火线100天中考数学复习集训 第4讲 分式-人教版初中九年级全册数学试题
火线100天(广西专版)中考数学复习集训 题型专项七 实际应用题-人教版初中九年级全册数学试题
实际应用题实际应用型问题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，寻求解决问题的方法或方案．此类题在中考中出现较多，通常以解答题的形式出现，难度适中．解答此类问题的关键是根据已知条件列方程(组)、不等式或建立函数关系式，并综合运用函数的性质加以分析从而解决问题．类型1 方程(组)、不等式的实际应用1．(2015·某某)某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：(1)已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；(2)六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？2．(2015·某某)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3．(2014·某某模拟)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2011年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．(1)求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2015年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2014年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．类型2 方程(组)、不等式、一次函数的实际应用1．(2015·某某)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)根据图象，求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售单价应定为多少？2．(2015·某某)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？3．(2015·某某)如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽；(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y 1(元)、y 2(元)与修建面积x(m 2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道的宽度不少于2米且不超过10米，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元．类型3 方案设计1．(2015·某某改编)“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1 520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．(1)求每本文学名著和动漫书各多少元；(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，且文学名著不低于26本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．2．(2013·某某)在“美丽某某，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？3．(2014·某某)某经销商从市场得知如下信息：他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块．设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．(1)试写出y与x之间的函数关系式；，该经销商有哪几种进货方案？(3)选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？参考答案类型11．(1)根据题意，得解得答：表格中a ，b 的值分别为0.61、0.66.(2)设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意，得200×0.61＋200×0.66＋0.92(x －400)≤300，解得x≤450.答：李叔家六月份最多可用电450度．2.(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件．由题意可得28 8002x －13 200x ＝10.解得x＝120，经检验x ＝120是原方程的解．(2)设每件衬衫的标价至少是a 元．由(1)得第一批的进价为：13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得：120×(a－110)＋(240－50)×(a－120)＋50×(－120)≥25%×42 000.解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．3.(1)设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得75(1＋x)21＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%.(2)设从2014年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意，得(108×0.9＋y)×0.9＋y≤125.48.解得y≤20.答：从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆． 类型21．(1)设y 与x 函数关系式y ＝kx ＋b ，把点(40，160)，(120，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝160，120k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝240.∴y 与x 函数关系式为y ＝－2x ＋240(40≤x≤120)．(2)由题意，销售成本不超过3 000元，，∴≤x ≤120.根据题意列方程，2－160x ＋6 000＝0，解得x 1＝60，x 2，故舍去．∴销售单价应该定为100元．2.(1)设每个气排球的价格为x 元、每个篮球的价格为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋3y ＝340.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80.答：每个气排球的价格为50元，每个篮球的价格为80元．(2)设购买气排球a 个，则购买篮球为(50－a)个，总费用为w 元．则w ＝50a ＋80(50－a)＝－30a ，得50a ＋80(50－a)≤3 200，解这个不等式，得a≥2623.∵购买气排球的个数少于30个，∴2623≤a ＜30.∵a 为正整数，∴a ＝27，28，29.∵w ＝－30a ＋4 000是a的一次函数，k ＝－30<0，∴w 随a 的增大而减小．∴当a ＝29时，购买总费用最低，此时50－29＝21(个)．w ＝－30×29＋4 000＝3 130(元)．答：当购买气排球29个，篮球21个时，总费用最低，最低费用是3 130元．3.(1)花圃的面积为：(60－2a)(40－2a)或4a 2－200a ＋2 400.(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×(1－38)，即a 2－50a ＋225＝0，解得a 1＝5，a 2＝45(不合题意，舍去)．∴此时甬道的宽为5米．(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，∴800≤x花圃≤2 016.由图象可知，当x≥800时，设y 2＝k 2x ＋b ，∵直线y 2＝k 2x ＋b 经过点(800，48 000)与(1 200，62 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧800k 2＋b ＝48 000，1 200k 2＋b ＝62 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝35，b ＝20 000.∴y 2＝35x ＋20 000.当x≥0时，设y 1＝k 1x ，∵直线y 1＝k 1x 经过点(1 200，48 000)，∴1 200k 11＝40.∴y 1＝40x.设修建甬道、花圃的总造价为y 元，依题意，得y ＝y 通道＋y 花圃＝40(60×40－x 花圃)＋35x 花圃＋20 000＝40(2 400－4a 2＋200a －2 400)＋35(4a 2－200a ＋2 400)＋20 000＝－20a 2＋1 000a ＋104 000＝－20(a －25)2＋116 500.∵－20<0，∴当a<25时，y 随a 的增大而增大．而2≤a≤10，∴当a ＝2时，y 最小＝105 920.∴当甬道的宽为2米时，修建甬道，花圃的总造价最低，最低为105 920元． 类型31．(1)设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ＝1 520，20x －20y ＝440.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝18.答：每本文学名著和动漫书各是40元和18元．(2)设买文学名著m 本，依题意得m≥26，且40m ＋18(m ＋20)≤2 000，所以26≤m≤82029.∵m 为正整数，∴m 的值是26，27，28.方案1，购买文学名著26本，动漫书46本；方案2，购买文学名著27本，动漫书47本；方案3，购买文学名著28本，动漫书48本．2.(1)由题意，得y 1＝250x ＋3 000，y 2＝500x ＋1 000.(2)如图所示．(3)由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y 1落在直线y 2的下方，y 1＜y 2，即方案1省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y 2落在直线y 1的下方，y 2＜y 1，即方案2省钱；③当使用时间等于8个月时，y 1＝y 2，即方案1与方案2一样省钱．3.(1)y ＝140x ＋6 000(x≤50)．(2)令y≥12 600，则140x ＋6 000≥12 600，∴x ≥4717.又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：(3)∵140＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝50时，y 取得最大值．又∵140×50＋6 000＝13 000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13 000元．。
