Hermite插值方法
2.3插值与逼近之Hermite插值
Hermite插值的余项估计
Hermite插值的余项估计
Hermite插值的余项估计
例题
例 设 f (1) 2，f (2) 3，f (1) 1，f (2) 1， 求满足条件的Hermite插值多项式.
解：x0 1, x1 2, h 2 1 1 则 A1 (1 2( x 1))( x 2) 2 (2 x 1)( x 2) 2 A2 (1 2( x 2))( x 1) 2 (2 x 3)( x 1) 2 B1 ( x 1)( x 2) 2 B2 ( x 2)( x 1) 2
2 3
线性空间
{ p( x ) / p( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3}
V span{1, x, x , x }
2 3
span{h0 ( x ), h1 ( x ), H 0 ( x ), H1( x)}
Hermite基函数表
四个插值基函数{h0 ( x), h1( x), H0 ( x), H1( x)}取值如下表：
非标准的Hermite插值
方法二：构造基函数.
基函数 1 0 0 0 函数值 0 1 0 0 0 0 1 0
2
导数值 0 0 0 1
h2 ( x) k ( x x1 ) ( x x0 )
2
( x x1 ) ( x x0 ) h2 ( x ) ( x2 x1 )2 ( x2 x0 )
Hermite基函数表
基函数 函数值 导数值
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
h1( x) (a bx)( x xi )2
hermitage插值法
hermitage插值法【实用版】目录1.概述 Hermite 插值法2.Hermite 插值法的基本原理3.Hermite 插值法的应用实例4.Hermite 插值法的优点与局限性正文1.概述 Hermite 插值法Hermite 插值法是一种基于分段多项式的插值方法，用于在给定区间内对已知数据点进行插值。
它是一种三次样条插值法，可以提供比其他低阶插值方法更精确的结果。
Hermite 插值法的名称来自于法国数学家Charles Hermite，他在 19 世纪末开发了这种方法。
2.Hermite 插值法的基本原理Hermite 插值法的基本思想是使用一个三次多项式来表示给定数据点之间的函数。
该多项式可以写成：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3其中，a0、a1、a2 和 a3 是待定系数，需要通过给定的数据点来确定。
为了找到这些系数，Hermite 插值法使用了三个约束条件：（1）插值多项式在区间的端点处取到给定的函数值，即：f(x0) = a0 + a1x0 + a2x0^2 + a3x0^3 = y0f(x1) = a0 + a1x1 + a2x1^2 + a3x1^3 = y1（2）插值多项式在区间的中点处取到区间的平均值，即：f((x0 + x1) / 2) = (f(x0) + f(x1)) / 2（3）插值多项式的一阶导数在区间的中点处等于给定函数在该点的导数值，即：f"(((x0 + x1) / 2)) = (f"(x1) - f"(x0)) / (x1 - x0)通过解这组线性方程组，可以得到插值多项式的系数 a0、a1、a2 和a3。
一旦得到这些系数，就可以用插值多项式来近似表示给定函数在给定区间内的行为。
3.Hermite 插值法的应用实例Hermite 插值法广泛应用于数值分析、工程计算和计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，Hermite 插值法可以用来在给定控制点之间生成平滑的贝塞尔曲线。
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
例1 给定 f (− 1)=0, f (1)=4, f '(− 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).
解
x0 = − 1, x1 = 1,
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 0 h1 ( x ) 4 g 0 ( x ) 2 g 1 ( x ) 0
y0 y1 m0 m1
其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a 2, a3, 代 入即得 H3(x).
1 1 0 0
x0 x1 1 1
x0 x1
2 2
x0 x1
3 3 2 2
2 x0 2 x1
3x0 3 x1
( x 0 x1 ) 0 .
