主线及互通匝道复曲线中间缓和曲线坐标计算法
高速公路各线形计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
缓和曲线)计算公式
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式一、缓和曲线上的点坐标计算：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度〔或缓曲上任意点到缓曲起点的长度〕l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算：①第一坡度：i1(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)②第二坡度：i2(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程五、超高缓和过渡段的横坡计算：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点〔过渡段终点〕的间隔：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－〞，右转为“＋〞)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－〞，右转为“＋〞)求：①线路匝道上点的坐标：x,y ②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
复曲线中间缓和曲线正矢计算方法
复曲线中间缓和曲线正矢计算新方法摘要：通过实例提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，并对该方法作了简要分析和论证关键词：复曲线 中间缓和曲线 正矢计算方法一、引 言目前铁路线路仍有相当数量的复曲线存在，其中间缓和曲线的正矢计算方法，很多教科书以及铁路专业书，包括《铁路工务技术手册（线路业务）》，以及崔恩波、娄永录所著论述曲线的专著《曲线设备与曲线整正》（中国铁道出版社）等，均没有提及。
本文在此提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，即计算曲线上任一点的直角坐标，来间接计算曲线上任意弦长、任意两点间的正矢。
这种方法的优点在于原理简单，计算精确，消除了传统计算方法的误差，可以将计算结果控制在任意需要的精度。
二、复曲线中间缓和曲线正矢的计算方法推导对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件：1、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。
2、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。
我国采用的常用缓和曲线其长度和半径的关系为：0000l R l R l R l R l ⋅=⋅----缓和曲线上距始点长度为处的半径缓和曲线上任意一点距始点的距离缓和曲线终点处半径缓和曲线长度如图1，两圆半径为1R ，2R 且12R R >；延长中间缓和曲线至ZH '，使其半径从2R 渐变到R =+∞，则可求得中间缓和曲线的全长L21()n L R L l R ⨯=-⨯ ∴ 112n R L l R R =⨯- L -中间缓和曲线全长n l -中间缓和曲线长度图1如图1，曲线上A B C 、、均为测点，有两各情况：1、测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。
则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。
2、测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设A B C 、、的位置如图所示。
如果A B C 、、在同一坐标系内的坐标能够求出，则A B 、（或B C 、）点的正矢可以用坐标计算。
主线及互通匝道复曲线中间缓和曲线坐标计算法
科技信息
。建筑 与工程 ｏ
Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ ＯＧ ＮＦ Ｒ ＴＯＮ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ ＯＬ ＹＩ Ｏ ＭＡ Ｉ
２０ ０ ８年
第ｌ ４期
主线及互通匝道复曲线中间缓和曲线坐标计算法
丁 立 明
（ 中铁 二十 二局 集 团第 一工程 有 限公 司 ）
例 ： 下 图 见
。
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／
