知识讲解 条件概率 事件地相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （AB ）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P(B|A)与P(AB)的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。
区别：①在P(B|A)中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件A 先发生事件B 后发生；在P(AB)中，事件A ，B 同时发生；②基本事件空间不同在P(B|A)中，事件A 成为基本事件空间；在P(AB)中，基本事件空间仍为原基本事件空间。
2．条件概率公式的变形． 公式()(|)()P AB P A B P B =揭示了P （B ）、P （A ｜B ）、P （AB ）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若P （B ）＞0，则P （AB ）=P （B ）·P （A ｜B ），该式称为概率的乘法公式． 要点诠释条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如： ①任何事件的条件概率取值在0到1之间；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③条件概率也有加法公式：P （B ∪C ｜A ）=P （B ｜A ）+P （C ｜A ），其中B 和C 是两个互斥事件． 要点三、相互独立事件 1.定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件A 和事件B ，用A B ⋅表示事件A 、B 同时发生。
（1）若A 与B 是相互独立事件，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅； （2）若事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
要点诠释（1）P （AB ）=P （A ）P （B ）使用的前提是A 、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．（2）两个事件A 、B 相互独立事件的充要条件是()()()P A B P A P B ⋅=⋅。
3．相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件A ，B ，它们发生的概率为P （A ），P （B ），将A ，B 中至少有一个发生记为事件A+B ，都发生记为事件A·B ，都不发生记为事件A B ⋅，恰有一个发生记为事件A B A B ⋅+⋅，至多有一个发生记为事件A B A B A B ⋅+⋅+⋅，则它们的概率间的关系如下表所示：【典型例题】 类型一、条件概率例1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？【思路点拨】（1）在乙地为雨天的事情业已发生的情况下，求甲地也下雨的概率，为典型的条件概率问题。
【解析】设A表示“甲地为雨天”，B表示“乙地为雨天”，则根据题意有P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12．（1）()0.12(|)0.67()0.18P ABP A BP B==≈；（2）()0.12(|)0.60()0.20P ABP B AP A===．【总结升华】这类条件概率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发生有没有影响。
若没有影响，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。
举一反三：【变式1】甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两人在一天卖出一份产品的概率分别为35和710，两人在一天都卖出一份产品的概率为12，问：（1）在一天甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？（2）在一天乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？【答案】事件A=“甲在一天卖出一份产品”，事件B=“乙在一天卖出一份产品”，因为两人在一天卖出一份产品的概率分别为35和710，两人在一天都卖出一份产品的概率为12，所以3()5P A=，7()10P B=，1()2P AB=。
（1）因为“在一天甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天卖出一份产品后，乙卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得1()52 (|)3()65P ABP B AP A===；（2）因为“在一天乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙在一天卖出一份产品后，甲卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得1()52 (|)7()710P ABP A BP B===。
【变式2】若3()4P A=，1(|)2P B A=，则()P AB等于（）A．23B．38C．13D．58【答案】B313()(|)428P AB P A P B A =⋅=⨯=（）。
【变式3】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（ ）A ．35 B ．13 C ．59 D ．49【答案】C设i A =“第i 次取到好的晶体管”（i =1，2）。
因为163()105P A ==，12651()1093P A A ⨯==⨯， 所以12211()5(|)()9P A A P A A P A ==。
例2． 5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率 【思路点拨】 本题考查古典概型、条件概率．（1）和（2）中利用mP n=解决，（3）利用条件概率公式解决．【解析】 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB ．（1）113425123()205A A P A A ===． （2）232563()2010A P AB A ===．（3）3()110(|)3()25P AB P B A P A ===．【总结升华】（1）求条件概率(|)P B A 的关键就是要抓住事件A 作为条件和事件A 与B 同时发生这两件事，然后具体问题具体对待。
（2）本题第（3）问可用下面的方法求解： 用n （A ）表示事件A 中包含的基本事件个数， 则n （A ）=12，n （AB ）=6，故()61(|)()122n AB P B A n A ===． 举一反三：【变式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自的概率是多少？【答案】用A 表示“任选一人是女生”，B 表示“任选一人来自”，依题意知的学生有8名女生，这是一个条件概率问题，即计算P （B ｜A ）．由于40()100P A =，8()100P AB =， ∴8()1100(|)40()5100P AB P B A P A ===．【变式2】在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第1次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是（ ）A ．15 B ．845C ．89D ．45 【答案】C利用缩小样本空间的方法求解。
因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中有8支正品， 所以第二次取正品的概率是89。
【变式3】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，求：（1）取两次，两次都取得一等品的概率； （2）取两次，第二次取得一等品的概率；（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
要点二、条件概率的公式1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 要点诠释概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56
第04讲事件的相互独立性与条件概率讲义-2024届高三数学一轮复习
