约束优化方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
优化设计4约束优化方法
22
由此，这种方法的关键是如何确定初始点、搜索方向和搜索步长，而这 些都涉及到随机数问题．因此下面如何产生随机数的方法
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随机数的产生 产生在区间(0，1)内分布的随机数列rj的常用方法有两种
N=10; DIM R(N) FOR I=1 TO N R(I)=RND(1)
PRINT R(I) NEXT I
条件，就可再加倍增大步长，继续迭代，不断产生新的迭代点。
如果该点已违反了可行性条件，
此时取它的前一迭代点X
(1) 3
作为沿
e1方向搜索的终点转而沿x2坐标
轴正向进行搜索
X 4(已1) 经违犯
了可行性条件
正向的第一个迭代点的目标函数 值增加，即不满足适用性条件，
改取负步长 0 进行迭代
下面的迭代方式与前面相同，直到违反适用性或
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随机方向法在某个迭代点可以按照足够多的m个方向进行搜索，一般事先
约定搜索方向数m＝50~500，m过小会影响最优方向的选择，过大会使收
敛速度降低。因此，随机方向法处理约束优化问题要比约束坐标轮换法灵
活和有效。
以二维约束优化问题为例说明随 机方向法的基本原理。在可行域 内任意选择的一个初始点X（0）出发 给定的步长α＝α0按照以某种方法 产生的随机方向S（1）进行搜索，得到 迭代点X＝X(0)+αS（1）,如果同时满足 可行性和适用性，则表示点X探索成 功。再将点X作为起始点
足约束条件 gu(X) 0（u＝1，2，…，m)，则应重新随机选择出可行
i=ai(ba)
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均匀分布的随机数列 i
初始点的选择
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选择初始点注意：
根据设计变量上限和下限随机产生的初始点， X(0)[x1 (0),x2 (0),xn (0)]T
第六章约束优化方法
或∅ x，r = f x − r
m [ −g j j=1 ln
x ]
r 为惩罚因子，要求 r0>r1>…>0; 初始点 x0 的选取：在可行域内，避免在边界上 惩罚因子初值 r0 的选取 r0=1~50，一般取 r0=1,经验公式：r0 = 丨 惩罚因子缩减系数 c 的选取，rk=crk-1，r=0.1~0.7 收敛条件：
约束优化方法 第一节 概述 直接法和间接法 a 直接法：仅含不等式约束的问题或等式约束函数不是复杂的隐函数，且易于消元。 思路：在可行域内按照一定的原则直接探索出它的最优点，xk+1=xk+α kdk。 b 间接法: 同时具有等式和不等式约束的优化问题。 思路： 将原目标函数和约束函数加权处理为新目标函数， 使约束优化问题转为无约束优化问 题，∅ x，μ1 ，μ2 = f x +
j
m j=1 ma x
0，gj x
2
+r
l k=1[hk
x ]2 ； r0<r1< … ∞ ； c=5~10 ；
x0 f x0
•
混合惩罚函数法 1 1 ∅ x，r = f x − r + 1 [hk x ]2 gj x r2 k=1 j=1 参数均可按内点法取值
m l
第六节—第十一节（略）
∅ x k ，r k −∅ x k −1 ，r k −1 ∅ x k −1 ，r k −1 f （x 0 ）
1 m j=1 g x 0 j
丨
≤ ε ； x k − x k −1 ≤ ε
•
外点惩罚函数法（从可行域外部逼近原目标函数的约束最优解） ∅ x，r = f x + r r0 j = mg
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
约束优化方法的讲解
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0
《约束优化方法》课件
牛顿法
01 总结词
基本原理、优缺点
02
基本原理
牛顿法基于泰勒级数展开，通 过迭代更新参数，构造出目标 函数的二次近似模型，并利用 该模型求解最优解。在约束优 化问题中，牛顿法通常用于处 理等式约束或非线性不等式约 束。
03
优点
04
收敛速度快，通常只需要较少的 迭代次数就能找到最优解。
缺点
对初值选择敏感，如果初值选择 不当，可能无法收敛到最优解； 同时计算量较大，需要存储和计 算Hessian矩阵。
物流配送问题旨在在满足客户需求和运输能力等约束 条件下，合理安排货物的配送路线和运输方式，以最 小化运输成本或最大化运输效率。
详细描述
物流配送问题需要考虑客户分布、运输网络、运输能 力、时间限制等多个约束条件，通过优化配送路线和 运输方式，提高物流效率和客户满意度。
2023
REPORTING
THANKS
非线性规划的解法包括梯度法、牛顿 法、共轭梯度法等，这些方法可以用 于解决函数优化、机器学习、控制系 统等领域的问题。
整数规划
整数规划是约束优化方法中的一种特殊类型，它要求所有决策变量均为整数。
整数规划的解法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以用于解决车辆路径问题、背包问题、布局问题等具有整数约束 的问题。
REPORTING
线性规划
线性规划是最早的约束优化方法之一 ，它通过寻找一组变量的最优解来满 足一系列线性不等式约束和等式约束 ，并最大化或最小化某个线性目标函 数。
线性规划的解法包括单纯形法、分解 法、网络流算法等，这些方法可以用 于解决生产计划、资源分配、运输问 题等实际应用。
非线性规划
非线性规划是约束优化方法的一个重 要分支，它研究的是目标函数和约束 条件均为非线性的优化问题。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
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5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
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例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
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惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
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线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
第四章约束问题的最优化方法
迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
