2a2b2=1,解得a2=2c2=2a2-2b2,故a=2b=2c.又FA=2-2,故FA=a-c=2-1c=2-2,故c=2,a=2,b=2.故C的方程为x24+y22=1.(2)因为椭圆方程为x24+y22=1,故F-2,0,A2,0,当l斜率为0时A,M或A,N重合,不满足题意,故可设l：x=ty-2.联立x24+y22=1x=ty-2可得t2+2y2-22ty-2=0,设M x1,y1,N x2,y2,则y1+y2=22tt2+2,y1y2=-2t2+2.故k1k2=y1x1-2⋅y2x2-2=y1y2ty1-2-2ty2-2-2=y1y2t2y1y2-2+2t y1+y2+2+22=1t2-2+2ty1+y2y1y2+2+22y1y2=1t 2+22+2 t 2-2+2 2×t2+2 2=1-23+22=2-32故定值为2-325.(2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点3,12 ,其右焦点为F 3,0 .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点P ,Q 在椭圆C 上,右顶点为A ,且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求△APQ 面积的最大值.【解析】(1)依题可得,c =33a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2 ,解得a =2b =1c =3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.所以离心率e =32.(2)易知直线AP 与AQ 的斜率同号,所以直线PQ 不垂直于x 轴,故可设PQ :y =kx +m ,k ≠0,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x 24+y 2=1y =kx +m可得,1+4k 2 x 2+8mkx +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8mk 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,Δ=164k 2+1-m 2 >0,而k AP k AQ =120,即y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=120,化简可得20kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ,20k 2x 1x 2+20km (x 1+x 2)+20m 2=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4,20k 2⋅4m 2-41+4k 2+20km ⋅-8mk 1+4k 2+20m 2=4m 2-41+4k 2-2×-8mk 1+4k 2+4化简得6k 2+mk -m 2=0,所以m =-2k 或m =3k ,所以直线PQ :y =k x -2 或y =k x +3 ,因为直线PQ 不经过点A ,所以直线PQ 经过定点-3,0 .设定点B -3,0 ,S △APQ =S △ABP -S △ABQ =12AB y 1-y 2 =52k x 1-x 2 =52k (x 1+x 2)2-4x 1x 2=52k -8km 1+4k 2 2-4×4m 2-41+4k 2=5k 2164k 2+1-m 2 1+4k 2=101-5k 2 k 21+4k 2,因为1-5k 2>0,所以0<k 2<15,设t =4k 2+1∈1,95,所以S △APQ =52-5t 2+14t -9t 2=52-91t -79 2+49≤53,当且仅当t =97即k 2=114时取等号,即△APQ 面积的最大值为53.6.(2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C :x 2-y 2=1和点B 0,1 .(1)斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于E ,F 两点,求∠EBF 最小时k 的值.(2)过点B 的动直线与双曲线C 交于P ,Q 两点,若曲线C 上存在定点A ,使k AP +k AQ 为定值λ,求点A 的坐标及实数λ的值.【解析】(1)由对称性可设E x ,y ,F -x ,-y ,则BE ⋅BF=x ,y -1 ⋅-x ,-y -1 =-x 2-y 2+1,因为E 点在双曲线C 上,所以x 2-y 2=1,即y 2=x 2-1,且x ≥1所以BE ⋅BF=21-x 2 ≤0,当x =1时,BE ⋅BF=0,∠EBF 为直角,当x >1时,BE ⋅BF<0,∠EBF 为钝角,所以∠EBF 最小时,x =1,k =0.