常用无约束最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化
step4. 若 || f ( xk1) || ,停止，x* xk1 ;
否则，令 k : k 1, 转step 2 。
14
➢算法框图
给定初始点x0和精度 || f ( x0 ) ||
停止，输出x1
否
是
| x1 x0 |
是 停止，输出x0
否 否
2 f (x0) 0
计算x1
x0
f ( x0 ) 2 f (x0)
1
13 62
x2
x1
1d 1
(
36 , 31
8 31
)T
7
三、最速下降法的特点
1.性质. 设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若 步长 满足 k
f ( xk d k ) min f ( xk d k )
k
则有 f ( xk d k )T d k 0。 k
证明：令 ( ) f ( xk d k )，所以
5
一、梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：d k f ( xk ) ,也称为最速下降方向；
2. 搜 索 步 长: k 取 最 优 步 长, 即 满 足
f (xk
kd k )
min
f
(xk
d k ) 。
二、梯度法算法步骤：
1. 给定初始点 x1 Rn ,允许误差 0, 令k 1。
2. 计算搜索方向 d k f ( xk ) ;
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
24
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
最优化方法及其应用
例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与
此相应的水槽容积为
f (x) (a 2x)2 x
小 点（无约束或约束极小点）的过程比喻为向“山” 的顶峰攀登的过程，始终保持向“高”的方向前 进，直至达到“山顶”．当然“山顶”可以理解
为目 标函数的极大值，也可以理解为极小值，前者称 为上升算法，后者称为下降算法．这两种算法都 有一个共同的特点，就是每前进一步都应该使目 标函数有所改善，同时还要为下一步移动的搜索 方向提供有f用(X的0 ) 信f息(X．1) 如果是f (下Xk 降) 算f (法Xk，1) 则序列
一 最优化问题总论
例1.3 某单位拟建一排四间的停车房，平 面位置如图1.1所示．由于资金及材料的 限制，围墙和隔墙的总长度不能超过 40m，为使车房面积最大，应如何选择 长、宽尺寸？
x1
x2
一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x1，宽为 x2．由题意可
知面积为 f (x1, x2 ) x1 x2 且变量 x1 ，x2 ，应满足
(1.2)
X0
一 最优化问题总论
Xk1 Xk tk Pk， k 0，1，2，
式中,
X
k
——前一次已取得的迭代点，在 开始计算时为迭代初始点 X0；
X k1 ——新的迭代点；
Pk ——第k次迭代计算的搜索方向；
t k ——第k次迭代计算的步长因子．
一 最优化问题总论
按照式（1.2）进行一系列迭代计算所根据 的思想是所谓的“爬山法”，就是将寻求函数极
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
拉格朗日乘子优化方法
拉格朗日乘子优化方法拉格朗日乘子优化方法是一种常用于求解约束最优化问题的数学方法，可在给定约束条件下求取函数的极值。
这种方法由拉格朗日于18世纪末提出，主要用于求取单目标无约束最优化问题的极值，在20世纪50年代由卡鲁帕修斯扩展为求解带有等式约束和不等式约束的问题。
拉格朗日乘子优化方法的基本思想是将含有约束的最优化问题转化为一个不含约束的问题，通过引入拉格朗日乘子将约束条件融入目标函数中，从而将约束问题转化为非约束问题。
这种方法的核心是构造拉格朗日函数，通过求取该函数的极值来达到优化目标。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个最优化问题：最大化：f(x,y)约束条件：g(x,y)=0其中，f(x,y)是目标函数，g(x,y)是约束条件。
我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)，它为目标函数加上约束条件的乘子乘以约束条件的无约束形式，即：L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)其中，λ称为拉格朗日乘子，用于调整目标函数和约束条件之间的关系。
然后，我们可以求取L(x,y,λ)的偏导数，并令其等于零，即：∂L/∂x=∂f/∂x+λ∂g/∂x=0（1）∂L/∂y=∂f/∂y+λ∂g/∂y=0（2）∂L/∂λ=g(x,y)=0（3）从方程（1）和（2）中，我们可以得到与λ无关的x和y的表达式，即：∂f/∂x+λ∂g/∂x=0∂f/∂y+λ∂g/∂y=0通过上述方程组，我们可以推导出x和y的解。
然后，将x和y的解带入约束条件中，即可求取拉格朗日乘子λ的值，从而得到目标函数的极值。
这种方法的优势在于可以将包含约束的复杂问题转化为一系列无约束问题的求解，使得问题的求解过程简化，并且能够应用于多种类型的约束条件。
同时，拉格朗日乘子方法还具有一定的几何解释，能够帮助我们理解问题的几何属性。
然而，拉格朗日乘子方法也存在一些局限性。
首先，它只能求解约束条件可微的问题，对于不可微条件的问题无法求解。
其次，当问题的解不唯一时，拉格朗日乘子方法只能提供其中一组解，无法得到所有的解。
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。
无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。
虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。
或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。
所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。
这里我们比较这两类方法的异同。
二、无约束最优化方法1. 使用导数的间接方法1.1 最速下降法函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。
将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
无约束优化问题的数学模型可以表示为：()n R f ∈x x xmin ，我们假设函数()x f 具有一阶连续偏导数。
数值最优化方法范文
数值最优化方法范文数值最优化方法是一种数学与计算机科学领域的方法，用于求解数学模型中的最优解问题。
在实际生活和工程实践中，我们经常遇到需要优化一些目标函数的问题，如最小化成本、最大化收益、最短路径等。
数值最优化方法通过对目标函数进行迭代计算，逐步调整解的取值，来寻找最优解。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种常用的数值优化方法，用于求解无约束优化问题。
该方法基于目标函数的梯度信息（导数），通过迭代的方式朝着梯度的反方向走，来逐步接近最优解。
梯度下降法的思想简单直观，并且易于实现。
然而，该方法有时可能会陷入局部最优解。
2. 牛顿法（Newton's Method）牛顿法是解决无约束优化问题的一种经典方法。
通过利用目标函数的二阶导数信息，牛顿法可以更快地接近最优解。
然而，由于需要计算目标函数的二阶导数，牛顿法的计算量较大，并且可能不稳定。
3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）共轭梯度法是一种用于解决无约束优化问题的迭代法。
该方法利用目标函数的梯度信息，并通过一定的算法求解一组共轭方向，从而快速找到最优解。
相较于梯度下降法和牛顿法，共轭梯度法具有更快的收敛速度。
然而，该方法要求目标函数是二次函数，并且对于一般的非线性问题效果可能不佳。
4. 割平面法（Cutting Plane Method）割平面法是一种广泛应用于线性规划问题的优化方法。
该方法通过逐步添加与可行解集合之间差距最大的约束，来逼近最优解。
割平面法可以用于求解具有任意精度要求的线性规划问题，并且在实践中取得了较好的效果。
5. 遗传算法（Genetic Algorithm）遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
该方法通过种群的遗传操作（交叉、变异、选择等），来逐代最优解。
遗传算法能够应对复杂的优化问题，并且不需要目标函数的连续性和可导性。
然而，由于遗传算法是一种随机方法，存在效率低、收敛性差等问题。
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
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开始
⑶检测是否满足终止准则.
