上海市复旦附中2018高一下学期期末考试

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2018复附高一数学期末考试卷(含解析)

。
4. 若在等比数列{an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
。
5. 方程 (3cos x 1)(cos x 3sin x) 0 的解集是
。
6.
若数列{an} 满足 a1 13 ， an1 an
n ，则 an n
的最小值为
。
7.
若数列{an} 是等差数列，则数列 bn
an1 anm m
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
1/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心二. 选择题
选择菁英高中，成就名校梦想
13. “b 是1 3 与1 3 的等差中项”是“b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设 Sn 是数列{an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
3/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年
件的所有数列{an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
。
12. 用 An 表示所有形如 2r1 2r2 2rn 的正整数集合，其中 0 r1 r2 rn n ， n N* 且
ri N (i N* ) ， bn 为集合 An 中的所有元素之和，则{bn} 的通项公式为 bn
21.（1） an2 an1 an1 an ，即 bn1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；

上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)(2021年整理)

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卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分。

1.不等式13x >的解集为________2. 一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．3.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ,则lim n n a →∞=________ 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________5。

若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6。

若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________7.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．8.已知点O 为ABC ∆的外心,且4,2ACAB ==,则·AO BC = ．9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀",现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数,则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 12。

2017-2018上海复旦附中高一下物理期末考试试卷

复旦大学附属中学 2017学年第二学期高一年级物理期末试卷一、单选题（每小题4分，共24分）1.如图所示，两个卫星 A 、 B 绕着同一行星做匀速圆周运动，轨道半径分别为Ri 和R2,R1>R2。

下列说法正确的是（） A. A 的角速度大于BB.A 的线速度大于BC. A 的向心加速度大于BD.A 的周期大于B 2某单摆做简谐振动，周期为T,若仅增大摆长，则振动周期会（）A.变小B.不变C.变大D.不确定定质量的理想气体，0c 时压强为Po,经一等容变化过程，温度为tC 时，气体压强为则它每升高1C,压强的增量△ P 的值为（）p B. PP° C. D. _P0 _______ t t273t 273 汽车在平直公路上以速度 V0匀速行驶,发动机功率为P 快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。

设汽车行驶时所受的阻力恒定四个图象中，哪个图象正确表示了司机从减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（）5水平传送带在外力F 驱动下以恒定速度运动，将一块砖放置在传送带上，若砖块所受摩擦力为f,传送带所受摩擦力为f ；砖块无初速放到传送带上至砖块达到与传送带相同速度的过程中以下正确的是（）A. f 所做的功等于f 所做的功的负值B. F 所做的功与f 所做的功之和等于砖块所获得的动能P 。

A. ，则下面A.C.F所做的功与f所做的功之和等于零D.F所做的功等于砖块所获得的动能6左端封闭右端开口粗细均匀的倒置U形玻璃管，用水银封住两部分气体，静止时如图所示，若让管保持竖直状态做自由落体运动，则（）A.气体柱I长度减小B.气体柱R长度将增大C.左管中水银柱A将上移D.右管中水银面将下降、多选题（每小题4分，漏选得2分，错选得0分，共16分）7下列说法错误的是（）A. 一定质量气体，在体积不变的情况下，它的压强与温度t成正比B.气体在趋近绝对零度时，具体积趋于零C. 一定质量气体，在体积不变的情况下，温度升高1度，其压强增加1/273D.绝对零度是低温的极限，将来随着技术的发展，也不可能达到8 一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运动。

