第4讲 分式及其运算
分式知识点六年级
分式知识点六年级分式，是数学中重要的一个概念，也是六年级的知识点之一。
在学习分式的过程中，同学们需要掌握其定义、基本性质和简单的运算规则。
下面就让我们一起来了解一下六年级学生需要掌握的分式知识点。
1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的数学表达式，通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为非零分母。
分子表示被分割的份数，分母表示整体被分成的份数。
2. 分式的基本性质（1）分式的值大小可以用分子除以分母的结果来表示。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子等于分母时，分式的值等于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
（2）分式的分子和分母可以同时乘以一个非零数，而不改变分式的值。
（3）分式的分子和分母可以约分，即同时除以它们的最大公约数，得到一个与原分式值相等、但分子和分母互质的新分式。
3. 分式的运算（1）分式的加减运算：当分母相等时，我们只需要对分子进行加减运算，并保持分母不变；当分母不等时，我们需要先通分，将分数转化为同分母的分数，然后进行相应的运算。
（2）分式的乘除运算：两个分式的乘积等于它们的分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数得到新分子，分母乘以第一个分式的倒数得到新分母。
4. 分式的应用（1）分式的应用在生活中非常广泛，例如在比例问题中常常会遇到，比如“A和B的比例为3:5，其中A的数量为4个，求B的数量”等等。
（2）分式还可以用来解决部分面积、体积和长度的问题，比如“已知一个木桶的直径为4米，高为6米，求木桶的表面积”等等。
总结：分式作为数学中的一个重要概念，在六年级的学习中起着至关重要的作用。
通过掌握分式的定义、基本性质和简单的运算规则，同学们可以更好地解决各种实际问题，并提高数学解题的能力。
希望同学们在学习分式的过程中能够加强练习，不断巩固和拓展相关知识，为接下来高年级的学习奠定坚实的基础。
16.1 分式及其基本性质 课件-华师版数学八年级下册
感悟新知
知2－练
例2 x 满足什么条件时下列分式有意义？
(1)
2 x＋1 5 x－3
;(2)
x
2 －1
;(3)
x＋1 x2＋3
；(4)
x－2
x－2 x＋4
.
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
感悟新知
知2－练
(1)
2 x＋1 5 x－3
;
解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠
4 m
，－2
x
2， 3 5＋y
，2 5
，x
2＋y 6
2
，p2 p
，1 4
3
x－y
பைடு நூலகம்
,
2
x
x 3＋3
，3a＋b
2
， a－b a＋b＋c
.
知1－练
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是分
母中是否含有字母.
解：分式有 4 ， 3 ，p2 ， a－b ； m 5＋y p a＋b＋c
整式有－2x2，2，x2＋y2 ，1 3x－y，3a＋b .
第十六章 分式
16.1 分式及其基本性质
学习目标
1 课时讲解
分式的概念 分式有意义和无意义的条件 分式的值为 0 的条件 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分
感悟新知
知识点 1 分式的概念
知1－讲
1. 定义：形如AB (A， B是整式，且B中含有字母， B≠ 0)
的式子，叫做分式 . 其中 A 叫做分式的分子， B 叫做
;
－3n (2) ;
8m
－3n － 3n ; 8m 8m
分式分式及其基本性质分式
求解最值问题
通过建立分式方程，可以求解某 些数学问题的最值。
简化计算
分式方程可以用于简化某些计算 ，例如分数计算等。
05
分式的应用
分式在生活中的应用
物理学
分式在物理学中被广泛应用，例如用 于描述物体的运动状态、力的分解和 合成、能量转换等。
工程学
在工程学中，分式用于描述各种物理 量之间的关系，如电阻、电容、电感 等。
分式的乘除法
概念
分式的乘除法是指将两个或多个分式进行乘除运算的过程。
运算法则
分式的乘法是将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法是将除式 的分子与分母相乘，被除式的分子与分子相乘，分母与分母相乘。
分式的混合运算
概念
分式的混合运算是指将加减乘除等运算结合在一起进行计算的过程。
运算法则
混合运算先乘除后加减，有括号的先算括号。
分式在数学中有广泛的应用，如解方 程、求导数、计算面积和体积等等。
02
分式的基本性质
分式的约分
分子和分母同时除以最大公约数，化简为最简分式。
约分可以化简分数，使其更易于比较大小或计算。
分式的通分
01
找到几个分式的最简公分母。
02
将各个分式的分子与最简公分母相乘，得到通分后的分式。
通分可以将几个分式化为同分母分式，便于比较大小或进行运
分式的符号
一个分式可以表示成 a/b 的形式，其中 a 和 b 都是整式，b 不等于 0。
如果 b 是正数，那么分式的值是正数或负数 ；如果 b 是负数，那么分式的值是正数或负
数，具体取决于 a 和 b 的3
分式是一种数学运算的结果，表示两 个整式相除的结果。
分式的值可以是一个具体的数字，也 可以是一个未知数。
分式的运算教案
分式的运算教案目标：学习如何进行分式的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
介绍：分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
本教案将逐步介绍每种运算的具体步骤和注意事项。
一、分式的加法和减法：1. 当两个分数的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52. 当两个分数的分母不同时，需要找到一个最小公倍数作为新的分母，并按比例调整分子。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20二、分式的乘法：将两个分数的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如：1/2 × 3/4 = 3/82/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3三、分式的除法：将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数作为新的分子，分母也是同样的方式。
例如：1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1 = 3/22/5 ÷ 5/6 = 2/5 × 6/5 = 12/25练习题：1. 1/4 + 2/3 = ?2. 3/5 - 1/2 = ?3. 1/2 × 5/6 = ?4. 2/3 ÷ 1/4 = ?扩展练习题：1. 3/8 + 1/2 = ?2. 7/9 - 2/3 = ?3. 2/3 × 10/11 = ?4. 5/6 ÷ 2/3 = ?总结：通过本次学习，我们学会了如何进行分式的加法、减法、乘法和除法运算。