第04讲 事件的相互独立性与条件概率【必备知识】1．相互独立事件(1)定义：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．2．条件概率(1)定义：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P (B |A )＝n （AB ）n （A ）； ②概率的乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A )．3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ．则对Ω中的任意事件B ⊆Ω，有)|()()(1ini i A B P A P B P ∑==． 考点12 条件概率的计算【常用方法】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 【典例分析12】1、小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0．4，在第二个路口遇到红灯的概率为0．5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0．2．某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )A ．0．2B ．0．3C ．0．4D ．0．5(2)端午节当天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明从中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A ．17B ．13C ．37D ．310考点13 相互独立事件的概率的求法【常用方法】相互独立事件的概率的求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)间接法：正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【典例分析13】1、我们知道，排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25 ，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x )．考点14全概率公式的应用【常用方法】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1，2，…，n)；(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i)；(3)代入全概率公式计算．【典例分析14】1、某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，且四条流水线的产品不合格率分别为0．05，0．04，0．03和0．02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
知识条件概率事件相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
高三总复习数学课件 事件的相互独立性与条件概率
[逐点清]
1．(必修第二册 248 页例 2 改编)天气预报预测，在元旦假期期间甲地的降雨概率
是 0．2，乙地的降雨概率是 0．3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没
有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
()
A．0．2
B．0．3
C．0．38
D．0．56
解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A－B ＋
02考Leabharlann 分类突破 课堂讲练理解透 规律明 变化究其本
独立事件的概率
(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛 的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘 汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12． (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．
事件的相互独立性与条件概率
(1)在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 能计算简单随机事件的条件概率；(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系， 会用乘法公式计算概率；(3)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
－A B，∴P(A－B ＋－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0．2×0．7
＋0．8×0．3＝0．38．
答案：C
重点二 条件概率 1．概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ PPAAB为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．两个公式 (1)利用古典概型，P(B|A)＝nnAAB； (2)利用概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) .
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性(理)(基础)
条件概率事件的相互独立性【学习目标】1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且()0P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号(|)P B A表示。
(|)P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．它们的联系是：() (|)()P ABP A BP B=．要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。
基本事件空间Ω包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故11 ()P A=。
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42(|)63P A B ==。
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
高考一轮复习理科数学课件条件概率与事件的相互独立性
独立性检验思想引入
独立性检验是指通过样本数据来推断总体中的两个事件是否相互独立的一种统计方法。如果两个事件 相互独立，则它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
在实际问题中，我们往往无法直接判断两个事件是否相互独立，这时就需要通过独立性检验来进行判 断。独立性检验的基本思想是通过比较样本数据中两个事件同时发生的频率与它们各自发生的频率的 乘积是否有显著差异来判断它们是否相互独立。
判定方法
对于n个事件，要判定它们是否相互 独立，需要验证其中任意k(2≤k≤n)个 事件同时发生的概率是否等于这k个事 件各自发生的概率之积。
实际生活中应用举例
抽奖游戏
在抽奖游戏中，每次抽奖的结果通常 被认为是相互独立的。即前一次抽奖 的结果不会影响后一次抽奖的结果。
天气预报
在天气预报中，不同地区的天气状况 通常被认为是相互独立的。即一个地 区的天气状况不会影响另一个地区的 天气状况。
实例分析
拓展思考
通过具体的医学诊断案例，计算敏感度和 特异度，并评估诊断方法的准确性。
探讨如何提高医学诊断的敏感度和特异度， 减少误诊和漏诊的可能性。
天气预报中降水概率预测
降水概率预测介绍
说明天气预报中降水概率预测的方法和意义。
条件概率在降水概率预测中应用
分析条件概率在降水概率预测中的具体作用，以及如何利用历史气象 数据进行预测。
乘法公式及其应用
乘法公式是条件概率的一个重要性质，它表示两个事件同时 发生的概率等于其中一个事件发生的概率与另一个事件在前 一个事件发生的条件下的概率的乘积。即P(AB)=P(A)P(B/A) 。
乘法公式在概率论中有着广泛的应用，例如在计算多个事件 同时发生的概率、求解复杂事件的概率等问题中都可以使用 乘法公式进行简化计算。