2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)
高三数学第二轮专题讲座复习 数形结合思想 试题
卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数〞与“形〞结合，互相浸透，把代数式的准确刻划与几何图形的直观描绘相结合，使代数问题、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析其代数意义又提醒其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要纯熟掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化〔1〕集合的运算及韦恩图〔2〕函数及其图象〔3〕数列通项及求和公式的函数特征及函数图象〔4〕方程〔多指二元方程〕及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的构造特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，假设C⊆B，务实数a 的取值范围此题借助数形结合，考察有关集合关系运算的题目知识依托解决此题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将C⊆B用不等式这一数学语言加以转化错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素终究是什么，然后再把集合语言“翻译〞为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数Array∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}， 要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，那么C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］ 例2a cos α+b sin α=c ,a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π,k ∈Z )求证22222cosba c +=-βα 此题主要考察数学代数式几何意义的转换才能知识依托解决此题的关键在于由条件式的构造联想到直线方程进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法擅长发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A 〔cos α,sin α〕与点B 〔cos β, sin β〕是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的间隔22||ba c d+=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos b a c +=-βα例3曲线y =1+24x -(–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过〔2，4〕的直线答案〔43,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围解法一由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考察函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]， 综上所述a ∈(–3,1)解法二由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值〔即直线的斜率〕分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1)学生稳固练习1方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是() A 2B 3C 4D 以上均不对2f (x )=(x –a )(x –b )–2〔其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根〔α＜β)，那么实数a 、b 、α、β的大小关系为()A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当AB 时，那么a 的取值范围是M 12-2oyxa-1o yxa -1oyx-12-1o yx5设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在〔0,π〕内有相异解α、β〔1〕求a 的取值范围； 〔2〕求tan(α+β)的值6设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a的最大值与最小值参考答案1解析在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案B2解析a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如下列图答案A3解析联想到间隔公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A 的几何图形是椭圆，点B表示直线考虑用点到直线的间隔公式求解答案227 4解析解得A ={x ｜x ≥9或者x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得答a ＞35解y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan332=+βα， 故tan(α+β)=36解∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆如下列图∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公一共点显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴amin=22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a–a=｜OO′｜=2,∴a max=22+2。
