吉林大学2016~2017第一学期随机数学B试卷答案

吉林大学2016~2017学年第一学期

《概率论与数理统计B 》试卷答案

2017年1月9日

一 二 三 四 总分

一、填空题 （每小题3分，满分18分，把答案填在题中横线上）

1.设B A ,是同一个试验中的两个事件,且2

2.0)(,61.0)(=-=B A P A P ,

则=)(AB P 0.61 .

2.抛掷两颗均匀的骰子，已知两颗骰子点数之和为7点，则其中一颗为1点的概率为 1/3 .

3.设连续性随机变量X 的分布函数在某区间的表达式为

1

1

2

+x ，其余部分为常数，写出此分布函数的完整表达式时当时，当）0,0111x (2

?

??≥+=x x x F ．

4.设二维随机变量)(Y X ，在区域D 上服从均匀分布，D 由曲线

2,1,0,1

e x x y x

y ====

所围成，则),Y X （关于X 的边缘概率密度在e x =点的值为 1/2e ．

5．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且服从同一个分布，期望为μ，方差为2

σ，

令∑==n

i i X X 1

n 1，则=）X D (

n 2σ ． 6．设总体),,(~2σμN X 从总体X 中抽取样本n X X X ,,,21 ，样本均值为X ，样本方差为2

S

，总体

2σμ和均未知，则μ的置信水平为α-1的置信区间为

))

1(,)

1(2

2

n S n t X n

S n t X -+--αα（ ．

二、选择题（每小题3分，满分18分．每小题只有一个选项符合题目要求，把正确选项前的字母填在题后括号内）

1.设C B A 、、三个事件两两相互独立，则C B A 、、相互独立的充分必要条件是

得 分

得 分

（ A ）

)(A 独立与BC A )(B 独立与C A AB )(C 独立与AC AB )(D 独立与C A B A

2.设)(x F 为随机变量X 的分布函数，在下列概率中可表示为)0()(--a F a F 的是（ C ）

)(A {}a X P ≤ )(B {}a X P > )(C {}a X P = )(D {}a X P ≥

3.设两个相互独立的随机变量Y X 与分别服从正态分布)11()10(，和，N N ,则（ B ）

（A ）{}2

10=≤+Y X P （B ）{

}21

1=≤+Y X P （C ）{}2

10

=≤-Y X P （D ）{

}2

11=

≤-Y X P 4．在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，则（ B ）称为第二类错误

（A ）0H 为真，接受1H

（B ）0H 不真，接受0H

（C ）0H 为真，拒绝1H （D ）0H 不真，拒绝0H

5.设随机变量X 的数学期望100)(=X E ,方差10)(=Y D ，则由切比雪夫不等式

{}≥<<12080X P （ D ）

)(A 0.025 )(B 0.5 )(C 0.96 )(D 0.975

6．设321,,X X X 是来自总体)(2σμ，N 的一个样本，其中μ为已知，2

σ为未知，则下列各式中不是统计量的为（ D ）

（A ）μ22-X （B ）2

31X e X X +μ

（C ）),,max(321X X X （D ）)(1

3212

X X X ++σ

三、

（按照要求解答下列各题，每题10分，满分50分） 1.在电报通讯中，发送端发出的是由“g ”和“-”两种信号组成的序列。由于受到随

得 分

机干扰，接收端收到的是“g ”和“-”及“不清”三种信号组成的序列。假设发送“g ”和“-”的概率分别为0.7和0.3；在已知发送“g ”时，接收到“g ”、“-”和“不清”的概率分别为0.8、0.1和0.1；在已知发送“-”时，接收到“g ”、“-”和“不清”的概率分别为0.2、0.7和0.1.

求（1）接收到信号“g ”、“-”和“不清”的概率；

（2）在接收到信号“不清”的条件下，发送信号为“-”的概率。

解: （1）由全概率公式

.............5分

（2）由贝叶斯公式得

3

.01

.03.01.07.01

.03.0)

|()()|()()

|()()|(23213123232=?+??=

+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P ..........10分

2．设连续型随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(

求（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在)1,1-（内的概率．（3）X 的概率密度函数．

解：（1）得1)(,0)(=+∞=-∞F F ， π

ππ

1

21,1)2(,0)2(===+=-

+B A B A B A ，得..............3分 （2）

2

1)4121()4121()

1()1()11(=?--?+=--=<<-ππππF F x P ........... .....6分 （3）X 的概率密度函数+∞<<-∞+='=x x x F x f ,)

