圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 沈烨
【一题一课 难点突破】圆锥曲线之定点定值问题探究
圆锥曲线中的定： 1.设而不求，韦达定理 2.求点代点 3.齐次方程 4.曲线系 二、三种曲线中得出的一般结论： 斜率之和为定值，直线过定点； 斜率之积为定值，直线过定点； 反之， 直线过定点，斜率之和为定值，斜率之积为定值。
三.直线或曲线过定点的解题策略： 1.如果题设条件没有给出这个定点，我们可以考虑这个定点 对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么，可以先根据特 殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关。 2.直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中 消去部分参数，将直线方程化为点斜式，从而得出定点。 3.若直线方程含有多个参数，能求出参数满足的方程，观察 直线方程特征与参数方程满足的方程特征（例如对应项系数 成比例，消参等方法），得到直线过定点的坐标，最后注意 带入进行验证。对学生来讲，繁难的代数运算是此类问题的 特点，设而不求、整体思想和消元的思想的运用可以有效的 简化运算。
圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
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(**)
82
则
x1
圆锥曲线定点定值及其他常用结论个人整理,已经没错误
圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：、为定值直线恒过定点；、为定值直线恒过定点；、直线恒过定点.方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.二、定值问题基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式的关系式代数式形式的定值(多个参数)结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；形如，若，则该式为定值，与无关；（注意是变量，具有任意性，是主元）②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.例如：，当即时，该式为定值与无关. （注意是变量，具有任意性，是主元）三、椭圆经典结论1、过椭圆(上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）2、设椭圆（）的两个焦点为（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记,,，则有.3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是4.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（对原点张直角）1）; 2）的最大值为; 3）的最小值是.4）直线PQ必经过一个定点；5）点到直线的距离为定值：.5 . 过椭圆（）的右焦点作直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.类比．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.6．设椭圆（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ（AA为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：（或）上.（用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点类比．给定双曲线C：,对C上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点（.8、抛物线中的过定点模型：是抛物线上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）直线恒过定点特别地直线恒过定点.9、设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点,为其焦点记，则 (1). (2).（双曲线(a>0,b>0)中,,其中θ=∠FPF.）10.椭圆的参数方程是，椭圆上的动点可设对于抛物线上的动点的坐标可设为，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为(5).双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.抛物线常用设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则1. 2.3. 4. 5 .圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）1.过圆C:(x-a)+(y-b)=R上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=R.2. 若在椭圆上，则以为切点的切线的椭圆的切线方程是.3.若在双曲（a＞0，b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.4.已知点M(x,y)在抛物线C:y=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:yy=p(x+x).（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e-1，即。
圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法.doc
圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.
2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
题型一：定点问题法一：特殊探求，一般证明；
法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。
圆锥曲线的定点定值问题
圆锥曲线的定点定值问题
圆锥曲线的定点定值问题通常涉及以下几种类型：
1.已知圆锥曲线的焦点和离心率，求解该曲线的方程或者确定该曲
线上的点。
2.已知圆锥曲线的焦点和直角坐标系中一点的坐标，求解该曲线的
方程或者确定该曲线上的点。
3.已知圆锥曲线上的一点和该点处的切线或法线的方程，求解该曲
线的方程或者确定该曲线上的其他点。
解决圆锥曲线的定点定值问题，通常需要运用圆锥曲线的定义、方程与性质，并结合平面几何、代数等知识进行推理和计算。
圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究
圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究作者：范贤丽来源：《中学教学参考·理科版》2015年第08期[摘要]主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.[关键词]圆锥曲线斜率定值[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230038动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的.圆锥曲线是动静结合的典范.以椭圆为例，椭圆的定义为定点F1、F2，定值2a（2a>F1F2），动点P满足PF1+PF2=2a，则P的轨迹是椭圆.“动”是P的运动，“静”是动点P满足PF1+PF2=2a，点P到两个定点的距离和是定值.在运动的过程中，不变的就是静.本文以圆锥曲线为背景，研究与直线的斜率有关的定值问题.一、斜率之和为定值【例1】椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：：（Ⅰ）易求出椭圆C的方程为x24+y23=1.（Ⅱ）设B（x0，y0）（x0≠±1），则直线FB的方程为y（x0-1）=y0（x-1）.令x=4，求得M（4，3y0x0-1），从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12（x0-1）.直线FB的方程与椭圆方程联立方程组，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52（x0-1），直线PB的斜率为k2=2y0-32（x0-1）.所以k1+k2=2y0-2x0+52（x0-1）+2y0-32（x0-1）=2×2y0-x0+12（x0-1）=2k3.故存在常数λ=2符合题意.点评：过定点F的动直线引出三个动点：与定椭圆的两个交点A、B，与定直线l的交点M，经过定点P（满足PF⊥x轴）的调动，得到kPA+kPB=2kPM，动中有静，静由动生，动静和谐，形式优美.二、斜率之差为定值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C的下顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m-k为定值.解析：（Ⅰ）易得椭圆C的方程为x24+y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不为椭圆的顶点，设BP的方程为y=k（x-2），k≠0，k≠±12.将之代入椭圆方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.又直线AD的方程为y=12x+1，与BP的方程联立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三点共线可求得N（4k-22k+1，0）.所以MN的斜率为m=2k+14，故2m-k=12（定值）.点评：定椭圆上的三个定点A、B、D，由椭圆上的动点P引出两个动点M、N，这些点恰好都在定角∠DAB内，两个动直线MB、MN的斜率受定直线MA的斜率制约.三、斜率之积为定值【例3】椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）.A.[12，34]B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]解析：由题意知，A1（-2，0），A2（2，0）.设点P（x0，y0），则kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.∴kPA1·kPA2=y20x20-4=-34，从而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故选B.点评：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不与长轴端点重合的任意一点与两个长轴端点连线的斜率之积是常数-b2a2，反映椭圆上的动点具有不变的特性.（责任编辑钟伟芳）。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题(原卷版)
微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。
不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。
二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=； 3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。
三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。
（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值。
【例2】如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为22。
（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值。
【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。
（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。
四、课堂练习：1、如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q 点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N 。
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考察内 容
离心率
17年4 月
选14
考察内 容
离心率
17年11 月
选14
考察内 容
离心率
填空21
解答24
直线与 填19 椭圆位 置关系 （面积）
解答24
抛物线 性质
填20
椭圆性 质
填20
双曲线 性质
直线与 椭圆位 置关系 （斜率 之和）
解答24
直线与 解答24 抛物线 位置关 系（斜 率之积）
直线与 抛物线 位置关 系（面 积)
定值问题常用方法：
一般是在一些动态的事物（如动点、动直 线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中 寻求不变量. （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个 值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程 中消去变量，从而得到定值
设而不求思想： 在解决数学问题时，先设定一些未知数， 然后把它们当成已知数，根据题目本身 的特点，将未知数消去或代换，使问题 的解决变得简捷。
主要方法：设而不求 整体代入
设而不求-----多个变量 关键是消元 整体代入-----减少变量
含x与y的式子统一消元 为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于 含 x1 x2 , x1x2 型的可用韦达定理来代入
题型二 斜率之和为定值
消y
x1 x2 , x1 x2型
圆沈烨
1.本校考试情况分析
3.11周考
3.13第一次学考模拟考
解析几何掌握情况很不 理想
原因分析：1.不敢做，不自信 2.计算能力不过关 3.基础知识不牢固，题目理解不到位.
2.16、 17年学考卷圆锥曲线考察情况
16年4 考察内 容
离心率
16年10 月
选15
探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1 x2型
探究实践、拓展提升
求出坐标 隐含条件
探究实践、拓展提升
消y
隐含条件
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？
2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
探究实践、拓展提升
题型一 斜率之积为定值
消x or y
y1 y2 , y1 y2型
韦达定理 整体代入
特 殊 到 一 般
设 而 不 求 整 体 代 入
题型一 斜率之积为定值
合理选择直线的设法可避免分类讨论，简化运算
题型一 斜率之积为定值
消y后整 体消除
题型二 斜率之和为定值
消y
x1 x2 , x1 x2型