2018-2019学年上海中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 142. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( )A. 13B. −13C. 19D. −193. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 设0<α<π2，若x 1=sinα，x n+1=(sinα)x n (n =1,2，3…)，则数列{x n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算n →∞lim(1−1n)的结果是______．6. 已知等差数列a 1=3，a n =21，d =2，则n =______．7. 数列{a n }中，已知a n =4n −13⋅2n +2，n ∈N ∗，50为第______项． 8. {a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n =______．9. 用数学归纳法证明结论：(n +1)(n +2)…(n +n)=2n ×1×2×…×(2n −1)(n ∈N ∗)时，从“k 到k +1”左边需增乘的代数式为______ ．10. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=(2n −λ)a n (n =1,2，…)，则a 3等于______． 11. 数列{x n }满足x n+1=x n −x n−1，n ≥2，n ∈N ∗，x 1=a ，x 2=b ，则x 2019=______． 12. 数列{a n }满足下列条件：a 1=1，且对于任意正整数n ，恒有a 2n =a n +n ，则a512=______．13. 数列{a n }定义为a 1=cosθ，a n +a n+1=nsinθ+cosθ，n ≥1，则S 2n+1=______ 14. 已知数列{a n }是正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n =12(a n +1a n)，若b n =a n+1Sn S n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 99=______15. 已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q ，则q 的取值范围是______ ． 16. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，当n ≥5时，a n+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a n −1，则是否存在不小于2的正整数m ，使a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=−62，S6=−75设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n+1+log3n=log3b n(n∈N∗)，求{b n}的前n项和T n(结果需化简)19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费件，(n∈N∗).为(n−1)千元时多卖出b2n(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，2S n n=a n+1−13n 2−n −23，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1？说明理由．21. 设集合S n ={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈{0，1}(i =1,2，…，n)}，其中n ∈N ∗，n ≥2．(1)写出集合S 2中的所有元素；(2)设(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，证明：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； (3)设集合S ={(x 1,x 2,…x n ,…)|x i ∈{0，1}(i =1,2…,n …)}设(a 1,a 2,…,a n ,…)，(b 1,b 2,…b n ,…)∈S ，使得a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，且b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，试判断“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…)”的什么条件并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由S 10=100及公差为2． ∴10a 1+10×92×2=100，联立解得a 1=1． ∴a n =2n −1，故a 7=13．故选：C ．由S 10=100及公差为2.利用求和公式可得a 1=1.再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19．∴a 1=19．故选C ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，=0，S m=m(a1+a m)2m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．4.【答案】C，则0<sinα<1，【解析】解：根据题意，0<α<π2指数函数y=(sinα)x为减函数，∴(sinα)1<(sinα)sinα<(sinα)0=1，即0<x1<(sinα)x1<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x4<x2<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x4<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x5<x4<x2<1，…，0<x1<x3<x5<x7<⋯<x8<x6<x4<x2<1．∴数列{x n}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．根据题意，由三角函数的性质分析可得0<sinα<1，进而可得函数y=(sinα)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题．5.【答案】1【解析】解：当n →+∞，1n →0，∴n →∞lim(1−1n )=1，故答案为：1．由n →+∞，1n →0，即可求得n →∞lim(1−1n)=1．本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】10【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=3，a n =21，d =2，得 21=3+2(n −1)，解得：n =10．故答案为：10．直接把已知代入等差数列的通项公式求得n 值．本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．7.【答案】4【解析】解：令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0， ∴2n =16，解得n =4．故答案为：4．令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0，解出n 即可得出．本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】2⋅3n−1【解析】解：∵{a n }为等比数列，a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1．故答案为：2⋅3n−1．利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】2(2k+1)【解析】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)，=2(2k+1)，故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：2(2k+1)．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．10.【答案】15【解析】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n∴a2=(2−λ)a1即3=(2−λ)∴λ=−1，a n+1=(2n+1)a n∴a3=5a2=15故答案为：15先由a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n，可求出λ，然后由n=2时，代入已知递推公式即可求解本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数λ11.【答案】b−a【解析】解：由题中递推公式，可得：x1=a，x2=b，x3=x2−x1=b−a，x4=x3−x2=b−a−b=−a，x5=x4−x3=−a−(b−a)=−b，x6=x5−x4=−b−(−a)=a−b，x7=x6−x5=a−b−(−b)=a，x8=x7−x6=a−(a−b)=b，x9=x8−x7=b−a，⋅⋅⋅∴数列{x n}是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336…3．∴x2019=x3=b−a．故答案为：b−a．本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列{x n}是一个周期数列．然后根据周期数列的性质特点可得出x2019的值．本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值．本题属中档题．12.【答案】512【解析】解：由题意，可知：=a256+256a512=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+⋯+28=2+2×(1+2+22+⋯+27)=2+2×1−28 1−2=29=512．故答案为：512．本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果．本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式．本题属基础题．13.【答案】(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ【解析】解：数列{a n}定义为a1=cosθ，a n+a n+1=nsinθ+cosθ，n≥1，可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)=cosθ+(cosθ+2sinθ)+(cosθ+4sinθ)+⋯+(cosθ+2nsinθ)=(n+1)cosθ+(2+4+⋯+2n)sinθ=(n+1)cosθ+12n(2+2n)sinθ=(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．故答案为：(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．由题意可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)，运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：数列{a n}是正项数列，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n=12(a n+1an)，可得a1=S1=12(a1+1a1)，可得a1=1；a1+a2=12(a2+1a2)，解得a2=√2−1，同样求得a3=√3−√2，…，猜想a n=√n−√n−1，S n=√n，代入S n=12(a n+1an)，成立，则b n=a n+1S n S n+1=√n+1−√n√n√n+1=√n√n+1，即有T 99=1−√2√2−√3⋯√99110=1−110=910．故答案为：910．求得数列的前几项，归纳a n =√n −√n −1，S n =√n ，求得b n =√n+1−√n√n √n+1=√n √n+1，再由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(−1+√52,1+√52)【解析】解：设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得 (1)当q ≥1时，aq 2为最大边，a +aq >aq 2，等价于：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52和1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52∵q ≥1，∴1≤q <1+√52(2)当0<q <1时，a 为最大边，aq +aq 2>a ，即得q 2+q −1>0，解之得q >−1+√52或q <−1+√52∵0<q <1 ∴1>q >−1+√52综合(1)(2)，得：q ∈(−1+√52,1+√52)故答案为：(−1+√52,1+√52) 设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q ≥1和q <1两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．16.【答案】70【解析】解：设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，由已知，b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52=1×2×3×4×5−(12+22+32+42+52) =120−55 =65当m ≥5时，由a m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m −1，移向得出a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a m+1+1 ①∵b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，② ∴b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12 ③ ③−②得 b m+1−b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m a m+1−a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a m+12=a 1⋅a 2⋅…⋅a m (a m+1−1)−a m+12 (将①式代入) =(a m+1+1)(a m+1−1)−a m+12=a m+12−1−a m+12=−1∴当n ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列，∴b m =b 5+(m −5)×(−1)=65−(m −5)=70−m ．若a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立， ∴b m =0，即m =70 故答案为：70．设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2中，令n =5代入数据计算即可求出b 5.由b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52中构造出b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．17.【答案】解：∵S 4=−62，S 6=−75，∴{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得d =3，a 1=−20，∴a n =3n −23，设从第n +1项开始大于零，则{a n =−20+3(n −1)≤0a n+1=−20+3n ≥0，∴203≤n ≤233， ∴n =7，即a 7<0，a 8>0 当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．综上有，T n ={43n−3n 22,(1≤n ≤7)32n 2−432n +154．(n ≥8)．【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出a n =3n −23，且a 7<0，a 8>0.当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.【答案】解：(1)S n =n 2−2n +1，可得a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3，则a n ={0,n =12n −3,n ≥2；(2)数列{b n }满足：a n+1+log 3n =log 3b n (n ∈N ∗)，可得2n −1+log 3n =log 3b n ，即b n =n ⋅32n−1，前n 项和T n =1⋅3+2⋅33+⋯+n ⋅32n−1， 9T n =1⋅33+2⋅34+⋯+n ⋅32n+1，两式相减可得−8T n =3+33+35+⋯+32n−1−n ⋅32n+1 =3(1−9n )1−9−n ⋅32n+1，化简可得T n =3(8n⋅9n −9n +1)64．【解析】(1)运用数列的递推式得n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n =n ⋅32n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)解法一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )(广告费为1千元时，s =b +b2；2千元时，s =b +b2+b22；…n 千元时s =b +b2+b22+b23+⋯+b 2n)解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量，由题：{s 1−s 0=b2s 2−s 1=b 22…s n −s n−1=b 2n ，相加得S n −S 0=b 2+b 22+b 23+⋯+b 2n ，即S n =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n ).(2)b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为t ，则有t =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n欲使T n 最大，则{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，得{n ≥5n ≤5，故n =5，此时s =7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ，则s n−1表示广告费为(n −1)元时的销量，由题意，s n−−s n−1=b2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )解法二、利用累差叠加法：S 1−S 0=b2，S 2−S 1=b22，…S n −S n−1=b2n ，累加结合等比数列的求和公式可求S n(2))b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为T n ，则有T n =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n ，欲使T n 最大，根据数列的单调性可得{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，代入结合n 为正整数解不等式可求n ，进而可求S 的最大值本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．20.【答案】解：(1)∵2S n n=a n+1−13n 2−n −23，∴2S n =na n+1−13n 3−n 2−23n =na n+1−n(n+1)(n+2)3，①∴当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n −(n−1)n(n+1)3，②由①−②，得2S n −2S n−1=na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∵2a n =2S n −2S n−1，∴2a n =na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∴a n+1a n −a n n=1，∴数列{an n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴a n n=1+1×(n −1)=n ，∴a n =n 2(n ≥2)，当n =1时，上式显然成立．∴a n =n 2，n ∈N ∗． (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．证明：当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=1+14+12(12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=54+512−12(1n +1n+1)=53−12(1n +1n+1)，由12(1n +1n+1)−1n+1=12(1n −1n+1)=12n(n+1)>0，可得12(1n +1n+1)>1n+1，即有53−12(1n +1n+1)<53−1n+1，则当n ≥3时，不等式成立；检验n =1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．【解析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1.考虑当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．21.【答案】解：(1)S 2中的元素有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)．(2)充分性，当a i =b i (i =1,2，…，n)，显然a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1成立，必要性，因为a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+⋅21+⋯+b n ⋅2n−1，所以(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=0，因为(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，所以a n −b n ∈{1,0，−1}，若a n −b n =1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=20+21+⋯+2n−1=2n −1≠0，当a n −b n =−1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=−(20+21+⋯+2n−1)=−(2n −1)≠0，若a n −b n 的值有m 个1和n 个−1，不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则2r −2r −1−2r−1−⋯…−1=2r−1−2r 1−2=2r −(2r −1)=1>0，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能为，就是a n −b n =0，即a i =b i ，综上可知：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；(3)由a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，等价于a 1⋅2n−1+a 2⋅2n−2+⋯+a n ⋅20+⋯=2n ⋅A ，b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，等价于b 1⋅2n−1+b 2⋅2n−2+⋯+b n ⋅20+⋯=2n ⋅B ，由(2)得“2n ⋅A =2n ⋅B “的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；即“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…，n)”充要条件．【解析】(1)由题意求得S 2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论； (3)将原始的式子同乘以2n ，然后利用(2)即可求得答案．本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题．。

