排列组合培优训练
高中数学培优班排列组合训练题
高中数学培优班排列组合训练题解排列组合应用题的21种策略1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A=种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A=种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种B、44412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种答案：A.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有23 4336C A=种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C=种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A+++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合训练
凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)一．选择题（共20小题）1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A 140种B 84种C 70种D 35种2．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i（i=2，3，4，5，6）总有a k（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|a i﹣a k|=1，则这样的排列共有（）A 36B 32C 28D 203．各位数字之和为8的正整数（如8，17，224）按从小到大的顺序构成数列{a n}，若a n=2015，则n=（）A 56B 72C 83D 1244．某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0，2，6，8}中选3个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A 198个B 180个C 216个D 234个5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A ．48种B．72种C．96种D．108种6．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A 135B 172C 189D 2167．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i （i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A ．22种B．24种C．25种D．36种8．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2}的不同分拆种数是（）A ．8 B．9 C．16 D．189．2011年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法（）A ．336 B．408 C．240 D．26410．已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且R），则满足条件的函数有（）A ．10个B．12个C．18个D．24个11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A ．12种B．18种C．24种D．36种12．若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（）A ．50个B．70个C．90个D．180个13．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A ．6种B．9种C．11种D．23种14．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B．12种C．24种D．48种15．高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A ．129种B．148种C．165种D．585种16．方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A ．28条B．32条C．36条D．48条17．设a n是（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则的值为（）A ．18 B．17 C．﹣18 D．1918．某中学信息中心A与该校各部室、各年级B、C、D、E、F、G、H、I之间拟粒信息联网工程，经测算各段费用如图所示（单位：万元）．请据图计算，要使得中心与各部室、各年级彼此都能连通（可以直接连通或中转，从而不建部分网线就节省费用），则最少的建网费用是（）A ．10 B．13 C．14 D．1219．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（）A ．8568 B．2142 C．2139 D．113420．从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（）A ．42种B．22种C．23种D．40种二．填空题21．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为．（直接用数字作答）22．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种．23．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．24．对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…i n）（n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组（i1，i2，i3，…，i n）中的逆序数为n，则数组（i n，i n﹣1，…，i1）中的逆序数为．25．用5种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有1、2、3、4、5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为．26．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种（用数字作答）．27．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为．（结果用数字表示）28．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有个．29．二项式（x3+）n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为；已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是．30．以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有种不同的选法．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)参考答案一．选择题（共20小题）1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．C11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．D 19．B 20．B二．填空题（共10小题）21．3645 22．31 23．721 24．425．1200 26．30 27．14428．100 29．210-2lg2 30．36凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)一．选择题1．已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（）A ．C20103个B．A32010个C．2A21005个D．2C21005个2．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（）A ．1998年B．2000年C．1950年D．1960年3．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A ．48 B．96 C．144 D．1924．已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“x∈A”y与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B 为一组U（A，B），规定：U（A，B）≠U（B，A）．当集合U={1，2，3，4，5}时，所有的U（A，B）的组数是（）A ．70 B．30 C．180 D．1505．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A ．5种B．6种C．7种D．8种二．填空题6．将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有7．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i p＞i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是．8．定义：我们把阶乘的定义引申，定义n!!=n（n﹣2）（n﹣4）…，若n为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!!=0．我们称之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是．（结果用含双阶乘的形式表示）9．对于正整数n和m（m＜n）定义n m!