2019-2020学年度北师大版必修三教学案：第一章§4 数据的数字特征 Word版含答案

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版必修三教学案：第一章§4数据的数字特征 Word版含答案______年______月______日____________________部门[核心必知]1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)平均数：①平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]＝(x＋x＋…＋x)－2.3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考]1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答] (1)平均数是＝1 500＋≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)新的平均数是′＝1500＋≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件) 1 800510250210150120人数11353 2(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.讲一讲2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[尝试解答] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．练一练2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27 38 30 37 35 31乙：33 29 38 34 28 36根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．解：甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33，s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝，s甲＝≈3.96，x乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33，s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝，s乙＝≈3.56.由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．讲一讲3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组25101314 6 乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．[尝试解答] (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝×4 000＝80(分)，x乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 000＝80(分)．s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s<s，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．练一练3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．【解题高手】【多解题】一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178, 179, 181, 182,176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)[解] 法一：利用平均数的公式计算．－＝×(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝×2 523≈180.x法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算．取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.－′＝×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝×3 x＝≈0.2，∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.法三：利用加权平均数公式计算．－＝×(185×1＋184×1＋183×2＋182×1＋181×2＋180×2＋x179×1＋178×1＋176×2＋175×1)＝×2 523≈180.法四：建立新数据（方法同法二），再利用加权平均数公式计算．－′＝×[5×1＋4×1＋3×2＋2×1＋1×2＋0×2＋(－1)×1＋(－x2)×1＋(－4)×2＋(－5)×1]＝×3≈0.2.∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是( )A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：选D 可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A. B. C. D．2解析：选D ∵样本的平均数为1，即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )89 79 3 1 6 4 0 2A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92解析：选A 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数＝＝91.5，中位数为＝91.5.4．(湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分＝＝11，方差s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.85．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是________．解析：∵甲＝8，乙＝8，s＝1.2，s＝1.6，∴s<s.∴甲稳定性强．答案：甲比乙稳定6．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田试种．每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表：品种各试验田产量(kg)1 2 3 4 5121.520.422.021.219.9221.323.618.921.419.8317.823.321.419.120.8试评定哪一品种既高产又稳定．解：1＝21.0 kg，2＝21.0 kg，3＝20.48 kg；s＝0.572，s＝2.572，s＝3.5976，∴1＝2＞3，s＜s＜s.∴第一个品种既高产又稳定．一、选择题1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8解析：选B 去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为＝＝92，方差为s2＝×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.2．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是( )A．7 B．5 C．6 D．11解析：选B 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，∴x＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )A.A>B，sA>sBB.A<B，sA>sBC.A>B，sA<sBD.A<B，sA<sB解析：选B A中的数据都不大于B中的数据，所以A<B，但A中的数据比B中的数据波动幅度大，所以sA>sB.4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为，则( )A．me＝m0＝ B．me＝m0< C．me<m0< D．m0<me<x解析：选 D 易知中位数的值me＝＝5.5，众数m0＝5，平均数＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m0<me<.5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．57.2 3.6 B．57.2 56.4 C．62.8 63.6 D．62.8 3.6解析：选D 设该组数据为x1，x2，…，xn，则(x1＋x2＋…＋xn)＝2.8，1[(x1－2.8)2＋(x2－2.8)2＋…＋(xn－2.8)2]＝3.6，n所以，所得新数据的平均数为[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝(x1＋x2＋…＋xn)＋60＝2.8＋60＝62.8.所得新数据的方差为[(x1＋60－62.8)2＋(x2＋60－62.8)2＋…＋(xn＋60－62.8)2]＝[(x1－2.8)2＋(x2－2.8)2＋…＋(xn－2.8)2]＝3.6.二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝________.解析：由中位数的定义知＝16，∴x＝15.答案：157．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.解析：计算可得两组数据的平均数均为7，甲班的方差s＝＝；乙班的方差s＝＝.则两组数据的方差中较小的一个为s＝.答案：258．(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．解析：(1)由公式知，平均数为(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，s2＝(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s＝2.答案：（1）7 （2）2三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数234 5户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解：(1)平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝×48.5＝0.97，所以标准差s≈0.985.10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班797079 5.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．。