上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一下学期期末考试英语试题详解

复旦大学附属中学2017学年第二学期高一年级英语期末考试试卷II.Grammar and vocabulary(31’)Section ADirections:Beneath each of the following sentences there are four choices marked A,B,C andD.Choose the one answer that best completes the sentence.1.As a modest person,the woman scientist,though renowned worldwide,is___________to take all the praises and honors.A.reluctantB.contentC.hesitantD.welcome2.Universal themes like“love conquers all”,“good vs.evil”and“from rags to riches”etc.enhance the timelessness of great works of literature,because they are___________to us all.A.belongedB.relatedC.adaptedD.added3.A classic is a book that has stood the___________of time,a book that men and women all over the world would want to keep all their lives for its special enlightenment and insights.A.testB.limitC.journeyD.loss4.I'd like a friendship that might lead to something deeper,but I wouldn't want to myself too soon.A.expressB.sparemitD.excuse5.In the face of President Richard Nixon’s___________efforts to cut back on welfare and other federal programmers for the needy,Edward emerged as the persistent champion of the poor.binedB.determinedC.requiredD.endured6.Back in the days when energy was cheap,home builders didn’t worry much about___________cracks in the wall,thanks to which the air in the room was replaced by fresh outdoor air.A.uncoveredB.unsealedC.untouchedD.unfinished7.Motorists are being warned to take extra care on minor roads across the county as many remain as___________as old.A.obviousB.adventurousC.distractingD.treacherous8.Most of the locals hold the view that great changes___________when the new recycling system is introduced.A.will be bound to occurB.are bound to occurC.will be bound to be occurredD.are bound to be occurred9.A weak currency reduces household___________power by making imports expensive,thereby___________import-competing state-owned enterprises and boosting exports’profits.A.manufacturing…guardingB.consuming…hurtingC.producing…defendingD.purchasing…protecting10.When diseases tear away at your body,you can have confidence in a healing system that is beautifully designed to meet its problems and has___________of value to offer in the treatment.A.somehowB.somewhatC.sometimesD.something11.So much of interest___________that most visitors simply run out of time before seeing it all.A.offers the cityB.for the city to offerC.does the city offerD.the city does offer12.The“one country,two system”policy is an unprecedented political and social formula___________are capitalist and socialist systems found coexisting under“one country”today.A.never everB.so farC.nowhere elseD.no longer13.When the recorded data of the scandal about the president was collected,the length of tapes was___________ the Atlantic Ocean.A.as deep as35timesB.as35times deep asC.35times the depth ofD.35times the depth as14.At the personal level,the main health problem is apparently lack of activity.___________that the problem of obesity causes a variety of illness,including heart attack.A.No less is the fact obviousB.No less obvious is the factC.Less is the fact obviousD.Less obvious is the fact15.The only thing___________spend money on that will make you richer is traveling.A.you canB.can youC.you wouldD.would you16.The Christmas of1949we didn’t have a tree.My dad had as much pride as anybody,so,I suppose,he___________just say that we___________one.A.had better…couldn’t have affordedB.oughtn’t to…couldn’t have affordedC.wouldn’t…couldn’t affordD.would rather…couldn’t afford17.Celebrities and people in the news have___________been targets of privacy invasion,concerns about which, however,have redoubled in the Internet age.A.recentlyB.soonC.previouslyD.long18.Despite our celebrity-driven culture,fame is anything but a(n)___________source of happiness,whichdepends much more on our basic sense of self,and connection with other people.A.permanentB.alternativeC.enjoyableD.primary19.The Road of Death in Bolivia gets its scary name because of the high accident rate.___________,it seems like tourists will continue visiting this weird road.WHICH IS WRONG?A.NeverthelessB.StillC.MeanwhileD.All the same20.The clergyman often preaches his religion to the people___________measure of your life will not be in what you accumulate,but what you___________.A.where…pick upB.that…give awayC.where...set asideD.that…live up to21.The popular internet slang“foxi”somewhat reflects a“demotivational culture”,___________people pretend to keep a wise attitude toward failure___________because they’re incapable of succeeding.A.that...especiallyB.in that...excessivelyC.where...simplyD.so that...mainlySection B(10’)Directions:（Complete the following passage by using the words in the box.Each word can only be used once.Note that there is one word more than you need.）A.voiceB.preferredC.conveyD.identity AB.featuring AC.advertised AD.wardrobe BC.media BD.united CD.practical ABC.recentNow that the temperature has started to rise,it’s time to put on our casual and cool T-shirts.But to stand out from the crowd this season,you should consider adding a slogan(标语)T-shirt to your_____22_____.From headlines and hashtags(贴文标签)to popular quotes,many words have leapt from_____23_____onto our clothing.In April,New York magazine came up with a creative idea–turning headlines from its fashion section into slogan T-shirts.But slogan T-shirts certainly aren't_____24_____creations.Although they're believed to have been the idea of small1960s London fashion store Mr.Freedom,British designer Katherine Hamnett first introduced them to the wider world in the1980s.''The slogan T-shirt was something to give you a(n)_____25_____...in one,you could be read from200yards(about183meters)away,''she recently told the BBC.However,people have been using_____26_____ways to send political messages far before slogan T-shirts came along.''In the19th century before women had the vote,they would use umbrellas that represented their_____27_____candidate,''Steven Fielding,professor of political history at the University of Nottingham,told Elle magazine.Indeed,fashion has always been about self-expression.And slogan items have become a way to_____28_____messages without the need to scream and shout.''Sometimes we talk about serious stuff,and sometimes fun things,''Swedish designer Annika Berger told the Guardian.British designer Viet Tran shared his story of making fun T-shirts with Elle.Graduating from college,he couldn't afford a cool T-shirt,so he and his friends just made their own,_____29_____slogans such as,''He's your man.''Tran told the magazine.''It was an inside joke that_____30_____us as a group.''British fashion expert Natalie Kingham also agreed that slogan items provide a(n)______31______platform.So,if you want to share your thoughts with the world,a slogan T-shirt is certainly a good way to start.III.Reading Comprehension(43’)Section A(15’)Directions:For each blank in the following passages there are four words or phrases marked A, B,C and D.Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Take a Chance:Seize That Opportunity in4Steps1Get yourself prepared(and keep your eyes open).Malcolm Gladwell said it in Outliers,and I’ll say it again:It takes time,about10,000hours of practice,to make perfect.This is no small___32___of your life energy,however,it___33___to spend time thinking about the kinds of opportunities you want to prepare yourself for.If you’re an advocate,what do you want to say to those senators? Start saying it now,even if you’re speaking to an empty room.Once you’ve put in the time___34___,discerning what kind of opportunity you’re seeking,keep your eyes open,because opportunity has an unexpected way of___35___.2Realize that you’ll never be totally___36___(In other words,you may fail.)Even if you’re a professional figure skater who has put in10,000hours of ice time,it will still feel___37___ to take the ice for your Olympic program-you may hit a rough patch and fall flat.Most of the world will see your stumble as a reason for you to give up.However,the best skaters take a___38___and keep going with a smile.I’s tough to smile right after you’ve made a mistake,but think of it this way:Is there anything a(n)___39___loves better than a good comeback?Asauthor Mark Batterson writes,“Our best days often start out as our worst days.And our greatest opportunities are often___40___as our biggest problems.”3Anthropomorphize the critical voices and then put a lid on them.“You can’t do it”and“You’re ridiculous to even____41____.”...The critical voices of your teachers and the not-so-____42____friends are all in your head when you’re trying to seize an opportunity.Instead of letting their negativity take control,try to____43____one of the voices and imagine it as a mouse. Pick it up by the tail and drop it into a container.Then another...And so on...Then put the lid on,and watch all these mouse people,clawing at the glass,jabbering away...”4Put up a fight and believe.(Let your second self have a turn on the chance floor.)If you want to influence a senator’s vote,or win an Olympic gold medal,you cannot allow doubts and fears to drag you down.Let something else guide you.True,you do have a self that wants to flee from a challenge.Yet you____44____have a self that wants to meet that same challenge head-on.As Martha Beck,Ph.D.writes in Steering by Starlight,“Scholars...who study human happiness hold that we are most joyful when we’re intensely____45____on something that is almost too tough to do...”Get to know that second self.Befriend it as you would a new____46____.Chances are that second self will be the one turning the knob when opportunity knocks.32.A.loss B.source C.business D.investment33.A.averages B.pays C.happens D.matters34.A.generously B.anywhere C.beforehand D.efficiently35.A.showing up B.turning around C.slipping away D.giving in36.A.satisfied B.dissuaded C.conquered D.prepared37.A.honorable B.painful C.terrifying D.privileged38.A.chance B.step C.fall D.turn39.A.winner B.audience C.professional D.opponent40.A.mistaken B.disguised C.sought D.skipped41.A.deny B.ask C.risk D.try42.A.supportive B.ridiculous C.reliable D.practical43.A.isolate B.identify C.enclose D.drown44.A.partly B.actually C.also D.seldom45.A.judging B.deciding C.concentrating D.agreeing46.A.acquaintance B.appearance C.presence D.circumstanceSection B(24’)Directions:Read the following passages.Each passage is followed by questions or unfinished statements.For each of them there are four choices marked A,B,C and D.Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Dear Cutie-Pie,Recently,I was searching for an answer on Google.Half way through entering the question.Google returned a list of the most popular searches in the world.At the top of the list was“How to keep him interested.”Surprised a lot,1scanned several of the countless articles about how to be sexy and sexual,when to bring him a beer versus a sandwich,and the ways to make him feel smart and superior.And I got angry.Little One,it is not,has never been,and never will be your job to“keep him interested.”Little One,your only task is to know deeply in your soul—in that unshakeable place that isn’t upset by rejection and loss-that you are worthy of interest.If you can trust your worth in this way,you will be attractive in the most important sense of the world:you will attract a boy who is both capable of interest and who wants to spend his one life investing all of his interest in you.Little One,I want to tell you about the boy who doesn’t need to be kept interested,because he knows you are interesting.I don’t care if he can’t play a bit of golf with me—as long as he can play with the children you give him and revel in all the glorious and frustrating ways they are just like you.I don’t care if he doesn’t follow his wallet—as long as he follows his heart and it always leads him back to you.I don’t care if he is strong—as long as he gives you the space to exercise the strength that is in your heart.I couldn’t care less how he votes—as long as he wakes up every morning and daily elects you to a place of honor in your home and a place of respect in his heart.I don’t care about the color of his skin.I don’t care if he was raised in this religion or that religion or no religion.Little One,if you come across a man like that and he and I have nothing else in common,we will have the most important thing in common:You.Because in the end,Little One,the only thing you should have to do to“keep him interested”is to be you.Your eternally interested guy47.What annoyed the writer when he was surfing on the Internet?A.