(2)设A m ,n ,由题意知动直线一定有斜率,设点B 的动直线为y =tx +1,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2联立x 2-y 2=1,y =tx +1,得1-t 2 x 2-2tx -2=0,,所以1-t 2≠0,Δ=4t 2+81-t 2 >0,x 1+x 2=2t 1-t 2,x 1x 2=-21-t 2,,解得t 2<2且t 2≠1,k AP +k AQ =λ,即y 1-n x 1-m +y 2-nx 2-m=λ,即tx 1+1-n x 1-m +tx 2+1-n x 2-m=λ,化简得2t -λ x 1x 2+-mt +1-n +λm x 1+x 2 -2m +2mn -λm 2=0,2t -λ -21-t 2+-mt +1-n +λm 2t 1-t2-2m +2mn -λm 2=0,化简得λm 2-2mn t 2+2λm -n -1 t +2λ-2m +2mn -λm 2=0,由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立,所以λm 2-2mn =0,①λm -n -1=0,2λ-2m +2mn -λm 2=0,②将①代入②得λ=m ,从而m 3=2mn ,m 2=n +1.如果m =0时,那么n =-1,此时A 0,-1 不在双曲线C 上,舍去,因此m ≠0,从而m 2=2n ,代入m 2=n +1,解得n =1,m =±2,此时A ±2,1 在双曲线上,综上,A 2,1 ,λ=2,或者A -2,1 ,λ=-2.7.(2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A 1、A 2为椭圆C ：x 2+y 23=1的左右顶点,直线x=x 0与C 交于A 、B 两点,直线A 1A 和直线A 2B 交于点P .(1)求点P 的轨迹方程.(2)直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点,直线NA 1的斜率与直线MA 2斜率之比为-13,求证以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.【解析】(1)由题意得A 1-1,0 ,A 21,0 ,设A x 0,y 0 ,B x 0,-y 0 y 0≠0 ,P x ,y ,则k PA 1=k AA 1,k PA 2=k BA 2,即y x +1=y 0x 0+1,y x -1=-y 0x 0-1,得y 2x 2-1=-y 2x 20-1,又∵点x 0,y 0 在C 上,即x 20-1=-y 203,得y 2x 2-1=3,∴x 2-y 23=1y ≠0 ；(2)∵k NA 1=-13k NA 2,设直线NA 1方程为x =-3my -1，m ≠0 ,则MA 2方程为x =my +1,联立x =-3my -1x 2-y 23=1,得27m 2-1 y 2+18my =0(27m 2-1≠0且Δ>0),设N x N ,y N ,得x N =54m 227m 2-1-1,y N=-18m27m 2-1,同理设M x M ,y M ,得x M =-6m 23m 2-1+1,y M=-6m3m 2-1,k MA 1=y M x M +1=-6m -6m 2+23m 2-1 =3m ,k NA 1=y N x N +1=-18m 54m2=-13m ,∴k MA 1⋅k NA 1=-1,即MA 1⊥NA 1,∴以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.8.(2023届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点为F 1,F 2,且左焦点坐标为-2,0 ,P 为椭圆上的一个动点,∠F 1PF 2的最大值为π2.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点-2,-4 的直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,点N 2,0 ,记直线NA 的斜率为k 1,直线NB 的斜率为k 2,证明：1k 1+1k 2=1.【解析】(1)因为左焦点坐标为-2,0 ,所以c =2,当点P 在上､下顶点时,∠F 1PF 2最大,又∠F 1PF 2的最大值为π2.