一
。 －
第 二 ． 转 角 小 半 径 ｒ圆 曲线 与 大半 径 பைடு நூலகம் 圆 曲 线 中 间 插 入 一 段 缓 右 和 曲线 连 接 时 ， 算 出 小 半 径 ｒ 和 曲线 ＨＺ点 坐 标 、 位 角 及 桩 号 ， 先 缓 方
然 后 算 出 切 线 支 距 （ ，）通 过 ＹＨ 点 至 Ｈ ｘｙ ， ｚ点 之 间 坐 标 变 换 公 式 ， 求 出 中 间 缓 和 曲线 上 任 意 桩 号 坐 标 。 （ ： 负 值 ） 注 Ｙ代
１复 曲线 中间 缓 和 曲线 ．
复 曲线 是 由 两 个 或 两 个 以 上 不 同 半 径 的 同 向 圆 曲线 直接 连 接 而
２ 复 曲线 中 间 缓和 曲线 坐 标 计 算 步 骤 ．
以 右 转 角 大 半 径 Ｒ 圆 曲 线 与 小 半 径 ｒ圆 曲 线 中 间 插 入 一 段 缓 和
缓 和 曲线 上 任 意 桩 号 切 线 支 距 ， 后 利 用 坐 标 变 换 公 式 ， 可 算 出 复 然 即 曲线 中 间 缓 和 曲 线 上 任 意桩 号 坐标 。
Ｑ通偏小 Ｄ 由 、 Ｄ一 大 白 蟠匝 到 龙道 互右
、
３计 算 实例 ．
以主线左 幅 Ｇ — Ｈ Ｑ Ｙ— Ｙ Ｈ— ＨＹ— Ｙ Ｈ— Ｇ 一 段 右 偏 复 曲 线 为 Ｑ
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高速公路线路（缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道）坐标计算公式未知2009-12-27 21:40:34 本站高速公路的一些线路坐标、高程计算公式（缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道）一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：I②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：I o④转向角系数：K（1或一1）⑤过ZH点的切线方位角：a⑥点ZH的坐标：x z, y z计算过程：SJ Q , = — + n 180I4)S= j£*y ：⑸ q 二 4+4-90(6)K J = ScosC^⑺比=SsinOjI0]x F + XZl9]y = y L + y E公式中n 的取值如下:当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则:I 为到点HZ 的长度 a 为过点HZ 的切线方位角再加上180 °K 值与计算第一缓和曲线时相反x z , y z 为点HZ 的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算6R1,说明：当曲线为左转向时， K=1，为右转向时,K=-1,此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：I②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：I o④转向角系数：K（1或一1）⑤过ZH点的切线方位角：a⑥点ZH的坐标：x z, y z计算过程：j I JQ J_ 90 （21■亠h）_ ~~1绯=卫_^—24R 2683R H ⑶珀二丄--+―—} 2240E! 34560R'= [Rd-cos^'）+p]K 旧）叭=Rain0 J+ID（0]q, = arctg —+n- 1E0XoJ盖亠犹侣]4 = 4+』—90[9）Xi= ScosCLj（10]y i = SsinC^II l）X= Ix+Xj11旳二咒+y.说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时,K=-1 , 公式中n的取值如下：此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除Q > 0<0Zo >0'y t > 0n = 0n = 2n = 1n= 1当只知道HZ点的坐标时，则:I为到点HZ的长度a为过点HZ的切线方位角再加上180 °K值与知道ZH点坐标时相反x z, y z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式⑴緩曲段任意点转角値】6-：2Rlo⑵曲缠段任意虐转角值’ B 二空空I M ZC PCP JI2 ⑶第-缓曲段总转角值吩寻⑷第二缓曲段总转角值鳴.