2020年高考数学二轮复习讲义：数形结合思想
第二讲数形结合思想!航知识整合v|E KP4 ilM St* fkll 囁 . ■数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合,形象思维的和谐统一. 通过对规范图形或示意图形的观察分析， 化抽象为直观，化直观为精 确，从而使问题得到解决.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系， 即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.命题方向1数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用例 1 若 f (x) + 1 =器，当 xq ［0，1］时，f(x )= x ，若在区间(-1,1］，内 g(x)=f(x) — mx — m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是如图所示，作出函数 f(x)在区间(一1,1］内的图象， 而函数g(x)零点的个数即为函数f(x)与y = mx + m 图象交点的个数，显然函数y = mx + m 的图象为经过点 P(— 1,0)，斜率为m 的直 线.I知识整合Zhi shi zhe ng he弋知识整合・易错警示》C C达到抽命题热点突破MN 1UU 经典例題*提升能力》A . [0, 11)1【2，)C . [0, 11)［解析］当 x q — 1,0]时，x + 1€(0,1],•••当x q o,1]时，f (x )= x , 而由 f(x) + 1 = fx + 1，可得f(x) =1f x + 11 x + 1—1(x 6(— 1,0]).1=鼻；直线PO 的斜率为k 21- -1 2=0•由图可知，函数f(x)与y = mx + m 的图象有两个交点，则直线y = mx + m 的斜率k 2<m w k 1,1即m q o , 2】•『规律总结』利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问 题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解.2•正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采 用，不要刻意去数形结合.跟踪训练 ：:：. Gen zong xun lia n|2x + 1|, x<1,已知函数 f(X )—若 f(X 1)= f(X 2)= f(X 3)(X 1, X 2, x 3 互不相等)，且冷 +log2(x — m 、x>1,X 2 + X 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为1.［解析］作出f(x)的图象，如图所示，可令 X 1 <X 2<X 3，则由图知点(X 1,0) , (X 2,0)关于直线X 1=—对称，所以X 1 + X 2=— 1•又 1<X 1 + X 2 + X 3<8，所以 2<X 3<9.由 f(X 1) = f(X 2)= f(X 3)(X 1 , X 2, X 3互不相等), 结合图象可知点 A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3 = Iog 2(9 — m),解得m = 1.命题方向2利用数形结合思想解决最值问题DC DA = — 2，动点 P , M 满足 |AP|= 1, PM = MC ，则 |BM|2 的最大值是(B )如图所示，f(1) = 1，故B(1,1) •直线PB 的斜率k i =例2在平面内，定点 A , B , C , D 满足 |DA|= |DB|= |DC|, DA DB = DB DC =49 443 437 + 6*3 C . 4［思路探究］看到求|BM|2的最大值，所以我们要把它用参数表示出来， 再利用圆的性质 得出最值.［解析］ 依题设知：Z ADC = ZADB = /BDC = 120 ° |DA|= |DB = |DC|= 2,所以以 D 为原 点、直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0), B(— 1, — 3), C(— 1 , 3).设P(x ,y),因为 |AP|= 1，所以(x — 2)2+ y 2= 1，又PM = MC ，所以 M^,匕討)，B M =耳，廿?,BM 2= ”1 I 汁3 3，它表示圆(x — 2)2+ y 2= 1上的点(x , y)与点(一1 , — 3.3)的距离的平方的1,所以 |BM max = 1C '32+ 3.3 2+ 1)2= 49 『规律总结』利用数形结合思想解决最值问题的一般思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求 解.(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应的图象数形结合求 解.跟踪训练：::・G■en zong xun lia n已知a , b 是单位向量，a b = 0•若向量c 满足|c — a — b |= 1,则|c |的最大值为(C )B .2D ..2 + 2D 37+ 2岳A . 2— 1C . 2 + 1［解析］••|a |= |b |= 1, 且 a b = 0, •••可设 a = (1,0), b = (0,1), c = (x , y).•'c — a — b = (x — 1, y — 1).•|c -a — b |= 1,• x — 1 2+ y — 1 2= 1, 即(x - 1)2+ (y - 1)2= 1.由图可知，当c 对应的点(X , y)在点C 处时，C 有最大值且|c |max =「12+忙+ 1= 2 + 1.命题方向3利用数形结合思想解决不等式、参数问题例3实系数一元二次方程X 2+ ax + 2b = 0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2) b — 2上，则尸的取值范围是(D )A . [1,4]B . (1,4) 1 1C . [4, 1]D .