机器人动力学

mg
z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量
得到：
••
I z mgLc cos
6.4 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。
利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：
因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速 度和角加速度关系分别为：
AC AB BAR BC
AC AB BARBC S(AB )BARBC
注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量， 如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
d dt
L q•
L q
或
d dt
Ek q•
Eqk
Eqp
Ek 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和 m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 ，惯 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
二、惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于 该坐标系｛c｝，惯性张量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
Ixx c I I xy
I xz
Ixy I yy I yz
Ixz
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。
该微段产生的转动惯量为
。
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。 解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则
操作空间动力学方程：
F
V
(q)x
u(q,
q)
p(q)
它反映了操作力F与末端加速度 x之间的函数关系。
Class is over. Bye-Bye!
i fi i1iRi1fi1
i
ni
i1iRi
1ni1
ipi1i
fi
对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i iniT i zi
对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i
ifiT
i
zi
6.3 Newton-Euler递推动力学方程
6.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
6.1 连杆的速度和加速度分析
由前面的知识可知
A p ApBo BAR Bp
将上式两边对时间求导，得
A pApBo BARBpBARBp 或 Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
其中
A B
R
S( AB
) BAR
0
S ( )
z
z
0
y
x
y x 0
一、 刚体的速度和加速度
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
6.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
一、牛顿-欧拉方程 如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i1i1 ii1Rii i1 i1 zi1
i
1vi1
i
i1R(i
vi
ii
i
pi
1
)
线加速度和角加速度传递关系为：
i1i1ii1Rii ii1Rii i1i1zi1 i1i1zi1
i1vi1
ii1R[i
vi iii
pi1
i这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z 轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转 动惯量I。
将前面的线速度关系
Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
两边对时间求导，得线加速度关系
Avp AvBo BARBvp 2S(AB )BARBvp S(AB )BARBp S(AB )S(AB )BARBp
根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行 简化，简化的结果参见书P74。
计算各偏导数
将以上结果代入Lagrange方程
d dt
Ek q•
Eqk
E p q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程
得
果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连 杆，质量为m，长度为L，结 果会怎样？
I
yz
I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx， Iyy，Izz，其余元素为惯性积。
惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
例：如图所示的1自由度机械手。 假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
D(q) 为惯性矩阵；h(q,为q) 离心力和哥氏力向量；G (q) 为重力矢量。
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得 到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
fi ifi1
mi
i
g
0
i
ni
i
ni1
ipi1i
fi1
irci
mi
i
g
0
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反 向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：