繁⑻第二曲线平移重,Pz =空--亠百2跟 26SSR 3⑸第一切蛙长| T1 -聖二邑十士虫十鹿十2R ） tg-t ril-U 2.2 2tg- 2QD 曲线全扶虧L = R 如乜）2曲圆曲线扶度:L 0 = Ra--(lj + 12)2⑬曲绕段长虧［=丄丄』空邛 ⑭偏窝愛曲D 的边线曲线按度：1=M + D|i公式中各符号说明:I ——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度） I i ――第一缓和曲线长度I 2――第二缓和曲线长度I 0――对应的缓和曲线长度2R1F2⑸第一曲线価移E ）mi -h2 240R Z 34560R'⑹第二曲块顺移藝服=旦2 240^*54 西OR ⑺第一曲統平移董;P1 24R 26881^^2 /%侧第二切线长;廿比晋十;山十现衣叭斤十恥R――圆曲线半径R——曲线起点处的半径F2——曲线终点处的半径P i――曲线起点处的曲率P2――曲线终点处的曲率a――曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i i（上坡为“ + ”，下坡为“一”）②第二坡度：i2（上坡为“ + ”，下坡为“―”）③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：sH带有符号）I21R =-------ir _ ii_ 1 ~l f⑶H上也+ ——-_丄--RiA,五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i i第二横坡：i 2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/L23i=(i 2-i 1)(1-3d 2+2d3)+i 1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：a 0⑥曲线起点处曲率：P0( 左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1( 左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：X,y②待求点的切线方位角：a T 计算过程：S=K-K,[H 当 p ( = Pt=0 时 1x=xa+Scos J y^y (j+SsinCU⑵当R = p 冲附Cli = SF'i+OtiX 二比十-sin 4)厲 y=y.-tcos cos CU ) /F\ cir=a[3]当 P^PM=4 SO (P±-P J—Kflt=Nl s R/(P l -R )1=1.+SNC =Ck=S (14-lJ/2/CT-a-NlJ/2Cr —£ i f -ii l 11- ir----- — ---- 十 -------此 S36C 3 42240C 1x=i (>4 NAcosT- BsinTy=y il -F N^sirLT-bBcos注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1 ,当x>0时sgn(x)=1 ,当x=0时sgn(x)=0 。
高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式
高速公正路路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式未知2021-12-27 21:40:34 本站高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度〔或缓曲上任意点到缓曲起点的长度〕l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算：①第一坡度：i1(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)②第二坡度：i2(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点〔过渡段终点〕的间隔：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－〞，右转为“＋〞)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－〞，右转为“＋〞) 求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
缓和曲线的计算公式概要