在进行运算时，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并注意分母的处理。
继续练习和实践，可以更好地掌握分式的运算技巧。
高中数学分式及其运算笔记
高中数学分式及其运算笔记同学们！高中数学里的分式及其运算可是个挺重要的知识点呢，咱得好好把它搞清楚。
今天就来给大家整理一份详细的笔记哈。
一、分式的定义。
啥是分式呢？简单来说呀，就是形如A/B的式子，这里面A、B是整式，而且B中得含有字母，B还不能等于0哦。
比如说，1/x，(x + 1)/(x 1)这些都是分式。
要是分母B等于0了，那这个分式就没意义啦，就好比你不能把东西分成0份一样，是不是很好理解呀？二、分式有意义、无意义和值为零的条件。
1. 分式有意义的条件。
这个很关键哈，就是分母不能为0。
就拿刚才说的1/x这个分式来说，只要x不等于0，那这个分式就有意义。
要是x等于0了，那可就不行啦，这个分式就没意义咯。
2. 分式无意义的条件。
跟有意义刚好相反，当分母等于0的时候，分式就无意义啦。
比如说(x + 2)/(x 3)这个分式，当x = 3的时候，分母就是0，那这个分式就无意义咯。
3. 分式值为零的条件。
要让分式的值为0呀，得满足两个条件。
一是分子等于0，二是分母不等于0。
比如说(x 1)/(x + 1)这个分式，当分子x 1 = 0，也就是x = 1的时候，同时分母x + 1不等于0，那这个分式的值就是0啦。
三、分式的基本性质。
分式的基本性质就像一个魔法规则一样，很有用哦。
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是：A/B = (A×C)/(B ×C)，A/B = (A÷C)/(B÷C)（C≠0）。
比如说，2x/3x，我们可以同时除以x（因为x 不等于0），就得到2/3啦，分式的值还是不变的哟。
四、分式的约分。
约分就是把分式的分子和分母中的公因式约去，让分式变得更简单。
怎么找公因式呢？这就需要把分子分母先分解因式啦。
比如说，(x² 1)/(x + 1)，先把分子分解因式，x² 1 = (x + 1)(x 1)，那这个分式就变成了[(x + 1)(x 1)]/(x + 1)，然后把公因式(x + 1)约掉，就得到x 1啦。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
分式运算复习课教案
分式运算复习课教案【篇一：九年级数学复习教案-分式及其运算】九年级数学复习《分式及其运算》导学案白桑九年一贯制学校关成莲【复习目标】切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分、通分．能准确、熟练地进行分式的乘除、加减以及混合运算．在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融汇贯通，培养学生对知识综合掌握综合运用的能力．【重难点】重点：熟练而正确地掌握分式四则运算难点：四则混合运算中的去括号及符号问题。
【教学方法】讲练结合,以练为主.【过程设计】◆课前热身a．1 b．2 c．3 d．42. 若分式2有意义，则x的取值范围是（） x-1a．x≠1 b．x1 c． x=1 d．x1x2-93.若分式的值为0，则x＝。
x+34．把分式x(x≠0,y≠0)的分子、分母中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（） x+y1 d. 不改变 4a. 扩大2倍b. 缩小2倍c. 改变原来的5．填写出未知的分子或分母： (1) 3x( )y+11=2 （2） =2x+yx-y)y2+2y+1(xy+＝________． x+yy+x6．计算：7．化简： x+3+2-x＝_______． x+2x2-4m-1n＝。
?mnm-1◆要点回顾 8.计算：aa1. 分式的概念：整式a除以整式b，可以表示成的形式，如果除式b中含有，那么称为分bbaa式．若，则有意义；若，则＝0. bb2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的．用式子表示为 .13. 约分：把一个分式的分子和分母的约去，这种变形称为分式的约分．约分后，分子、分母不含的分式叫做最简分式。
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5．分式的运算⑴加减法法则：同分母的分式相加减： .异分母的分式相加减： .⑵乘法法则：乘方法则：⑶除法法则：6.混合运算的运算顺序：先算，再算，最后算，若有括号，先算括号里面的。
分式的基本性质及其运算
分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（）②分式无意义：分母为0（）③分式值为0：分子为0且分母不为0（）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ、取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ、单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ、保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
22ຫໍສະໝຸດ a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
x－2 1 (2)(2014· )÷ 广安)化简(1－ 的结果是 x－1 x2－2x＋1 __x－1__．
分式的四则混合运算
3x x ) 【例 3】 (2014· 深圳)先化简，再求值：( － x－2 x＋2
x ÷2 ，在－2，0，1，2 四个数中选一个合适的代入求值． x －4
3x（x＋2）－x（x－2） （x＋2）（x－2） 解：原式＝ · ＝ x （x＋2）（x－2） 2x＋8，当 x＝1 时，原式＝2＋8＝10
(2)(2014· 济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式 1 1 x＋y－(1－x)(1－y)的值．
y＋x 1 1 解：∵x＋y＝xy，∴ ＋ －(1－x)(1－y)＝ －(1－x x y xy x＋y －y＋xy)＝ －1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0 xy
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论 依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分 式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出 分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式 ，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分 应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复
分式的概念，求字母的取值范围
2 【例 1】 (1)(2014· 贺州)分式 有意义，则 x 的取值范 x－1 围是( A ) A．x≠1 B．x＝1 C．x≠－1 D．x＝－1
x2－1 (2)(2014· 毕节)若分式 的值为零，则 x 的值为( C ) x－1
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点评】