所以b =c =2,由a 2=b 2+c 2得a 2=4,所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)当直线l 的斜率为0时,直线l 的方程为y =-4,直线y =-4与椭圆x 24+y 22=1没有交点,与条件矛盾,故可设直线l 的方程为x =my +t ,联立直线l 的方程与椭圆方程可得,x =my +tx 24+y 22=1,化简可得my +t 2+2y 2=4,所以m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0,由已知方程m 2+2 y 2+2mtx +t 2-4=0的判别式Δ=4m 2t 2-4m 2+2 t 2-4 =16m 2-8t 2+32>0,又直线x =my +t 过点-2,-4 ,所以-2=-4m +t ,所以7m 2-8m <0,所以0<m <87,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-2mt m 2+2,y 1y 2=t 2-4m 2+2,因为N 2,0所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=my 1+t -2y 1+my 2+t -2y 2=2m +t -2 y 1+y 2y 1y 2,所以1k 1+1k 2=2m +t -2 -2mt t 2-4=2m -2mt t +2=2m -2mt 4m =2m -t 2=1方法二：设直线l 的方程为m x -2 +ny =1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由椭圆M 的方程x 2+2y 2=4,得(x -2)2+2y 2=-4x -2 .联立直线l 的方程与椭圆方程,得(x -2)2+2y 2=-4x -2 m x -2 +ny ,即1+4m (x -2)2+4n x -2 y +2y 2=0,1+4m x -2y 2+4n x -2y +2=0,所以1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n1+4m .因为直线l 过定点-2,-4 ,所以m +n =-14,代入1k 1+1k 2,得1k 1+1k 2=x 1-2y 1+x 2-2y 2=-4n 1+4m =1+4m1+4m =1.9.(2022届河北省石家庄高三上学期11月月考)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆Γ的离心率为22,椭圆Γ上的一点P 满足PF 2⊥x 轴,且PF 2 =1．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知点A 为椭圆Γ的左顶点,若点B ,C 为椭圆Γ上异于点A 的动点,设直线AB ,AC 的斜率分别为k AB ⋅k AC ,且k AB ⋅k AC =1,过原点O 作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由椭圆Γ上的一点P 满足PF 2⊥x 轴,且PF 2 =1,可得b 2a=1,即b 2=a ,又由椭圆Γ的离心率为22,可得c a =22,即a =2c ,因为a 2-b 2=c 2,联立方程组,可得a =2,b =2,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由椭圆Γ:x 24+y 22=1,可得A (-2,0),设直线BC 的方程为y =mx +n (n ≠2m ),则B (x 1,mx 1+n ),C (x 2,mx 2+n ),联立方程组y=mx+nx24+y22=1,整理得(2m2+1)x2+4mnx+2n2-4=0,则Δ=8(4m2-n2+2)>0,x1+x2=4mn2m2+1,x1x2=2n2-42m2+1,由k AB⋅k AC=1,可得(mx1+n)(mx2+n) (x1+2)(x2+2)=1,即(m2-1)x1x2+(mn-2)(x1+x2)+n2-4=0,可得(m2-1)(2n2-4)+(mn-2)(-4mn)+(n2-4)(2m2+1)=0,整理得12m2-8mn+n2=0,所以(6m-n)(2m-n)=0,所以n=6m或n=2m(舍去),所以直线BC的方程为y=mx+6m,即y=m(x+6),当x=-6时,y=0,可得直线BC过定点F-6,0,因为OD⊥BC,所以点D在以OF为直径的圆上,所以当点E为线段OF的中点时,线段DE的长为定值,此时线段DE的长为3,点E3,0.10.(2022届八省八校(T8联考)高三上学期联考)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆C:(x-2m)2+(y-4m)2=1(m≠0),点F1,F2,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l．已知E的离心率为12,点F1,F2关于直线l的对称点都在圆C上．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．【解析】(1)由已知,e=ca=12,则a=2c设点F1,F2关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段F1F2的中点,则C为线段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以F1F2=|MN|=2,即2c=2,即c=1．于是a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程是x24+y23=1．