火线100天(遵义专版)中考数学总复习 数与式单元综合测试-人教版初中九年级全册数学试题
数与式 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．27的立方根是( )A ．9B ．±3C ．3D ．±92．使代数式x2x ＋1有意义的x 的取值X 围是( )A ．x ≥0B ．x ≠12C ．x ≥0且x ≠－12 D ．一切实数3．下列计算错误的是( )A.2·3＝ 6B.2＋3＝ 5C.12÷3＝2D.8＝2 24．下列运算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．(a －b)2＝a 2－b 2C ．35－5＝3 D.3－27＝－3×10n (n 是正整数)，则n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．照下图所示的操作步骤，若输入x 的值为4，则输出的值为( )输入x →加上6→平方→减去5→输出A ．27B ．37C ．35D ．957．如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2 C.12<k<1 D ．0<k<128．某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是() A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a(1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%＋15%)万元D ．a(1－10%＋15%)万元二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知a |a|＋b |b|＝0，则ab ||ab 的值为________． 10．把多项式x 2＋mx ＋5因式分解得(x ＋5)(x ＋n)，则m ＝________，n ＝________．11．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22＝________．12．(2014·某某)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为________．三、解答题(共48分)13．(8分)计算：(1)4－23÷|－2|×(－7＋5)；(2)（－2）2－||－1＋(2 012－π)0－(12)－1.14.(6分)先化简，再求值：(x ＋2)2＋(2x ＋1)(2x －1)－4x(x ＋1)，其中x ＝－ 2.15.(8分)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．16．(8分)(2013·某某)已知实数a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1的值．17．(8分)阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 的意义是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3＝－2 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2 4 3 5＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪567 8的值； (2)按照这个规定请你计算：当x 2－4x ＋4＝0时，|x ＋1x －1⎪⎪⎪ 2x 3x －3的值．18．(10分)观察下列各等式：（1＋1）21－(1＋1)＝4÷2，（2＋1）22－(2＋1)＝92÷3， （3＋1）23－(3＋1)＝163÷4，（4＋1）24－(4＋1)＝254÷5，… (1)请你根据等式中所包含的规律再往下写出一个等式；用只含字母n 的等式表示上述等式的规律，并给出证明．参考答案1．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B9．13．(1)原式＝2－8÷2×(－2)＝2＋8＝10.(2)原式＝2－1＋1－2＝0.14．原式＝(x 2＋4x ＋4)＋(4x 2－1)－(4x 2＋4x)＝x 2＋4x ＋4＋4x 2－1－4x 2－4x＝x 2＋3，当x ＝－2时，原式＝(－2)2＋3＝5.15．共有六种计算方法和结果，分别是：(1)a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝1； (2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1；(3)a 2－b 23a －3b ＝a ＋b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝3； (4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为13； (5)a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝a －b a ＋b ，当a ＝6，b ＝3时，原式＝13； (6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.16．解：原式＝1a ＋1－a ＋2（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋2）＝1a ＋1－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2 ＝2a 2＋2a ＋1. ∵a 2＋2a －15＝0，∴a 2＋2a ＝15.∴原式＝215＋1＝18. 17．(1)⎪⎪⎪5 7⎪⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2. (2)由x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2，⎪⎪⎪x ＋1 x －1 ⎪⎪⎪2x 3x －3＝⎪⎪⎪3 1 ⎪⎪⎪43 ＝3×3－4×1＝5.18．(1)（5＋1）25－(5＋1)＝365÷6. (2)（n ＋1）2n －(n ＋1)＝（n ＋1）2n÷(n ＋1)． 证明：∵左边＝（n ＋1）2n －n （n ＋1）n ＝n ＋1n ＝（n ＋1）2n ·1n ＋1＝（n ＋1）2n÷(n ＋1)＝右边． ∴上式成立．。
火线100天(遵义专版)中考数学总复习 专题复习二 几何图形中的动点问题-人教版初中九年级全册数学试
几何图形中的动点问题(2013·某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM 、PN ，设移动时间为t(单位：秒)．(1)当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)根据勾股定理求得AB ＝5 cm ，分类讨论：△AMP ∽△ABC 和△APM ∽△ABC 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值．(2)过点P 作PH ⊥BC 于点H ，由平行线分线段成比例求得用t 表示的PH 的值；然后根据“S ＝S △ABC －S △BPN ”列出S 与t 的关系式，再由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【解答】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm.以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时， AP AC ＝AM AB ，即5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝32； ②当△APM ∽△ABC 时， AM AC ＝AP AB ，即4－t 4＝5－2t 5，解得t ＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t ＝32时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似． (2)存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ∥AC ，∴PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5. ∴PH ＝85t. ∴S ＝S △ABC －S △BPN＝12×3×4－12×(3－t)·85t ＝45(t －32)2＋215(0<t<2.5)． ∵45>0， ∴S 有最小值．当t ＝32时，S 最小值＝215. 综上所述：当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，最小值是215.某某中考所考的图形动点问题，均是双动点问题，解决此类点运动引起几何图形变化的问题可以从以下方面入手：①若设问为“当t 为何值时，某某结论是否成立”或设问为“是否存在某一时刻t ，使结论成立”时，一般是先假设结论成立，然后通过四边形的性质或相似三角形的性质或全等三角形的性质等知识列出关于t 的方程，方程有解且求出的t 值符合实际意义时，结论成立，否则结论不成立；②若涉及求最值问题，如面积最值，周长最值时，则需将所求最值用含变量的关系式表示出来，列出函数关系式，利用函数的图象性质来解决．1．(2015·某某)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ，求最小周长值．(计算结果保留根号)2．(2014·某某)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE 与DF的关系，并说明理由；(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．3．