实数知识点及易错题型
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
实数题型分类归纳
精品文档《实数》知识点比较：类型一：求值例1、求下列各数的算术平方根。
499??26-）（72 ）0 （6）5）（1）100（2）（3）（40.0025 （1 6416例2、求下列各数的平方根。
499??2-6（1）100 （2）（3）（4）0.0025 （5）0 （6）2 （7）1 6416精品文档．精品文档、求下列各数的立方根。
例3108??36-）2 （7）（1）1000 （2）（3）（4）0.001 （5）0 （622727类型二：化简求值、求下列各式的值。
例11692-01960.= （（12）= （3））= 22562233324--2551272927-?-= = ）6）（4）（= （52例、求下列各式的值222242-6）25-4（?-2）?0100.0001?.?（））（2（1a?0??类型三：算术平方根的双重非负性a0??0?a的非负性被开方数一、、下列各式中，有意义的有哪些？例1122a6-a a6--6)?(62 x。
2、若下列各式有意义，在后面横线上写出的取值范围例xx-5__________ （2）1（）_________x，求都是实数，且例3、若、的立方根。
83?3?x?xy??yx?3y0a?的非负性二、算术平方根a2?1a?的取值是______（4例、1）。
______,的最小值是此时精品文档．精品文档a1a? ______的最大值是______,）此时2-。
的取值是（22例5、若，求的值。
02?3?x?1?y）yx?222例6的平方根。
、已知，求）?yx（0??33y2(x?2)27?类型四、位，算术平方根的小数点向两算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动位。
右（左）移动一位，立方根的小数点向右（左）立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三移动一位。
84.5.217?2.284，521.7?22观察：已知例1、填空：__0.05217?______52170?____8584.12.36?.536，23.6?则令例2、②若①__________x?,?________x?04858236?_______;0.0023661536??10a，求a③若的值。
(完整版)实数知识点和练习
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。
（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
实数_知识点+题型归纳
第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a的倒数为 . 0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
八上数学 第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)
八年级数学上册 第二章 实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算 逐步逼近法的正确使用 三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。
专题6.6 实数章末八大题型总结(培优篇)(人教版)(解析版)
专题6.6实数章末八大题型总结（培优篇）【人教版】【题型1实数的概念辨析】 (1)【题型2直接求平方根、立方根】 (4)【题型3由平方根、立方根，求该数】 (5)【题型4估算算术平方根的取值范围】 (7)【题型5利用平方根、立方根解方程】 (9)【题型6由平方根、立方根求参数的值】 (11)【题型7实数的大小比较】 (14)【题型8实数与数轴综合运用】 (16)【题型1实数的概念辨析】【例1】（2023春·全国·七年级期中）把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，−32，−78，0，−0.2.2.，1.414，−7．(1)有理数集合：{________________…}；(2)负无理数集合：{______________…}；(3)正实数集合：{________________…}．【答案】(1)38，−78，0，−0.2.2.，1.414(2)−32，−7(3)38，3，1.414【分析】（1）根据有理数的定义，即可求解；（2）根据负无理数的定义，即可求解；（3）根据正实数的定义，即可求解．【详解】（1）解：38=2，有理数集合：{38，−78，0，−0.2.2.，1.414，……}；故答案为：38，−78，0，−0.2.2.，1.414；（2）解：负无理数集合：{−32，−7，……}；故答案为：−32，−7；（3）解：正实数集合：{38，3，1.414，……}．故答案为：38，3，1.414．【点睛】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数．【变式1-1】（2023秋·河北承德·七年级校考期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】B【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣2是无理数，所以原说法错误；④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误；⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【变式1-2】（2023春·全国·七年级期中）对于−3+5的叙述，下列说法中正确的是（）A．它不能用数轴上的点表示出来B．它是一个无理数C．它比0大D．它的相反数为3＋5【答案】B【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B．−3+5是一个无理数，故该说法正确，符合题意；C．−3+5<0，故该说法错误，不符合题意；D．−3+5的相反数为3−5，故该说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，牢记相关概念是解答本题的关键．【变式1-3】（2023秋·浙江温州·七年级统考期中）小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数．【答案】见解析【分析】根据实数的分类填写即可．【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下：【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．【题型2直接求平方根、立方根】【例2】（2023春·四川广元·七年级校联考期中）下列式子正确的是（）A．49=±7B．−32=−3C．−−52=5D．−3−5=35【答案】D【分析】分别根据算术平方根的性质、立方根的性质化简即可．【详解】解：A、49=7，故该选项错误；B、−32=3，故该选项错误；C、−−52无意义，故该选项错误；D、−3−5=35，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根的性质、立方根的性质，熟记运算法则是关键．