(2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,所以点O与C也关于直线l对称,因为点C(2m,4m),则线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,所以直线l的方程为y-2m=-12(x-m),即y=-12x+5m2．将y=-12x+5m2代入x24+y23=1,得3x2+4-x2+5m22=12,即4x2-10mx+25m2-12=0．设点A x1,y1,B x2,y2,则x1+x2=5m2,x1x2=25m2-124．所以k AC+k BC=y1-4mx1-2m+y2-4mx2-2m=-12x1+3mx1-2m+x2+3mx2-2m=-x1+3mx2-2m+x2+3mx1-2m2x1-2mx2-2m=-2x1x2+m x1+x2-12m2 2x1x2-4m x1+x2+8m2．由已知,k AC+k BC=23,则2x1x2+m x1+x2-12m22x1x2-4m x1+x2+8m2+23=0,得2x1x2-m x1+x2-4m2=0．所以25m 2-122-5m 22-4m 2=0,即m 2=1,即m =±1．因为直线l 与椭圆E 相交,则Δ=100m 2-1625m 2-12 >0,解得m 2<1625,即|m |<45．因为45<1,所以不存在实数m ,使直线AC 与BC 的斜率之和为23．11.(2022届上海市嘉定区高三一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A 、B ,右焦点为F ,且椭圆Γ过点0,5 、2,53 ,过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点(点P 在x 轴的上方).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若PF+2QF =0 ,求点P 的坐标；(3)设直线AP 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2,是否存在常数λ,使得k 1+λk 2=0?若存在,请求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为椭圆Γ过点0,5 、2,53 ,则有b =54a 2+259b2=1,解得a =3b =5 ,所以椭圆Γ的标准方程为x 29+y 25=1.(2)设P x 1,y 1 y 1>0 ,Q x 2,y 2 .由(1)知,F 2,0 .因为PF+2QF =0 ,则有2-x 1,-y 1 +22-x 2,-y 2 =0,0 ,即6-x 1-2x 2,-y 1-2y 2 =0,0 ,所以6-x 1-2x 2=0,-y 1-2y 2=0, 解得x 2=6-x 12,y 2=-y 12,即Q 6-x 12,-y 12.分别将P 、Q 两点的坐标代入x 29+y 25=1得x 219+y 215=1,6-x 12 29+-y 12 25=1, 解得x 1=34,y 1=-534 (舍)或x 1=34,y 1=534.所以所求点P 的坐标为34,534.(3)设存在常数λ,使得k 1+λk 2=0.由题意可设直线l 的方程为x =my +2,点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则-λ=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 .又因为x 229+y 225=1,即y 22x 22-9=-59,即y 2x 2-3=-5x 2+3 9y 2,所以-λ=-9y 1y 25x 1+3 x 2+3 =-9y 1y 25my 1+5 my 2+5即-λ=-9y 1y 25m 2y 1y 2+5m y 1+y 2 +25(*)又由x =my +2,x 29+y 25=1,得5m 2+9 y 2+20my -25=0,△=900m 2+1 >0,且y 1+y 2=-20m 5m 2+9,y 1y 2=-255m 2+9.代入(*)得-λ=-9-255m 2+9 5m 2-255m 2+9+5m -20m 5m 2+9 +25 =15即λ=-15,所以存在常数λ=-15,使得k 1+λk 2=0.12.(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的虚轴长为4,直线2x -y =0为双曲线C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为A ,B ,过点T (2,0)的直线l 交双曲线C 于点M ,N (点M 在第一象限),记直线MA 斜率为k 1,直线NB 斜率为k 2,求证：k1k 2为定值．【解析】(1)∵虚轴长为4,∴2b =4,即b =2,∵直线2x -y =0为双曲线C 的一条渐近线,∴ba=2,∴a =1,故双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1．