“How to keep him interested”is most frequently searched,B.Girls are rejected constantly even if they try to please boys.C.The upsetting list of know-how to please boys provided for girls.D.People think girls should give priority to pleasing their boys.48.According to the writer,to attract a boy,the girl just needs to__________.A.add to her own sexual attractionB.have full confidence in her own worthC.invest time in caring for her loved oneD.find a boy to interest her for her lifetime49.What is of fundamental importance that the boy is expected to have in common with the writer?A.He will be responsible for the girl.B.He will like the girl for what she is.C.He will hold the girl in high respect.D.He will earn enough to support his family.50.The writer of the letter is__________of the addressee Cutie-pie.A.the counselorB.the boy friendC.the fatherD.a net friend(B)EssayRailair Link Railair LinkHeathrow Airport(All terminals)→Reading Valid from Dec1st,2014to Jan.31st,2015Reading→Heathrow Airport(All terminals) Valid from Dec1st,2014to Jan,31st,2015Mondays to Fridays Mondays to FridaysTerminal Terminal Terminal Terminal Reading Reading Terminal Terminal Terminal Terminal 4depart2depart3depart1depart arrive depart1arrive2arrive3arrive4arrive06350645065207000750 07300720072707350835 07500800080708150905 08200830083708450935then at the same minutes past each hour until 21502200220722152305 2250230023072315000505300615061706200630 06000645064706500700 06300730073207350745 07000800080208050815 07300830083208350845 08000900090209050915 0845093009320935094509151000100210051015then at the same minutes past each hour until2045213021322135214521452230223222352245 Saturdays and Sundays(Also Bank Holidays)Saturdays and Sundays(Also Bank Holidays)Terminal 4Terminal Terminal Terminal Reading Reading Terminal Terminal TerminalTerminal4depart2depart3depart1depart arrive depart1arrive2arrive3arrive arrive06500700070707150805 07200730073707450835 07500800080708150905then at the same minutes past each hour until 21502200220722152305 2250230023072315000505450630063206350645 06150700070207050715 06450730073207350745then at the same minutes past each hour until 20452130213221352145 21452230223222352245For more information please telephone Reading0734-*******The British Railway Board accepts no responsibility for any inaccuracy in the information contained in this guide, which may be altered at any time without notice. Published by InterCity,a business section of the British Railway Board.Customers should check in at the Railair waiting-room at Reading Station at least15minutes before departure of the coach.Please purchase a ticket before boarding the coach.51.On December25th,2014,the earliest service from Heathrow Terminal1to Reading is available at__________.A.7:15B.7:00C.6:50D.6:3552.If you are to reach Terminal2of the Heathrow Airport before10:00a.m.,you need to get to Reading Station not later than__________.A.8:20a.m.B.8:45a.m.C.9:00a.m.D.9:15a.m.53.What services are the timetables for?A.InterCity ticket offices at Heathrow airport and Reading station.B.Coaches between Heathrow airport terminals and Reading station:C.Shuttle buses between the four terminals of Heathrow Airport.D.Trains of Railair Link between Heathrow Airport and Reading.(C)Have you ever noticed how the recital(叙说)of an adventure always finds ready audience?The man with a story of some stirring adventure always takes the floor Men will stop the most important discussion to listen. Women will forget to rock the cradle.Boys and girls will neglect any sport or game.Try it sometime and see how it grips all kinds and all ages.And the reason is that none of us ever really grows up.We are always boys and girls,a little older in years,but with the same nature—alert to the new,questioning,investigating,growing,living;stirred by martial music;thrilled by the sight of the fire-houses dashing madly down the street;lured by tales of subtle intrigue(阴谋)and splendid daring.It would be sad if men and women ever lost this capacity to be attracted by tales of heroism.The man whose heart leaps for joy at the sight of a heroic deed is the man who will act the hero when his turn comes.No,the love of adventure will never be lost.It is a fundamental part of human nature,just as sentiment(感情)is.So we reasoned that a magazine edited for this universal hunger of human nature for adventure ought to have a wide appreciation and appeal,and we decided to publish such a magazine and call it ADVENTURE.It is published as a magazine wherein thousands of men and women can find adventure without being obliged to read through large amounts of stuff they care little about for the sake of getting a little they care a lot about, which is frankly made for the hours when the reader cannot work,or does not wish to,or is too weary to work and made for the reader’s recreation rather than his or her creative hours.If you care for stirring stories(and who does not?)—if you wish to get away for a brief time from the hard grind of the daily mill so that you can come back to it again with renewed passion and courage to walk through the knotty problems and nagging limitations,get a copy of Adventure.You can get away for such a trip every month for15cents or you can get a season ticket entitling you to twelve trips for$1.50.No other kind of story in the magazine;just Adventure Stories.Fact-stories as well as fictionstories.If you don’t like that kind,don’t buy;but if you do like that kind,Adventure is sure to delight you.54.Which of the following statement is TURE about man’s sense of adventure?A.People are increasingly attracted by adventures as they grow.B.The sense of adventure is rooted in a childhood curiosity.C.Adventure stories are more attractive when told with sentiment.D.Only children with curiosity grow into adults fond of adventures.55.What’s the meaning of“grip”in the first paragraph?A.to draw a clear line betweenB.to capture the attention ofC.to affect the way people thinkD.to give equal treatment to56.In what way does the writer think the magazine ADVENTURE can affect its readers?A.It reminds its work-burdened life driven readers of good old days.B.It helps them regain their adventurous selves lost in tough life.C.It offers a refreshing escape from long weary working hours.D.It encourages them to face the toughness of life and work.57.What is NOT TRUE about the purchase of Adventure?A.One can buy one copy for15cents.B.Adventure is available one issue a month,C.It contains fictional and true stories.D.Season ticket holders can enjoy free tours.58.What is the main purpose of this article?A.To instruct publishers in how to produce a popular magazine.B.To explore the psychological cause and impact of adventure.C.To attract potential readers by giving the editorial philosophy.D.To recommend to working people a refreshing way of recreation.Section C(4’)Directions:（Read the following passage.Fill in each blank with a proper sentence given in the box.Each sentence can be used only once.Note that there are two more sentences than you need.）Many of today’s young people have a difficult time seeing any moral element in their actions.There are a number of reasons why that’s true,but none more influential than an approach that fails to teach children the traditional moral values that bind our country together as a society and a culture.That failed approach,called “decision-making”introduced25years ago,tells children to decide for themselves what is right and what is wrong. It replaced“character education”,which encouraged them to practice habits of courage,justice and self-control._____59_____.Decision-making curriculums pose moral dilemmas(两难)to students,leaving them with the impression that all questions of right and wrong are in dispute._____60_____.The assumption behind this method is that students will arrive at good moral conclusions if only they are given the chance.But the actual result is moral confusion.A recent national study revealed that a majority of boys considered rape to be acceptable under certain conditions. Astoundingly,many of the girls agreed.This kind of moral illiteracy is further encouraged by values-education programs that are little more than courses in self-esteem.______61______.But it is just as reasonable to make an opposite assumption:namely,that a child who has uncritical self-regard will conclude that he or she can’t do anything bad.Such naive self-acceptance results in large part from the non-directive,non-judgmental,as-long-as-you-feel-comfortable-with-your-choices mindset that has dominated public education for the last two and one-half decades.Many of today’s drug education,sex education and values-education courses are based on the same1960s philosophy that helped fuel the explosion in teen drug use and sexual activity in the first place.It is time to throw the trend of“decision making”and“non-judgmentalism”to the ash heap of failed policies and return to a proved method.Character education provides a much more realistic approach to moral formation. ______62______.A.A common approach of these programs is to provide a list of principles,pillars,values or virtues,around which themed activities are planned.B.These programs are based on the questionable assumption that a child who feels good about himself or herself won’t want to do anything wrong.C.A person who exhibits personal qualities a society considers desirable is considered to have good character--and developing such qualities is often seen as a purpose of education.D.In the1940s,when character education prevailed,teachers worried about students chewing gum;today they worry about robbery and rape.E.Youngsters are encouraged to question values and virtues they’ve never acquired in the first place or upon which they have only a weak hold.F.It is built on an understanding that we learn morality not by debating it but by practicing it.IV.Grammar in passage(10)Directions:（After reading the passage below,fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct.For the blanks with a given word,fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks,useone word that best fits each blank.）For many of us,it’s easy to tell if it’s a computer that is calling you on your phone.Its voice makes it obvious ______63______it has the chance to finish telling you that you can get a free loan or that you are invited for a customer survey.It’s also easy to hang up-it’s just a computer,after all.______64______Google Duplex,an artificial intelligence(AI)voice assistant,has shown that computers are able to“conduct a natural conversation with a human over the phone and complete simple real-world tasks,”reported tech site Wired.On May8during its annual developer conference Google IO,the company showed Duplex making phone calls and having full conversations,______65______it made an appointment with a hair dresser,before making a reservation at a restaurant.As CNET noted,not only has Google changed the typical______66______(computerize)voice,but the company has taken“extra steps to disguise the system to sound______67______(much)like a human”.Duplex comes with imperfections-“umms”and“uhhs”-and uses typical human phrasing such as“Oh,gotcha.”As a result,“the receptionists on the other end of the call have no idea they are conversing back and forth______68______AI,”commented CNET.Some see Duplex as quite_____69_____breakthrough-it will be able to help humans cut down on boring tasks.But for the rest,it“straddles(跨越)a fine line between being convenient and deceptive,”as Wired wrote. People have a hard enough time knowing whether news is real or fake,or what photos are______70______(trust). And now,we may not be able to trust our own ears.Google also mentioned that soon,Duplex will be able to imitate the owner’s voice.While this is a great step forward in AI,it also raises many concerns.For example,students______71______use Duplex to call their school to pretend they’re sick by using their mother’s or father’s voice.Since people are shocked by the fact that a machine can imitate a human so well,Google has promised that in the future the voice will tell the listener that it’s not a real person.According to Alexander Rudnicky,a researcher of human-computer speech interaction at Carnegie Mellon University,technology like this is________72________that people are only going to become more aware of."We just assimilate(吸收this interaction into our culture,"he told Wired.V.Translation(3+4+4+5=16’)Directions:Translate the following sentences into English,using the words given in the brackets.73.就像苦口的良药，中肯的建议往往不受最需要它的人欢迎。