(2014·某某)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．4．(2015·某某)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________cm，DC＝________cm；(2)点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动．连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．(参考数据：sin 75°＝6＋24，sin15°＝6－2 4)参考答案1．(1)由折叠的性质可知PH＝PD＝3，MH＝CD＝4，∠MHP＝90°，∴MP＝32＋42＝5.(2)作点M关于AB所在直线的对称点M′，连M′E与AB交于点F，此时△MEF的周长最小．AM′＝AM＝12－3－5＝4.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.∴∠MPE＝∠CEP.又由折叠的性质可知CE＝ME，∠CEP＝∠MEP.∴∠MPE＝∠MEP.∴ME＝MP＝5.∴EC＝5.∴BE＝7.∵AM∥BC，∴AM′BE＝AFBF，即47＝AF4－AF.解得AF ＝1611. ∴当AF 等于1611时，△MEF 的周长最小． (3)在(2)的基础上作M′N 平行且等于GQ ，连接NE 交于AB 点Q ，连接M′G.此时四边形MEQG 的周长最小，最小周长为ME ＋GQ ＋NE.延长M′N 与CB 的延长线交于点L.EL ＝BE ＋BL ＝11，NL ＝2.∴NE＝112＋22＝5 5.∴ME ＋GQ ＋NE ＝5＋2＋55＝7＋5 5.∴最小周长为7＋5 5.2．(1)AE ＝DF ，AE ⊥DF.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠ADC ＝∠C＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.又∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE ＋∠ADF＝90°.∴AE ⊥DF.(2)是．(3)成立．理由：由(1)同理可证，AE ＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.延长FD 交AE 于点G ，则∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠ADG ＋∠DAE＝90°，∴∠AGD ＝90°.∴AE ⊥DF.(4)由于点P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，如图所示．设AD 的中点为O ，连接OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小．在Rt △ODC 中，OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋12＝ 5.∴CP ＝OC －OP ＝5－1.3．(1)由题意，得BP ＝5t cm ，QC ＝4t cm ，AB ＝BC 2＋AC 2＝10 cm.①当△BPQ∽△BAC 时，∴BP BA ＝BQ BC. ∴5t 10＝8－4t 8， ∴t ＝1；②当△BPQ∽△BCA 时，∴BP BC ＝BQ BA， ∴5t 8＝8－4t 10， ∴t ＝3241. ∴若△BPQ 与△ABC 相似，则t ＝1或t ＝3241. (2)过P 作PM⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM，且∠ACQ＝∠PMC＝90°.∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP.∴68－4t ＝4t 3t ，解得t ＝78.(3)证明：如图3，仍有PM⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∵∠ACB ＝90°，∴DF 为梯形PECQ 的中位线， ∴DF ＝PE ＋QC 2. ∵QC ＝4t ，PE ＝8－BM ＝8－4t ，∴DF ＝8－4t ＋4t 2＝4. ∵BC＝8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，∴RC ＝DF ＝4成立，∴D 在过R 的中位线上，∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．4．(1)2 6 2 2(2)过点N 作NE⊥AD 于E ，作NF⊥DC 延长线于F ，则NE ＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB ＝45°，∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°.∵sin 15°＝FC NC ，NC ＝x ，sin 15°＝6－24， ∴FC ＝6－24x.∴NE ＝DF ＝6－24x ＋2 2. ∴点N 到AD 的距离为(6－24x ＋22)cm. (3)∵NC＝x ，sin 75°＝FN NC ，且sin 75°＝6＋24， ∴FN ＝(6＋24x)cm. ∵PD ＝CP ＝ 2 cm ，∴PF ＝(6－24x ＋2)cm. ∴y ＝12(6＋24x ＋26－x)(6－24x ＋22)－12(26－x)×2－12(6－24x ＋2)(6＋24x)．即y ＝2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3. ∴当x ＝－7－3－2242×（2－6）8＝7－3－226－2时， y 有最大值为2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3 ＝2－68×(7－3－226－2)2＋7－3－224×7－3－226－2＋2 3 ＝（7－3－22）28（6－2）＋2 3＝60＋46－143－2828（6－2）＋2 3 ＝66＋73－102－3042－46(cm)．。
火线100天(四川专版)中考数学一轮复习 题型1 与三角形 四边形有关的几何综合题-人教版初中九年级
几何图形综合题几何图形综合题是某某各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题(2015·某某)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.∴△APP′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，∴PP′＝ 2.∵P′B＝PD＝10，PB＝22，∴P′B2＝PP′2＋PB2.∴∠P′PB＝90°.∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°.∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°.(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M. ∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形．由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2.∴AM ＝AP ＋PM ＝3.在Rt △ABM 中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ ， ∴AQ ＝133. 在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·某某)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C.图1 图2(1)如图1，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·某某)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD ＝x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；(3)已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2 动态探究题(2015·某某)如图1，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tanA ＝43. (1)求CD 边的长；(2)如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q(点Q 运动到点B 停止)，设DP ＝x ，四边形PQCD 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值X 围．【思路点拨】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E ，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE 求解；(2)利用△EDC∽△EPQ 及S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC 求解．【解答】 (1)分别延长AD 、BC 相交于E.在Rt△ABE 中，∵tanA ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4. ∵BC ＝2，∴EC ＝2. 在Rt△ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65. (2)∵∠B＝∠ADC＝90°，∠E ＝∠E，∴∠ECD ＝∠A.∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43. ∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85. 如图4，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴ED EP ＝DC PQ .∴8585＋x ＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x. ∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ，∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED ＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x. 