抛物线方程及图像
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
抛物线的定义及标准方程
（二）四种抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
图
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
（三）区别与联系
1、四种形式标准方程及图像的共同特征
a
其中 2 p 1
a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
,抛物线的开口向上
焦点坐标是（0 ， ）41a ，准线方程是： y=
1 4a
②当a<0时, p
2
=
1 ,抛物线的开口向下
4a
焦点坐标是（0 ，4）1a ，准线方程是： y=
1 4a
作业
P73 A组 ：1,2（必做）
补充：求经过点p（4，-2）的抛物线 的标准方程。
y 2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
（1）、二次项系数都化成了_______ 1
（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p
（3）、四种抛物线都过____点 O；焦点与准线分别位于此点的两
侧，且离此点的距离均为____
p
2
二、四种形式标准方程及图像的区别
经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物 线的标准方程和焦点坐标。
小结
1.理解抛物线的定义, 2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的 几何意义.
3.注重数形结合、分类讨论思想的应用
《抛物线》复习课件
由于抛物线的定义域和值域与开口方向和位置有关，学生容易忽略这一
点而导致错误。因此，在解题时需要特别注意定义域和值域的限制。
03
错误理解抛物线的对称性和平移性质
学生可能对抛物线的对称性和平移性质理解不深刻，导致在解题时出错。
为了避免这种错误，需要加强对这些性质的理解和练习。
下一步学习计划和目标
深入学习抛物线的性质和应用
05
CATALOGUE
典型例题解析与思路拓展
求抛物线方程或参数值问题
已知抛物线顶点、焦点或准线，求抛物线方程
通过顶点式、焦点式或准线式，代入已知条件求解。
已知抛物线上两点坐标，求抛物线方程
利用两点式或中点式，结合抛物线性质求解。
已知抛物线方程和参数，求参数值
将方程化为标准形式，通过比较系数或利用抛物线性质求解参数。
物理学中的抛ห้องสมุดไป่ตู้线运动
抛体运动
在重力作用下，物体被抛出后沿 着抛物线路径进行运动，如炮弹 的飞行轨迹、篮球的投篮轨迹等。
斜抛运动
物体以一定角度抛出后，在重力和 初速度的共同作用下沿着抛物线路 径进行运动，如足球的远射、排球 的扣球等。
平抛运动
物体以水平初速度抛出后，在重力 的作用下沿着抛物线路径进行运动， 如飞镖的飞行、羽毛球的扣杀等。
抛物线的图像和性质 抛物线的图像是一个对称的U形曲线，具有顶点、对称轴、 开口方向等性质。这些性质对于理解和分析抛物线问题非 常重要。
易错难点剖析指导
01
混淆抛物线的四种标准方程
学生容易混淆不同开口方向和位置的抛物线的标准方程。为了避免这种
错误，需要仔细区分每种方程的特点和适用条件。
02
忽略抛物线的定义域和值域
抛物线的方程与像
抛物线的方程与像抛物线是数学中的一个常见曲线，它的形状是一个开口朝上或者朝下的弧形。
在几何学和物理学中，抛物线有着重要的应用。
本文将探讨抛物线的方程及其与像的关系。
一、抛物线的一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不为零。
抛物线方程中的a决定了抛物线的开口方向和形状。
当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的顶点与焦点1. 顶点抛物线的顶点是曲线的最高点（对于开口朝下的抛物线）或最低点（对于开口朝上的抛物线）。
要确定抛物线的顶点，可以利用以下公式计算：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = f(x) = a(x²) + b(x) + c2. 焦点抛物线上还有一个重要的点，即焦点。
焦点是指离抛物线直线轴对称的点，可以通过以下公式计算焦点的坐标：焦点的横坐标 x = -b / (2a)焦点的纵坐标 y = (4a - b²) / (4a)三、抛物线的图像根据抛物线的方程和顶点、焦点的计算公式，可以画出抛物线的图像。
图像的形状和位置取决于方程中的参数。
1. a > 0的情况当a大于零时，抛物线开口朝上。
抛物线的顶点位于图像的最低点，焦点位于顶点的上方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
2. a < 0的情况当a小于零时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点位于图像的最高点，焦点位于顶点的下方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
四、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于垂直于抛物线的直线x = -b / (2a)的轴对称的。
这意味着，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，与抛物线顶点的距离等于点P到直线x = -b / (2a)的距离。
2. 切线和法线抛物线上的切线与与该点处切线垂直的直线，称为该点处的法线。
切线和法线都经过该点，并且是该点处曲线的近似线性。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的性质和图像
抛物线的图像是一个开口向上或向下 的抛物线形状，其对称轴与x轴平行 。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上； 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
学生对知识掌握情况自评
理解抛物线的定义和方程，能够 熟练地写出不同形式的抛物线方
程。
掌握抛物线的性质，能够准确地 找出抛物线的对称轴、顶点、焦
点和准线等。
对称轴
抛物线的对称轴是一条经过其焦点的直线，对于开口向右的抛物线，对称轴为 $y$ 轴；对于开口向上的抛物线，对称轴为 $x$ 轴。在对称轴两侧，抛物线具 有对称性，即关于对称轴对称的点都在抛物线上。
02
抛物线图像特点
形状与位置
抛物线是一种平面曲线，其形状 类似于一个开口的U形或倒U形
。
抛物线具有一个对称轴，该轴是 垂直于水平面的直线，且抛物线
抛物线在生活中的应用
建筑设计中应用
抛物线型建筑外观
建筑师在设计建筑时，有时会采用抛 物线形状，使建筑外观更加美观和独 特。
抛物线型结构
在建筑结构中，抛物线型结构具有良 好的承载能力和稳定性，常用于桥梁 、拱门等建筑元素的设计。
物理现象解释
抛体运动
在物理学中，抛体运动是一种典型的抛物线运动，如投掷物 体、炮弹发射等。这些运动轨迹可以用抛物线方程来描述。
焦点位置
对于向上开口的抛物线，焦点 位于顶点上方；对于向下开口 的抛物线，焦点位于顶点下方
。
代数性质
标准方程
抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$（向上开口） 或 $x = ay^2 + by + c$（向右开口）。
一次项系数和常数项
影响抛物线的位置和顶点坐标。通过配方，可以将一般式 化为顶点式，从而确定顶点的坐标。
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。
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抛物线方程及图像
抛物线的标准方程有四种形式，其中参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质：其中P(x0,y0)为抛物线上任一点。
抛物线的四种图像如下表所示：
对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为( ,y0)，以简化运算。
抛物线的焦点弦
设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。
直线OA与OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为α，则有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|OA|= ，|OB|= ，|AB|=x1+x2+p。
扩展资料
抛物线四种方程共同点
1、原点在抛物线上，离心率e均为1。
2、对称轴为坐标轴。
3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
抛物线四种方程不同点
1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。
2、开口方向不同。
开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号。
开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
原点顶点：
y =轴2 （打开，a> 0）
y = -ax 2 （打开，a> 0）
x = ay 2 （向右打开，a> 0）
x = -ay 2 （向左打开，a> 0）
在（h，k）处的顶点：
y = a（x-h）2 + k（打开，a> 0）
y = -a（x-h）2 + k（打开，a> 0）
x = a（y-k）2 + h（向右打开，a> 0）
y = -a（y-k）2 + h（向左打开，a> 0）
扩展资料：
平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。