查看文章高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道坐标计算公式2009年06月29日星期一21:57高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：丨②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：10④转向角系数：K(1或一1⑤过ZH点的切线方位角：a⑥点ZH的坐标：xZ, yZ计算过程：〔14 = (——)X吩3361SI?⑵一丄十」^40RH 3456R%(3]dt = arctg —+n-180[4)-------------------------- S= J盂十y：匸[血二①+口-河(SJ KJ= Scosci^⑺齐=Ssin(\旧丘=Xt+Xr[9]y=说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1 ,公式中n的取值如下：<0弧<0>0n = 0n = 2n=1n = 1当计算第二缓和曲线上的点坐标时，贝U: l为到点HZ的长度a为过点HZ的切线方位角再加上180K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：I②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：I0④转向角系数：K(1或一1⑤过ZH点的切线方位角：a⑥点ZH的坐标：xZ , yZ计算过程：尺兀24R 2688R3[3]m=^-- +―弐—2 240R E Z34560R'阮湎口砂用K15)叭二RsiiiU'十m[6H = arctg —+n- LEO⑺E= J奩+y：[8]a = q+a—go旧]爲=ScosC^(IO]y j—SsinCl^[I U K=石+心0的=班+圻说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时,K=-1 , 公式中n的取值如下：也：^<0业<oW A 0凭<0y,>o 1y»n = 0n = 2n = 1n = 1当只知道HZ点的坐标时，贝V:l为到点HZ的长度a为过点HZ的切线方位角再加上180K值与知道ZH点坐标时相反xZ, yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式1超曲馬任畜占转角fit P 2KM⑵«4段任；■点特用值B ・阻也L. 乂p 严丹）L 2 Rife 2⑶戛一建曲段恳转角跖K ■互 2R⑷第二集曲段总特角仙內•卫 山.里—圧珪II 师口重；阻=!!_ 斗+ _2 240E £ 3456OR⑹第卫對惧秽重5?-里-- +」一2 昭 OK 34b60R阿平移畫5・——\24R 26BBR 3—十—(P L+ P ?卡HR't.—十 mi -4 22 oo®二切线恰n -里卫 止如+p,+2JUt e 5+>2 2M- 2 203晦逅k 慶:Lo =嗣弓（】严®站陡段长度* 1 ■丄L ■仝些Br Pi+p ； Ri+R?⑭雇需曲D 的边缘曲裟檢度：1- Al + Dp公式中各符号说明： l ――任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）11 ――第一缓和曲线长度12 ――第二缓和曲线长度10 ――对应的缓和曲线长度R ――圆曲线半径R1 ――曲线起点处的半径⑻第二平移■眩■ ——5-如 2688K ⑼第一切SiKiT]- ^_5>1R2 ――曲线终点处的半径P1 ――曲线起点处的曲率P2 ――曲线终点处的曲率a ――曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1（上坡为牛”， ② 第二坡度：i2（上坡为 牛”，下坡为③ 变坡点桩号：SZ④ 变坡点高程：HZ⑤ 竖曲线的切线长度：T下坡为-a v[SIR.= 五、超高缓和过渡段的横坡计算⑥待求点桩号：S 计算过程:2T1+—〔[3]H 二吐十L _丄-扌尺仁長已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=（i2-i1（1-3d2+2d3+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：xO, y0⑤曲线起点切线方位角：a0⑥曲线起点处曲率：P0（左转为•”，右转为牛⑦曲线终点处曲率：P1（左转为•”，右转为牛求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：aT计算过程：S=K-K,[I ]当已=P J= 0吋IK = Xfl-FScOS^ y=y c+Ssin^ —q.⑵当p严p冲。
道路曲线计算公式
高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式时间:2009-12-27 21:40:34 来源:本站作者:未知我要投稿我要收藏投稿指南高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