1(1

)()(2

π.........10分 3．已知随机变量Y X 和的概率分布分别为

X -1

1

Y 0

1

p

41 21 41

p

21 2

1

并且{}.10==XY P

（1）求二维随机变量),Y X （的概率分布（只写出计算结果表格）；

1

.01.03.01.07.0)(28.07.03.01.07.0)(62

.02.03.08.07.0)|()()|()()(322121111=?+?==?+?==?+?=?+?=B P B P A B P A P A

B P A P B P 1.01.03.01.07.0)(28.07.03.01.07.0)(62.02.03.08.07.0)|()()|()()(322121111=?+?==?+?==?+?=?+?=B P B P A B P A P A B P A P B P

（2）判别Y X 和是否相互独立。

解：（1） X Y

-1

1

j P ?

4

1 0

41 21

1

2

1 0

2

1 ?i p

41 21 4

1 1

（2）由Y X 和的联合分布律和边缘分布律可知 {}{}{}8

12141014101=?==?-==

=-=Y P X P Y X p ，， 所以Y X 和不相互独立。

4．已知随机变量Y X 、分别服从)40(),31(22，，N N ,2

3,21Y

X Z XY +=-=设ρ. 求（1）Z 的数学期望与方差； （2）Z X 与的相关系数；

（3）Z X 与是否相互独立？为什么？

解：（1）由16091

====DY EY DX EX ，，，， 得3

1

2131)23(=+=+=EY EX Y X E EZ ，

324131

4191)

,(31

4191)23(2)2()3()23(

=-+=++=++=++=+=DY DX DY DX Y X Cov DY DX Y

X Cov Y D X D Y X D DZ XY ρ， ................4分 (2)

0332

1

31),(2

1

),(31)23,

(),(=-=+=+=+=DY DX DX Y X Cov X X Cov Y X X Cov Z X Cov XY ρ.................8分

所以0=XY ρ

（3）由于二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两者是等价的结论，可知Z X 与是相

互独立的。 ......................10分

5. 设总体X 的概率密度为0,

010,)(1

>????

?≤≤=-θθθ其他

x x

x f 为未知参数，

n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量。

解：由于 EX x dx θθμθθ==

=

+?

1

10

1

................3分

令,11A =μ即

2

1????

? ??-=X

X θθ的矩估计量为解得 .................................5分 设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为

1

1

2

1

1

1

)

(),()(-=-==∏∏∏===θθθθθθn

i i n i

n

i n i i x x x f L ....................7分

取对数，得

∑=+=n

i i x L 1

ln 1-ln 2n

)(ln ）（θθθ 令0ln 2112)(ln 1

=+

?=∑=n

i i

x

n d L d θ

θθθ

解得θ的最大似然估计值为∑==n

i i x n 12

2)ln (?θ

，

θ的最大似然估计量为∑==n

i i X n 12

2)ln (?θ

.........................10分

四、按照要求解答下列各题（第一小题8分，第二小题6分,

满分14分）

1．已知随机变量X 的概率密度为

e ,0,

()0,0,x x f x x -?>=?

≤?

得 分

求随机变量2Y X =的概率密度函数．

解：设Y 的分布函数为{}()Y F y P Y y =≤.

当0y <时，{}{

}2()0Y F y P Y y P X y =≤=≤=，.........................4分

当0y ≥时，{}{}2

()()()Y

X

X F y P Y y P X

y F

y F y =≤=≤=--，

因此Y 的概率密度函数为1e ,0,2()0,0.y

Y y y f y y -?>?

=??

..........................8分

2．设总体()12~0,,L ，，，n X U X X X θ)2(≥n 是取自总体X 的样本，已知θ的两

个无偏估计量为),max(1?2?n 212

1X X X n

n X ，，，+==θθ，判别21??θθ与哪个更有效? 解：n n n X D X D X D D 3124)(4)(4)2()?(2

2

1

θθθ=====， .................3分 Y n

n X X X Y n 1

?),,,,max(2

21+==θ则记 ???

????<<=-其他

由00)(1θθ

y ny y f n

n Y ???

????+==+==???--θθθθθθ021

22012)(1)(n n dy ny y Y E n n

dy ny y Y E n n n n

[]

)2()()()1()()1()?(2222

2222+=

-+=+=n n Y E Y E n n Y D n n D θθ于是.

更有效比所以因为1

212

2

2

??),?(3)

2()?(θθθθθθD n

n n D =<

+=.................6分