(2)由题意知,A (-1,0),B (1,0),由题可知,直线l 斜率不能为零,故可设直线l 的方程为x =ny +2,设M (x 1,y 1)N (x 2,y 2),联立x 2-y 24=1x =ny +2,得(4n 2-1)y 2+16ny +12=0,∴y 1+y 2=-16n 4n 2-1,y 1y 2=124n 2-1,∴ny 1y 2=-34(y 1+y 2),∵直线MA 的斜率k 1=y 1x 1+1,直线NB 的斜率k 2=y 2x 2-1,∴k 1k 2=y 1x 1+1y 2x 2-1=y 1(ny 2+1)y 2(ny 1+3)=ny 1y 2+y 1ny 1y 2+3y 2=-34(y 1+y 2)+y 1-34(y 1+y 2)+3y 2=-13,为定值．13.(2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研)已知椭圆C :x 25+y 24=1的上下顶点分别为A ，B ,过点P 0，3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M ，N 两点,直线BM 与AN 交于点G .(1)设AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2,求k 1⋅k 2的值;(2)求证：点G 在定直线上.【解析】(1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A 0,2 ,B 0,-2 ,k 1⋅k 2=y 2+2x 2⋅y 2-2x 2=y 22-4x 22,又x 225+y 224=1所以y 22=4⋅1-x 225,所以k 1⋅k 2=41-x 225-4x 22=-45.(2)设PM :y =kx +3联立4x 2+5y 2=20,得到(4+5k 2)x 2+30kx +25=0,∴x 1+x 2=-30k 4+5k 2x 1⋅x 2=254+5k 2,Δ=900k 2-100(4+5k 2)=400(k 2-1)>0,直线MB :y =y 1+2x 1x -2,直线NA :y =y 2-2x 2x +2,联立得:y +2y -2=x 2(y 1+2)(y 2-2)x 1,法一：y +2y -2=-54⋅y 2+2 x 2y 1+2 x 1=-54⋅k 2x 1x 2+5k (x 1+x 2)+25x 1x 2=-5,解得y =43.法二：由韦达定理得x 1+x 2x 1x 2=-65k ,∴y +2y -2=x 2kx 2+1(kx 1+5)x 1=kx 1x 2+5x 2kx 1x 2+x 1-56(x 1+x 2)+5x 2-56(x 1+x 2)+x1=-5.解得y =43,所以点G 在定直线y =43上.14.(2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考)已知A (-22,0),B (22,0),直线PA ,PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,若直线OM ,ON 的斜率之积为-34, 证明:△MON 的面积为定值.【解析】(1)设P (x ,y ),则直线PA 的斜率k PA =y x +22(x ≠-22),直线PB 的斜率 k PB =yx -22(x ≠22),由题意k PA ⋅k PB =y x +22⋅y x -22=y 2x 2-8=-34,化简得 x 28+y 26=1(x ≠±22)；(2)直线l 的斜率存在时,可设其方程为y =kx +m ,联立y =kx +m ,x 28+y 26=1,化简得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-24=0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则Δ=(8km )2-43+4k 2 4m 2-24 =488k 2+6-m 2 >0,x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-243+4k 2,所以 k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=kx 1+m kx 2+mx 1x 2=k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=4m 2k 2-24k 2-8k 2m 2+3m 2+4k 2m 23+4k 24m 2-243+4k 2=-24k 2+3m 24m 2-24=-34化简得m 2=4k 2+3则|MN |=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2488k 2+6-m 23+4k 2==431+k 24k 2+34k 2+3=431+k 23+4k 2,又O 到MN 的距离d =|m |1+k 2=4k 2+31+k 2,所以S △OMN =12|MN |⋅d =12⋅431+k 23+4k 2⋅3+4k 21+k 2=23,为定值.