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③ＺＨ 点桩号等于 ｒ 半径 ＨＹ 点桩号减第一缓和曲 Ｓ１ 即 ＬＫ５＋０４８．６９３－ ３００＝ＬＫ４＋７４８．６９３
第四步： ①．计算中间缓和曲线上任意点切线支距：
以 ｒ 半径缓和曲线起点 ＺＨ 点为坐标原点 ， 以 切 线 为 Ｘ 轴 ， 过 ＺＨ
点且垂直于切线的垂线为 Ｙ 轴， 利用缓和曲线参数方程：
● 作者简介： 潘 华 ， 出 生 于 １９７８ 年 ９ 月 ， 毕 业 于 长 沙 理 工 大 学 ， 本 科 学 历 ， 主
要从事交通土建工程。 黄乐乐， 出生于 １９８１ 年 ５ 月， 毕业于长沙理工大学， 本科学历， 主要从事交
②方木的另一侧用砂砾或碎石回填约 ３ 米长， 其高度应略高出方 木。
③将混合料碾压密实。 ④在重新开始摊铺混合料之前， 将砂砾或碎石和方木撤除， 并将 作业面顶面清扫干净。 ⑤摊铺机返回到已压实层的末端， 重新开始摊铺混合料。 五 、养 生 及 交 通 管 制 （ １） 每一段碾压完成以后应立即开始养生， 并同时进行压实度检 查。 （ ２） 养生方法： 应将草袋或麻布湿润， 然后人工覆盖在碾压完成的 基层顶面。覆盖 ２ 小时后， 再用洒水车洒水。
ＬＫ５＋０２０ ２７１．３０７ ２７１．２０５ ５．５４７ ４０５５０２７ ２９１．１６１ ６．８ ６７ ４０５５０２７．０５５ ４７４０８９．０９３
ＨＹＬＫ５＋０４８．６９３ ３００ ２９９．８３１ ７．５００ ４０５５０２７．２２１ ４７４０９７．７８４
Ｃ＝Ｓ１－ Ｓ１３／９０ｒ２＝３００－ ３００３／９０×２０００２＝２９９．９２５
θｃｘ ＝θＨＹ － ２β０／３ ＋１８０°＝８９°０１＇ ３６．１２＂ － ２°５１＇ ５３．２４＂ ＋１８０°＝
２６６ｏ０９＇ ４２．８８＂
第三步： 计算 ｒ 半 径 缓 和 曲 线 ＺＨ 点 坐 标 、方 位 角 及 桩 号 （ 实 际 不
（ ３） 基层养生期不应少于 ７ｄ。养生期内洒水车必须在另外一侧车 道上行驶。
（ ４） 在养生期间应封闭交通。 结束语： 在施工中要防止在水泥稳定碎石基层中出现原材料质量 不 合 格 、配 合 比 不 准 确 、拌 和 不 均 匀 、摊 铺 不 平 整 、粗 集 料 离 析 、碾 压 不 密实、接缝不平整等质量问题， 避免形成起皮、松散、裂缝、弹簧、翻浆、 强度不合格等质量缺陷， 确保路面基层的工程质量。科
１．复曲线中间缓和曲线
复曲线是由两个或两个以上不同半径的同向圆曲线直接连接而 成的曲线， 当两不同半径之比（ Ｒ１ ／Ｒ２） 超出规定值（ １．５—２） 时， 中间应 插入一段缓和曲线， 这段缓和曲线并非是一条完整的缓和曲线， 而在 插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段， 这种复曲线在济莱高速公 路主线、互通匝道应用较多， 关于中间缓和曲线坐标计算问题， 从测量 资 料 上 查 不 到 具 体 计 算 方 法 。通 过 反 复 推 敲 验 算 比 对 济 莱 高 速 公 路 主 线、互通匝 道 复 曲 线 中 间 缓 和 曲 线 设 计 坐 标 ， 总 结 出 复 曲 线 中 间 缓 和 曲线坐标计算法。
３．计算实例 以 主 线 左 幅 ＧＱ→ＨＹ→ＹＨ→ＨＹ→ＹＨ→ＧＱ 一 段 右 偏 复 曲 线 为
例： 见下图
第二， 右转角小半径 ｒ 圆曲线与大半径 Ｒ 圆曲线中间插入一段缓 和曲线连接时， 先算出 小 半 径 ｒ 缓 和 曲 线 ＨＺ 点 坐 标 、方 位 角 及 桩 号 ， 然 后 算 出 切 线 支 距 （ ｘ， ｙ） ， 通 过 ＹＨ 点 至 ＨＺ 点 之 间 坐 标 变 换 公 式 ， 求 出中间缓和曲线上任意桩号坐标。（ 注： ｙ 代负值）
ＹＨ
ＬＫ４＋８９８．６９３ ４０００
８５°４８＇ １３．７２＂
Ａ２＝ａ１＝７７４．５９７
ＨＹ
ＬＫ５＋０４８．６９３ ２０００
８９°０１＇ ３６．１２＂
ＹＨ
ＬＫ５＋６４９．０３３ ２０００ １０６°１３＇３０．６１＂
ＧＱ
ＬＫ５＋８４９．０３３
∞
１０９°０５＇ ２３．８５＂
ａ２＝６３２．４５６
计算步骤详述如下： 第一步： 求中间缓和曲线长度： ①大半径 Ｒ 圆曲线两端缓和曲线长度： ａ．第一缓和曲线长： Ｌｓ１＝Ａ１２ ／Ｒ＝８９４．４２７２ ／４０００＝２００ｍ ｂ．第二缓和曲线长： Ｌｓ２＝Ａ２２ ／Ｒ＝７７４．５９７２ ／４０００＝１５０ｍ ②小半径 ｒ 圆曲线两端缓和曲线长度： ａ．第一缓和曲线长： Ｓ１＝ａ１２ ／ｒ＝７７４．５９７２ ／２０００＝３００ｍ ｂ．第二缓和曲线长： Ｓ２＝ａ２２ ／ｒ＝６３２．４５６２ ／２０００＝２００ｍ ③小 半 径 圆 曲 线 第 一 缓 和 曲 线 半 径 由 ｒ＝２０００ｍ 渐 变 到 无 穷 大 的 过程中， 必有一点其半径等于 ４０００ｍ， 与大半径圆曲线 ＹＨ 点相 接 ， 于 是 Ｒ 半径圆曲线与 ｒ 半径圆曲线中间就出现一段缓和曲线， 其长度： Ｌ
