约束最优化问题
约束最优化问题的最优性条件
ci ( x ) ≥ 0
i ∈ I = {l + 1, , m}
一阶必要条件
定理6: (Kuhn-Tucker一阶必要条件)
*
I * = i ci x * = 0, i ∈ I ; 设 x 为问题(3)的局部最优解, f ( x ), ci ( x ) (1 ≤ i ≤ m ) 在 x * 点可微, 对于i ∈ E ∪ I *
*
λ f (x ) ∑ λ ci (x ) = 0
m * 0 *
λ c (x ) = 0 i = 1,2, , m
* i i *
i =1
* i
*
λ ≥ 0 i = 0,1,2, , m
* i
例2: 验证是否满足Fritz-John条件:
min f ( x1 , x2 ) = x1 s.t
*
3 c1 ( x1 , x2 ) = x1 x2 ≥ 0
* 则存在一组不全为零的实数 λ1 , λ* , λ* 使得: 2 l
f x * ∑ λ*ci x * = 0 i
i =1
( )
l
( )
二阶充分条件
定理2: 对等式约束问题,若: (1) f ( x ) 与 ci ( x )(1 ≤ i ≤ l ) 是二阶连续可微函数; (3) s ∈ R n且 s ≠ 0 , 且 s T ci (x * ) = 0 , i = 1,2, l 均有 s T 2 L (x * , λ* )s > 0 xx 则 x* 是等式约束问题的严格局部极小点. (2) x * ∈ R n 与 λ* ∈ R l 使: L(x* , λ* ) = 0 ;
{ ( ) }
的ci (x * ) 线性无关, 则存在非零向量 * λ* = (λ1 , , λ* ) 使得: m
约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
《约束优化问题》课件
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来 限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数 和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论 和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性 和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的 。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释 性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设 计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性 。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化 方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完 成，因此时间限制也是一个重要 的约束条件。通过约束优化问题 ，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要 的考量因素。通过约束优化问题 ，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
最优化问题的约束条件处理方法
最优化问题的约束条件处理方法在最优化问题中，约束条件是限制优化目标的条件。
对于一个最优化问题而言，约束条件的处理是至关重要的，因为它直接影响到问题的可行解集合以及最终的优化结果。
本文将介绍几种常见的约束条件处理方法，以帮助读者更好地理解和应用最优化算法。
一、等式约束条件处理方法等式约束条件是指形如f(x) = 0的约束条件，其中f(x)是一个函数。
处理等式约束条件的常用方法是拉格朗日乘子法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ·g(x)其中，g(x)表示等式约束条件f(x) = 0。
通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到原问题的最优解。
需要注意的是，拉格朗日乘子法只能处理等式约束条件，对于不等式约束条件需要使用其他方法。
二、不等式约束条件处理方法不等式约束条件是指形如g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0的约束条件，其中g(x)是一个函数。
处理不等式约束条件的常用方法是罚函数法和投影法。
1. 罚函数法罚函数法通过将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。
具体而言，我们可以构造罚函数：P(x) = f(x) + ρ·h(x)其中，h(x)表示不等式约束条件g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0。
通过调整罚函数中的惩罚系数ρ，可以使得罚函数逼近原问题的最优解。
罚函数法的优点是简单易实现，但需要注意选择合适的惩罚系数，以避免陷入局部最优解。
2. 投影法投影法是一种迭代算法，通过不断投影到可行域上来求解约束最优化问题。
具体而言，我们首先将原问题的可行域进行投影，得到一个近似可行解，然后利用该近似可行解来更新目标函数的取值，再次进行投影，直到收敛为止。
投影法的优点是能够处理各种类型的不等式约束条件，并且收敛性良好。
三、混合约束条件处理方法混合约束条件是指同时包含等式约束条件和不等式约束条件的问题。
约束问题最优化方法
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2
约束条件下的最优化问题
在约束条件下的最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
这类问题可以通过数学建模和优化算法来解决。
常见的约束条件包括等式约束和不等式约束。
等式约束要求某些变量之间的关系满足特定的等式关系，而不等式约束则要求某些变量之间的关系满足特定的不等式关系。
数学上，约束条件可以表示为：
1. 等式约束：g(x) = 0，其中g(x)是一个关于变量x的函数。
2. 不等式约束：h(x) ≤0，其中h(x)是一个关于变量x的函数。
最优化问题的目标函数可以是线性的、非线性的，甚至是在某些特殊情况下可能是非凸的。
根据问题的具体形式，可以选择适合的优化算法进行求解，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
常见的优化算法包括：
1. 梯度下降法：用于求解无约束或有约束的凸优化问题，在连续可导的情况下通过迭代调整参数来逐步接近最优解。