如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE≌△HQC，从而得CH ＝ED ＝85， ∴自变量x 的取值方X 围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·某某)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.①当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值；②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·某某)如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD ＝8，AB ＝6，如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值X围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·某某)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N 在AD 边上时，若BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN ＝NH ；(3)过点M 分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．类型3 类比探究题(2015·某某)已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF FC＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值； (3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF，进而证明∠EBF＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE＋∠ECB＝45°，∠BCF ＋∠ECB＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CE CF＝2，∴△CAE ∽△CBF. ②∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE∽△CBF 可得∠CAE＝∠CBF. 又∠CAE＋∠CBE＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°. ∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3. ∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC∶AB∶AC＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1. ∴AC BC ＝AE BF＝k 2＋1. ∴BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1. ∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)， 即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF＝90°，过C 作CH⊥AB，交AB 延长线于H ，可解得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)，∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2. ∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·某某)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且MN∥AD，记AD ＝a ，BC AM MB ＝m n ，则有结论：MN ＝bm ＋an m ＋n. 请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE ，CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1，PP 2，PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3.(1)若点P 为线段EF 的中点．求证：PP 1＝PP 2＋PP 3；(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD 满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈)．参考答案 类型1 操作探究题 1．(1)①证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵B 1C ＝BC ，∴∠CB 1B ＝∠B.又由旋转性质得∠A 1CB 1＝∠ACB，∴∠CB 1B ＝∠A 1CB 1.∴BB 1∥CA 1.②过A 作AG⊥BC 于G ，过C 作CH⊥AB 于H.∵AB＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝CG.∵在Rt△AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5， ∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH.∵在Rt△BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35， ∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245. ∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225. (2)过点C 作CF⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小．此时在Rt △BFC 中，CF ＝245. ∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95. 以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF ′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365. 2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°，∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1. (2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1＝1. ∵∠P 1CD ＝45°，∴CP 1＝2P 1D ＝ 2.∵CP 1＝CQ ，∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB＝90°，∠A ＝30°，∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°，∴∠CBE ＝30°. ∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE，∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC∶BC＝3∶1.设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt△ABC 中，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36， ∵－36<0， ∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt△AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332. ∴S △ABC ＝3×3232＝934. (2)如图1，，y ＝S △ADE .图1 作AG⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°.∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x ×32x 2＝34x 2. 如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG⊥DE 于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x.∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3. ∴MG＝32(3－x)． ∴y＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）. ，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934， ∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334. ∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316， ∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1.作FO⊥DE 于O ，连接MO ，ME.∴DO ＝OE ＝1.∴DM＝DO.∵∠MDO＝60°，∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM＝60°，MO ＝DO ＝1.∴MO＝OE ，∠MOE ＝120°.∴∠OME ＝30°.∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π.类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD⊥BE，A ，B ，C 三点共线，∴∠ABD ＋∠CBE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CBE ＋∠E＝90°.∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A＝∠C，AD ＝BC ，∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB＝CE.∴AC＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF＝∠QBF＝90°，∠DFP ＝∠QFB，∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PF BF. 又∵∠DFQ＝∠PFB，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA.∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt△DPQ 和Rt△DAB 中，DP PQ ＝DA AB. ∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5，∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH⊥BC 于点H.∵PQ⊥DP，∠A ＝∠H＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5. ∵AP＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1. ∵EC⊥BH，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203. 在Rt△BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343. ∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343. 2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)． (2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24. 当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6.∴S＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18. ∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）. (3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t 45t ＋8＝68，PE OE ＝CB CD 时，85t 45t ＋8＝86，解得t ＝20. ∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上， 不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CD BC 时，35t ＋614－15t ＝68，解得t ＝6. 若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t ＝86，解得t ＝19013. ∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意． ∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．3.(1)当点M 为AC 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 的重合时，BA ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 为CG 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形．(2)证明：在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN.∵AB＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ，∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG，∴∠CDH ＝45°.∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°.∵∠BKN ＝180°－∠AKN＝135°，∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt△ABN 中，∠ABN ＋∠ANB＝90°，又BN⊥NH ，即∠BNH＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH ＝180°－∠BNH＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)，∴BN ＝NH.(3)①当M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2. 当M 在CG 上时，即22＜t ＜42时，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD＝DC ，∠ADC ＝∠CDG，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD＝∠GCD＝45°. ∴∠ACM ＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°. ∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t. ∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8. ∴S＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）. ②在0＜t≤22X 围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2； 在22＜t ＜42X 围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83. ∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S.∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES⊥B A ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER.∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ，∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3.∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11， ∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3. (2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，，不妨设FP PE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝n m ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n. ∴ES ＝m ＋n mPP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝n m ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM ＝m ＋n nPP 3. 在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝m n， ∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFM m ＋n ＝m ·m ＋n m PP 2＋n ·m ＋n n PP 3m ＋n ＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3. 2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD 重合． ∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF.∴EF＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF＝12∠BAD ， 理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠D AB 至△ADG，使AB 与AD 重合．∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE＝∠DAG，∠B ＝∠ADG，AE ＝AG ，BE ＝DG.∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝12∠BAD. ∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF＝12∠BAD，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF ，延长BA 、CD 交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.∴△AOD 为直角三角形．在Rt△AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80米．∴AO＝403米，OD ＝40米．∵OF＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO ＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF ＝45°－30°＝15°.∴∠EAF ＝90°－15°＝75°.∴∠EAF ＝12∠BAD. ∵∠BAE ＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B ＝60°，∴△BAE 为等边三角形． ∴BE＝AB ＝80米．由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)．。