上海市复旦附中2018-2019学年高一化学期末考试试题

上海市复旦附中2018-2019学年高一化学期末考试试题一、单选题1．下列对于硝酸的认识，正确的是( )A.浓硝酸和稀硝酸都具有强氧化性B.铜和稀硝酸的反应属于置换反应C.在铜与浓硝酸的反应中，硝酸只体现氧化性，没有体现酸性D.可用铝或铁制容器盛装稀硝酸2．CO2和氢氧化钠溶液反应，所得产物中 Na2CO3和 NaHCO3物质的量之比为 3 ：5 ,则参加反应的 CO2和NaOH 的物质的量之比为A．3 ：5 B．1 : 2 C．8 : 11 D．18 : 83．下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确．．．的是A B C D酒精氢气NaOH溶液CuA．A B．B C．C D．D4．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法中，不正确．．．的是A．28gN2含分子数目为N AB．1L 0．1 mol/L KCl溶液中，含K+的数目为0.1 N AC．标准状况下，11.2LH2O 含有的原子数目为1.5 N AD．1 mol Na2O和Na2O2的混合物中，所含阴离子数的总数为N A5．下列关于物质用途的说法错误的是A．液氨可用作制冷剂B．二氧化硫可作食物和干果的防腐剂C．Fe3O4可用作红色涂料D．碳酸氢钠可用作面粉发酵6．把二氧化硫通入硝酸铁溶液中，溶液由黄色变为浅绿色，但立即又变为黄色，此时若滴入氯化钡溶液，则会产生白色沉淀。

在上述一系列变化过程中，最终被还原的是A．SO2 B．NO3- C．Fe3＋ D．Fe2＋7．如图所示：若关闭Ⅰ阀，打开Ⅱ阀，让潮湿的氯气经过甲瓶后，通入乙瓶，布条不褪色；若关闭Ⅱ阀打开Ⅰ阀，再通入这种气体，布条褪色。

甲瓶中所盛的试剂不可能是A．浓H2SO4B．NaOH溶液C．NaCl溶液D．Ca(OH)2溶液8．下列操作不能用于检验NH3的是A．气体使湿润的酚酞试液变红B．气体能使湿润的红色石蕊试纸变蓝C．气体与蘸有浓H2SO4的玻璃棒靠近D．气体与蘸有浓盐酸的玻璃棒靠近9．对于反应：2Na2O2＋2 CO2===2Na2CO3＋O2，下列说法中正确的是( )A．Na2O2是氧化剂，CO2是还原剂B．Na2O2既是氧化剂，又是还原剂C．生成1mol O2时，电子转移的数目为4N A个D．每有44 g CO2与足量Na2O2反应，产生气体的体积为22.4L10．以下说法中错误的是（）A．物质的量的单位是摩尔B．三角洲的形成与胶体的性质有关C．KHSO4在水溶液中的电离方程式为KHSO4 === K+ + H+ + SO42－D．氯化钠水溶液在电流的作用下电离出Na＋和Cl－11．下列关于物质分类的说法正确的是A．胆矾、石膏、漂白粉都是纯净物 B．氢氧化钙、盐酸、硫酸铜均为强电解质C．氯化钙、烧碱、聚苯乙烯均为化合物 D．稀豆浆、鸡蛋清溶液、雾均为胶体12．在含有FeCl3、FeCl2、AlCl3、NaCl的溶液中，加入足量的NaOH溶液，在空气中充分搅拌反应后再加入过量的稀盐酸，溶液中离子数目减少的是A.Na+B.Fe3+C.Al3+D.Fe2+13．设N A为阿伏加德罗常数数的值，下列说法不正确的是( )A.标准状况下，1.8gH2O中所含分子数为0.1N AB.常温常压下，14gCO和N2混合气所含质子总数为7N AC.含0.2molH2SO4的浓硫酸与足量Mg反应，转移电子数为0.2N AD.足量Fe在0.1molCl2中充分燃烧，转移电子数为0.2N A14．合金相对于纯金属制成的金属材料来说优点是①合金的硬度一般比它的各成分金属的大②一般合金的熔点比它的各成分金属的更低③改变原料的配比，改变生成合金的条件，可得到具有不同性能的合金④合金比纯金属的导电性更强⑤合金比纯金属的应用范围更广泛A．①②③⑤ B．②③④ C．①②④ D．①④⑤15．下列各组物质中，物质之间不可能实现如图所示变化的是（ )X Y ZA H2S S SO2B NH3NO NO2C Fe FeCl2FeCl3D Mg C CO16．下列关于氯化钠的说法正确的是A.氯化钠是由氯化钠分子构成的B.液态不导电，水溶液能导电C.质软，固态能导电D.属于离子晶体17．某化学兴趣小组想从海水中提取淡水、NaCl和Br2，设计了如下实验：实验中的操作1、操作2、操作3、操作4分别为( )A．蒸馏、过滤、萃取、分液B．蒸发、过滤、萃取、分液C．过滤、蒸发、蒸馏、分液D．分液、过滤、蒸馏、萃取18．下列有关说法正确的是A．在酒精灯加热条件下，Na2CO3、NaHCO3固体都能发生分解B．Fe(OH)3胶体无色、透明，能发生丁达尔现象C．H2、SO2、CO2三种气体都可用浓硫酸干燥D．SiO2既能和氢氧化钠溶液反应也能和氢氟酸反应，所以是两性氧化物19．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是( )A．SiO2硬度大，可用于制造光导纤维B．ClO2具有还原性，可用于自来水的杀菌消毒C．Na2O2吸收CO2产生O2，可用作呼吸面具供氧剂D．NH3易溶于水，可用作制冷剂20．下列离子方程式不正确．．．的是A．氯气溶于水：Cl2+H2O H++Cl-+HClOB．Fe和盐酸反应：Fe+2H+═Fe3++H2↑C．NO2溶于水的反应：3NO2+H2O ═ 2H+ + 2NO3- + NOD．氧化铜与硫酸反应：CuO＋2H＋═ Cu2+＋H2O21．下列各组中的离子，能在水溶液中大量共存的是A．K+、H+、SO42—、OH—B．Na+、Ca2+、CO32—、NO3—C．Na+、H+、Cl—、CO32—D．Na+、Cu2+、SO42—、Cl—22．在空气中氢氧化亚铁白色沉淀可转化为红褐色沉淀。

上海市复旦大学附属中学2018学年高一下学期期末考试数学试题

复旦大学附属中学2018学年第二学期高一年级数学期末考试试卷一、填空题（每题4分，共48分） 1．求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．2．在等比数列{}n a 中，若25a =，420a =，则6a =．3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且1a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =．4．函数arccos2y x =-的反函数为．5．已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*N n ∈，则2014a =． 6．等差数列{}n a 前n 项和为n S ．已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=，则m =．7．已知函数13()2sin 1ππ22f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭（用反三角形式表示）8．方程sin 2cos x x =，[]02πx ∈，的解集是．9．函数y =的定义域为．10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为．11．当01x ≤≤时，不等式πsin 2xkx ≥恒成立，则实数k 的取值范围是．12．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．二、选择题（每题4分，共16分）13．不等式tan 2x <的解集是（）A ．πππarctan 23x k x k k Z ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭，B ．2ππarctan 2π3x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，C ．π2π2πarctan 23x k x k k Z ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭，D ．2π2πarctan 22π3x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，14．对数列{}n a ，“0n a >对于任意*n N ∈成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．非充分非必须条件15．设{}()cos(arccos )A x y y x ==，，{}()arccos(cos )B x y y x ==，，则A B =∩（）A ．{}()11x y y x x =-，，≤≤B ．11()22x y y x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，≤≤C ．{}()01x y y x x =，，≤≤D ．{}()0πx y y x x =≤≤，，16．若数列{}n a 的前8项的值各异，且8n n a a +=，对于任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（） A ．{}21k a +B ．{}31k a +C ．{}41k a +D ．{}61k a +三、解答题（共5题，共56分）17．（8分）解方程：cos 2cos sin x x x =+18．（8分）已知方程240x ++=有两个实根1x ，2x ，记1arctan x α=，2arctan x β=，求αβ+的值．19．（12分）已知点113⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图像上一点，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}n b (0)n b >的首项为c ，且前n 项和n S 满足：当2n ≥时，都有1n n S S --= ⑴求c 的值；⑵求证：是等差数列，并求出nb；⑶若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，问是否存在实数m ，使得对于任意的*n N ∈都有n T m ≥，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．20．（14分）某企业2018年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2018年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2018年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2018年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．⑴设从2018年起的第n 年（以2018年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元，求n a 和n b ；⑵设从2018年起的第n 年（以2018年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元，求n A 和n B ；⑶依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？21．（14分）如果有穷数列1a ，2a ，3a ，…m a （m 为正整数）满足1m a a =，21m a a -=，…1m a a =，即1i m i a a -+=（12i =，…，m ），那么我们称其为对称数列．⑴设数列{}n b 是项数为7的对称数列，其中1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且12b =，411b =，依次写出数列{}n b 的各项；⑵设数列{}n c 是项数为21k -（正整数1k >）的对称数列，其中k c ，1k c +，…，21k c -是首项为50，公差为4-的等差数列．记数列{}n c 的各项和为数列21k S -，当k 为何值时，21k S -取得最大值？并求出此最大值；⑶对于确定的正整数1m >，写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得1，2，22，…，12m -依次为该数列中连续的项．当1500m >时，求其中一个数列的前2018项和2015S ．。