=（n﹣m）（n﹣2m）（n﹣3m）…（n﹣km）其中k是满足n＞km的最大整数，则=．10．原有m个同学准备展开通信活动，每人必须给另外（m﹣1）个同学写1封信，后来又有n 个同学对活动感兴趣，若已知5＞n＞1，且由于增加了n个同学而多写了74封信，则原有同学人数m=．11．已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为．12．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）．13．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、16．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）．17．圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．18．将3种作物种植在如图块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字答）三．解答题19．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．20.某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．21．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．22．（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．23．设数列{a n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求a1；（2）用n，x表示数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（3）若，用n，x表示A n．24．已知a n=A n1+A n2+A n3+…+A n n（n∈N*），当n≥2时，求证：（1）；（2）．25．已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．26．将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1，a2，…，a n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a1，a2，…，a n）=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…|a n﹣1﹣a n|为排列a1，a2，…，a n的波动强度．（Ⅰ）当n=3时，写出排列a1，a2，a3的所有可能情况及所对应的波动强度；（Ⅱ）当n=10时，求τ（a1，a2，…，a10）的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a1，a2，…，a10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．27．设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1，2，…2n﹣1}中至少有一个i使得|x i﹣x i+1|=n，则称排列x1，x2，x3，…，x2n具有性质P．（Ⅰ）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；（Ⅱ）求n=3时不具有性质P的排列的个数；（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．28．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f k是集合{a i|a i＜a k，i＞k}元素的个数，而g k是集合{a i|a i＞a k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f n=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明．29．已知f n（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；（Ⅲ）证明：．30．设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)参考答案一．选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．C二．填空题6．6 7．13 8．9．10．18 11．216 12．216 13．96 14．39015．5832 16．5190 17．2n（n-1）18．42凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(三)。
排列组合培优题
排列组合培优题
五个不同的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，有多少种放法？
有10本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中一人得4本，另两人各得3本，有多少种分法？
用0, 1, 2, 3, 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？
用1, 2, 3, 4, 5这五个数字可以组成多少个无重复数字的五位奇数？
一个班级有20名学生，要从中选出3名学生代表班级参加学校的活动。
如果每名学生被选中的机会是均等的，那么有多少种不同的选法？在一个由3个男生和4个女生组成的团队中，要选出2名男生和2名女生组成一个子团队。
有多少种不同的选法？
从1, 2, 3, ..., 9这9个数字中任取3个数字，使它们成等差数列，这样的等差数列有多少个？
有5个不同的红球和4个不同的白球，从中任取3个球，使红球不少于白球，有多少种取法？
一个密码锁有4个位置，每个位置可以放置0-9中的任意一个数字，但是相邻的两个位置上的数字不能相同。
问这个密码锁有多少种不同的密码组合在一个正方形的8个顶点中任取4个顶点，顺次连结得到一个四边形，其中是正方形的有多少个？
这些题目涵盖了排列组合的多个方面，包括基本的计数原理、分组问题、限制条件下的排列组合等。
通过解决这些问题，你可以提高你的数学思维和解题能力。
高中数学排列组合专题练习题
高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。
所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。
2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。
若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。
所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。
3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。
偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。
0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。
此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。
排列组合培优训练
排列组合强化训练1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为( )A．120 B．324 C．720 D．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A．40 B．74 C．84 D．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有( )A．18个B．15个C．12个D．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是( )A．512 B．968 C．1013 D．10245．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A．36 B．32 C．24 D．206．现有一个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有( )A．20个B．60个C．120个D．90个7．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是( )A．2男6女B．3男5女C．5男3女D．6男2女8．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为( )A．18 B．9 C．24 D．279．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有( )A．24种B．36种C．60种D．66种10．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的个数为( )A．8 B．9 C．10 D．1111．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有( )A．36种B．42种C．50种D．72种12.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为( )A 60B 48C 30D 2013．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有_______.14. 将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有_________种不同的方法.15.现从某校5名学生中选出3分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是．16.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有. 17.市内某公共汽车站有10个候车位（排成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_______________种.18.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种（以数字作答）19.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数为（）A．60 B．80 C．120 D．14020.从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有________种参赛方案.21.一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有______种22. 有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。