安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第4讲 分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念 A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) (1) 形如B 的式子叫 分式； A A B≠0 ＝0时，分式 无意义； (2)当 ____时 ，分式 有意义；当B ____ B B 当
A＝0且B≠0
A 时 ，分式 B的值为零．
两个技巧 (1)分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解． 如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后 “通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，
裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧
分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当
的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②
x 4 【例 4】 (2014· 舟山)解方程： － ＝1. x＋1 x2－1
解：去分母，得x(x－1)－4＝x2－1，去括号，得x2 －x－4＝x2－1，解得x＝－3，经检验x＝－3是分式 方程的解
【点评】
(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是
确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首 先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最 简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常 数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分 式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式 方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去 ．
类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物
之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想 和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去 建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新 旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识， 分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习 中，要注意与分数进行类比学习理解．
同分母加减法：
异分母加减法：
；
．
要点梳理
(3)分式的乘除法： ad ac ac a c bc ·＝ bd ÷ ； ＝ bd b d (4)分式的乘方： an an (n 为正整数) ( ) ＝ bn b
．
．
要点梳理
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个 分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做 约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母 分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分 式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简 公分母．
参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．
x＋ 1 1．(2014· 温州)要使分式 有意义 ，则 x 的取值应满足( A ) x－ 2 A．x≠ 2 B． x≠－1 C． x＝ 2 D． x＝－1
x2－4 2．(2014· 广州)计算： ，结果是( B ) x－ 2 A．x－ 2 B ．x＋2 x－ 4 x＋ 2 C. D. 2 x
要点梳理 6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法 化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算． 若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律， 运算结果必须是最简分式或整式． 7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方 程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是 增根，需舍去．
一个思想
x 3 4．(1)(2014· 德州)分式方程 － 1＝ x－1 （x－1）（x＋2）
的解是( D ) A．x＝1 B．x＝－1＋ 5
C．x＝2
D．无解
x m (2)(2014· 巴中)若分式方程 － ＝2 有增根， 则这个 x－1 1－x 增根是__x＝1__．
3 x (3)(2014· 新疆)解分式方程： 2 ＋ ＝1. x －9 x－3
解：方程两边都乘(x＋3)(x－3)，得 3＋x(x＋3)＝x2－9， 3＋x2＋3x＝x2－9，解得 x＝－4，检验：把 x＝－4 代入 (x＋3)(x－3)≠0，∴x＝－4 是原分式方程的解
(1)分式有意义就是使分母不为0，解不等
式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首
先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值
是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这
就是所要求的字母的值．
x 1．(1)(2013· 广州)若代数式 有意义，则实数 x 的取值 x－1 范围是( D ) A．x≠1 C．x＞0 B．x≥0 D．x≥0 且 x≠1
要点梳理
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以) 同一个不等于零的整式 ，
分式的值不变，用式子表示为 A A×M A A÷ M ＝ ， ＝ (M 是不等于零的整式) M 。B B×M B B÷ ．
要点梳理
3．分式的运算法则 (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号 ，改变其中 任何两个 ，分式的值不变． －a －a －a a a a a 用式子表示： b＝－ ＝ ＝－ b ；－ b＝ ＝ b . b b b － － － (2)分式的加减法： a b a±b ± c c＝ c b d bc± ad ±＝ a c ac