微积分下册期末试卷及答案
微积分下册期末试卷及答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷评分阅卷人1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________. 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A)1p >(B)1p <(C)12p <<(D)2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A)123I I I >>(B)213I I I >> (C)123I I I <<(D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A)b ax y +=(B)xe b ax y 3)(+=(C)x e bx ax y 32)(+=(D)xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ). (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定 三、计算题(每小题6分,共60分)评分评分评阅人11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .评分评阅人13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 评分评阅人15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .评分评阅人16、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.评分评阅人17、解微分方程x y y +'=''.评分评阅人18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.评分评阅人19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.评分评阅人20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)评分评分评阅人21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 评分评阅人22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-.4、1.5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D). 三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32yx =的反函数为23,0x y y =>。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下册期末试卷及答案剖析
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I>>(C) 123I I I << (D) 213I I I<<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()D xy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12nnu与∑∞=12nnv都收敛,则∑∞=+12)(nnnvu收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x yy-+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y-+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、(B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下试题及答案
微积分下试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 有界函数B. 无界函数C. 单调递增函数D. 单调递减函数答案：B2. 若函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 在 \( x = 3 \) 处取极值，则 \( g(x) \) 在 \( x = 3 \) 处为：A. 极大值B. 极小值C. 不是极值D. 不确定答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 无法确定答案：C5. 若函数 \( h(x) = \sin x + \cos x \) 的导数 \( h'(x) \) 在区间 \( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上为：A. 非正函数B. 非负函数C. 正值函数D. 负值函数答案：B6. 函数 \( F(x) = \int_0^x e^t dt \) 的值域是：A. \( (-\infty, 1] \)B. \( [1, \infty) \)C. \( (0, \infty) \)D. \( (-\infty, 0] \)答案：C7. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，且 \( y(2) = 4 \)，则 \( y \) 的一个可能表达式是：A. \( y = x^3 - \frac{4}{3}x^3 + 4 \)B. \( y = x^3 - x^2 + C \)C. \( y = x^3 - 2x + C \)D. \( y = x^3 - \frac{10}{3}x^3 + C \)答案：A8. 函数 \( G(x) = e^x \) 的 \( n \) 阶导数 \( G^{(n)}(x) \) 是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( 0 \)答案：A9. 曲线 \( y = \ln x \) 的水平渐近线方程是：A. \( y = 0 \)B. \( y = 1 \)C. \( y = -1 \)D. \( x = 1 \)答案：C10. 若 \( \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3} \)，则\( \int_{-1}^{1} x^3 dx \) 等于：A. \( -\frac{2}{4} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( -\frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的最小值是 ________。
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
微积分下期末考试试题
微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^{-1} \)C. \( \frac{1}{x} \)（不包括x=0）D. \( \frac{1}{x} \)（不包括x<0）2. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 \)B. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 \)C. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 \)D. 无法确定3. 泰勒级数展开 \( \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)B. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)C. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} \)D. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} \)4. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 1 \)C. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( f(x) = \ln|x| \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在D. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 \( f(x) = \sin(x) + e^x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分。
微积分下册期末试卷及答案
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x . 13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx. 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
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13、由确定，求.
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14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值.
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15、计算.
评 分
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16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域.
评 分
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17、解微分方程.
评 分
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18、判别级数的敛散性.
评 分
评
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二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、和在存在且连续是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面 所围的体积是( ). (A) (B) (C) (D)
， 于是
，所以是函数的极大值点，且
…（4分） 对
有
，
，
， 于是
，
不是函数的极值点。
…（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资
料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间
的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广
告策略.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
故 在 下的极小值点为
,极小值为
(6分)
15、计算. 解：
(6分)
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域. 解： ＝ ＝
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：
…（6分）
= 又，即，故，所以
8、求解微分方程=0 。 解：令
…（5分） …（6分）
，则
，于是原方程可化为：
…（3分） 即
，其通解为
…（5分） 即 故原方程通解为：
…（6分）
9、求级数
的收敛区间。 解：令
,幂级数变形为
,
.