【变式2-1】（2023春·广西河池·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（）A．2的平方根是±4B．0的平方根是0C．1的平方根是±1D．−1的立方根是−1【答案】A【分析】利用平方根和立方根的定义进行判断即可．【详解】解：A.2的平方根是±2，则A符合题意；B.0的平方根是0，则B不符合题意；C.1的平方根是±1，则C不符合题意；D.−1的立方根是−1，则D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若−4+5−2=0，则+的平方根是．【答案】±3【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【详解】解：∵−4+5−2=0，∴−4=0，5−=0，∴=4，=5，∴+=9，∴B的平方根是±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．【变式2-3】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）已知64的立方根是m，m的平方根是n，求+的值．【答案】+的值为6或2【分析】由64的立方根是m，可得=364=4，由m的平方根是n，可得=±=±2，然后计算求解即可．【详解】解：∵64的立方根是m，∴=364=4，∵m的平方根是n，∴=±=±2，∴当=2，+=6；当=−2，+=2；∴+的值为6或2．【点睛】本题考查了立方根，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【题型3由平方根、立方根，求该数】【例3】（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第二十二中学校考期末）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为−8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（）A．=1100s=−1000B．=1100s=100C．=100s=1100D．=11000s=−100【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴=1100s=−1000．故选：A．【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．【变式3-1】（2023春·福建南平·七年级统考期中）已知的平方根为±3，+的算术平方根为2，求−的平方根．【答案】±14【分析】根据题意，先求得和+的值，进而求得的值，再代入求得−的平方根即可．【详解】解：∵的平方根为±3，∴=9，∵+的算术平方根为2，∴+=4，∴=−5；当=9，=−5时，−=14，∴−的平方根为±14．【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解题的关键．【变式3-2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）某正数的两个平方根分别是+3、2−15，则这个正数为．【答案】49【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可求出的值，再根据平方根即可求出这个正数．【详解】解：∵正数的两个平方根分别是+3、2−15，正数的两个平方根互为相反数，∴+3+2−15=0，解得：=4，∴+3=4+3=7，则这个正数为72=49，故答案为：49．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数，是解答本题的关键．【变式3-3】（2023春·云南普洱·七年级校考期中）已知的平方根是±5，2+4的立方根是2，3=．（1）求s s的值；（2）求+2+的算术平方根．【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）10或3．【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．【详解】解：（1）∵的平方根是±5，2+4的立方根是2∴a=5，2b+4=8，即b=2∵3=∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）当c=1时，+2+=5+2×2+1=10当c=0时，+2+=5+2×2+0=3；∴+2+的算术平方根为10或3．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．【题型4估算算术平方根的取值范围】【例4】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9=18，则大正方形的边长为：18，∵16<18< 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．【变式4-1】（2023春·天津·七年级统考期末）估计7−2的值在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3至4之间【答案】A【分析】先判断7的取值范围，从而得出7−2的取值范围．【详解】∵22<(7)2<32∴2<7<3，∴0<7−2<1，即7−2在0到1之间，故选A．【点睛】本题考查二次根式的估算，常见方法有2种：平方法去根号比较、将整数转化到根号内比较．【变式4-2】（2023春·新疆塔城·七年级统考期末）已知是整数，当−的值是() A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据绝对值的意义，找到与30最接近的整数，可得结论．【详解】解：∵25<30<36，∴5<30<6，且与30最接近的整数是5，∴当−的值是5，故选A．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-3】（2023春·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）已知2＜21，若+2是整数，则＝．【答案】-1，2，-2.【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据+2是整数即可求出答案．【详解】解：∵+2是整数，∴m是整数，∵2＜21，∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2当m=±2或-1时，+2是整数，故答案为：-1，2，-2【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型．【题型5利用平方根、立方根解方程】【例5】（2023秋·江苏盐城·七年级校联考期中）求下列式子中的x(1)2−12=8(2)3−33+81=0【答案】(1)=3或=−1(2)=0【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；（2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：2−12=8(−1)2=4，−1=±2，−1=2或−1=−2，=3或=−1；（2）解：3(+1)3+81=0，(−3)3=−27，−3=−3，=0．