排列组合训练题(含答案)
概率、排列组合、二项式定理专项训练1．5名志愿者随机进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）A.53B.151C.85D.81502．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则2log 1x y =的概率为（ ） A ．16 B ．536C ．12D ．112 3．记集合(){}22,|16A x y xy =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ） A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ- 4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为225颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）． A ．16 B ．17 C ．18 D ．195.已知,m n 是某事件发生的概率取值，则关于x 的一元二次方程20x nx m -+= 有实根的概率是 （ ）A.12B. 14C. 18D. 1166．某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采取抽签方式确定他们演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ） A ．110 B ．120 C ．140 D ．11207．有10个人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有（ ）种排法。
A ．510C B ．105105A A ÷ C ．10102A ÷ D ．55105A A8.有6个人围成一圈站,不同的站法种数为( )A ．720种B ．420种C ．120种D ．60种 9．用0、1、2、3组成个位数字不是1且没有重复数字的四位数共有( )． A ．10个 B ．12个 C ．14个 D ．16个10．某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①26C ；②627-；③345666662C C C C+++，其中正确的结论是（ ）A ．①B ．①与②C ．②与③D ．①②③11．从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（ ） A.180 B.360 C.480 D.72012．设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 （ ） A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个13．五名男同学,三名女同学外出春游,平均分成两组,每组4人,则女同学不都在同一组的不同分法有 A ．30种 B ．65种 C ．35种 D ．70种14．如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( ) A.60 B.480 C.420 D.7015．若在231(3)2nx x-的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．1352- B ．135- C ．1352D ．13516．7(1)x -展开式中系数最大的项为 （ ） A.第4项 B.第5项 C.第7项 D.第8项17．若521()1x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．8C ．－1或－9D ．1或918．在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项19．若3162323()n n C C n N ++*=∈且2012(3)n n n x a a x a x a x -=++++ ，则012(1)nna a a a -+-+-= ( )A.256B.-256C.81D.-81 20．如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝（ ） A. 2nB. 2n -1C. 2n -2D. (n －1)2n -121．若对任意实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x 成立，则=++321a a a （ ） A ．1 B ．8 C ．19 D ．27 22．若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈，则sin cos 1θθ+≥的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．211 D ．61123．连续抛掷一枚质地均匀的骰子，记下每次面朝上的点数，若出现三个不同的数就停止，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ）A ．720B ．840C ．1200D ．168024.有两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个人在不同层离开的概率为 （ ） A.19 B. 29 C. 49 D. 8925．有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，在两端都有红球的排列中，其中红 球甲和黑球乙相邻的排法有（ ）A ．720B ．768C ．960D ．144026. 4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则四张贺卡的分配方式有（ ）A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种27.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ） A.24对 B.30对 C.48对 D.60对28．已知9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||||9210a a a a ++++ 等于（ ） A ．29B ．49C ．39D ．129．已知2015220150122015(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则20242014()a a a a ++⋅⋅⋅+-21352015()a a a a ++⋅⋅⋅+= （ ）A.12--B. 12-C. 1D.1- 30．已知()4220121x a a x a x +=++++ 7878a x a x +，则从集合,i j a M x x x R a ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭（0,1,2,,8;i = 0,1,2,,8j = ）到集合{}1,0,1N =-的映射个数是（ ） A ．6561 B ．316 C ．2187 D ．21031．设n a （2n ≥，*n N ∈）是(3)nx -的展开式中x 的一次项系数，则23182318333a a a +++= ．32．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．33．在区间[]0,1内随机的取两个数,a b ，则满足102a b ≤+≤的概率是 ；（用数字作答） 34．若二项式1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．35.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
人教版小学数学四年级下册第四单元培优整理
人教版小学数学四年级下册第四单元培优整理第一类：排列组合类1.用0、4、8和小数点可以组成哪些不同的两位小数(每个数字都用上，且只能用一次)?请把它们都写出来。
2.用数字卡片8、7、5、0和小数点组成不同小数。
保留整数，近似数是6的小数有哪些？保留整数，近似数是1的小数有哪些？（每张卡片只能用一次）3.用3、5、6这几个数字和小数点“.”可以组成多少个不同的小数?把它们按从小到大的顺序排列起来。
(数字不能重复)4.用3、0、2、1四个数字，按要求写出下面各数。
（1）写出小于1的两位小数，并按从小到大的顺序排列。
（2）写出大于30小于100的一位小数，并按从大到小的顺序排列。
(在每一个小数中，每个数字只能用一次)5.用“0,0,6,6”和小数点“·”写出符合要求的小数。
（1）去掉一个“0”而大小不变的小数。
（2）去掉两个“0”而大小不变的小数。
（3）一个“0”也不能去掉的小数。
6.用6、6、0、0和小数点组数。
组成一个只读一个零的小数（）,组成一个读两个零的小数（）,组成一个不读出零的小数（）。
7.用2、0、3、5这几个数字和小数点“.”写出下面各数，每个数字都要用上并且只能用一次。
(1)0不读出来且小数部分是两位的小数( )。
(写3个)(2)0读出来且小数部分是两位的小数( )。