…（3分）
当时,级数为
收敛； 当时,级数为
评 分
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13、求由所确定的隐函数的偏导数 .
评 分
评 阅 人
14、求函数的极值.
评 分
评 阅 人
15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告. 根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸 广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
. 若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.
分
评 分
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21、设级数
收敛，证明
也收敛.
评 分
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22、设,证明:.
07年（B）卷参考答案
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21、设
，证明： .
评 分
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22、若与都收敛,则收敛.
答案
一、填空题(每小题3分,共. 4、1. 5、
. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ). 7、 (B). 8、(A ) . 9、(D). 10、(D).
三、计算题(每小题6分,共60分) 11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积. 解：
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二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、已知与均收敛, 则常数
的取值范围是( ).
(A) (B) (C) (D)
7、对于函数
,点 ( ).
(A) 不是驻点 (C) 是极大值点
8、已知 , ,其中为 ,则( ). (A) (B) (C) (D)
(B) 是驻点而非极值点 (D) 是极小值点
。（）
4、微分方程具有
形式的特解.（）
5、设
，则
_________。（1） 二、选择题(每小题3分,共15分) 1、
的值为 （ A ）
A.3
B.0
C.2
D.不存在
2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
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14、用拉格朗日乘数法求 在满足条件 下的极值.
评 分
评 阅 人
15、计算.
评 分
评 阅 人
16、计算二重积分
,其中
是由
轴及圆周
所围成的在第一象限内的区域.
评 分
评 阅 人
17、解微分方程.
评 分
评 阅 人
18、判别级数的敛散性.
评 分
评 阅 人
19、将函数展开成的幂级数.
评 分
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求极限
.
评 分
评 阅 人
12、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评 分
评 阅 人
13、求由所确定的隐函数的偏导数
.
评 分
评 阅 人
14、求函数 的极值.
评 分
评 阅 人
15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告. 根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸 广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
卷 人
1、设，且当时，，则
.
2、计算广义积分=
.
3、设，则
.
4、微分方程具有
5、设 ，则 _________
形式的特解.
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A)
(B) (C)
(D)不存在
7、和存在是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
中南民族大学06、07微积分（下）
试卷及参考答案
06年A卷
评
阅
卷
分
人
1、已知
,则_____________.
2、已知,则___________.
3、函数
在
点取得极值.
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________.
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面所围的体积是( ).
(A) (B)
(C)
(D)
9、设二阶常系数非齐次线性方程
有三个特解，，，则其通解为( ).
(A)
(B)
(C) (D)
10、无穷级数 (为任意实数) ( ).
(A) 收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 无法判断
。 解：
…（3分）
…（6分） 2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。 解：
…（4分）
分） 3、求由所确定的隐函数的偏导数
。 解：方程两边对求导得: ,有
方程两边对求导得: ,有 4、求函数
…（3分） …（6分）
的极值。 解：
，则
，
，
，
，
…（6
求驻点，解方程组 得和
.
…（2分）
对有
，
，
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19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
评 分
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20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广 告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的 及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
， 求最优广告策略.
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
分
也收敛。
证：，
…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为,
…（2分）
…（4分）
所以.
…（5分）
评
阅
一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，且当
时，
，则
.
2、计算广义积分
.
3、设，则
. 4、微分方程具有
形式的特解.
5、级数的和为
.
评 分
评 阅 人
16、计算二重积分,其中是由, 及所围成的闭区域.
评 分
评 阅 人
17、已知连续函数满足，求.
评 分
评 阅 人
18、求微分方程的通解.
评 分
评 阅 人
19、求级数的收敛区间.
评 分
评 阅 人
20、判定级数
是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收 敛.
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
9、方程具有特解( ).
(A)
(B)
(C) (D)
10、级数收敛，则级数( ).
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 敛散性不定
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评 分
评 阅 人
12、求二重极限.
评 分
评 阅 人
13、设,求.
评 阅 人
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产