2018-2019学年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．9.（填空题.5分）若a.b是函数f（x）=x2-px+q（p＞0.q＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q的值等于___ ．10.（填空题.5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）.A＞0.ω＞0.若f（x）在区间[ π6 . π2]上具有单调性.且f（π2）=f（2π3）=-f（π6）.则f（x）的最小正周期为___ ．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n}、{b n}中分别为递增的等差数列、等比数列．a1=b1=1.记c n=a n+b n.若存在正整数k（k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k=___ ．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为214.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式a n= {(−1)n，1≤n≤2019(12)n−2019，n≥2020.前n项和为S n.则关于数列{a n}、{S n}的极限.下面判断正确的是（）A.数列{a n}的极限不存在、{S n}的极限存在B.数列{a n}的极限存在、{S n}的极限不存在C.数列{a n}、{S n}的极限均存在.但极限值不相等D.数列{a n}、{S n}的极限均存在.且极限值相等16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.317.（问答题.14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.a3=2a2+16.且S2020＜0．（1）求{a n}的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n＞2020成立？若存在.求出n的最小值；若不存在.请说明理由．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1．（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中.若角C=2B.求f（A）的值域．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n}、{b n}是公差分别为d1、d2的等差数列.记c n=[a n]+[b n]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x的最大整数.即x-1＜[x]≤x．（1）直接写出数列{a n}、{b n}的前4项.使得数列{c n}的前4项为：2.3.4.5；（2）若a n= n+13 .b n= n−13．求数列{c n}的前3n项的和S3n；（3）求证：数列{c n}为等差数列的必要非充分条件是d1+d2∈Z．2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解：limn→∞2n−33n+1= limn→∞2−3n3+1n= 2−03+0= 23．故答案为：23．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用.是基本知识的考查．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．【正确答案】：[1]±4【解析】：利用等比中项公式求解．【解答】：解：2与8的等比中项是：G= ±√2×8 =±4．故答案为：±4．【点评】：本题考查两个数的等比中项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等比中项公式的合理运用．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．【正确答案】：[1]y=tanx.x∈（0. π4）【解析】：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.求y=arctanx的值域即得其反函数的定义域．【解答】：解：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.∵y=arctanx.x∈（0.1）.∴y=acrtanx的值域为(0，π4) .∴函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为y=tanx.x∈ (0，π4)．故答案为：y=tanx.x∈ (0，π4)．【点评】：本题考查了正切函数的反函数.属基础题．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：利用等差数列的性质结合已知求得2a4=10.再由a1.a4.a7成等差数列求得a7．【解答】：解：在等差数列{a n}中.由a3+a5=10.得2a4=10.又a1=2.∴a7=2a4-a1=10-2=8．故答案为：8．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.考查了等差数列的性质.是基础题．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．【正确答案】：[1]{0. 23π }【解析】：根据集合所在的范围结合cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }.从而得到答案．【解答】：解：集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }解：cos（x- π3）= 12，x∈[0，π]；x- π3 =± π3+2kπ.k∈Z；∴x=2 π3+2kπ.k∈Z；或x=2kπ.k∈Z；∴x=0或23π；故答案为：{0. 23π }．【点评】：本题考查了解集表示、集合的元素表示法.属于基础题．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．【正确答案】：[1]arctan2【解析】：由余弦定理.三角形的面积公式可得12 absinC= 12.2abcosC.解得tanC=2.即可得解C的值．【解答】：解：∵S= a 2+b2−c22.∴由三角形的面积公式.余弦定理可得：12 absinC= 12•2abcosC.即 tanC=2.∴C=arctan2．故答案为：arctan2．【点评】：本题主要考查了三角形的面积公式.余弦定理在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-2.0）∪（0. 14]【解析】：由题意可得：a11−q =1.q∈（-1.1）.且q≠0．可得a2=q-q2=- (q−12)2+ 14.利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a11−q=1.q∈（-1.1）.且q≠0．∴ a2q =1-q.a2=q-q2=- (q−12)2+ 14∈（-2.0）∪（0. 14]．故答案为：（-2.0）∪（0. 14]．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值.f（x2）是值域中的最大值.它们分别在最高和最低点取得.它们的横坐标最少相差半个周期.由三角函数式知周期的值.结果是周期的值的一半．【解答】：解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）.∴f（x1）是最小值.f（x2）是最大值；∴|x1-x2|的最小值为函数的半个周期.∵f（x）=2sin（x4+π6）的周期T=8π.∴|x1-x2|的最小值为4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用.考查了数形结合思想.属基础题． 9.（填空题.5分）若a.b 是函数f （x ）=x 2-px+q （p ＞0.q ＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q 的值等于___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p.ab=q.再由a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列列关于a.b 的方程组.求得a.b 后得答案．【解答】：解：由题意可得：a+b=p.ab=q. ∵p ＞0.q ＞0. 可得a ＞0.b ＞0.又a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列. 可得 {2b =a −2ab =4 ① 或 {2a =b −2ab =4② ．解 ① 得： {a =4b =1 ；解 ② 得： {a =1b =4 ．∴p=a+b=5.q=1×4=4. 则p+q=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.考查了等差数列和等比数列的性质.是基础题．10.（填空题.5分）设函数f （x ）=Asin （ωx+φ）.A ＞0.ω＞0.若f （x ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.且f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）.则f （x ）的最小正周期为___ ．【正确答案】：[1]π 【解析】：依题意.可知x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin （ωx+φ）的一个对称中心.从而可得 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 .继而可求得f （x ）的最小正周期．【解答】：解：∵f （x ）=sin （ωx+φ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.ω＞0. ∴ π2 - π6 ≤ 12 T= 12 • 2πω = πω .即 π3 ≤ πω . ∴0＜ω≤3；又f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）. ∴x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin（ωx+φ）的一个对称中心.依题意知.x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心. ∴ 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 = π4 . 解得：ω=2∈（0.3]. ∴T= 2π2 =π. 故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期性及其求法.确定x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键.也是难点.属于难题．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n }、{b n }中分别为递增的等差数列、等比数列．a 1=b 1=1.记c n =a n +b n .若存在正整数k （k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k =___ ．【正确答案】：[1]262【解析】：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．c k-1.c k .c k+1为相邻三项.运用等差数列和等比数列的通项公式.讨论q=2.3.4.….9.根据条件.检验可得q=9.k=3.可得所求值．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．由a 1=b 1=1.c n =a n +b n .且c k-1=100.c k+1=1000. 可得c k-1.c k .c k+1为相邻三项. 则a n =1+（n-1）d.b n =q n-1.n∈N*. d=a k+1−a k−12. 若q=2.可得{b n }：1.2.4.8.16.32.64.128.256.512.1024.…. 考虑{b n }的前三项.d=996−992不为整数.显然不成立；若{b n }的第2.3.4项.可得d=992−982.显然不满足{a n }的通项公式；若{b n }的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；第6.7.8项；第7.8.9项；都不成立；若q=3.可得{b n }：1.3.9.27.81.243.729.2187.…. 考虑{b n }的前三项.d=991−992.显然不满足{a n }的通项公式；若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；检验都不成立；若q=4.可得{b n}：1.4.16.64.256.1024.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 994−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=5.可得{b n}：1.5.25.125.625.…..检验显然不满足{a n}的通项公式；考虑{b n}的前三项.d= 975−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=6.可得{b n}：1.6.36.216.1296.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 964−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=7.可得{b n}：1.7.49.343.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 951−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=8.可得{b n}：1.8.64.512.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 936−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=9.可得{b n}：1.9.81.729.….=410.检验不成立；考虑{b n}的前三项.d= 919−992=90.若{b n}的第2.3.4项.d= 271−912可得a2=91.a3=181.a4=271.可得k=3.c k=a3+b3=181+81=262．故答案为：262．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质.考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力.属于难题．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{q|q=4k+1.k∈Z}【解析】：对任意的n∈N*.sina n=1.可得a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）．由数列{a n}是无穷等比数列.即可得出．【解答】：解：对任意的n∈N*.sina n=1.∴a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）.∵数列{a n}是无穷等比数列.∴数列{a n}公比q的取值集合为{q|q=4k+1.k∈Z}．故答案为：{q|q=4k+1.k∈Z}．【点评】：本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为2【正确答案】：B【解析】：本题考查三角函数的性质.利用二倍角公式整理.再对它的性质进行考查.本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值.这是经常出现的一种问题.从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】：解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x.