(4, 1)[解析] 设f(x)= x 2 + ax + 2b , x 2+ ax + 2b = 0的一个根在(0,1)内，因为另一个根在区间 (1,2)内,作出满足上述不等式组对应的点(a , b)所在的平面区域，得到△ ABC 及其内部，即如图所示的阴影部分(不含边界).b — 2 其中A(— 3,1), B( — 2,0), C( — 1,0)，设点E(a , b)为区域内的任意一点，贝U k=-a — 1 表示点E(a , b)与点D(1,2)连线的斜率.EF2 一 1 1 2 一 0 因为 k AD = =；, k cD = = 1,1+ 3 4 1+ 1结合图形可知：k AD <k< k cD , b — 2 1所以 的取值范围是(1, 1).a — 1 4又 |c | =x 2 + y 2,如图所示. f0>0,所以可得 f 1 <0,f 2 >0,b>°, 即 a + 2b + 1<0,.a + b + 2>0,『规律总结』1.数形结合思想解决参数问题的思路(1)分析条件所给曲线.(2)画出图象.(3 )根据图象求解.2.常见的数与形的转化⑴集合的运算及韦恩图.(2)函数及其图象.⑶数列通项及求和公式的函数特征及函数图象.(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线.跟踪训练・：■・z-\G en zong xun lia n当x € (1,2)时，(x—1)2<log a x恒成立，则实数a的取值范围是.曲.2 2［解析］•••函数y= (x—1)在区间(1,2)上单调递增，.••当x6(1,2)时，y= (x—1) 6(0,1)，若2 ^>1，不等式(x—1)2<log a X恒成立，则-'-Ka< 2.［_log a2> 1,。
2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块一第二讲数形结合思想Word版含解析.doc
第二讲数形联合思想思想方法解说数形联合思想：是依据数与形之间的对应关系，经过数与形的互相转变来解决数学识题的思想．经过“以形助数，以数辅形” ，使复杂问题简单化，抽象问题详细化，能够变抽象思想为形象思想.重点一利用数形联合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题[ 分析 ] (1)函数 f(x)＝lnx－x－a 的零点，即对于 x 的方程 lnx－x－a ＝0 的实根，将方程 lnx－x－a＝0 化为方程 lnx＝x＋a，令 y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线 y2＝x＋a 与曲线 y1＝lnx 相切时有 a ＝－ 1，如下图，若对于 x 的方程 lnx－x－a＝ 0 有两个不一样的实根，则实数 a 的取值范围是 (－∞，－ 1)．应选 B.1(2)方程 x＋2＝a|x|有三个不一样的实数解等价于函数1y＝ x＋2与 y＝1a|x|的图象有三个不一样的交点．在同向来角坐标系中作出函数y＝x＋2与 y＝a|x|的图象，如下图，由图易知，a>0.当－ 2<x<0 时，设函数1y＝a|x|＝－ ax 的图象与函数f(x)＝x＋2的图象相切于点 (x0，y0)，因为y0＝－ ax0，f ′(x0)＝－12，则有y0＝ 1 ，解得 a＝1，因此实数 a x0＋2x0＋21x0＋2 2＝a，的取值范围为 (1，＋∞)，应选 C.[ 答案 ] (1)B (2)C利用数形联合求方程解、函数零点问题的 2 个注意点(1)议论方程的解 (或函数的零点 )可结构两个函数，使问题转变为议论两曲线的交点问题，但用此法议论方程的解必定要注企图象的准确性、全面性，不然会获取错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的重点，数形联合应以快和准为原则而采纳，不要故意去数形联合．[对点训练 ]|x|，x≤m，1．(2017·大连模拟)已知函数f(x)＝x2－2mx＋4m，x>m，此中 m>0.若存在实数 b，使得对于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不一样的根，则 m 的取值范围是 ________．[分析 ]作出f(x)的图象如下图．当x>m 时， x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－ m2，∴要使方程 f(x)＝b 有三个不一样的根，则有4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解得 m>3.[答案 ](3，＋∞ )2．设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠ OMN ＝45°，则 x0的取值范围是 ________．[ 分析 ]如下图，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆 x2＋y2＝1 相切于点 P(0,1)．当 x0＝0 即点 M 与点 P 重合时，明显圆上存在点 N( ±1,0)切合要求；当 x0≠0 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上随意一点 N，都有∠ OMN≤∠ OMP，故要存在∠ OMN＝45°，只要∠ OMP≥45°.特别地，当∠ OMP＝45°时，有 x0＝±1.联合图形可知，切合条件的x0的取值范围为 [－1， 1]．[答案 ] [－1,1]重点二利用数形联合思想解决最值问题2x＋3y－3≤0，[ 分析 ] (1)作出不等式组2x－3y＋3≥0，对应的可行域，如y＋3≥0图中暗影部分所示．易求得可行域的极点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，平移直线 y＝－ 2x＋z，当直线 y＝－ 2x＋z 过点 B(－6，－3)时，z获得最小值， z min＝2×(－6)－3＝－ 15，选择 A.(2)依据题意，画出表示图，如下图，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，1半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠ APB＝90°，连结 OP，易知 |OP|＝2|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为 |OC|＝32＋42＝5，因此 |OP|max＝|OC|＋r＝6，即 m 的最大值为 6，应选 B.