当直线l 的斜率不存在时,可设 M x 0,y 0 ,N x 0,-y 0 ,则k CM ⋅k ON =-y 20x 20=-34,且x 208+y 206=1,解得x 20=4,y 20=3,此时S △OMN =2×12×x 0y 0 =23,综上,△OMN 的面积为定值23.15.(2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2,0 ,离心率为12,△ABC 为椭圆C 的任意内接三角形,点D 为△ABC 的外心.(1)求C 的方程；(2)记直线AB ､BC ､CA ､OD 的斜率分别为k 1､k 2､k 3､k 4,且斜率均存在.求证：4k 1k 2k 3k 4=3.【解析】(1)由椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2,0 ,离心率为c a =12得a =4,c =2. 所以b =16-4=23.所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1.(2)证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,则k 1=y 2-y 1x 2-x 1,k2=y 2-y 3x 2-x 3,k 3=y 3-y 1x 3-x 1,k 4=y 4x 4.设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x 4x -2y 4y +F =0,得x 21+y 21-2x 4x 1-2y 4y 1+F =0,x 22+y 22-2x 4x 2-2y 4y 2+F =0,两式相减得x 22-x 21+y 22-y 21=2x 4x 2-x 1 +2y 4y 2-y 1 ,因为y 22-y 21=-34x 22-x 21 ,所以14x 2+x 1 =2x 4+2y 4k 1,同理：14x 2+x 3 =2x 4+2y 4k 2.两式相减得：2y 4=x 3-x 14k 2-k 1 ,于是：2x 4=x 2+x 14-x 3-x 14k 2-k 1⋅k 1。
高中数学专题函数斜率的应用,对应函数的导函数应用,轻松解题
高中数学专题函数斜率的应用，对应函数的导函数应
用，轻松解题
导数的定义：
导数是函数在某一点上的变化率，
也是函数在该点处的切线斜率。
函数斜率的应用：
在数学中，函数的斜率是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们理解函数的变化率和趋势。
在实际应用中，函数的斜率也常常被用来描述一些自然或者物理现象。
常见的函数斜率应用：
1. 获取函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值通常出现在函数的转折点或者极值点，而这些点的位置可以通过函数的导数和导数的零点来确定。
2. 设计和调整曲线：当我们需要画一个平滑的曲线或者调整平面图像时，可以通过控制曲线的斜率来达到预期的效果。
3. 解决物理问题：在物理学中，函数的斜率可以用来描述物体的速度
和加速度，而在工程中，它也可以用来计算一些结构或者材料的强度
和刚度等物理量。
导数的应用：
导数是一种非常重要的数学工具，在很多领域都得到了广泛的应用。
在下面，我们将介绍一些常见的导数应用：
1. 求函数的最值：通过求导数，我们可以找到函数的极大值和极小值，从而解决一些优化问题。
2. 确定函数的凸凹性：通过求导数，我们可以判断一个函数的凸凹性，这在建筑和航天工程等领域非常重要。
3. 计算函数的斜率和速度：在物理学和工程学中，导数可以用来计算
物体的速度和加速度，以及在不同位置的斜率。
4. 优化算法：一些优化算法，如梯度下降法，就是基于导数的概念来
设计的。
总之，函数斜率和导数是数学中非常基础和重要的概念，它们在很多
领域都有着广泛的应用。
如果你想在这些领域中获得更好的成就，那
么熟练掌握这些概念是非常必要的。
