模态分析理论基础共62页文档
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
_模态分析理论基础
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
Iration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
模态分析理论基础
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准
确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析，可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元 模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
•传递函数和频率响应函数
H(s)m2s(11jg)k
H()m21(1jg)k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()1 k (1 1 2 )22 g2j(1 2)g 2g2
与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
Hd (s)
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
x(s) f (s)
Hv(s)
v(s) f (s)
Ha(s)
a(s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
()
x() f ()
Hv()
v() f ()
• 三者之间的关系
Ha()
模态分析理论
zi = zmisin ωit+i =zmiIm(ejωit+i ) （10）
其中 为第 i 阶频率下，各自有度的位移矢量， 为第 i 个特征矢量，表示第 i 阶固有频率
下的振型， ωi 为第 i 阶频率下的第 i 个特征值，i 为初始相位。 对于三自由度系统，在第 i 阶频率下，等式可以写成
2 的单自由度粘性阻尼系统为例，
图错误!未指定顺序。单自由度系统
则该系统的运动方程为：
m
..
z
+c
.
z
+kz=F
（1）
其中 m 为质量，c 为阻尼系数，k 为刚度系数，z， 速度和加速度。
分别为位移、
对二阶微分方程进行拉普拉斯变换，其中二阶导数项的拉普拉斯
变换为：
假设初始位移和速度都为零，则
（2）
，其中
对于对角质量矩阵 则三自由度系统：
（31） （32）
（33）
（34）
则归一化的质量矩阵为
1
1
1
1 1 1
3m
2m
6m
3
2
6
zn
=
1 3m
0
-2 6m
=
1 1
m
3
0
-2 6
（35）
1 -1 1
1 -1 1
3m 2m 6m
3 2 6
同理归一化后的刚度矩阵为
1 0 0 mn = znTmzn 0 1 0 （36）
即
（14）
k-ω-ki2m 0
-k 2k-ωi2m
模态分析的基础理论
隔离体受 力分析
kx
k
x(t)动微分方程
mx kx 0
x(0)
x0 ,
x(0)
x0
x n2 x 0
x(0) x0, x(0) x0
n
k m
运动微分方程
解
x A1 cosnt A2 sinnt
可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。
振动系统三要素及其关系
振动系统的三要素：激 励、系统和响应
外界对振动系统的激励
或作用，称为振动系统
的激励或输入。
激励
系统对外界影响的反映， 输入 称为振动系统的响应或 输出。
二者由系统的振动特性 相联系。
系统
响应
输出
三种基本振动问题
响应分析：在扰动条件和
实轴
y Asint Im z Im Aeit
运动学
速度、加速度的复数表示
位移 x Aeit
速度 x d Aeit iAAeeiitt / 2
dt
加速度 x dx d i Aeit A22eAieitt
dt dt
对复数Aeit每求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘
上一e个i i，相当1 于把e这i个/ 2复数i旋转矢量逆时针旋转/2
a sin 1t b sin 2t, 1 2 1 2
•拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大值到最小值的次数 •拍的圆频率：12
运动学
简谐振动的复数表示
•复平面上的一点z代表一个矢量
•使该矢量以等角速度在复平面内旋转（复数旋转矢量）
虚轴
ei x cos i sin
模态分析基础知识
从北航马艳红老师的PPT中摘录下来。
模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今已趋成熟，它和有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。
模态分析作为一种“逆问题”分析方法，是建立在实验基础上的，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。
模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价现有结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3) 诊断及预报结构系统的故障；4) 控制结构的辐射噪声；5) 识别结构系统的载荷。
模态参数有：模态频率、模态质量、模态向量、模态刚度和模态阻尼等。
什么是实模态和复模态？按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。
对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼（或称为非经典阻尼）振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。
什么是主模态、主空间、主坐标？无阻尼系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。
什么是模态截断？理想的情况下我们希望得到一个结构的完整的模态集，实际应用中这即不可能也不必要。
实际上并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。
对低频响应来说，高阶模态的影响较小。
对实际结构而言，我们感兴趣的往往是它的前几阶或十几阶模态，更高的模态常常被舍弃。
这样尽管会造成一点误差，但频响函数的矩阵阶数会大大减小，使工作量大为减小。
模态分析理论基础
损耗因子
E 2U
U——最大势能
根据能量等效原则（一个周期内等效粘性阻尼与结构阻尼耗散能量相等 ΔW=ΔE），求得结构阻尼的等效粘性阻尼系数ce ：
ce g rk 2
或
ce
k
注意与频率有 关，非常数
其中 g
rk k 称为结构阻尼系数，具有刚度量纲。 2
损耗因子常称为结构阻尼比。
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2014/12/18
表1.3-1 单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）
(b) 相频特性曲线
半功率带宽
O 4 2 4
A B
① 拐点M （位移谐振点）：
A M B
=1 ( =D =0 )
固有频率
0 D
-
② 半功率点A、B： A ，B 结构阻尼比
(1.3-1)
其中频率比（无量纲频率） B. 频响函数的极坐标表达式：
0
H H e j
(1.3-2) (1.3-3) (1.3-4)
8
其中：幅频特性 相频特性
H
1 k
1
2
1
2
tg 1
2 1
i. ii.
各种特性曲线不象结构阻尼系统那样具有较简单的特征； 粘性阻尼系统具有三种不相等的谐振频率：位移谐振频率D、阻尼谐 振频率d和无阻尼谐振频率0，它们出现在各种曲线的不同特征点上， 具有如下关系：
D d 0
iii.
粘性阻尼系统的Nyquist图也不在是一个圆，而是一个近似桃形的图形。 不过，在小阻尼情形下，使用Nyquist图作参数识别时仍可将其视为圆 来处理。
《模态分析与综合技术》02-模态分析理论基础-01振动系统概论
第1章 振动系统概论
1.3 振动问题分类
4. 振动综合 同时包含前面几方面的振动问题。 5. 振动问题的解决 通常将实际问题抽象为力学模型（运动 方程），实质上是系统识别问题。针对系统 模型列式求解过程，实质上是振动分析的过 程。分析并非问题的终结，分析的结果还必 须用于改进设计或排除故障（已有和潜在）， 这就是振动设计问题。
保守系统： 机械能守恒的系统，或总能量不随时 间变化的系统。在保守力和理想定常完整 约束作用下的系统。 如无阻尼的单摆等。 非保守系统（耗散） 对于耗散系统，在经过很长时间以后， 状态的归宿称为耗散系统的吸引子。 有阻尼的单摆等。
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
自伴随系统： 系统微分方程组的系数矩阵全部是对 称的振动系统。 非自伴随系统
非亏损振动系统： n自由度系统，具有n个特征值和n个特 征向量。 亏损振动系统
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
可以根据系统的输入（激励）和输出 （响应）的类型进行以下分类： 自由振动 受初始扰动后不再受外界激励时所作的 振动。 受迫振动 系统受随时间变化的激励作用下产生的 振动。 自激振动 由非振动性激励引起的振动。锣、鼓等
f (u , v , ) u f (u , v , ) v 1
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
确定性系统： 系统特性可以由时间的确定性函数给 出的系统。定则系统 随机系统 天气、人脑的脑电图、图卫七的混沌 自转…
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
第1章 振动系统概论
1.2 振动系统分类
参数共振 由于系统的参数随时间周期变化而引起 的大幅度振动 固有振动
简谐振动
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40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
模态分析理论基础
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生