函数的约束最优点 x* 。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二. 惩罚函数的形式：
m
l
( x, r) f ( x) r max[0, gi ( x)]2 r [hj ( x)]2
i1
j1
• 惩罚因子rk 是递增的，rk1 a rk ，a为递增系数，a 1
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和 G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多 维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚
六. 举例：盖板问题
设计一个箱形截面的盖板。 已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， h 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
tf ts
b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
f (x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]
等式约束优化问题的求解方法
等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。
它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。
本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。
设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。
根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。
我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。
具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。
4. 代入公式，解出x*。
值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。
二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。
它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。
具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。
2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。
3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。
4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。
5. 判断是否满足终止条件。
若满足，则停止迭代，输出结果。
否则，返回第2步。
牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。
三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。
其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。
这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。
约束优化问题的求解方法
约束优化问题的求解方法约束优化问题（Constrained Optimization Problem）是指在一个给定的约束条件下，在所有可行的解中找到最优解的问题。
这类问题在现实中广泛存在，包括物流配送、资源分配、工程设计等领域。
如何有效地求解约束优化问题是科学研究和工程实践中的一个重要问题。
求解约束优化问题的基本方法是利用数学模型和优化算法。
数学模型是对问题的抽象和表达，它将问题中的各种因素、变量、约束、目标函数都用数学符号和方程式来描述。
优化算法则是根据数学模型对解进行求解的方法和技术。
具体来说，一个典型的约束优化问题可以描述为：$$\min f(\mathbf{x})$$$$s.t. \quad g_j(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,2,...,m$$$$h_k(\mathbf{x})=0, k=1,2,...,p$$其中，$f(\mathbf{x})$是目标函数，$\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]$是决策变量向量，$g_j(\mathbf{x})$是不等式约束，$h_k(\mathbf{x})$是等式约束，$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的数量。
对于约束优化问题，大致有以下几种求解方法。
1. 等式约束和不等式约束均为线性约束的约束优化问题可以使用线性规划方法求解。
线性规划是指目标函数和所有约束均为线性函数的优化问题。
线性规划具有较好的求解效率且有高度的理论成熟度。
目前已经有很多线性规划求解器可供使用。
例如OpenSolver、Gurobi等。
2. 不等式约束为凸函数的约束优化问题可以使用凸优化方法求解。
凸优化问题是指其目标函数和不等式约束均为凸函数的优化问题。
凸优化具有全局最优性和求解效率高的特点，其求解方法有许多，例如基于梯度的方法、基于内点的方法等。
凸优化库MATLAB Optimization Toolbox和Python库CVXPY都提供了凸优化的求解工具。
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约束优化方法
约束优化方法是一种常用的数学方法，用于解决在一定条件下优化问题的方法。
其核心思想是将优化问题中的约束条件纳入考虑范围，从而得出最优解。
这种方法在实际应用中具有广泛的适用性，如在工程设计、经济决策、物流规划等领域都有着重要的应用。
约束优化方法的具体实现包括线性规划、非线性规划、动态规划等多种方法。
其中，线性规划是最为常用的一种方法，其基本思想是在满足一定的约束条件下，最大化或最小化目标函数。
非线性规划则是在约束条件下，求解非线性目标函数的最优解。
动态规划则是一种递推算法，通过将大问题分解为小问题，逐步求解最优解。
约束优化方法的优点在于能够考虑到实际问题中的各种限制条件，从而得出更加符合实际的解决方案。
然而，这种方法也存在着一些局限性，如在求解复杂问题时，计算量较大，需要较高的计算能力和时间成本。
综上所述，约束优化方法是一种重要的数学方法，其应用范围广泛，能够解决各种实际问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的约束优化方法，并结合实际情况进行调整和优化，以得出更加符合实际的解决方案。