离散数学及其应用第5章-关系模型与理论(下)
离散数学关系-PPT
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学 (5)
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 注意: 题目中没给个体域, 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数 G(y): y为负数 L(x,y): x>y 为正数, 为负数, 为正数 为负数 →y(G(y)→L(x,y))) 或 x(F(x)→ → → xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)) ∧ → 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数 G(y): y是有理数 是无理数, 是有理数, 是无理数 是有理数 L(x,y):x>y : ∧y(G(y)∧L(x,y))) x(F(x)∧ ∧ ∧ 或 xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) ∧ ∧ 两者等值
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谓词: 谓词 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项: 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: …是人,F(a):a是人 是人, 是人 : 是人 是自然数, G: …是自然数, F(2):2是自然数 是自然数 : 是自然数 谓词变项: 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: …具有性质 ,F(x):x具有性质 具有性质F, 具有性质具有性质 : 具有性质 元数: 元数:谓词中所包含的个体变项个数 一元谓词: 一元谓词 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词 ≥ 元谓词, 多元谓词 元谓词 n≥2): 表示个体词之间的关系 有关系L, 如 L(x,y): x与y有关系 , L(x,y): x比y高2厘米 : 与 有关系 : 比 高 厘米 注意:多元谓词中, 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动
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例1(续) 续
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 在命题逻辑中, 是有理数. 在命题逻辑中 设 p: 2 是无理数,q: 33 : 2是无理数, : 是有理数 符号化为 q→p, 这是假命题 → 在一阶逻辑中, x是无理数 是无理数, x是有理 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 F ( ( 22 ) → G (3 )3 ) F ) → G( (3) 如果 如果2>3,则3<4 , 在命题逻辑中, 在命题逻辑中 设 p:2>3,q:3<4. : , : 符号化为 p→q, 这是真命题 → 在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y):x>y,G(x,y):x<y, : , : 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
离散数学的基本概念与应用
离散数学的基本概念与应用离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论。
与连续数学相对应，离散数学主要关注离散化的问题，如整数、图论、逻辑等。
本文将重点介绍离散数学的基本概念和应用领域。
一、离散数学的基本概念1. 整数论：整数论是离散数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中包括最大公约数、最小公倍数、同余关系、剩余类等概念和定理。
这些概念和定理在密码学、编码理论等领域有重要应用。
2. 图论：图论是离散数学的重要分支，研究图以及与图相关的问题。
图是由节点和边构成的数学模型，可以用来描述实际问题中的关系和连接。
图论在计算机科学、网络优化、运筹学等领域有广泛应用。
3. 逻辑：逻辑是数学中研究命题和推理的学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑可以用来分析和验证证明过程的正确性。
逻辑在人工智能、计算机科学等领域有广泛应用。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，研究离散结构的组合性质和计数问题。
它包括排列组合、图的着色、树的计数等内容，广泛应用于密码学、信息论、统计学等领域。
二、离散数学的应用领域1. 计算机科学：离散数学在计算机科学中有广泛并且重要的应用。
例如，图论可以用来研究网络拓扑结构、路径规划等问题；逻辑可以用于编程语言的设计和验证；组合数学可以用于算法分析和优化等。
2. 信息科学：离散数学在信息科学中也有重要应用。
密码学是其中的一个典型例子，通过利用整数论和组合数学的概念，可以设计出安全可靠的密码算法；信息论中的编码理论也涉及到离散数学的知识。
3. 运筹学与管理科学：离散数学在运筹学和管理科学中有广泛应用。
图论可以用于最优路径规划、网络流等问题；排队论可以用于优化生产调度和资源规划等领域。
4. 统计学与概率论：离散数学的一些概念和方法也被应用于统计学和概率论中。
例如，组合数学可以用于计算组合问题的概率；逻辑可以用于推理和证明的建立等。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论，具有广泛的应用领域。
离散数学及其应用课后习题答案
离散数学及其应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为t（因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令p：天气好。
q：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）p?q。
（3）q?p。
（6）p?q。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。
（3）只要努力学习（p），成绩就会好的（q）。
（6）我今天进城（p），除非下雨（q）。
（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）p?q。
（3）p?q。
（6）?q?p。
（10）(?p??q)?(p?q)。
习题1.41. 写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。
证明：?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。
证明：(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
乙说：是丁。
丙说：是乙。
丁说：不是我。
已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？解：设a：甲成绩最好。
b：乙成绩最好。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究
离散数学是研究离散结构的数学分支，它的主要研究对象包括集合、函数、关系、图论、逻辑等。
离散数学模型是离散数学在各个领域中的应用研究，通过构建合适的离散数学模型，可以进行问题的分析、模拟和优化等。
离散数学模型在实际应用中广泛运用，以下就几个典型的领域进行介绍。