2. KKT条件法：用于求解有约束的凸优化问题，通过构建拉格朗日函数和KKT条件来确定最优解。
3. 内点法：用于求解线性规划和凸优化问题，通过在可行域内寻找目标函数的最优解。
4. 遗传算法：用于求解复杂的非线性优化问题，通过模拟自然进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索最优解。
5. 模拟退火算法：用于求解非线性优化问题，通过模拟固体退火的过程来逐步降低温度并接近最优解。
在实际应用中，约束条件下的最优化问题广泛应用于工程、经济、运筹学、物流等领域。
通过合理地建立数学模型，并选择合适的优化算法，可以有效地解决这类问题，并得到最优解或接近最优解的结果。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
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约束最优化问题一实习目的1.熟练掌握科学与工程计算中常用的基本算法；2.掌握分析问题，设计算法的能力；3.掌握模块化程序设计的基本思想，注重模块的“高内聚，低耦合”；4.采用自顶向下，逐步细化的编程思想完成程序书写；5.牢固建立“清晰第一，效率第二”的软件设计观念；6.掌握软件调试，测试的基本技能和方法；7.提高科技报告的书写质量；8.在掌握无约束最优化问题求解方法的前提下，对一般情形下的约束最优化问题进行研究，通过实习掌握外点罚函数法、内点罚函数法、乘子法、线性近似规划法和序列二次规划法在求解一般情形下的约束最优化问题的应用。
二问题定义及题目分析问题1：要求用外点罚函数法和内点罚函数法解决约束问题：Min f(x)=错误！未找到引用源。
s.t. 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
问题2：要求用乘子法解决约束问题：Min 错误！未找到引用源。
s.t. 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
)问题3：要求用线性近似规划法和序列二次规划法解决约束问题:Min 错误！未找到引用源。
s.t. 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
三程序概要设计1.外点罚函数法Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。
,罚参数序列{错误！未找到引用源。
}(常取错误！未找到引用源。
),精度错误！未找到引用源。
，并令k=0；Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。
;Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。
,x错误！未找到引用源。
,其解记为错误！未找到引用源。
；Step4. （终止准则：惩罚项充分小，或等价地错误！未找到引用源。
近似可行）若错误！未找到引用源。
，或者错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,则得解错误！未找到引用源。
，否则令k=k+1，转 Step2.2.内点罚函数法：Step1. 给定初始可行解错误！未找到引用源。
，罚参数序列{错误！未找到引用源。
}(常取错误！未找到引用源。
),精度错误！未找到引用源。
，并令k=0；Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。
;Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。
,x错误！未找到引用源。
,其解记为错误！未找到引用源。
；Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。
，则得解错误！未找到引用源。
，否则令k=k+1，转 Step2.3.乘子法：Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。
，初始lagrange乘子错误！未找到引用源。
,i错误！未找到引用源。
罚参数序列{错误！未找到引用源。
},精度错误！未找到引用源。
，并令k=0；Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。
Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。
，x错误！未找到引用源。
,其解记为错误！未找到引用源。
；Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。
,则得解错误！未找到引用源。
，否则令K=k+1,转Step2.4.线性近似规划法：Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。
，步长限制错误！未找到引用源。
,缩小系数错误！未找到引用源。
精度错误！未找到引用源。
,并令k=0；Step2. 求解线性规划问题：min 错误！未找到引用源。
S.t. 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
其解记为错误！未找到引用源。
.Step3. 若错误！未找到引用源。
是约束优化问题的可行解，则令错误！未找到引用源。
,转Step4；否则，取错误！未找到引用源。
j=1,...,n,转Step2；Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。
,且满足错误！未找到引用源。
,或者若错误！未找到引用源。
,则得问题的近似解错误！未找到引用源。
；否则令错误！未找到引用源。
,k=k+1,转Step2。
5.序列二次规划法：Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。
,令k=0；Step2. 若错误！未找到引用源。
满足约束问题的k-T条件，停止计算，得到解错误！未找到引用源。
；否则，转Step3；Step3. 解二次规划问题 min 错误！未找到引用源。
s.t. 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
得解错误！未找到引用源。
;Step4. 令错误！未找到引用源。
,转Step2.四实验结果第一题运行结果为：x=（1，0）第二题运行结果为：x=（1，1）第三题运行结果为：x=（2，2）五结果分析及总结经过理论运算，程序所得结果与理论值相同。
通过这次实习，了解了非线性约束条件下最优化问题的几种求解方法：罚函数法，乘子法和线性近似规划法。
了解了不同方法之间的优点和不足，如外点罚函数法不能保证运算过程中的点在可行域内，但是对初始条件要求不高等。
