缓和曲线计算原理

1.2道路线形的基本介绍道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。

道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。

一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。

中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。

无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。

当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。

因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。

曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。

公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。

考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。

其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R 的变量。

在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R ，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。

目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。

非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH 或HZ ）的半径为∞，圆半径为R ，第一缓和曲线长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。

所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1R 、2R 。

而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。

2 路线中桩坐标计算原理在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。

所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。

当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算施工坐标时予以相互检核。

所以，为了保证原理的通用性，我们需要用最少的、最通用的、最有利于使用、最有利于推算的条件来讲解。

通过对多份实际工程中用到的曲线元素的分析，得出了计算最复杂曲线（非完整缓和曲线）的中、边桩坐标及中桩→边桩坐标方位角的最少条件。

中桩，指的是为表示中线位置和线形等，沿路线中线所设置的编有桩号的桩或标志。

中桩测设是指沿着直线或曲线详细测设中桩，是工程中放样测量的重要组成部分。

中桩的放样方法有多种，但随着测量仪器的日益先进，测量手段也开始发生变化且趋向于简单，测量的结果也日益精确，当然所要求的放样元素也由所变化。

现在工程中实际用到的放样仪器主要是全站仪、GPS-RTK ，这就决定我们在计算线路的放样元素时，得出的主要对象是桩位在总体坐标系中的二维坐标（高程放样是在其单独的高程坐标系中单独进行的）。

经过总结，发现进行中桩坐标计算时，无论其是何种曲线段只要给出下述条件即可进行相应的计算。

条件：线路中各曲线段的起点坐标1x 1y 、起点里程1s 、起点半径1r 、终点坐标2x 2y 、终点里程2s 、终点半径2r 、交点坐标3x 3y 、曲线参数A 、转向(-1或1)。

由于在圆曲线、完整缓和曲线段及非完整缓和曲线段中桩、边桩坐标计算过程中，需要先建立局部坐标系然后进行二维坐标之间的转换，所以下面首先对二维坐标系之间的转换进行讲解：2.1二维直角坐标系的转换两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角，对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等于其欧勒角。

对于二维直角坐标系已知P 点在局部坐标系中的坐标,()P P A B ，局部坐标系原点0,()x y 以及局部坐标系相对于总体坐标系的坐标方位角，则P 在总体坐标系中的坐标为：00cos sin sin cos p P P p x x A y y B θθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦- 将矩阵换算为方程式的形式为：00cos sin sin cos pppPPpx x A B yy A B θθθθ=+-⎫⎪⎬=++⎪⎭式中0x 0y 与θ值可由计算人员提供。

B同样，若已知P 点在总体坐标系中的坐标,()P Px y ，可按下式将其换算为在局部坐标系中的坐标,()P PA B ：00()()()()cos sin sin cos PPP PPP y y x x A y y x x B θθθθ⎫=-+-⎪⎬=--+-⎪⎭在前期的预备知识了解后，下面就工程中可能遇到的十一种路段，如何进行中桩坐标的计算逐一的进行详细的讲解。

2.2直线段中桩坐标计算原理首先说清的一点是，直线段不具有交点坐标。

在进行中桩坐标计算时，首先根据起点坐标1x 1y 与终点坐标2x 2y 计算起点至终点的坐标方位角jdjz ：2121arctany y jdjz x x-=-在得到计算起点至终点的坐标方位角jdjz 后，即可计算该直线段上任意里程s 的坐标，计算方式为：1111()()cos sin jdjz x x s s y y jdjzs s =+-=+- 这样，直线段的任意要求里程的中桩坐标就求出来了。

2.2圆曲线段中桩坐标计算原理现在的铁路公路为了顾及到车辆行驶的安全性，防止使驾驶员的产生视觉疲劳，经常布设圆曲线，圆曲线是一种比较简单的线形，但因圆曲线段的线路走向较直线段较为复杂，所以在计算中桩过程中，为了坐标的计算方便以及后续的坐标系转换，须建立单独的坐标系，首先在局部坐标中计算各个桩号的中桩坐标，然后再根据局部坐标系原点在全局坐标系中的坐标以及局部坐标系X 轴方向在全局坐标系中的坐标方位角进行坐标转换。

2.2.1 圆曲线段中桩坐标计算通用原理由于路线的转向不同，局部坐标系的建立方式也有所不同，这里先讲述圆曲线段中桩坐标计算的通用原理。

如右图所示，以曲线起点ZY 为坐标原点，以顺着线路方向的切线为X 轴，以切线的垂线方向为Y 轴，两个轴构成测量坐标系。

则该圆曲线段上任意里程的中桩在局部坐标系中的坐标为：sin 1cos180R x y R S R Rϕϕϕ=⎡⎤=⎣⎦⋅-=式中s 为曲线段距离，即曲线段桩号差值。

