第一章复数与复变函数解读
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
第一章 复变函数和解析函数解析
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复变函数(全)解析
1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即
复变函数-复数的概念与定义
乘积的几何意义 :
y
z1 z2
1 2
z2
1
2Leabharlann z1x商:
z2 r2e i 2 r2 i ( 2 1 ) e i 1 z1 r1e r1
2. 乘幂与方根
n 个相同复数 z 的乘积 , 称为z 的 n 次幂, 记为z n
n z n z z ...z
2 i 2i ( 2 i )( i ) 2i (1 i ) 解: z i 1 i i (i ) (1 i )(1 i )
2i (1 i ) 2i 1 2 i 1 i 1 2 3 i 2
所以 Re z 2,
Im z 3
设 z1 , z2 , z3 , z C , 则有
(1) 交换律: z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(2) 结合律: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , ( z1 z2 )z3 z1 ( z2 z3 )
(3) 分配律: z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
5
3
z 的方根:
当 z 0 时， 若满足 wn z，则称 w 为 z 的 n 次方根， 记为 w n z
令 w e 有
i
ne in re i
于是 n r , n 2k (k 0,1,2,)
n r, 2k
n , ( k 0,1,2,)
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
3. 商
z1 （x1 iy1 ) z z2 x2 iy2
( z2 0)
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x 2 y2 x 2 y2
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
第一章 复数与复变函数
例题2
求 4 (1 i )的所有值
2 ,
1 4 4
提示：r
4
4
iLeabharlann 1 i ( 2) e 2 k
k 0,1,2,3
例题3 设z1、z2是两个任意复数，证明
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re( z1 z2 ),
提示：z1 z2 | z1 z2）z1 z2 ) | （ (
区域的例子:
例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集； 例2、集合{z||z-a|=r}是以为a心，r为半径的圆周，它是 圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。 例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。 例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。圆心a是E 的边界点，是E边界的孤立点，也是集合E的聚点。
中有无穷个点，则称a为的E 极限点；
若存在r 0，U (a, r ) E ,则称a为E的内点；
r 0,U (a, r ) E 中既有属于 E 的点，又有
不属于 E 的点，则称 a 为的E边界点； 集 E 的全部边界点 所组成的集合称为 E 的 边界，记为 E.
定义1.3 —1.4 开集、闭集: 开集：所有点为内点的集合； 闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它； 1、任何集合的闭包一定是闭集； 2、如果存在r>0 ，使得， U (0, r ) 则称E E 是有界集，否则称E是无界集； 3、复平面上的有界闭集称为紧集
很容易得到复平面上三点共线的充分必要条件是
z3 z1 tR z 2 z1
例题7 试用复数表示圆的方程:
a( x y ) bx cy d 0
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第一章复数与复变函数
一、学习要求
1．熟练掌握复数的运算。
2．掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确求出复数的实部、虚部、模与辐角。
3．了解各种区域。
4．了解共轭复数的性质。
5．理解复数几何意义。
6．理解复函的极限与连续，知道复函极限存在与连续的充要条件。
二、考核知识点
1．复数的定义。
2．复数的代数运算。
3. 共轭复数的定义与性质。
4．复平面和复数的点表示法、复数的向量表示法。
5．复数的代数式、三角式及指数式。
6．常用曲线的复数方程。
7．复数的积与商。
8．复数的幂与方根。
9．点的邻域。
10．区域。
11．复函定义。
12．复函极限与连续。
第一节复数
本节主要对复数与复数的运算作一次复习．
一、复数
一个复数可表示为，其中x，y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记为x=ReZ，y=ImZ；(即)——虚单位。
复数的上述表示称为复数的代数式。
讨论：1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x称为实数。
全体实数只是全体复数的一部分。
2)若实部x=0，虚部y=0，则z=0——复数零，即:
二、复数的四则运算
1)相等:
2)和差:
3)积:
4)商:
从复数的运算法则的定义中很明显的得出复数运算的交换律、结合律和分配律，即交换律：
结合律：
分配律：
全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域。
在复数域中，复数没有大小。
三、复平面
如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟
平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平
面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
在复平面上，从原点到点所引的矢量
op
与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：