2021年中考复习数与式-第04讲 分式(教师版)A4
分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（ ）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝ 例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值． 【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18． 例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____． 【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3． 故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >． 随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取 值时,112122x +++有意义；当x 的值为 ，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可． 随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值． 【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值． 【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变． 【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力． 先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3． 故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（ ）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项． 作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________． 【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14． 作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知， 对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值． 【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。
火线100天(四川专版)中考数学一轮复习 专题一 规律与猜想-人教版初中九年级全册数学试题
规律与猜想 学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力． 类型1 数式规律(2015·某某)a 是不为1的数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数为11－2＝－1；－1的差倒数是11－（－1）＝12；已知a 1＝3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则a 2 015＝________． 【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a 2 015的值．【解答】 a 1＝3；a 2是a 1的差倒数，即a 2＝11－3＝－12； a 3是a 2的差倒数，即a 3＝11＋12＝23； a 4是a 3的差倒数，即a 4＝11－23＝3； …依此类推，∵2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝－12. 故答案为－12.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n 个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2015·某某)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2 015个单项式是( )A ．2 015x2 015 B ．4 029x 2 014 C ．4 029x 2 015 D ．4 031x 2 0152．(2015·某某)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．2523．(2013·某某)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式A M ＝(i ，j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A 7＝(2，3)，则A 2 013＝( )A ．(45，77)B ．(45，39)C ．(32，46)D ．(32，23)4．(2013·某某)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22 013的个位数字是________．5．(2015·某某)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n 都连续出现n 次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2015·某某)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2 016是第________个三角形数．7．(2014·某某)一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝－1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________．8．(2014·某某)观察下列等式：第一个等式：a 1＝31×2×22＝11×2－12×22； 第二个等式：a 2＝42×3×23＝12×22－13×23； 第三个等式：a 3＝53×4×24＝13×23－14×24； 第四个等式：a 4＝64×5×25＝14×24－15×25； 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝____________＝________________；式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝________．类型2 图形规律(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示)…【思路点拨】本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形．1．(2014·某某)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )A．点F B．点E C．点A D．点C2．(2015·某某)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n 个“龟图”中有245个“○”，则n＝( )…A ．14B ．15C ．16D ．173．(2014·某某)如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A ．nB ．n －1C ．(14)n －1 D.14n 4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2 014个图形是________．5．(2015·某某)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．6．(2014·德阳)如图，直线a∥b，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2015·随州)观察下列图形规律：当n ＝________时，图形“”的个数和“△”的个数相等．…8．(2014·某某)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2 014＝________．9．(2015·潍坊)如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)10．(2014·某某)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律(2015·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，P n－1P n＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为________．【思路点拨】利用特殊直角三角形求出OP n的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q n的坐标．【解答】∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC＝30°.又∵P n－1P n＝2n－1，P n Q n⊥OA，∴OQ n＝32(OP1＋P1P2＋P2P3＋…＋P n－1P n)＝32(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝32n2.∴Q n的坐标为(32n2·cos60°，32n2·sin60°)，即Q n的坐标为(34n2，34n2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQ n的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律．1．(2015·某某)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按照此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，以此得到P4，P5，P6，…，则点P2 015的坐标是( )A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)2．