在计算出桩位在局部坐标系中的坐标后，就必须进行坐标系之间的转换：00cos sin sin cos pppPPpx x A B yy A B θθθθ=+-⎫⎪⎬=++⎪⎭这里叙述的两个轴的定义只是为了叙述原理方便所定义的，并不代表全部情况，随着线路转向不同的而不同，当然x ，y 的计算公式也因坐标系的不同而不同，实际线路计算时需灵活处理。

同时顾及坐标计算的方便以及后续坐标系的转换，这里建议在建立坐标系时建立测量坐标系而不是数学坐标系。

2.2.1 圆曲线段左、右转的处理方式圆曲线段之所以要讨论左、右转的问题，主要是顾及到在局部坐标系中的坐标保证是正值，同时保证为了后期的坐标转换的方便，很容易通过图形来表示：通过我们也可以很容易的总结出桩位在各自的局部坐标系中的坐标，中（）式为线路左转时的局部坐标的计算公式，（）式为线路右转时的局部坐标的计算公式：sin 1cos 180R x y R S R R ϕϕϕ=⎡⎤=⎣⎦⋅-= sin 1cos 180R x y R S R Rϕϕϕ=⎡⎤=⎣⎦⋅-=无论线路是左转还是右转，在计算完桩位在局部坐标系中坐标后都需要进行坐标系的转换，公式不再赘述，公式中的各个量得含义也不变。

2.3完整缓和曲线段中桩坐标计算原理直线的半径为无穷大；进入圆曲线时，则半径为R ，所以从直线段过渡到圆曲线时，汽车的行驶曲率半径是不断变化，这一变化路段即为缓和曲线段。

2.3.1 完整缓和曲线段中桩坐标计算通用原理由于缓和曲线段没有统一的曲率半径，所以计算桩位坐标的过程是比较困难比较繁式中p l 将cos β、sin β按级数展开：48224400263300111838411248P P PP P P P Pdl l l dl R l R l dl l l dl Rl R l ⎫⎛⎫⎫-=-+-⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎪⎬⎛⎫⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎭积分得：在计算出桩位在局部坐标系中的坐标后，就必须进行坐标系之间的转换：00cos sin sin cos pppPPpx x A B yy A B θθθθ=+-⎫⎪⎬=++⎪⎭这里叙述的两个轴的定义只是为了叙述原理方便所定义的，并不代表全部情况，随着线路转向不同的而不同，当然x ，y 的计算公式也因坐标系的不同而不同，实际线路计算时需灵活处理。

同时顾及坐标计算的方便以及后续坐标系的转换，这里建议在建立坐标系时建立测量坐标系而不是数学坐标系,这样有利于坐标系的统一。

2.3.2 完整缓和曲线段不同过渡方式的左、右转的处理方式这里之所以要强调不同过渡方式的不同，是因为不同的过渡方式附带的不同转向所导致的坐标系的建立方式不同以及坐标计算公式不同，但坐标系建立的原则就是保证x 值与y均保证为正值，方便后期的坐标转换。

现在就不同的过渡方式以及不同的转向进行逐一讨论：1.线路是由大半径过渡到校半径，转向是左转这里为了计算出的中桩坐标都是正值，而且为了后期的坐标系的转换的方便这里建议建立坐标系的方式为：原点位于QD(起点)，X轴经过原点正向垂直于ZH→JD切线的方向，Y轴经过过原点正向指向与于ZH→JD切线的方向一致。

这样各个桩位在局部坐标系总的值为：式中l为所求桩位距离QD的曲线长即为里程差，0l为完整的缓和曲线长度，R为终点半径。

P2.线路是由大半径过渡到校半径，转向是右转这里建议建立坐标系的方式为：原点位于QD(起点)，X轴经过原点正向指向ZH →JD切线的方向，Y轴经过过原点正向垂直于ZH→JD切线方向，构成测量坐标系。

这样各个桩位在局部坐标系总的值为：式中各字母的含义与前面所述一样，在此不再赘述。

3.线路是由小半径过渡到大半径，转向是左转这里建议建立坐标系的方式为：原点位于ZD(终点)，X轴经过原点正向指向ZD →JD切线的方向，Y轴经过原点正向垂直于ZD→JD切线方向，构成测量坐标系。