(写3个)第二类：求最值类1.□里最大能填几？4.74□≈4.74 0.78□≈0.780.9□≈1 35.1□≈35.27.06□≈7.04 2.63□≈2.6412.6□≈12.6 8.1□≈8.12.在方框里填数字，使 0. 9分别符合下列要求。
(1)要使这个数最大，这个数是( )。
(2)要使这个数最小，这个数是( )。
(3)要使这个数最接近50,这个数是( )。
(4)要使这个数最接近71,这个数是( )。
3.哪些小数的百分位“四舍”后成为9.8？哪些小数的百分位“五入”后成为9.8？4.一个小数点后有三位的小数，精确到百分位后约是2.36,这样的小数共有几个?请把它们写出来。
春季12-高二数学培优版-排列组合问题-思维方法-课后作业学生版
1、 如图A 、B 、C 、D 为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的修筑方案共有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种2、 一圆周上有9个点,以这9个点为顶点作三个三角形,当这三个三角形的边互不相交时,我们把它称为一种构图．则满足这样条件的构图共有 ( )A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种3、从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？4、从10,,4,3,2,1 这10个自然数中，每次取出不同的两个，使它们乘积是6的倍数，则不同的取法有__________种。
排列组合问题-思维方法5、设4321,,,x x x x 为自然数1，2，3，4的一个全排列，且满足643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有 个.6、 某年数学竞赛邀请了一位来自X 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题：然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n 种，则n 的值为（ ）A. 512B. 511C. 1024D. 10237、（2010理14）以集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1),U ∅都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有_________种不同的选法8、如图，甲从A 到B ，乙从C 到D ，两人每次都只能向上或者向右走一格. 如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有_____对.（用数字作答）9、将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =中的元素分成1234,,,M M M M 四个三元子集，使得每个三元子集中的三个数都满足：其中一个数等于另外两数之和，试求不同的分法种数.10、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．10、如图，用四种不同颜色给图中的,,,,,A B C D E F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种 DAC BA、288种B、264种C、240种D、168种。
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排列组合强化训练
1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为( )
A．120 B．324 C．720 D．1280
2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )
A．40 B．74 C．84 D．200
3．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有( ) A．18个B．15个C．12个D．9个
4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是( )
A．512 B．968 C．1013 D．1024 5．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )
A．36 B．32 C．24 D．20
6．现有一个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有( )
A．20个B．60个C．120个D．90个
7．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是( )
A．2男6女B．3男5女C．5男3女D．6男2女
8．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为( )
A．18 B．9 C．24 D．27
9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有( )
A．24种B．36种C．60种D．66种10．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的个数为( )
A．8 B．9 C．10 D．11 11．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有( )
A．36种B．42种C．50种D．72种
12.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，
现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为( )
A 60
B 48
C 30
D 20
13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有_______. 14. 将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有
_________种不同的方法.
15.现从某校5名学生中选出3分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要
求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是．
16.从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项
义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派
方法共有.
17.市内某公共汽车站有10个候车位（排成一排），现有4名乘客随便坐在某个
座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_______________种.
18.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，
每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种（以数字作答）
19.从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成综合高考科
目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数为（）A．60 B．80 C．120 D．140
20.从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一
棒，乙不能跑第四棒，共有________种参赛方案.
21.一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有______种
22. 有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。
23. 有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不
变，那么不同的排法有种。
24.由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数
字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有个。
25.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？
a、甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。
b、一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。
c、甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。
d、一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。
26. 2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共
有种。
27.用0、1、2、3⋯9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数
字的五位数有______个.
28.用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序
排列23140是第____个数.
29.用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中
①能被5整除的数有_____个. ②能被3整除的数有______个.
30.用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重
复的五位数有个。
31.有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一
人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。