1. 计算机科学中的离散数学模型：离散数学在计算机科学中有广泛的应用。
例如在编译器设计中，通过离散数学模型可以实现代码的优化和自动化生成；在图形学中，离散数学模型可以用于图像的处理和渲染；在密码学中，离散数学模型可以用于设计和分析密码算法等。
2. 运筹学中的离散数学模型：运筹学是研究如何通过数学模型和优化方法来解决决策问题的学科。
离散数学模型在运筹学中有着重要的地位。
例如在物流管理中，可以利用离散数学模型来优化货物的配送路径和资源的利用；在排产问题中，可以使用离散数学模型来优化工厂的生产计划和资源调度等。
3. 社交网络分析中的离散数学模型：社交网络分析是研究社交网络结构和社交行为的学科，离散数学模型在这个领域中有着重要的应用。
例如在社交网络中，可以使用离散数学模型来分析网络的拓扑结构、社群结构和信息传播等；在推荐系统中，离散数学模型可以用于计算用户之间的相似度和预测用户的兴趣等。
离散数学模型在各个领域中都有重要的应用，它能够通过建立合适的模型来分析和解决实际问题，为各个领域的发展和进步做出贡献。
随着科技的进步和应用需求的提升，离散数学模型的研究和应用将会越来越受到重视和关注。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学知识点及其应用
离散数学知识点及其应用1. 集合论- 集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。
集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。
- 集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。
集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。
- 数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。
数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。
- 二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。
二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。
2. 图论- 图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。
图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。
- 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
- 图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。
图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。
- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
- 最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
3. 布尔代数- 基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。
基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。
- 逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。
逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。
- 逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。
逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。
- Karnaugh图：用于简化逻辑表达式的图形方法。
Karnaugh 图：用于简化逻辑表达式的图形方法。
4. 组合数学- 排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。
排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。
离散数学导论(盘) 教学课件 作者 王元元 张桂芸 第五章演示文稿-支持高清浏览
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定理5.17
设R是集合A上任一二元关系，那么 1 如果R是自反的，那么s(R)和t(R)都是自反的。 2 如果R是对称的，那么r(R)和t(R)都是对称的。 3 如果R是传递的，那么r(R)是传递的。
第五章 关
系2. 关系
4.
关系特性闭包
定理5.18
4 称A为R的前域，B为R的陪域。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.2 关系的基本运算
定义5.6
称关系R和S相等，如果R与S有相同的
前域和陪域，并且 x y(xRy xSy)
定义5.7
设R是A到B的关系，R的逆关系或逆 （converse
是B到A的关系，记为R~， 规定为 R~= ｛<y,x> xRy｝
如果R为A上的自反、对称、传递的二元 关系。
第五章 关
系3. 等价关系
1.
等价关系
定义5.12
设R为集合A上的等价关系。对每一a A，
a的等价类（equivalent class），记为[a]R
（或简单地记为[a]），指下列集合
[a]R=｛x x A∧xRa｝ a称为[a]R的代表元素。
第五章 关
特性之一，则R1 R2仍有此性质。 2 自反、反自反、对称性对并运算封闭。 3 反自反、对称、反对称性对差运算封闭。 4 对称性对补运算封闭。 5 五大特性对求逆运算均封闭。 6 自反性对合成运算封闭，其他四大特性对合成运算
均不封闭。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定义5.10
设R是集合A上二元关系，称R "为R的自反闭包 （对称闭包，传递闭包），如果R"满足： （1）R"是自反（对称的，传递的）。 （2）R R"。 （3）对任意A上关系R"" ，若R""满足（1）和（2）
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计算机应用技术研究所
4
Байду номын сангаас
关系的基本性质
☺ 关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 关系的传递性 关系性质的判定
自反与反自反
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
小结
2020/3/7
关系性质的判断
2020/3/7
关系性质的判断
2020/3/7
关系性质的判断
2020/3/7
关系性质的判定
2020/3/7
关系性质的判定
2020/3/7
关系性质的判定
2020/3/7
例题
【例题】试举例说明下列事实： R和S是反自反、反对称和传递的，但是R∘S不一定具有反自反性和反
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第5章 关系模型与理论 (下)
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
本章学习内容
3
关系的基本性质
4
关系的性质闭包
5
关系模型的应用
2020/3/7
关系的基本性质
2020/3/7
2020/3/7
例题
【解】图b的关系是反自反的，因为每个顶点都没有自环 ；是反对称的，因为两条边都是单向边；是传递的，因为 不存在顶a,b,c∈{1,2,3}，使得a到b有边，b到c有边，但 a到c没有边. 同理可知，图c的关系是自反的、反对称的 ，但不是传递的.
