考虑如下线性规划问题
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
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线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
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线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
线性规划常见疑问
线性规划常见疑问第一章线性规划常见疑问解答1.线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。
1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。
但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。
1975年，康托洛维奇与T .C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。
1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。
Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。
今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。
2.线性规划模型的形式是什么目标函数和约束条件都是线性的。
3.线性规划模型的三要素是什么就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。
其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。
只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。
4.线性规划模型的经济意义何在简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。
它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。
不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。
5.线性规划的标准形式是怎样的线性规划的标准形式有三个特点：a)约束条件都是等式；b)等式约束的右端项为非负的常数；c)每个变量都要求取非负数值。
下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－”非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划
王秋萍：线性规划
3
2 运输问题 例 2 某地区有甲乙丙三个食盐产地,其产量分别为 70 万 吨 80 万吨 100 万吨.该地区另有编号为 I II III IV 的四个城 市需要食盐,其需求量分别为 40 万吨,60 万吨,90 万吨,60 万吨. 由三个食盐产地向四个城市运输一吨食盐的运费如下表所 示.现在要求运输部门编制一个最优的运输计划,使得食盐的 运输费用达到最小.
如果在投资的 n 个项目中有 k 个项目是相互排斥的，则
在上述数学模型中应添加一个新的约束条件：
∑xj ≤1 k
二 线性规划问题的标准形式
表示第 j 种产品的最低产量 (d j ≥ 0)，另一些产品由于市场需求
量的限制，其产量不能超过某个数量，以 k j (1 ≤ j ≤ n)表示第 j 种
产品的最高产量 (k j f 0)
②企业自身的生产条件
该企业有 m 种资源（包括：原材料﹑辅助材料﹑动力﹑
机器设备﹑劳动力﹑自然资源等等），每种资源的拥有量为
地 Bj 的物资销量。
⑴当产销平衡时，即
m
∑
ai
=
n
∑bj
时，则上述运输的数学模
i =1
j =1
型为：
王秋萍：线性规划
5
nm
∑ ∑ min Z =
cij xij
j=1 i=1
s.t.
n
∑ xij = ai (i = 1,2,L, m)
j =1
m
∑ xij = b j ( j = 1,2,L, n)
毛坯数量
互补松弛(紧)性详细证明
互补松弛性孙敏 枣庄学院考虑如下互为对偶的一组线性规划问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+=≤=≥+=≤+=≥=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=≤=≥+=≥+=≤====nt j c yp t s j c yp s j c yp m q i y q p i y p i y n t j x t s j x s j x m q i b x a q p i b x a p i b x a ybW cx Z j j j j j j i i i j j j i i i i i i ,,1,,,1,,,1,,,1,0,,1,0,,1, s.t. ,,1,,,1,0,,1,0,,1,,,1,,,1, s.t.min max (DP) (LP) 无符号限制无符号限制对偶问题原问题其中[]n m n m R p p p a a a A ⨯∈=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121。
定理（互补松弛/紧性） 设1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解，则它们分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是，对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0)(0)(****j j j ji i i i c p y x v y x a b u 证明 首先由1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解得对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有0,0≥≥j i v u 。
定义0,011≥=≥=∑∑==nj j mi i v v u u因此，0=u 当且仅当),,1(0m i u i ==，0=v 当且仅当),,1(0n j v j ==，也就是0=+v u 当且仅当),,1(0),,,1(0n j v m i u j i ====。
于是为了证明命题成立，只需要证明*x 与*y 分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是0=+v u 。
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考虑如下线性规划问题：
Min z=60
x+402x+803x
1
. 3
x+22x+3x≥2
1
4
x+2x+33x≥4
1
2
x+22x+23x≥3
1
x,2x,3x≥0
1
要求：（1）写出其对偶问题；
（2）用对偶单纯形法求解原问题；
（3）用单纯形法求解其对偶问题；
（4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。
解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为
y,2y,3y；则
1
由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为：
Max Z’=2
y+42y+33y
1
3
y+42y+23y≤60
1
2
y+2y+23y≤40
1
y+32y+23y≤80
1
y,2y,3y≥0
1
(2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量
x,5x,6x）
4
MaxZ= -60
x-402x-803x+04x+05x+06x
1
-3
x-22x-3x+4x=-2
1
-4
x-2x-33x+5x=-4
1
-2
x-22x-23x+6x=-3
1
1x ,2x ,3x ≥0
建立此问题的初始单纯形表，可见：
从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。
因b 列数字为负，故需进行迭代运算。
换出变量的确定，计算min （-2，-4，-3）=-4，故5x 为换出变量。
换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故1x 为换入变量。
由表可知，6x 为换出变量。
2x 为换入变量。
然后继续画单纯形表：
可得4x 为换出变量，3x 为换入变量。
继续做单纯形表：
所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3.
（3）MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2
y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表，可得
i
由此可知，4y 为换出变量，2y 为换入变量。
继续画单纯形表，
i
由此可知，5y 为换出变量，3y 为换入变量。
继续画单纯形表，
i
由此可得最后一行的检验数都已经为负或是零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解为
Y=（0,20 /3,50/3，0,0,80/3）
目标函数值为230/3
（4）比较第二问和第三问，主要是换出变量和换入变量的关系：第（2）问里，
x为换出变量，1x为换入变量；6x为换出变量。
2x
5
为换入变量；
x为换出变量，3x为换入变量！
4
第（3）问里，
y为换出变量，2y为换入变量；5y为换出变量，3y为换入变量！
4。