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略注意到A∈[÷,2],可得所求为[2,÷].JJ点评:求参数的取值范围,一直是数学中的经典问题.解题的关键是如何构造出关于参数的表达式或不等式,转化为求函数的值域或解不等式问题.本例是直接利用题设的A的范围,求出值域,属简单题.而一些较复杂的题,往往要用以下一些条件和方法:圆锥曲线的范围,几何图形的性质,变量的取值范围(如sinO,cosO●徐素琴舒林军''的范围),判别式法,基本不等式法,分离参数法等.以上五类问题是解析几何中的重点题型,一定要掌握求解的通法,在解题实践中不断对各种解法加以比较,总结,提高自己择优解题的能力,使解析几何解答题成为你的得分点,从而在高考中获得数学卷的高分0-动中求定"的八大策略探索解析几何中求解定点,定值,定向,定线等问题的策略在解析几何中常常出现求定点,定值,定向,定线等问题,它已经成为当前各省高考试题中的热点.本文对此类问题加以探究,得出一些行之有效的方法策略,供以参考.策略一:提取参数对于某些含参数的曲线方程,如果可以把参数与x,y分离,则提出参数后,再根据恒等式的性质,即可以解得x,y的值,得到定点的坐标.例?1已知动直线(2+k)x一(1+k)一2(3+2k)=0,求证:点P(一2,2)到该动直线的距离d≤4.证明:把直线方程化为.i}(一),一4)+(2x—Y一6)=0,知J.一),一4=o,L2x一),一6=0.解得=2,Y=一2,即动直线过定点(2,一2).连,则点P(一2,2)到该动直线的距离d≤lPI=~/(一2—2)+(2+2)=4.'策略二:观察巧代?2O?充分利用已知式的结构特征,经过观察分析,只要找出满足条件的,y的值,就是定点的坐标.例2(1)已知实数17/.,n满足三+=l,则动直线羔+上:l必过定点的坐标为——;(2)已知实数p,g满足p+2q—l=0,则动直线+3y+q=0恒过定点M的坐标为略解:(1)只要令=2,,,=l,即得定点(2,1);(2)已知式化为号一下1+q=0,只要令=寺一IM(1,一吉).策略三:设参分离根据题意,设立参数,建立方程,分离参数,即可以求得定点.例3已知抛物线C:y=8x,焦点为F,定点P(2,4),动点A,B是抛物线C上的两个点, 且满足后?keB=8,试问AB所在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由.解:设A(8t;,8t1),B(8t,8t2)(t1≠t2),则】.1PA,kpB'fl+一2f2+一2因为J}?后雎=8,所以8t1t2=一1—4(tl+t2).①因为Ij}仙,所以A曰的方程:),一8tt:(一8￡;)?再利用①化简即得(一1)一(t1+t2)(),+4)=0.可见直线AB过定点(1,一4).策略四:巧"特"结论有两种情形:一种利用特殊值探求结论,再验证其充分性;另一种是也先用特殊值探求结论,后作一般性探求...2.2.例4已知椭圆等+=1,过左焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于A,两点,AB的垂直平分线交轴于点,则IFI:IABl的值为()(A1(B1(c了2(D)}解:本题为选择题,即知此比值为定值,故可用特殊值法.设AB与轴重合时,就是原点,则AB长为6,MF的长为2,故IMFl:IABI =1,答案为(B).如果不用特殊法解,本题就是一个较难的解答题,同学们不妨一试.若用极坐标方程解较方便一些.可见在解选择题时,用特殊值法来判断和寻找答案尤为重要.2例5已知椭圆方程+=1,过点s(o,一÷)的动直线f交该椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以AB为直径的圆恒过定点,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设满足条件的定点存在.当直线Z与轴平行时,以AB为直径的圆方程为2+-y')=;当直线Z与),轴重合时,以AB为直径的圆方程为+),=1.以上两圆方程联立解得』=o,即r(0,1)ty=1,是满足条件的必要条件.下面证明其充分性: 若存在v(o,1),对过点S不与坐标轴平行的直线设为y=kx一÷(Il}≠0),把它代人椭圆方程得到(1+2)2一一=o.设A(,y.),B(,y),则有『+=吾_,116【la;:一'因为H=(l,y1—1),TB=(2,y2一1),7?TB=X12+(),1—1)(,,2—1)=(1):一争(+一16(1+)4,12k16——18k9一一一3—}8k9+一9++=0.所以上船,即以AB为直径的圆恒过定点其定点的坐标为(O,1).例6已知椭圆+:1(n>b>o)上任意一点,B,B:是椭圆短轴的两个端点,作直线MB1,MB2分别交轴于P,()两点,求证: lOP1.IDQI为定值,并求出定值.分析:当动点在长轴的端点时,则P,Q重合于长轴的端点,因此IOPI?loQI=a.?2l?再作一般证明即可得IOP1.IOQI为定值为0.策略五:设参消参为了求得定值,往往需要设立一个或两个参数,如直线的斜率,动点的坐标等,然后根据条件,寻找所求的定值,最后经过消参得到所求的定值.例6已知A(1,1)是椭圆x+=1(口>b>0)上的一点,F,F2是椭圆的两个焦点, 且满足lAFI+IAF,I=4.(1)求椭圆的方程;(2)设点B,C是椭圆上的两个动点,且直线AB,AC的倾斜角互补,试判断直线BC的斜率是否为定值?并说明理由.解:(1)易知口=2.再把点A坐标代人椭圆方程得b.=÷,所以椭圆方程为等2+等(2)由条件可以得到直线AB,AC的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为Y=(一1)+1,代人椭圆方程得(1+3k)+6(1一k)kx+3一6k一1=0.