2020/3/7
例题
【例题】设A={1,2,3,4,6,12}，A上的整除关系记为R，则R是自反的、 对称的、反自反的、反对称的、传递的吗？画出A中关系R的关系. 【解】关系R是A中的关系，所以它的关系图如下图所示. 从图中容易看出，R是自反、反对称和传递的，不是反自反的，也不是 对称的. 容易验证，一般正整数集合中整除关系都具有自反性、反对称性、传递 性，而不具有反自反性和对称性.
关系的基本性质
关系的自反与反自反 ☺ 关系的对称与反对称 关系的传递性 关系性质的判定
对称与反对称
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
【例题】试判断下列关系是否具有对称性和反对称性. （1）对任意集合A，其幂集Q（A）上的包含关系； （2）整数集Z上的整除关系. 【分析】（1）当两个集合不相等时，如果有其中一个集合包 含于另一个，则反过来必然没有包含关系，故有反对称性但没 有对称性；（2）当整数a和整数b不等时，若a整除b，则必有b 不能整除a，故有反对称性但没有对称性. 【解】对任意集合A，其幂集P(A)上的包含关系具有反对称性 ；整数集Z上的整除关系具有反对称性.
对称性；R∪S不一定具有反对称性和传递性； 【解】设A={1,2,3}，R和S是定义在A上的两个关系： R={〈1,2〉,〈2,3〉,〈1,3〉}； S={〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉} 显然R，S都是反自反的、反对称和传递的. 但 R∘S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈2,1〉,〈1,2〉}不具有反自反性和反对称性； R∪S={〈1,2〉,〈2,3〉,〈1,3〉,〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉}不具有反对称性和传递性.
2020/3/7
小结
2020/3/7
关系的基本性质
关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 ☺ 关系的传递性 关系性质的判定
传递性的定义
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
小结
2020/3/7
关系的基本性质
关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 关系的传递性 ☺ 关系性质的判定
2020/3/7
例题
【例题】试判断下图关系的性质 【解】图a的关系在集合{1,2,3}上是对称的，因为结点1与2，1与3之间的 有向边是成对出现且方向相反；因为有的点有自环，有的点没有自环，故 不是自反的，也不是反自反的；因为〈2,1〉∈R，〈1,3〉∈R，若是传递关系， 必有〈2,3〉∈R. 然而结点2没有一条指向结点3的有向边，故不是传递的；因 为〈2,1〉∈R且〈1,2〉∈R，但 1≠2，故不是反对称的.
2020/3/7
例题
【例题】试举例说明下列事实： R和S是自反、对称和传递的，但是R∘S不一定具有对称性和传递性；R-S不一
定具有自反性和传递性. 【解】设A={1,2,3}，R和S是定义在A上的两个关系： R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉,〈2,1〉}； S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,2〉,〈2,3〉}显然R，S都是 自反、对称和传递的. 但是： R∘S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈2,3〉,〈3,2〉〈1,2〉,〈2,1〉,〈1,3〉}不具有对称性和传递性； R-S={〈1,2〉,〈2,1〉}不具有自反性和传递性.
关系闭包的概念
2020/3/7
构造方法
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
构造方法
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
【例题】设集合A={1,2,3,4}，R是A上的关系，且有： R={〈1,2〉,〈2,2〉,〈3,4〉}. 试画出R的关系图，并根据关系图求出 r(R)，s(R)和t(R). 【解】R的关系图如左图所示. 从关系图上看，如果每个结点都 有自环，那么该关系就具有自反性. 故可在R的关系图的结点1 ，3和4处添加自环，即得到r(R)的关系图，如右图所示，故有 ：r(R)={〈1,2〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,1〉,〈3,3〉,〈4,4〉}.
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
本节内容到此结束
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本章学习内容
3
关系的基本性质
4
关系的性质闭包
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关系模型的应用
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关系的性质闭包
2020/3/7
计算机应用技术研究所
42
关系的闭包运算
☺ 关系闭包的概念 传递闭包的构造 关系闭包的性质