4
基函数法
类似于拉格朗日插值多项式的构造手法，我们可以通 过插值基函数作出 。
对给定区间[a,b]作划分
a x 0 x1 x n b
给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,„,n, 在每个小 区间[xi, xi+1]上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为：
li ( x ) x x i 1 x i x i 1 , 1 ( x ) li x xi x i 1 x i ,
在某些问题中，为了保证插值函数能更好地逼近原函数 ，不仅要求两者在节点上有相同的函数值，而且要求在节点 上有相同的导数值。这类插值称为Hermite插值。 ★ Hermite插值描述：
ch2-4Hermite插值
则Hermite插值多项式为：
H ( x ) hi ( x ) yi H i ( x ) y'i
i 0
n
Hermite插值多项式的构造
hi ( x )在x j ( j i )处的函数值与导数值均 为0，
故可设 : hi ( x ) [a b( x xi )] [l i ( x )]2
这里li(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( xi ) 1 h'i ( xi ) 0 (i 0,1,, n) 代入得
hi ( xi ) b l ( xi ) 2[a b( x xi )]l i ( xi )l i ( xi ) a 1; b 2al i ( xi ) 0
2. Hermite插值的基本定理；
3. Hermite插值多项式的构造 4.分段三次Hermite插值； 5.一般插值问题。
对x x1 1有：h0 (1) 0, h1 (1) 1, H 0 (1) 0,
(0) 0可设 由条件h0 (0) 1, h0 (1) 0, h0 h0 ( x ) (ax b)( x 1)
(0) 0, 得b a 1 利用h0 (0) 1, h0 所以h0 ( x ) ( x 1)( x 1) 1 x
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) '( xi ) y
' i
( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
二、 Hermite插值问题的提法
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)
Hermite_插值法
, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )
hermite插值法 python -回复
hermite插值法python -回复Hermite插值法是一种常用的数值方法，用于通过给定数据点的函数值和导数值，来构造一个通过这些点的插值函数。
这种插值方法非常重要，因为它可以用于近似复杂函数、在有限的数据点上进行多项式插值。
在本文中，我们将详细介绍Hermite插值法的原理、实现和应用。
我们将一步一步回答下面的问题，以帮助你理解这个主题：1. Hermite插值法的原理是什么？2. 如何实现Hermite插值法？3. Hermite插值法有哪些应用场景？首先，让我们来了解Hermite插值法的原理。
1. Hermite插值法的原理：Hermite插值法是将给定的数据点表示为n个插值多项式的线性组合。
每个插值多项式表示一个数据点的值和导数值。
通过将这些多项式相加，我们可以获得一个整体的插值函数。
具体来说，给定数据点(x0, y0, m0), (x1, y1, m1), ... , (xn, yn, mn)，其中yi是函数在xi处的函数值，mi是函数在xi处的导数值，我们需要构造一个插值函数f(x)。
插值函数f(x)可以通过以下步骤来计算：a. 计算插值多项式h0(x)、h1(x)、...、hn(x)，这些多项式与数据点的位置相对应。
b. 计算插值多项式的导数q0(x)、q1(x)、...、qn(x)，这些导数是通过给定函数值和导数值来确定的。
c. 计算插值多项式与导数的线性组合p0(x)f0(x) + p1(x)f1(x) + ... + pn(x)fn(x)，这里fi(x)是数据点(xi, yi)上的插值多项式。
最终，插值函数f(x)可以由上述线性组合得到。
2. 如何实现Hermite插值法：在Python中，可以使用NumPy库来实现Hermite插值法。
NumPy 提供了许多对数组和数值计算的支持，特别适用于数值插值。
下面是实现Hermite插值法的步骤：a. 导入NumPy库：import numpy as npb. 定义数据点的函数值和导数值：x = np.array([x0, x1, ..., xn])，y = np.array([y0, y1, ..., yn])，m = np.array([m0, m1, ..., mn])c. 定义插值多项式的导数：q = (y[1:] - y[:-1]) / (x[1:] - x[:-1])d. 定义插值多项式的系数：p = (q[1:] - q[:-1]) / (x[2:] - x[:-2])e. 定义插值多项式的值：f = np.poly1d([0])f. 循环计算插值多项式的值：for i in range(len(x)-1):f += np.poly1d([p[i], q[i], y[i]])(x) * ((x >= x[i]) & (x <=x[i+1]))g. 返回插值函数f(x)：return f上述代码实现了Hermite插值法，并返回了插值函数。
埃尔米特插值
即：x x j ( j i)是i (x)的二重根
因为i (x)得次数是2n 1
n
则：i (x) (ax b) (x x j )2 j0 ji
a和b由以下两式确定：
i (xi ) 1 i(xi ) 0
ii((xxj
) 0，j j ) 0，j
A 59 , 360
B 161 360
例5：给定如下数据表，求次数不高于3 次的代数多项式。
xi f(xi)
f (xi )
f ( xi )
x0 f(x0)
f ( x0 )
f (x0 )
x1 f(x1)
提示 H3 (x) H2 (x) A(x x0 )2 (x x1)
又：H
2
(0)
0
则：c 1
则：R2 (x) x(x 1)
则：H2 (x) L1(x) R2 (x) x2
再增加：
xi
1
yi
1
求 : H3(x),其中H3(x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
：H3(x) = H2 (x) + R3(x)
R3(0) = 0 其中：R3(1) = 0
例6：给定如下数据表，求首项系数为1 的4次的代数多项式。
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
提示 H3(x) H2 (x) c(x a)3
H2 (x) 0
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
第三章 插值法 Hermite插值
j
(
x
)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxx xx000))222((xx xx11))222 ((xxjj xx00))22((xxjj xx11))22
(((xxxxxjjj11))222((xx xxjj11))22 ((xx ((xxjj xxjj11))22((xxjj xxjj11))22 ((
P3( x) f ( x0 ) f x0, x1x x0 f x0, x1, x2 ( x x0 )x x1
f [ x0 , x1, x1, x2 ,]( x x0 )( x x1 )( x x2 ) --- 带重节点的牛顿插值多项式
插值余项（误差估计）:
条件 f ( x) C 3[a, b]，f（4）( x)存在。
i 0,1, , n, xi互异)
（b）H2n1( x) 为Hermite插值多项式，
则
R2n1( x) f ( x) H 2n1( x)
f ( (2n2) )
(2n 2)!