[ 答案 ] (1)A (2)B利用数形联合思想解决最值问题的 3 点思路(1)对于几何图形中的动向问题，应剖析各个变量的变化过程，找出此中的互相关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先剖析所波及知识，而后画出相应图象，数形联合求解．(3)假如 (不)等式、代数式的结构包含着明显的几何特色，就要考虑用数形联合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．[对点训练 ]3． (2017 ·石家庄市高三二检)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0，x－y≤0，(r 为常数表示的平面地区的面积为π，若，知足上)x yx2＋y2≤r2x＋y＋1述拘束条件，则 z＝x＋3的最小值为 ()A．－152＋1C.1D．－7 B．－735[分析]作出不等式组表示的平面地区，如图中暗影部分所示，由题意，知1π2＝π，解得 r＝2.z＝x＋y＋1y－2＝1＋，表示可行域内4r x＋3x＋3的点与点 P(－3,2)连线的斜率加上 1，由图知当可行域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为 y－ 2＝k(x＋3)，即 kx－y＋3k＋2＝0，则有|3k＋2|＝2，解得 k＝－12或 k＝0(舍去 )，因此z mink2＋15＝1－1275 ＝－5.应选 D.[答案]D4．(2017 ·武汉二模 )已知抛物线的方程为 x2＝8y，F 是其焦点，点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点 P，使△ APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为 ________．[ 分析 ]因为(－2)2<8×4，因此点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连结 AQ，由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，△APF 的周长获得最小值，即|AB|＋|AF|.因为 A(－2,4)，因此不如设△APF的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y0)，代入2x＝8y，得1 y0＝2，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P 的坐标为11－2，2 ，故填－2，2 .[答案]1－2，2重点三利用数形联合思想解决不等式、参数问题[ 分析 ] (1)曲线方程可转变为 (x－ 2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为 (2,3)，半径为 2 的下半圆，如图，依照数形联合，当直线y＝x＋b 与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线 y＝x＋b 的距离等于 2，|2－3＋b|∴＝2，解得 b＝1＋2 2或 b＝1－2 2，因为是下半圆，所2以 b＝1－2 2；当直线过 (0,3)时，可得b＝ 3，因此1－2 2≤b≤3.应选 C.(2)对随意 x∈R，都有 f(x)≤|k－1|建立，即 f(x)max≤|k－ 1|.因为 f(x)的草图如下图，－x2＋x，x≤1，1察看f(x)＝log1 x，x>1的图象可知，当x＝2时，函数31135f(x)max＝4，因此 |k－1|≥4，解得 k≤4或 k≥4.35[答案 ] (1)C－∞，4∪ 4，＋∞利用数形联合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特色，选择适合的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下地点关系转变数目关系来解决问题，常常能够防止繁琐的运算，获取简捷的解答．[对点训练 ]5．(2017 ·河南郑州月考 )使 log2(－x)<x＋1 建立的 x 的取值范围是()A ．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0)[ 分析 ] 在同一坐标系内作出 y＝log2(－x)，y＝ x＋1 的图象，知知足条件的 x∈(－1,0)．[答案]A6． (2017 ·济南一模 )已知函数f(x)＝x2－4x，x≤0，若 f(x)－sin πx，x>0，ax≥－1，则实数 a 的取值范围是 ________．[ 分析 ]依题意得f(x)≥ax－1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y＝f(x)与 y＝ax－1(该直线过定点 (0，－1)、斜率为 a)的图象，如下图．设直线 y＝ax－ 1 与曲线 y＝x2－4x(x≤0)相切于点 (x0，y0)，a＝2x0－4，x0≤0，则有x20－4x0＝ax0－1，解得x0＝－1，a＝－6.联合图形可知，实数 a 的取值范围是 [－6,0]．[答案 ] [－6,0]—————————————————————运用数形联合思想剖析解决问题的三原则1．等价性原则在数形联合时，代数性质和几何性质的变换一定是等价的，不然解题将会出现破绽，有时，因为图形的限制性，不可以完好地表现数的一般性，这时图形的性质只好是一种直观而浅易的说明．2．双向性原则2020届高三理科数学二轮复习讲义：模块一第二讲数形结合思想Word版含解析.doc在数形联合时，既要进行几何直观的剖析，又要进行代数抽象的探究，双方面相辅相成，仅对代数问题进行几何剖析(或仅对几何问题进行代数剖析 )在很多时候是很难行得通的．3．简单性原则找到解题思路以后，至于用几何方法仍是用代数方法或许兼用两种方法来表达解题过程，则取决于哪一种方法更加简单．。
2020版高考理科数学二轮课件：1-3 数形结合思想
而 y1＝x＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知，方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一
个公共点⇔k＝ 2或－1≤k<1，故选 D.