(2014·内江)如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n＋1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n ＋1、B n A n＋1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n.△A1B1P1、△A2B2P2、…、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n为( )A.n＋1 2n＋1B.n3n－1C.n2 2n－1D.n2 2n＋13．(2015·某某)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．4．(2015·达州)在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…S n ，则S n 的值为________(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．5．(2015·东营)如图放置的△OAB 1，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2 015的坐标是________________．6．(2013·内江)如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点M(2，0)作x 轴的垂线交直线l 于点N ，过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为____________．(2013·某某)如图，在函数y ＝8x(x ＞0)的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1＝________，S n ＝________．(用含n 的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7.2 0112 8.n ＋2n （n ＋1）·2n ＋11n·2n －1（n ＋1）·2n ＋112－121×221 类型2 图形规律1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n ＋1) 6.301 7.5 8.1－122 014 9.32(34)n ，3，10 11 类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n －1，02n －3 5.(2 0172，2 01532) 6.(2 097 152，0) 7．48n （n ＋1）。
火线100天(四川专版)中考数学一轮复习 第一单元 数与式 第4讲 二次根式-人教版初中九年级全册数
第4讲二次根式二次根式的有关概念二次根式一般地，形如a(①________)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).二次根式的性质两个重要的性质(a)2＝a(a②________)．a2＝|a|＝{③（a≥0），④（a＜0）.积的算术平方根ab＝a·b(a≥0，b≥0).商的算术平方根ab＝ab(a≥0，b>0).二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式.二次根式的乘法a·b＝⑦________(a≥0，b≥0)二次根式的除法ab＝⑧________(a≥0，b＞0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点1 二次根式有意义的条件(2015·某某)要使代数式2－3x 有意义，则x 的()A ．最大值是23B ．最小值是23C ．最大值是32D ．最小值是32此命题点的考查多是在求函数自变量的取值X 围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子有意义，必须得使每个式子有意义．1．(2015·某某)下列式子没有意义的是()A.－3B.0C. 2D.（－1）2 2．(2014·株洲)x 取下列各数中的哪个数时，二次根式x －3有意义()A ．－2B ．0C ．2D ．43．(2015·内江)函数y ＝2－x ＋1x －1中自变量x 的取值X 围是() A ．x ≤2 B ．x ≤2且x≠1C ．x ＜2且x≠1D ．x ≠14．(2015·某某)函数y ＝x －2的自变量x 的取值X 围是________．命题点2 二次根式的运算(2014·某某)计算：27－12－3－12.【解答】对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．1．(2015·某某)计算8×2的结果是()A.10 B ．4 C. 6 D ．2 2．(2015·凉山)下列根式中，不能与3合并的是()A.13B.13C.23D.123．(2015·眉山)计算：22－18＝________． 4．(2015·滨州)计算(2＋3)(2－3)的结果为________．命题点3 非负数的性质(2015·资阳)已知：(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为________．【思路点拨】 首先根据非负数的性质可求出a 的值和b 2－2b ＝3，进而可求出2b 2－4b －a 的值．本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.1．(2013·某某)已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，则m 的取值X 围是()A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－62．(2015·某某)若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值X 围是________．3．(2013·某某)若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．1．(2015·某某A 卷)化简12的结果是()A ．4 3B ．2 3C ．3 2D ．2 6 2．(2015·某某B 卷)计算32－2的值是()A ．2B ．3 C. 2 D ．2 23．(2014·某某)在式子1x －2、1x －3、x －2、x －3中，x 可以取2和3的是() A.1x －2 B.1x －3C.x －2D.x －3 4．(2015·某某)下列计算正确的是()A.3＋2＝ 5B.12÷3＝2 C ．(5)－1＝ 5 D ．(3－1)2＝25．(2014·某某)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b ，②a b ·b a ＝1，③ab ÷a b ＝－b ，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．(2015·某某)计算5×153的结果是________．7．(原创)若最简二次根式2a－b＋4与3a＋24a＋3b是同类二次根式，则a＝________，b＝________．8．(2015·某某)计算：(3＋2－1)(3－2＋1)．9．已知a、b、c满足||a－18＋b－7＋(c－32)2＝0.(1)求a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．10．(2015·随州)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值X围是()A．x≠1 B．x≥0C．x≠0 D．x≥0且x≠111．(2015·某某)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是() A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 312．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝ 5.那么8※4＝________．13．观察下面的变形规律：12＋1＝2－1，13＋2＝3－2，14＋3＝4－3，15＋4＝5－4，…解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想1n＋1＋n＝________；(2)计算(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…12 015＋ 2 014)×( 2 016＋1)．参考答案考点解读考点1 ①a≥0②≥0③a④－a考点2 ⑤最简二次根式⑥相同⑦ab ⑧ab⑨乘除各个击破例1 A题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2例2 原式＝33－2＋3（2－3）（2＋3）－23＝33－(2＋3)－23＝33－2－3－23＝－2. 题组训练 1.B 2.C 3.－ 2 4.－1例3 12题组训练 1.A 2.1整合集训基础过关1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 18.原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]＝(3)2－(2－1)2＝3－(2－22＋1)＝2 2.9.(1)由非负数的性质求得：a＝32，b＝7，c＝4 2.(2)因为a＋c＝32＋42＝72，所以a＋c>b，因为c－a＝42－32＝ 2.所以c－a<b.所以以a、b、c为边能构成三角形．三角形的周长为72＋7.能力提升10．D 11.C 12. 313.(1)n＋1－n(2)原式＝[(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 016－ 2 015)]( 2 016＋1) ＝( 2 016－1)( 2 016＋1)＝( 2 016)2－12＝2 016－1＝2 015.。
《火线100天》(河北版)中考数学
湖北世纪华章文化传播有限公司公司简介湖北世纪华章文化传播有限公司创建于2001年，是一家以中小学教育辅导类图书开发为重点，集内容策划、出版发行于一体的民营股份制企业，是全国一流的基础教育图书供应商。
公司成功研发出版的《名校课堂》、《火线100天》等系列图书已经成为全国中小学教育类图书的一线品牌，每年有2000余万人次中小学生、98万余人次的教师、超过4.8万所学校使用本公司的图书，产品畅销不衰。