(x
x0 )2( x
x1 )2
( x xn )2
f (2n (2n
2) ( )
2)!
2 n1
(
x
),
(a, b)且与 x 有关。
结论
R( x)
f ( x) P3 ( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)( x
x1 )2 ( x x0 , x2
x2 )。 且依赖于x
证明
（1）当 x xi (i 0,1,2)时, R( xi ) 0 右端 0; （2）当 x xi (i 0,1,2)时,
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数值分析实验报告五
一、实验目的
理解Hermite插值方法，掌握Hermite插值算法设计
二、实验内容
使用vc++编程，实现该方法，即Hermite插值法
三、实验步骤
#include <iostream.h>
double herm(double x0,double x1,double y0,double y1,double h0,double g0,double g1,double x)
{
d oubl
e alp0,alp1,bta0,bta1,t;double s;
t=h0*h0;
a lp0=(x-x1)*(x-x1)*(h0+2*(x-x0))/t/h0;
a lp1=(x-x0)*(x-x0)*(h0-2*(x-x1))/t/h0;
b ta0=(x-x0)*(x-x1)*(x-x1)/t;
b ta1=(x-x1)*(x-x0)*(x-x0)/t;
s=y0*alp0+y1*alp1+g0*bta0+g1*bta1;
r eturn(s);
}
void main()
{
int n=7;double p0;double pn; double aa[8],bb[8],s=0;
double xx[8]={0.5,0.7,0.9,1.1,1.3,1.5,1.7,1.9};
double yy[8]={0.4794,0.6442,0.7833,0.8912,0.9636,0.9975,0.9917,0.9463};
double g[8];
int i;
double a[8],c[8],h[8];
cout<<"Please input p0 and pn"<<endl;
cin>>p0;cin>>pn;
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
h[i]=xx[i+1]-xx[i];
c out<<"h["<<i<<"]="<<h[i]<<endl;
}
c[0]=1;g[0]=3*(yy[1]-yy[0])/h[0]-p0*h[0]/2;
for( i=1;i<=n-1;i++)
{
a[i]=h[i]/(h[i]+h[i-1]);
c[i]=1-a[i];
}
for(i=1;i<n;i++)
{
c out<<"a["<<i<<"]="<<a[i]<<endl;
c out<<"c["<<i<<"]="<<c[i]<<endl;
}
for( i=1;i<=n-1;i++)
{
g[i]=3*(c[i]*(yy[i+1]-yy[i])/h[i]+a[i]*(yy[i]-yy[i-1])/h[i-1]);
}
a[n]=1;
g[n]=3*(yy[n]-yy[n-1])/h[n-1]+pn*h[n-1]/2;
for(i=0;i<=n;i++)
c out<<"g["<<i<<"]="<<g[i]<<endl;
a a[0]=2;bb[0]=c[0]/aa[0];g[0]=g[0]/aa[0];
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
a a[i]=2-a[i]*bb[i-1];
b b[i]=c[i]/aa[i];
g[i]=(g[i]-a[i]*g[i-1])/aa[i];
}
a a[n]=2-a[n]*bb[n-1];
g[n]=(g[n]-a[n]*g[n-1])/aa[n];
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
g[i]=g[i]-bb[i]*g[i+1];
}
c out<<endl;
for(i=0;i<=n;i++)
cout<<"g["<<i<<"]="<<g[i]<<endl;
double ss;double c0,c1,d0,d1,g0,g1,h1;
double x0;cout<<"Please input interpolation point x0:"<<endl;cin>>x0;
if(x0>=0.5 && x0<0.7)
{
c0=xx[0];c1=xx[1];d0=yy[0];d1=yy[1];h1=h[0];g0=g[0];g1=g[1];
s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=0.7 && x0<0.9)
{
c0=xx[1];c1=xx[2];d0=yy[1];d1=yy[2];h1=h[1];g0=g[1];g1=g[2]; s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=0.9 && x0<=1.1)
{c0=xx[2];c1=xx[3];d0=yy[2];d1=yy[3];h1=h[2];g0=g[2];g1=g[3]; s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=1.1 && x0<=1.3)
{c0=xx[3];c1=xx[4];d0=yy[3];d1=yy[4];h1=h[3];g0=g[3];g1=g[4]; s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=1.3 && x0<=1.5)
{
c0=xx[4];c1=xx[5];d0=yy[4];d1=yy[5];h1=h[4];g0=g[4];g1=g[5]; s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=1.5 && x0<=1.7)
{
c0=xx[5];c1=xx[6];d0=yy[5];d1=yy[6];
h1=h[5];g0=g[5];g1=g[6];
s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else if(x0>=1.7 && x0<=1.9)
{
c0=xx[6];c1=xx[7];d0=yy[6];d1=yy[7];h1=h[6];g0=g[6];g1=g[7]; s s=herm(c0,c1,d0,d1,h1,g0,g1,x0);
c out<<ss<<endl;
}
else
c out<<"The data error,please input again!"<<endl;
}
四、运行结果。