【答案】 D
考点三 利用数形结合解决最值问题
x＋2y≥0， 【例 4】 (2019 年西安调研)已知变量 x，y 满足约束条件mx－y≤0， 若 z＝2x－y
典例精讲
考点一 利用数形结合研究函数零点、方程的根、图象的交点问题 【例 1】 (2019 年沈阳质检)方程 sinπx＝4x的解的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出 y1＝sinπx 和 y2＝4x的图象，如图 1，观察图 象可知，y1＝sinπx 和 y2＝4x的图象在第一象限有 3 个交点，根据对称性可知，在第三象限 也有 3 个交点，再加上原点，共 7 个交点，所以方程 sinπx＝4x有 7 个解，故选 C.
应用类型
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围． 3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来 解题，即所谓的几何法求解，比较常见的有：
(1)y＝kx＋b 中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距． (2)ab－－mn 表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率． (3) （a－m）2＋（b－n）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离． (4)导数 f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
【答案】 C
【例 2】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，，g(x)＝f(x)＋x＋a.
2020年高考数学二轮复习(上海专版)专题15数形结合思想(原卷版)
1 ． (2019 ?闵行区一模 )已知函数 f ( x) | x 1| ( x 1) ， x [ a ， b ] 的值域为 [0 ， 8] ，则 a b 的取值范围
是
．
2 ． (2020 ?奉贤区一模 )已知直线 y x 1 上有两个点 A(a1 ， b1 ) 、 B( a2 ， b2 ) ，已知 a1 、 b1 、 a2 、 b2 满足
例题剖析
一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例 1】 若方程 x2－ 4x＋ 3＋ m＝ 0 在 x∈ (0，3) 时有唯一实根，求实数 m 的取值范围．
2x－ 1， x＞ 0，
【变式训练 1】 已知函数 f(x)＝
若函数 g(x)＝ f(x)－m 有 3 个零点， 则实数 m 的取值范
________.
二、选择题
π
6．若不等式 log ax>sin2x (a>0， a≠1)对任意 x∈ (0， 4 )都成立，则实数 a 的取值范围为 (
)
π
π
π
π
A ． (0， 4 ) B． (0， 4 ] C． [ 4 ， 1) D． ( 4 ， 1)
7．已知 y＝ f(x)是最小正周期为 2 的函数，当 x∈ [－ 1， 1] 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)( x∈ R)图像与 y＝|log5|x||图像的交点的个数是 ( )
2，x＞ 0，
个数为 ________．
【例 5】 若方程 lg(－ x2＋ 3x－ m)＝ lg(3 －x)在 x∈ (0， 3)内有唯一解，求实数 m 的取值范围．
三、数形结合思想在平面解析几何中的应用 【例 6】已知直线 y＝x－ 2 与圆 x2＋ y2－4x＋ 3＝ 0 及抛物线 y2＝8x 依次交于 A、B、C、D 四点，则 |AB|
2020届二轮复习 数形结合思想 课件(25张)(全国通用)
【解析】
作出y＝|x－2a|和y＝
1 2
x＋a－1的简
图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.
【答案】 (－∞，12]
(3)(2019·郑州第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件
y≤2，
xx－＋yy≤≥11，，则目标函数z＝(13)3x＋y的最大值为(
)
A．(13)11
B．(13)3
A．2＋ 2 C. 2＋ 2
B．2＋2 2 D. 2＋2 2
【解析】 沿直线A1B将△ ABA1折起，使A，B，C，D1， A1五点共面，则AP＋PD1≥AD1，由余弦定理可求得|AD1|＝
2＋ 2.故选C. 【答案】 C
把x＝
y2 2
代入上式，求得yA＝2，xA＝2，∴|AF|＝|AA1|＝
5 2
，
故SS△△ ABCCFF＝||ABFF||＝25＝45.故选B. 2
【答案】 B
(2)(2019·衡水调研卷)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短， 则AP＋D1P的最小值为( )
交于点C，若|BF|＝2，则△ BCF和△ ACF的面积之比为( )
A.23
B.454ຫໍສະໝຸດ 1C.7D.2
【审题】 △ BCF与△ ACF有一公共顶点F.把F当顶点，则
S△ BCF S△ ACF
＝
|BC| |AC|
，相似三角形对应边成比例，过A，B向准线作垂
线，应用抛物线定义．
【解析】 如图，过A，B分别作准线l：x
【答案】 A
(2)(2019·惠州第一次调研)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|， 其中a>0，且a≠1，f(2)·g(2)<0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中 的大致图象是( )
2019-2020年高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文
(4)根式——可考虑两点间的距离.