六源代码1，2，3题通用函数：function [x,minf] = minNT(f,x0,var,eps)format long;if nargin == 3eps = 1.0e-6;endtol = 1;x0 = transpose(x0);gradf = jacobian(f,var);jacf = jacobian(gradf,var);while tol>epsv = Funval(gradf,var,x0);tol = norm(v);pv = Funval(jacf,var,x0);p = -inv(pv)*transpose(v);p = double(p);x1 = x0 + p;x0 = x1;endx = x1;minf = Funval(f,var,x);format short;function endfunction fv = Funval(f,varvec,varval)var = findsym(f);varc = findsym(varvec);s1 = length(var);s2 = length(varc);m =floor((s1-1)/3+1);varv = zeros(1,m);if s1 ~= s2for i=0: ((s1-1)/3)k = findstr(varc,var(3*i+1));index = (k-1)/3;varv(i+1) = varval(index+1);endfv = subs(f,var,varv);elsefv = subs(f,varvec,varval);endfunction end第一题：function [x,minf] = minConPF(f,x0,g,h,c1,p,var,eps) format long;if nargin == 7eps = 1.0e-6;endk = 0;FE = 0;for i=1:length(h)FE = FE + (h(i))^2;endx1 = transpose(x0);x2 = inf;while 1M = c1*p;FF = M*FE;gx = Funval(g,var,x1);gF = 0;for i=1:length(g)if gx(i)<0gF = gF+M*(g(i)^2);endendSumF = f + FF + gF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var);if norm(x2 - x1)<=epsx = x2;break;elsec1 = M;x1 = x2;endendminf = Funval(f,var,x);format short;第二题：function [x,minf] = minFactor(f,x0,g,h,v,M,alpha,gama,var,eps) format long;if nargin == 9eps = 1.0e-4;endFE = 0;for i=1:length(h)FE = h(i)^2;endx1 = transpose(x0);x2 = inf;while 1FF = M*FE;Fh = v*h;gF=0;gx = Funval(g,var,x1);for i=1:length(g)if gx(i)>0if gx(i)<v(i)/MgF=gF-v(i)*g(i)+M*(g(i)^2);elsegF=gF-(v(i)^2)/M;endendendSumF = f + FF - Fh + gF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var);Hx2 = Funval(h,var,x2);Hx1 = Funval(h,var,x1);if norm(Hx2) < epsx = x2;break;elseif Hx2/Hx1 >= gamaM = alpha*M;x1 = x2;elsev = v - M*transpose(Hx2);x1 = x2;endendendminf = Funval(f,var,x);format short;第三题：function [x,minf] = minXXJS(f,g,X,alpha,sita,gama,beta,var,eps) if nargin == 8eps =1.0e-4;endN=size(X);n=N(2);FX=zeros(1,n);while 1for i=1:nFX(i)=Funval(f,var,X(:,i));end[XS,IX]=sort(FX);Xsorted=X(:,IX);px=sum(Xsorted(:,1:(n-1)),2)/(n-1);Fpx=Funval(f,var,px);SumF=0;for i=1:nSumF=SumF+(FX(IX(i))-Fpx)^2;endSumF=sqrt(SumF/n);if SumF<=epsx=Xsorted(:,1);break;elsebcon_1=1;cof_alpha=alpha;while bcon_1x2=px+cof_alpha*(px-Xsorted(:,n)); gx2=Funval(g,var,x2);if min(gx2)>=0bcon_1=0;elsecof_alpha=sqrt(cof_alpha);endendfx2=Funval(f,var,x2);if fx2<XS(1)cof_gama=gama;bcon_2=1;while bcon_2x3=px+cof_gama*(x2-px);gx3=Funval(g,var,x3);if min(gx3)>=0bcon_2=0;elsecof_gama=sqrt(cof_gama); endendfx3=Funval(f,var,x3);if fx3<XS(1)Xsorted(:,n)=x3;X=Xsorted;continue;elseXsorted(:,n)=x2;X=Xsorted;continue;endelseif fx2<XS(n-1)Xsorted(:,n)=x2;X=Xsorted;continue;elseif fx2<XS(n)Xsorted(:,n)=x2;endcof_beta=beta;bcon_3=1;while bcon_3x4=px+cof_beta*(Xsorted(:,n)-px);gx4=Funval(g,var,x4);if min(gx4)>=0bcon_3=0;elsecof_beta=cof_beta/2;endendfx4=Funval(f,var,x4);FNnew=Funval(f,var,Xsorted(:,n));if fx4<FNnewXsorted(:,n)=x4;X=Xsorted;continue;elsex0=Xsorted(:,1);for i=1:nXsorted(:,i)=x0+sita*(Xsorted(:,i)-x0); endendendendendX=Xsorted;endminf=Funval(f,var,x);。