【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．【变式5-1】（2023春·广西玉林·七年级统考期中）求下列各式中x的值．(1)25−2=0；(2)(+1)3=64．【答案】(1)=±5(2)=3【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答即可．【详解】（1）解：25−2=0移项，得：2=25，解得：=±5；（2）+13=64开立方得：+1=4，解得：=3．【点睛】本题考查了用平方根，立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．【变式5-2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）求x的值：(1)252−36=0(2)(+1)3−3=38【答案】(1)=65或=−65(2)=12【分析】（1）先把方程化为2=3625,再利用平方根的含义解方程即可；（2）先把方程化为(+1)3=278，再利用立方根的含义解方程即可．(1)解：252−36=0∴2=3625,解得：=±65，即=65或=−65(2)解：(+1)3−3=38移项得：(+1)3=278∴+1=32解得：=12【点睛】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键．【变式5-3】（2023秋·江苏·七年级期中）解方程：32(−1)2=327．【答案】=1±2【分析】先根据立方根的定义得出32(−1)2=3，再两边都乘以23，继而根据平方根的定义计算即可．【详解】解：∵32(−1)2=327，∴32(−1)2=3，∴−12=2，则−1=±2，∴=1±2．【点睛】本题主要考查立方根、平方根、等式的基本性质等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键．【题型6由平方根、立方根求参数的值】【例6】（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）已知−4的立方根是1，3−−2的算术平方根是3，13的整数部分是c．(1)求a，b，c的值．(2)求2−3+的平方根．【答案】(1)=5，=4，=3(2)±1【分析】根据立方根、算术平方根的概念可得−4、3−−2的值，进而可得、的值，接着估计13的大小，可得的值，进而可得2−3+，再根据平方根的求法可得答案．【详解】（1）解：∵−4的立方根是1，3−−2的算术平方根是3，∴−4=1，3−−2=9，解得：=5，=4；∵9<13<16，∴3<13<4，∴=3．（2）解：由（1）得：2−3+=10−12+3=1；故2−3+的平方根为±1．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，求一个数的平方根，灵活运用。
专题01 实数(重点+难点)(解析版)
专题01实数（重点+难点）一、单选题1．下列各数中：﹣227，﹣39，0，0.15，3π，﹣49，1.010010001……（0的个数依次加一个），23.1313313332中，无理数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】无限不循环小数称为无理数，根据此概念判断即可．【解析】根据无理数的概念知：无理数有﹣39，3π， 1.010010001……（0的个数依次加一个）三个；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的含义，常见三类无理数：不能开尽方的平方根或立方根；π与有理数的和差积商；形如1.010010001……（0的个数依次加一个）的数．2．下列说法中，不．正确的是（）A ．4的平方根是2±B ．8的立方根是2C ．64的立方根是4±D ．9的算术平方根是3【答案】C【分析】根据平方根和立方根的定义进行计算，一个正数的平方根有正负两个，正的平方根是该数的算术平方根，所有实数的立方根只有一个，然后进行逐一判断即可．【解析】A.4的平方根是2±，原选项不合题意；B.8的立方根是2，原选项不合题意；C.64的立方根是4，原选项符合题意；D.9的算术平方根是3，原选项不合题意．故选：C【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A．①②【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【解析】解：①x的值不唯一．②输入值x为16时，③对于任意的正无理数④当x=1时，始终输不出其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：及像0.1010010001…，等有这样规律的数．二、填空题11．比较大小：6【答案】<【分析】根据实数的大小比较方法求解即可．<，【解析】解：∵67∴67<，1615>故答案为：<，>．【点睛】本题考查实数的大小比较，三、解答题(1)已知点A、B表示两个实数﹣3、2，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．【答案】(1)见解析；（2）解：∵表示点A的数为﹣3，表示点O的数为0，∴OA=0﹣（﹣3）=3；（3）解：∵表示点A的数为﹣3，表示点B的数为2，∴AB=2﹣（﹣3）=2+3．【点睛】本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．一、单选题A．216【答案】D【分析】由4A纸张的宽为【解析】解：由图得，当∵纸张长与宽的比为∴0A纸的长为42x米，∵0A纸面积为1平方米，∴421x x⋅=，∴2²32x=，∴x的值为232的算术平方根．故选：D．【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出二、填空题三、解答题。
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《实数》复习与回顾
一、知识梳理
1.平方根
（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。
（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_____，那么这个数x就叫做的_______。
（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。
（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。
2.立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于，即_____，那么这个数x就叫做的立方根。
（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。
正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。
（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。
3.实数
（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。
（2）实数的定义： _____和_____统称实数。