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公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。
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第4讲分式分式的概念分式的基本性质分式的基本性质A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A ÷M B ÷M (M 是不为零的整式) 约分 把分式的分子和分母中的②______约去，叫做分式的约分.通分根据分式的③________，把异分母的分式化为④________的分式，这一过程叫做分式的通分.分式的运算分式的乘除法a b ·c d ＝ac bd ，a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc 分式的乘方(a b )n ＝a nb n (n 为整数) 分式的加减法 ac ±b c ＝a ±b c ，a b ±cd ＝ad ±bc bd分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的.【易错提示】 分式运算的结果一定要化成最简分式．分式 概念形如A B (A 、B 是整式，且B 中含有①____，且B ≠0)的式子叫做分式. 有意义的条件分母不为0.值为零的条件分子为0，且分母不为0.1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．命题点1 分式有意义、值为零的条件(2014·某某)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x ≠2 B ．x ≠－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－1当分式的分母为0时，分式没有意义；当分式的分母不为0时，分式有意义；当分式的分子为0，而分式的分母不为0时，分式的值为0.1．(2015·某某)要使分式1x ＋2有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x ＝－2 B ．x ≠2 C ．x ＞－2 D ．x ≠－22．(2015·某某)若分式x －2x ＋1的值为0，则x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－13．若分式|x|－1x －1的值为0，则x 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．±1 D ．－14．要使分式|x|－3x ＋3有意义，则x 的取值X 围为________． 命题点2 分式的运算(2015·凉山)先化简：(x ＋1x －1＋1)÷x 2＋x x 2－2x ＋1＋2－2x x 2－1，然后从－2≤x ≤2的X 围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【思路点拨】 先把括号内的异分母通分变成同分母，进行同分母加减，再把除法变乘法，进行乘法运算，最后进行加法运算．最后从给定的X 围中挑出满足条件的字母的值代入求出代数式的值．自选字母的值通常是一个“温柔陷阱”，同学们一定要注意分母不为0. 【解答】分式的运算是中考常见题型，一般的解法有：①分子或分母能分解因式的可先分解因式，再按运算法则化简求值；②当括号外的因式与括号内的因式可约分时，可先去括号，再化简求值．1．(2015·某某)化简m 2m －3－9m －3的结果是( ) A ．m ＋3 B ．m －3 C.m －3m ＋3 D.m ＋3m －32．(2015·某某)化简2x ＋6x 2－9得________． 3．(2014·襄阳)计算：a 2－1a 2＋2a ÷a －1a＝____. 4．(2015·某某)先化简，再求值：a 2－b 2a ÷(a －2ab －b 2a)，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.1．下列各式：15(1－x)，4x π－3，x 2－y 22，1＋a b ，5x 2y，其中分式共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．(2014·某某)分式22－x可变形为( ) A.22＋x B ．－22＋x C.2x －2 D ．－2x －23．分式y 2x 7与15x 4的最简公分母是( ) A ．10x 7 B ．7x 7 C ．10x 11 D ．7x 114．下列各分式中，最简分式是( )A.34（x －y ）85（x ＋y ）B.x ＋y x 2＋xyC.x 2＋y 2x 2y ＋xy 2D.x 2－y 2（x ＋y ）2 5．(2014·某某)若分式x 2－1x －1的值为0，则x 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±16．(2015·某某)计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________. 7．(2014·某某)计算1a －1＋a 1－a的结果是_____． 8．(2014·某某)代数式1|x|－1有意义时，x 应满足的条件为________． 9．(2013·某某)化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝______. 10．(2014·某某)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1的结果是_____． 11．(2015·某某)计算：a 2a －b －b 2a －b.12．(2015·呼和浩特)先化简，再求值：(2a 5a 2b ＋3b 10ab 2)÷72a 3b 2，其中a ＝52，b ＝－1213．(2015·某某)化简：2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1.14．(2015·某某)计算：(a ＋2－5a －2)·2a －43－a.15．(2015·威海)先化简，再求值：(1x ＋1－1x －1)÷4＋2x x 2－1，其中x ＝－2＋ 3.16．(2013·某某)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．17．(2014·某某)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( ) A.5－1 B ．1 C ．－1D ．－5 18．(2015·某某)先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x)，再从－2＜x ＜3的X 围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．19．(2014·凉山)先化简，再求值：a －33a 2－6a ÷(a ＋2－5a －2)，其中a 2＋3a －1＝0.温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P16滚动小专题(一)类型3“分式的运算”进行强化训练！考点解读①字母 ②公因式 ③基本性质 ④同分母各个击破例1 A≠－3例2 原式＝2x x －1·（x －1）2x （x ＋1）＋－2（x －1）（x ＋1）（x －1）＝2x －2x ＋1＋－2x ＋1＝2x －4x ＋1. 当x ＝2时，原式＝2×2－42＋1＝0.(当x ＝－2时，原式＝－2×2－2－2＋1＝6) 题组训练 1.A 2.2x －3 3.a ＋1a ＋24.原式＝a 2－b 2a ÷(a 2－2ab ＋b 2a) ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b. ∵a ＝2＋3，b ＝2－3，∴a ＋b ＝4，a －b ＝2 3.原式＝423＝233. 整合集训1.A2.D3.A4.C5.C6.a －2a ≠±1 9.2x －210.x －1 11.原式＝a 2－b 2a －b ＝（a ＋b ）（a －b ）a －b＝a ＋b. 12.原式＝(410ab ＋310ab )×2a 3b 27＝710ab ×2a 3b 27＝a 2b 5. 当a ＝52，b ＝－12时，原式＝（52）2×（－12）5＝－18. 13.原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a －1）（a ＋1）×（a －1）2a －2＝2a a ＋1－2（a －1）a ＋1＝2a ＋1. 14.原式＝a 2－4－5a －2·2a －43－a ＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a＝－2(a ＋3)＝－2a －6. 15.原式＝（x －1）－（x ＋1）（x ＋1）（x －1）×（x ＋1）（x －1）4＋2x ＝－24＋2x ＝－12＋x. 当x ＝－2＋3时，原式＝－12＋（－2＋3）＝－13＝－33. 16.共有六种结果：(1)a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝1； (2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1；(3)a 2－b 23a －3b ＝a ＋b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝3；(4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为13； (5)a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2＝a －b a ＋b ，当a ＝6，b ＝3时，原式＝13； (6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.17.B 提示：由a 2－3a ＋1＝0两边同除以a ，得a ＋1a ＝3.所以a ＋1a－2＝3－2＝1. 18.原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1. 取x ＝2，当x ＝2时，原式＝x 2x －1＝222－1＝4.(答案不唯一．注：x ≠±1，0) 19.原式＝a －33a （a －2）÷[（a ＋2）（a －2）a －2－5a －2] ＝a －33a （a －2）÷a 2－4－5a －2＝a －33a （a －2）·a －2（a ＋3）（a －3）＝13a （a ＋3）＝13（a 2＋3a ）. ∵a 2＋3a －1＝0，∴a 2＋3a ＝1.∴原式＝13.。