第二步： 求 ｒ 半径中间缓和曲 线 角 β０、１／３β０、２／３β０、弦 长 Ｃ 及 弦 线 方位角 θｃｘ；
①计算 ｒ 半径圆曲线第一缓和曲线角：
β０＝９０Ｓ１／πｒ＝９０×３００／２０００π＝４°１７＇ ４９．８６＂
１／３β０＝１°２５＇ ５６．６２＂
２／３β０＝２°５１＇ ５３．２４＂
②计算 ｒ 半径缓和曲线弦长 Ｃ 及弦线方位角 θｃｘ：
Ｘ＝Ｌ―Ｌ５／（４０ｒ２ｓ１２）＋Ｌ９／３４５６ｒ４ｓ１４（注： 半径大时可略去高次项） ｙ＝Ｌ３／６ｒｓ１－ Ｌ７／３３６ｒ３ｓ１３ 计算出所求桩号切线支距。 ②利用坐标变换公式： 计算中间缓和曲线中桩坐标
Ｘ＝ＸＺＨ＋ｘｃｏｓθＺＨ－ ｙｓｉｎθＺＨ Ｙ＝ＹＺＨ＋ｘｓｉｎθＺＨ＋ｙｃｏｓθＺＨ（注意： 曲线右转角 Ｙ 代正值， 曲线左转角 Ｙ 代负值）
以下表所列 ４ 个桩号为例： 计算中间缓和曲线中桩切线支距和坐
标
切 线 支 距 、中 桩 坐 标 计 算 表
桩号
弧长
ｘ
ｙ
Ｎ
Ｅ
ＺＨＬＫ４＋７４８．６９３ ０
０
０ ４０５５００７．１４８ ４７３７９８．５３２
ＬＫ５＋０００ ２５１．３０７ ２５１．２３７ ４．４０９ ４０５５０２５．８３６ ４７４０４９．１１２
复曲线中间缓和曲线共有 ４ 种类型计算分析： 第一， 右转角大半径 Ｒ 圆曲线与小半径 ｒ 圆曲线中间插入一段缓 和曲线连接时， 先算出 小 半 径 ｒ 缓 和 曲 线 ＺＨ 点 坐 标 、方 位 角 及 桩 号 ， 然 后 算 出 切 线 支 距 （ ｘ， ｙ） ， 通 过 ＺＨ 点 至 ＹＨ 点 之 间 坐 标 变 换 公 式 ， 求 出中间缓和曲线上任意桩号坐标。（ 备注： Ｙ 代负值）
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科技信息
○建筑与工程○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年 第 １４ 期
中＝Ｓ１－ ＬＳ２＝３００－ １５０＝１５０ｍ， 或用以下公 式 计 算 Ｌ 中＝Ａ２ （ Ｒ－ ｒ） ／Ｒｒ＝
７７４．５９７２（４０００－ ２０００）／４０００×２０００＝１５０ｍ
第三步： 根据小半径缓和曲线 ＨＹ 点坐标（ ＸＨＹ， ＹＨＹ） 、桩号及第 二 步 计 算 结 果 ， 利 用 直 线 坐 标 计 算 公 式 ， 求 出 小 半 径 缓 和 曲 线 ＺＨ 点 坐标（ ＸＺＨ， ＹＺＨ） 、方位角 θＺＨ 及桩号；
第四步： 根据第三步计算结果， 利用缓和曲线参数方程， 求出中间 缓和曲线上任意桩号切线支距， 然后利用坐标变换公式， 即可算出复 曲线中间缓和曲线上任意桩号坐标。
存在， 只作辅助计算用）
已知 ｒ 半径 ＨＹ 点：
（ １） 坐标： ＸＨＹ＝４０５５０２７．２２４， ＹＨＹ＝４７４０９７．７８４ （ ２） 方位角 θＨＹ＝８９°０１＇ ３６．１２＂ （ ３） ＨＹ 点桩号 ＬＫ５＋０４８．６９３
求出 ＺＨ 点坐标（ ＸＺＨ， ＹＺＨ） 、方位角 θＺＨ 及桩号 ①ＺＨ 点坐标（ ＸＺＨ， ＹＺＨ）
已知： ｒ＝２０００， θＺＨ＝８４°４３＇４６．２６″
４．结束语
上述计算法只要掌握切线支距法， 利用坐标变换公式就能准确快 速的计算出复曲线中间缓和曲线上任意桩号坐标。 科
● 【参 考 文 献 】
［ １］ 刘培文主编《公路施工测量技术》人民交通出版社出版． ［ ２］ 钟孝顺主编《测量学》人民交通出版社出版． ［ ３］ 刘旭吾主编《互通式立交线形设计与施工》人民交通出版社出版． ［ ４］ 吉林省交通规划设计院、济莱高速公路工程．第一合同段港 沟 枢 纽 互 通 立 交 及第二合同段蟠龙互通立交施工设计图．
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○建筑与工程○
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２００８ 年 第 １４ 期
主线及互通匝道复曲线中间缓和曲线坐标计算法
丁立明 （ 中铁二十二局集团第一工程有限公司）
【摘 要】山东省京沪线辅线济南至莱芜高速公路， 线路中两端及中间均设缓和曲线的复曲线较多， 本文就中间缓和曲线任一桩号坐标计 算方法进行介绍， 说明该方法在测量放样坐标计算中的简单性和实用性。
下 表 列 出 各 主 点 设 计 桩 号 、半 径 、方 位 角 、缓 和 曲 线 参 数
主点名称
桩号
半径
方位角
缓和曲线参数
ＧＱ
ＬＫ４＋０１９．２６３
∞
７４°３８＇ ２１．４６＂
ＨＹ
ＬＫ４＋２１９．２６３ ４０００