（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。
（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。
（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有
理数范围内的意义_____。
4.实数的运算：
（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。
（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为
__________；__________。
二、考点例析
考点1 平方根、立方根的定义与性质
例1 （1）下列各数是否有平方根若有，求出其平方根；若没有，说明理由。
①625 ②（－2）2③（－1）3
（2）下列各数是否有立方根若有，求出其立方根。
① ②－343 ③－22
分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。
（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方
根。
解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±=±25；②因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±=±2；③因为（－1）
3=－1<0, 故其不存在平方根。
（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。
①；② ；
③－22的立方根。
说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。
考点2 实数的分类与性质
例2 下列各数中：
－，，, －π,,－,0,0.,,,2.…
其中有理数有__________________________；
无理数有__________________________。
分析：对于、等应先化简再判断。
解：有理数：－，,0,,,
无理数有：,－π,,－,2.……
说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
例3 的相反数是；的绝对值是；－的倒数是。
分析：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0。
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
非零实
数a的倒数是。
解：的相反数是1－；的绝对值是；－=－，所以－的倒数是－。
说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是一样的。
考点3 实数的运算
例4 （1）计算：
（2）化简得（）
（A）－2 （B）（C）2 （D）
分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。
（1）=×=；
（2）=－2。
故选（A）。
说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。
值得注意的是，在进行开方运算时，正
实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
考点4 非负数
例5 已知，为实数，且，则的值为（）.
（A）3 （B）－3 （C）1 （D）－1分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实
数的算术平方根、实数的偶次方。
它有一个非常重要的性质：
若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。
利用这个性质
可解本题，
解：由题意，得，，即，，所以。
故选（D）。
说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。
考点5 数形结合题
例6 已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a－b｜－｜a＋b｜
分析：要化简｜a－b｜－｜a＋b｜，需根据数轴上a、b的位置判断a－b和a+b的符号。
解：因为a>0，b<0，且∣a∣<∣b∣，所以a－b>0，a+b<0，所以原式=（a－b）+（a+b）=a－b+a+b=2a
说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
考点6 探究题
例7 阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）、观察上面的解题过程，请直接写出式子：
（2）、利用上面所提供的解法，请化简：
分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解：（1）。
==。
说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根
时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。
例1 （1）求6的平方根（2）求的算术平方根
错解：（1）；（2）的算术平方根是9
错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。
正确解法：（1）；（2）的算术平方根是3。
例2 求64与－27的立方根。
错解：64的立方根是±4，－27没有立方根。
错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；－27的立方根
是－3，错误地认为－27没有立方根是与负数没有平方根
相混淆。
正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。
因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。
例3 当m取何值时，有意义
错解：不论m取何值时，都无意义。
错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。
正确解法：当m=0时，－m2=0，此时有意义。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
例4 下列各数－2、、、－、、（－）2、、中无理数有
．
错解：无理数有、－、、（－）2、。
错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。
其实能化简的应先化简，－=－3，（－）2=7，=2，所以它们是有理数。
正确解法：无理数有、。
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。
例5 化简（1）5 （2）
错解：（1）5=5=2；
（2）==（－3）×（－5）=15
错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；（2）中忽略了公式的应用条件，即a≥0，b≥0，因为负数没有平方根，
虽然最后结果正确，但解法是错误的。
（2）===3×5=15。
正确解法：（1）5=5=2；。