是周期为π的奇函数.对于A.f（x）在（π4 . π2）上是递减的.A错误；对于B.f（x）是周期为π的奇函数.B正确；对于C.f（x）是周期为π.错误；对于D.f（x）=sin2x的最大值为1.错误；故选：B．【点评】：在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外.还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式.此外.还有万能公式.在一般的求值或证明三角函数的题中.只要熟练的掌握以上公式.用一般常用的方法都能解决我们的问题．14.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定【正确答案】：C【解析】：利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．【解答】：解：等差数列{a n }的前10项之和大于其前21项之和. ∴10a 1+10×92 d ＞21a 1+ 21×202d. 化为：a 1+15d ＜0.即a 16＜0．故选：C ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（单选题.5分）已知数列{a n }的通项公式a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .前n 项和为S n .则关于数列{a n }、{S n }的极限.下面判断正确的是（） A.数列{a n }的极限不存在、{S n }的极限存在 B.数列{a n }的极限存在、{S n }的极限不存在 C.数列{a n }、{S n }的极限均存在.但极限值不相等 D.数列{a n }、{S n }的极限均存在.且极限值相等【正确答案】：D【解析】：根据当n≥2020时. S n =−(12)n−2019 .当n→∞时.S n →0.当n→∞时.a n →0.即可得得到答案．【解答】：解：∵a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .∴当n→∞时.a n →0.∵当n≥2020时. S n =−1+12(1−12n−2019)1−12= −(12)n−2019 .∴当n→∞时.S n →0．∴数列{a n }、{s n }的极限均存在.且极限值相等．故选：D ．【点评】：本题考查了数列极限的求法和等比数列的求和公式的应用.属中档题．16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：f（x）是单调递增的奇函数.所以f（0）=0.当x＞0时.f（x）＞0.当x＜0时.f（x）＜0．【解答】：对于① ：令a1=0.则S1=f（a1）=0.故错误；对于② ：假设数列{a n}为递减数列.则d＜0.所以存在正整数m.使得a2m+a1=2a1+d（2m-1）＜0.则∀1≤k≤m.a k+a2m-k=a1+a2m＜0⇒a k＜-a2m-k.所以f（a k）＜f（-a2m-k）=-f（a2m-k）⇒f（a k）+f（a2m-k）＜0.所以S2m= ∑m k=1（a k+a2m-k）＜0.矛盾．故正确；对于③ ：a1=-1.d=2.则a2=1.S2=f（-1）+f（1）=0.但是不存在正整数k.a k=0.故错误；对于④ ：a k=0.所以对任意1≤i≤k-1.a i+a2k-i=0⇒a i=-a2k-i.所以f（a i）+f（a2k-i）=f（-a2k-i）+f（a2k-i）=0.所以S2k-1= ∑k i=1（f（a i）+f（a2k-i））+f（k）=0.故正确．故选：C．【点评】：对于一道选择题.可以用f（x）=x代入来简化问题.可以较容易地判断出① ③ 的错误性．17.（问答题.14分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.a 3=2a 2+16.且S 2020＜0．（1）求{a n }的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n ＞2020成立？若存在.求出n 的最小值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列{a n }的公比为q.由a 1=2.a 3=2a 2+16.可得2q 2=4q+16.解得q.根据S 2020＜0.即可得出q ．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.根据 2[1−(−2)n ]1−(−2)＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.于是n 必为奇数.即可得出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n }的公比为q.∵a 1=2.a 3=2a 2+16. ∴2q 2=4q+16. 解得q=-2.4． ∵S 2020＜0.∴ 2(1−q 2020)1−q＜0.则q=-2． ∴a n =2×（-2）n-1．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.则 2[1−(−2)n ]1−(−2) ＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.则n 必为奇数.n 的最小值为13．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx-1．（1）求函数y=f （x ）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中.若角C=2B.求f （A ）的值域．【正确答案】：【解析】：（1）利用倍角公式降幂.再由辅助角公式化积.结合复合函数的单调性求函数y=f （x）的单调递减区间；（2）由已知可得A的范围.进一步得到2A+ π6的范围.则f（A）的值域可求．【解答】：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1=cos2x+ √3 sin2x=2sin（2x+ π6）.令2kπ +π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得：kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.∴可得函数y=f（x）的单调递减区间为：[kπ+ π6 .kπ+ 2π3].k∈Z；（2）∵△ABC为锐角三角形.且C=2B.∴C=2B ＜π2 .则B＜π4.可得B+C＜3π4.则A＞π4 .由A＜π2.∴A∈（π4 . π2）.2A+ π6∈（2π3. 7π6）．∴f（A）=2sin（2A+ π6）∈（-1. √3）.即f（A）的值域为（-1. √3）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换应用.考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质.是中档题．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【正确答案】：【解析】：（1）将等式两边同除以n（n+1）.结合等差数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.运用数学归纳法证明.注意由n=k推得n=k+1.结合分析法证明．【解答】：解：（1）证明：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.可得a n+1n+1 = a nn+1.则数列{ a nn}为首项为2.公差为1的等差数列.则a nn=2+n-1=n+1.即a n=n（n+1）；（2）证明：b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.当n=1时.b1= 12 .1- 14= 34.即12＜34；假设n=k时.不等式b1+b2+…+b k＜1- 1(k+1)2.k∈N*．当n=k+1时.b1+b2+…+b k+b k+1＜1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2.要证1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2＜1- 1(k+2)2.即为2(k+1)(k+2)2＜1(k+1)2- 1(k+2)2.即为2（k+1）＜2k+3.显然成立.即n=k+1时.不等式成立．则b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式.考查数学归纳法的运用.化简运算能力.属于中档题．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．【正确答案】：【解析】：（1）代入ω=2及对称轴x= 3π5.f（x）有最值.（2）利用f（x）的图象向左平移π2个单位得y=5sin[ω（x+ π2）+φ]过原点.再利用f（x）的图象向右平移π个单位得y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点.根据题目约束条件构建方程.最后归纳总结．（3）利用F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 等价于f （x ）=5sin （4x+ π6）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 相邻交点横标之和为f （x ）=5sin （4x+ π6）的对称轴2倍．【解答】：解：（1）若ω=2.则f （x ）=5sin （2x+φ）. ∵此时函数f （x ）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5 . ∴ 2×3π5+φ=π2+kπ，k ∈Z .∴ φ=−7π10+kπ，k ∈Z .∵φ∈（0. π2 ）.∴当k=1时. φ=3π10 ．（2）将f （x ）的图象向左平移 π2 个单位得y=5sin[ω（x+ π2 ）+φ]过原点. ∴0=5sin （ω×0+ω× π2 +φ）.将f （x ）的图象向右平移π个单位得 y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点．∴0=5sin （ω×0-ω×π+φ）.∴ {π2ω+φ=iπ−πω+φ=jπi ，j ∈Z ∵φ∈（0. π2 ）.∴φ= π3 .∴ {π2ω+π3=iπ−πω+π3=jπi ，j ∈Z .∴ {ω=2i −23ω=13−j i ，j ∈Z .∵ω＞0.∴ ω=6n+43，n ∈N （3）∵ω=4.φ= π6 .∴f （x ）=5sin （4x+ π6 ）.∵F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n .如图.等价于f （x ）=5sin （4x+ π6 ）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n .∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ） ∵x n-1+x n 是f （x ）=5sin （4x+ π6 ）对应对称轴x 的2倍. 又∵f （x ）=5sin （4x+ π6）=±5.∴4x+ π6=kπ+ π2.k∈Z .∴ x =kπ4+π12. ∵x∈[0.6π].∴k∈[0.23].∵当k=23时.f （x ）=f （23π4+π12 ）=-5.此时不符题意.∴k∈[0.22].∴（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ）=2×[ π12 +（ π4×1+π12 ）+（ π2×2+π12 ）++…+（ π4×22+π12 ）] =2×23[π12+(π4×22+π12)]2=391π3∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =391π3【点评】：本题考查三角函数的对称性.考查三角函数与数列的结合.属中档题．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列.记c n =[a n ]+[b n ]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x 的最大整数.即x-1＜[x]≤x ．（1）直接写出数列{a n }、{b n }的前4项.使得数列{c n }的前4项为：2.3.4.5；（2）若a n =n+13 .b n = n−13．求数列{c n }的前3n 项的和S 3n ；（3）求证：数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.列举出适合题意的等差数列{a n }、{b n }的前4项即可；（2）若a n =n+13 .b n = n−13.则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*.将S 3n 转化为 ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =进而转化为等差数列的前n 项和即可．（3）必要性：若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d 为整数.设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.根据c n -c 1=[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]=nd.结合x-1＜[x]≤x .可得t- 2n ＜d ＜t+ 2n .由n→∞时可得t=d 1+d 2=d 为整数.必要性得证．充分性可以举反例来说明其不成立．【解答】：解：（1）{a n }的前4项为1.2.3.4.{b n }的前4项为1.1.1.1符合题意；（2）若a n =n+13 .b n = n−13. 则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*. 所以c 3k-2=2k-2.c 3k-1=2k-1.c 3k =2k-1.k∈N*.所以数列{c n }的前3n 项的和S 3n = ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =（6-4）+（12-4）+……+（6n-4）=2+8+……+（6n-4）=2+(6n−4)2×n =3n 2-3n ；（3）若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d=[a n+1]+[b n+1]-（[a n ]+[b n ]）. 因为[a n+1].[b n+1].[a n ].[b n ].均为整数. 所以d∈Z .设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.因为无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列. 所以a n =d 1n+a 1.b n =d 2n+b 1=（t-d 1）n+b 1.所以[a n ]=[d 1n+a 1].所以d 1n+a 1-1＜[d 1n+a 1]≤d 1n+a 1. 又因为-a 1≤[a 1]＜1-a 1. 所以d 1n-1＜[a n ]-[a 1]＜d 1n+1.同理d 2-1＜[b n ]-[b 1]＜d 2+1.即（t-d 1）n-1＜[b n ]-[b 1]＜（t-d 1）+1. 所以（d 1n-1）+（t-d 1）n-1＜[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]＜d 1n+1+（t-d 1）+1. 所以tn-2＜c n -c 1＜tn+2. 所以tn-2＜dn ＜tn+2. 所以t- 2n ＜d ＜t+ 2n . 当n→+∞时. 2n →0. 所以t=d 1+d 2=d. 故t 为整数.必要性得证．反之若d 1+d 2为整数.数列{c n }不一定为等差数列. 如a n = 13n +1 .b n = 23n −1 时.d 1+d 2=1为整数. 此时c 1=1-1=0.c 2=1+1=2.c 3=2+1=3.所以2c 2≠c 1+c 3.故数列{c n }不是等差数列.所以充分性不成立．所以数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【点评】：本题考查了新定义取整函数.考查了等差数列的性质.等差数列的前n项和公式.等差数列的通项公式.考查了简易逻辑．主要考查分析解决问题的能力和逻辑思维能力．属于难题．。