因为XA=1,XAXB=所以.①又设直线AC的方程为Y=一k(一1)+1,同理得到.②因此得到,口一YcJ}(B+Xc)一2k%c■'把①②代人得k.=下1,所以直线BC的斜率为定值.策略六:巧用定义结合圆锥曲线的定义,在运动变化中寻求?22?符合定义的不变量.'2,2例7已知P是双曲线一号=1(口>0,b>0)右支上不同于顶点的任意一点,,是双曲线的左右两个焦点,试问:三角形PFF2 的内心,是否在一定直线上,若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.解:设三角形PFF2的内切圆与轴的切点为,则由双曲线的定义及切线长定理可知: IPF1I—IPF2l=IMF1I-IMF2I=2a,所以也在双曲线上,即M为双曲线右顶点.又IM上轴,所以三角形PF的内心,在一定直线=口上.例8以抛物线(Y+1)=g(一2)上任意一点P为圆心,作与Y轴相切的圆,则这些动圆必经过定点的坐标为一解:不难求得Y轴是抛物线的准线.由抛物线的定义可知,这些圆必经过抛物线的焦点可以求得F(4,一1),所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,一1).策略七:结合平面几何有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合,可以达到事半功倍的效果,如上面的例7就是运用了切线长定理.例9已知圆(一3)+(Y+4)=4,过原点0的动直线2:y=kx交圆于P,Q两点,则IoPIlOQl的值为一解:设OB切圆于点,则JOPIIOQI=IDBl=10I一r2:25—4=21.,22例10已知是双曲线一各=1(口>0,b>0)过焦点F1的任意一条弦,以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆,求证:MN的度数为定值.解:设AB的中点为P,P,A,B到相应的准线距离分别为d,d,d,则.:,',d1+d2IF1AI+IF1BIlABId—一——■～=(r为以AB为直径的圆的半径),所以c.sPⅣ::,二,e即删的度数为定值,其定值为2arccos.策略八:极坐标法关于长度计算的某些问题,用极坐标法会来得很方便.先要根据条件建立恰当的极坐标系,然后给动点设出极坐标,极角之间的关系往往是解决问题的关键.例11椭圆x+=1(口>b>o)上有aD两个动点A,B满足OA上OB(0为坐标原点), 求证:+广为定值?解:设以原点为极点,轴为极轴,建立极坐标系.则有lpcosO,代人椭圆方程得到椭ty:psin0.圆的极坐标方程●赵小龙r+r?设椭圆上动点A(p,),因为上OB,则动点B(p:,0+),因此1COS0sin—丁十—一,PlnD1c.s(+詈).sin2(+詈)2一口2.bP2口sin20cos0r+.两式相加得P+=+,l111ap2D即击+=1+古为定值.以上的八大策略,提供同学们在解决此类问题的方法.对求定点,定值等问题往往先用特殊值法探求出结论,这样解题的方向就明确了, 然后在运算过程中心中有数,达到事半功倍的效果.1l.洙高毒中的五粪热燕题型思维能力是数学能力的核心,新课标的高考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查数学思维的.针对高考对能力的考查,笔者认为临近高考时要努力达到下述目标:如果一个问题有多种数学思维方法,那么通过自身的思维应尽力发现其中大多数通法,并能靠自己丰富的解题实践择其优者实施.为此,只有平时对如下五类热点题型有思维模式的积淀,才能在应试中形成灵活的解题思维一,立体几何中的条件探索题此类题型是高考命题改革的先进成果,已被各省市的高考命题所大量采用,对考查新课标规定的数学基本能力中的空间想象能力,推理论证能力均大有裨益.抓住结论采到逆向探索,灵活转移,直观想象等思维方式,常可发现或猜出条件,进而给出充分性的证明.这是此类题型的一般思维模式.例1如图1,四棱锥P—ABCD中,M是棱船的中点;在底面四边形ABCD中,AB//CD, AB=4DC.在棱PC上找一点Ⅳ,使DⅣ∥平面?23?。
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高考中的八大斜率定值（定点）模型与应用
前几天陆续推送了极点极线背景下的几类斜率定点定值问题，今天准备将目前主要的斜率定点定值模型做一整理，具体分为：模型1.椭圆（双曲线）的第三定义
模型2.中点弦与点差法
模型3.四点共圆充要条件
模型4.极点极线斜率成等差
模型5.斜率倒数恒等式
模型6.蝴蝶定理与斜率之比
模型7.“手电筒”模型
模型8.等角转化
上述八大斜率模型均为目前常考常练的问题，系统梳理后有助于理解斜率在解析几何中的重要作用，特别是四点共圆，等角转化问题与斜率的联系，第三定义与中点弦点差法在选填题中则多与离心率结合考察，总之都是比较热门的考点. 为方便进一步交流研究，本文word电子版获取方式见文末.。