思维升华 解析 答案
跟踪演练 2
x＋ y－ 3 ≤ 0，
设点
P(x，y)满足：
x x
－ ≥
y＋ 1，
1
≥
0，
则yx－xy的取值范围是
y ≥ 1，
A.32，＋∞
√B.－32，32
C.－32，1
D.[－1,1]
典例3 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点 P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为
√A.14，－1
B.14，1
C.(1,2)
D.(1，－2)
思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相 互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究.直线与圆锥曲线的 位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种
所
√
有实数解之和为 A.－7 C.－3
B.－6 D.－1
解析 答案
方法二 几何意义数形沟通法
模型解法 几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几 何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到 解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图 形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义. ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题. ③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.
二、数形结合思想 方法一 函数图象数形沟通法 方法二 几何意义数形沟通法 方法三 圆锥曲线数形沟通法
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
2019-2020年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
方法 ,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面 . 一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形
作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密
性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的
2019-2020 年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
一、基础知识整合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）
、不等式（组） 、函
数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解
析几何 .
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想
则不等式 x 2 x的解，就是使 y1 x 2的图象
在y2 x的上方的那段对应的横坐标， 如下图，不等式的解集为 { x | x A ≤ x xB } 而 xB 可由 x 2 x，解得， x B 2， x A 2， 故不等式的解集为 { x | 2≤ x 2}。
[例 3] 已知 0 a 1，则方程 a|x| | log a x |的实根个数为 ( )
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中， 在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大 大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图， 见数想图，以开拓自己的思维视野。
曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数
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专题15 数形结合思想
专题点拨
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：
①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；
②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；
③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；
④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
⑤构建立体几何模型研究代数问题；
⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
⑦构建方程模型，求根的个数；
⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．
(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
①准确画出函数图像，注意函数的定义域；
②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．
(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．
例题剖析
一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例1】 若方程x 2－4x ＋3＋m ＝0在x ∈(0，3)时有唯一实根，求实数m 的取值范围．
【变式训练1】 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范
围为________．
【例2】 若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：
(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2
a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(
b －2)2的值域．
二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 【例3】若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
则y
x
的最大值为________．
【例4】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，
2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点
个数为________．
【例5】 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．
三、数形结合思想在平面解析几何中的应用
【例6】已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |等于( )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
巩固训练
1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．
2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式x [f (－x )－ f (x )]<0的解集为________．
3.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．
4．若x ∈()1，2时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
5．已知函数f (x )＝{－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.
二、选择题
6．若不等式log a x >sin2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈(0，π
4)都成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(0，π4)
B ．(0，π4]
C ．[π4，1)
D ．(π
4，1)
7．已知y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝ f (x )(x ∈R )图像与y ＝|log 5|x ||图像的交点的个数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 三、解答题
8.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax 2＋2x ＋1，x ≥0，
－x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数，直线y ＝t 与函数f (x )的图像自左至右依次交于四个不
同点A 、B 、C 、D ，若||AB ＝||BC ，求实数t 的值．
新题速递
1．(2019•闵行区一模)已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[x a ∈，]b 的值域为[0，8]，则a b +的取值范围是 ．
2．(2020•奉贤区一模)已知直线1y x =+上有两个点1(A a ，1)b 、2(B a ，2)b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足
2222
12121122
2||a a b b a b a b +=+⨯+，若12a a >，||22AB =+，则这样的点A 有 个．。