这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。
四、复数的三角形式和指数形式
用极坐标r，θ代替直角坐标x和y来表示复数z，有
则复数ｚ可表示为：——三角式
利用欧拉公式：，复数ｚ可表示为：
——指数式
叫做复数ｚ的模，θ称为复数ｚ的幅角，记为Ａrgz．讨论：
i)．复数的幅角不能唯一地确定。
如果是其中一个幅角，则
也是其幅角，把属于的幅角称为主值幅角，记为argz。
ii)．复数“零”的幅角无定义，其模为零。
iii)．当r=1时,称为单位复数．
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
所以有
例
例2
例3 求
根据图1.1，图1.2，图1.3还可以得出三角不等式
五、共轭复数
一个复数
的共轭复数为
或称ｚ与
复数共轭。
性质：
55332(cos sin )3(cos sin )8888886(cos sin )
88
6
i i i ππππππ+⋅+=+=-4
12(cos
sin )244
i
i i e ππ
π
+=+=313
31231cos 0sin 000
cos sin 1
330202cos sin
330404cos sin
33
i w i w i w i ππ
ππ
=+=+=++=+++=+
六、复数的乘幂与方根
非零复数ｚ的整数次幂
为
当r ＝１时
上式为棣摩弗公式。
非零复数ｚ的整数次根式
为
k=0,1,2,…，n-1．
讨论：给定的可以取n 个不同的值，它们沿中心在原点，半径为
的圆周而等
距地分布着。
例4 用sin θ及cos θ表示cos3 θ, sin3 θ
由复数相等的关系有： 11题， 证明：
同理
17：证明三角形的内角和等于π。
3
3223cos3sin 3(cos sin )cos 3cos sin 3cos sin sin i i i i θθθθθθθθθθ
+=+=+--32cos3
cos 3cos sin θθθθ
=-23sin 33cos sin sin θ
θθθ
=-121112
2
2
2
2
2122
2
2
2
2122
2
2
1232()2()2()2(11)13z z z z z z z z z z z z z z z ++-=+∴
-=+-+=+-=+-=2
233
z z -=2
313
z z -=21
31
32
arg arg
z z z z z z z z αβ-=--=-3213
21311223
1
z z z z z z z z z z z z ---=----
证：设三角形的三个顶点分别为z1，z2，z3；对应的三个顶角分别为α，β，γ，于是由假设0〈α〈π，0〈β〈π，0〈γ〈π，所以0〈α+β+γ〈3π，故必k=0，因而α+β +γ=π
第二节复变函数的基本概念
一、区域与约当曲线
1、区域，邻域:
(1)、区域的定义：设有非空点集D，如果满足：
①开集性：在D中的每一点z，都必有以z点为圆心的一个充
分小的圆全含于D内(即圆内的每点都是D内的点)。
②连通性：D内任意两点都可以用一条由D内的点所构成的折
线连接，则称D为区域（图1.4）图1.4
(2)、邻域：邻域是区域最简单的例子，所谓点a的邻域，是指满足
的点所组成的集合．即以a为心，为半径的圆的内部(图1.4)
2、界点，边界、闭区域
若点P不属于区域D，但在P的任意邻域内总包含有D中的点，则点P叫做区域D的界点。
D的所有界点的集合叫做D的边界(图1.4)区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，用表示。
3、简单曲线或约当曲线
(1)、连续曲线：如果和是两个连续的实变函数，则方程组
代表一条平面曲线，称为连续曲线，如果用
来表示，这就是平面曲线的复数表示式。
(2)、重点：若对不同时是的端点，有，则称为曲线c的重点。
(3)简单曲线（或约当曲线）：没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线。
(4)简单闭曲线：如果简单曲线c的起点与终点重合，即，则称曲线c为简单闭曲线或约当闭曲线(图1.5(a))
因此，连续曲线有以下四种情况:图1.5
4、单连通域与复连通域：
如果在区域D内任作一条简单闭曲线，而曲线的内部每一点都属于D，则称D为单连通区域．如果一个区域不是单连通区域，则称为复连通区域．
单连通区域的重要特征是：区域D内任意一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而复连通区域不具有这个特征．
图1.6
二、复变函数的概念
1、复变函数的定义
设D为复数的集合，
式中：表示所有的，任意等意思；表示存在．z称为自变（或宗量），D称为函数的定义域，而对应值w的全体所构成的复数集称为函数的值域．
把复变函数的实部和虚部分别记作，即。
这就是说，复变函数可以归结为一对二元实函数，因此，实变函数论的许多定义、公式、定理都可以直接移植到复变函数论中，如复变函数的极限和连续性等。
２、复变函数的几何表示
要描述的图形，可取两张复
平面，分别称为z平面与w平面，而把复
变函数理解为两个复平面上的点集间的对
应，如图 1.7所示。
具体地说，复变函数
给出了从z平面上的点集D到w
平面上的点集F间的一个对应关系，与点对应的点称为z点的象点，而z点就称为的原象。
三、复变函数的极限与连续
这部分的内容与实变函数的极限与连续类似，请大家自学．
第三节复球面与无穷远点
一、复球面
复数的另一种几何表示，就是建立
复平面与球面上的点的对应。
把一
个球放在复平面上，球以南极S跟
复数平面相切原点，通过O点作一
垂直于z平面的直线与球面交于N
点，N称为球的北极，在复平面上
任取一点z，它与球的北极N的联
线跟球面相交于，这样就建立起复平面上的有限远点跟球面N以外的点的一一对应，这个球叫做复数球．
考察平面上一个以原点为心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周（即纬线），当圆周C的半径越来越大时，圆周就越趋于北极N．因此，我们可以把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。
无远点的幅角没有明确意义，复平面加上点后，称为扩充平面（或闭平面，全平面），与它所对应的就是整个球面，称为复球面，原来的复平面称为开平面。
讨论：
1)复平面上的无穷远点，只有一点，即当时的极限点(不论取何值)，是指沿任意方向趋于。
2)无穷远点的运算与实变函数中的复变函数的运算相似。
二、闭平面上的几个概念
i）．无穷远点的邻域：以原点为心的某圆周的外部，即的邻域是指合乎条件
的的点集．
ii）．闭平面是唯一的无边界的区域，无穷远点是开平面的界点，是闭平面的内点。
习题
本章习题：P16 1(2)(4)，2(2)(3)，4，7，10，12(1)(2)(7)(9)(10) 注：各章习题均为教材上的习题。