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a2n 的大小，并说明理由 .
参考答案
一 . 填空题
0, n 1
1. 6
2. 7
3.
4. 2
2n 1, n 2
5. { x | x
1 arccos 2k , x
3
k ,k Z} 6
7. m cn 1 cn 2
cn m
10. 505
11. 2048
11
1
8. 1
n
23
2
12. n(2n 1 1)
23
} 的前 n 项和 Sn .
2
18. 已知 b、 c 为常数且均不为零，数列 { an} 的通项公式为 an a1 、 a3 、 a2 成等差数列， a1 、 a2 、 a4 成等比数列 .
b n 1, n为奇数
，并且
c 3n , n为偶数
（1）求 b、 c 的值；
（2）设 Sn 是数列 { an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
复旦附中高一期末数学试卷
2018.06
一 . 填空题
1. 在等差数列 { an} 中，若 a4 0 ， a6 a7 10 ，则 a7
2. 在数列 1、 3、 7、15、…中，按此规律， 127 是该数列的第
项
3. 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 1 ，那么数列 { an} 的通项公式为
（2） a10 100000(1.05)10 m(1.05)9 m(1.05)8
m 0，
100000(1.05)10
m(1 1.0510 )
100000(0.05)(1.05)10
0， m
10
12950 .
1 1.05
(1.05) 1
20.（ 1） a1
3 时， { an
3n } 为等比数列，公比为
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
三 . 解答题
17. 已知 { an} 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a4a6 96 ， a3 a7 20 ，数列 { bn} 满
足等式： an
b1 2
b2 22
b3 23
bn 2n
(n
N* ) .
（1）求数列 { an} 的通项公式；
n1
（2）求数列 { bn
2；
5
5
（2） an
(a1
3 )(
2)n 1
3n
5
5
0，n
2 ，∴ a2
0 ， a3
0 ，∴
3 4
a1
3
.
2
21.（ 1） an 2 an 1 an 1 an ，即 bn 1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；
（2） | S1 | | S3 | 2 | S2 |， 1 | 3 6d | 2| 2 2d |，解得 d (
（2）若 a (0,1) ，数列 { an} 都是单调递增数列；
（3）若 a Z ，任取 { an } 中的 9 项 ak1 、 ak2 、 … 、 ak9 (1 k1 k2
k9 ) 构成数列 { an}
的子数列 { akn } ， n 1,2, ,9 ，则 { akn } 都是单调数列 .
A. 0 个
（2）求每年的还款额（精确到 1 元） .
20. 设数列 {an} 的首项 a1 为常数，且 an 1 3n 2an ( n
n
（1）判断数列 { an
3 } 是否为等比数列，请说明理由； 5
N*) .
（2） Sn 是数列 { an} 的前 n 项的和，若 { Sn} 是递增数列，求 a1 的取值范围 .
an m (m N* ) 也为等差数列，类比上述
m
性质，相应地，若正项数列 { cn} 是等比数列，则数列 d n
也是等比数列
13
111
11
8. 观察下列式子： 1
，1
2， 1
22
234
23
的不等式是
15
， … ，你可归纳出
82
9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，
列的通项公式可以表示为 an
该数
10. 对于下列数排成的数阵：
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
它的第 10 行所有数的和为
11. 对于数列 { an} 满足： a1 1， an 1 an { a1,a2, ,an} ( n N * ) ，其前 n 项和为 Sn ，记
满足条件的所有数列 {an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
）
) ，若 k 5
N * ，则在下列数列中，可取遍数列
{ an} 前 6 项值
A. {a2k 1}
B. { a3k 1 }
C. { a4k 1}
D. { a5k 1}
16. 数列 { an} 中，若 a1 a ，an 1 sin( 2 an ) ，n N * ，则下列命题中真命题个数是（
）
（1）若数列 { an} 为常数数列，则 a 1 ；
3 , ) (0,
5
)；
（3）数学归纳法， un vn .
4. 若在等比数列 { an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
5. 方程 (3cos x 1)(cosx 3sin x) 0 的解集是
6. 若数列 { an} 满足 a1 13 ， an 1 an n ，则 an 的最小值为 n
7. 若数列 { an} 是等差数列，则数列 bn an 1
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件Βιβλιοθήκη D. 既不充分也不必要条件
14. 在数列 {an} 中， a1
1， a2
64 ，且数列 { an 1} 是等比数列，其公比 an
q
{ an} 的最大项等于（
）
1
，则数列
2
A. a7
B. a8
C. a9
D. a10
15. 若数列 an
的数列为（
cos( n 3
（2）已知数列 { an} 是首项为 1，公差为 2d 的等差数列， Sn 是其前 n 项的和，若数列
{| Sn |} 是“ M 数列”，求 d 的取值范围；
（3）已知数列 { an} 是各项均为正数的“ M 数列”，对于 n 取相同的正整数时，比较
un
a1
a3 n
1
a2 n 1 和 vn
a2 a4 n
6.
5 n2
2
9. 105n 23
二 . 选择题 13. A
14. C
15. D
16. C
三 . 解答题
17.（ 1） 2n ；（ 2） bn
2n
1
，
Sn
2n 2
4
n(n
3)
.
4
18.（ 1） b 2 ， c 1；（ 2） S2n 2n2 n 9n 1 9 20182 ， n 7 . 8
19.（ 1） a2 100000(1 5%) 2 m(1 5%) m 110250 2.05m ；
21. 如果数列 { an} 对任意的 n N * 满足： an 2 an 2an 1 ，则称数列 { an} 为“ M 数列” .
（1）已知数列 { an} 是“ M 数列”，设 bn an 1 an ， n N* ，求证：数列 { bn} 是递增数列，
并指出 2(a5 a4) 与 a4 a2 的大小关系（不需要证明）；
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年还清（ 2027 年 12 月 31 日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第 n 年末
还款后此人在银行的欠款额为 an 元 . （1）设每年的还款额为 m 元，请用 m 表示出 a2 ；
12. 设 n N * ，用 An 表示所有形如 2r1 2r2
2rn 的正整数集合，其中
0 r1 r2
rn n ，且 ri N (i N * ) ， bn 为集合 An中的所有元素之和，则 {bn} 的
通项公式为 bn
二 . 选择题
13. “ b 是 1 3 与 1 3 的等差中项”是“ b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（