选定X0
若满足,
计算f0= f(X0) , g0=
则打印最优解Xk+1,f(Xk+1)停机; 否则, 置 k= k+1转(2).
直线搜索g(X:X0)= ls(X0-
g0) 计算 f= f(X) ,g= g(X)
输 出
X,
最速下降法算法流程图
满足终 止准则
N
Yf 结
X0= X , f0= f , g0= g 束
其中[tkA是( X最k 优tk g步k )长 b因]T 子gk .有0 或 [gk tkQgk ]T gk 0
得: 由此解出:
t
k
g
T k
g
k
g
T k
Qgk
从而得到
X k 1
Xk
g
T k
g
k
g
T k
Qgk
gk
即为最速下降法用于二次函数的显式迭代公式.
例5.1(P ) 试迭交用代的最两.设速次初,下计始降算点法各为求迭函代数点的函数f值(,x梯1,度x及28)9其模的x,12并极验小4证点x2相2. 邻两个搜索方向是正
准⑶则当:算法fk1涉fk f及k 到1梯, X度kX1 时k X,k可用1 下并列要准求则: fk 2, Xk 2
|| f (Xk)||< ε3 通常 ε1 = ε2 =10-5、 ε3 =10-4
对于无约束§最优5.化1 问最题的速求下解降,按法最优化算法的基本思想
是 Xk从+1=一X个k+t给kP定k,按的照初特始定点的X0算出法发A,通产过生基一本串迭点代列格{X式k},如果 此点列收敛,则其极限点为所求的最优解.
一、最速下降法基本原理
在 目基标本函迭数代f(X格)的式负X梯k+1度=X方k+向tkP,即k中P,k每=-次f 迭(X代k) 搜,而索每方次向迭P代k取 的步长tk取最优步长,由此所确定的算法A称为最速下降 法. 如图所示, 假经过k次迭代得到第 k个迭代点 Xk. 现 一在个从非常Xk自出然发的,可想选法择是的沿下最降速方下向降很方多向,
在不发生混淆时,再记 gk g(X k ) f (X k )
已知目标二函、数最f(速X)及下其降梯法度迭g代(X)步,终骤止限ε1、ε2和ε3 .
⑴选定初始点 X0 ,计算f0= f(X0) , g0= g(X0) ;置 k= 0.
⑵作直线搜索:Xk+1 = ls(Xk-gk); 计算 fk+1= f(Xk+1) ,gk+1= g(Xk+1) .
目标函数为正定二次函数的最速 设正定二次函数 f (X下) 降12 法X T AX bT X c 第k次迭代点为Xk
求 Xk+1的表达式.
f(X)关于X 求梯度: g(X)=AX+b
gk= g(Xk+1)=
AXk+1+b
X k1 X k tk gk
现在从Xk出发沿-gk作直线g搜(X索k1以)T 确gk 定 0Xk+1:
第五章 常用无约束最优化方法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8
内容
最速下降法 Newton法 修正Newton法 共轭方向法 共轭梯度法 变尺度法 坐标轮换法 单纯形法
引言
本章讨论多维无约束最优化问题:min f (X) 其中 f：Rn R1
它的求解是指,在Rn中找一点 X*,使得对于任意的 X Rn
f (X
tf (
k ))
X
k
))
显然,令k=0,1,......就可以得到一个点列X 0 , X1, X 2
其中X0是初始点,由计算者任意选定. 当f (X )满足一定的条件时,上面所产生的点列{Xk}必收 敛于的极小点.
以后为书写方便,记 g(X ) f (X )
因此, g(X k ) f (X k )
(即负梯度方向)进行搜索应该是有利的, 至少在 Xk邻近的范围内是这样.
为了使目标函步数长在因搜子索方的向确上定获得最多的下降,沿Pk进
行一维搜索,由此得到第k+1个迭代点
即Xk+1=Xk+tkPk,其中步长因子tk按下式确定
f (Xk
记为 X
tkf (X
k1 ls
k ))
(Xk
min
t
,
f (Xk
都但有大多f (数X *最) 优f化(X方) 法则只点能X*求就到是局问部题最的优全点局,最即优在点Rn.中找到一点X*,使得
上述不等式在X*的某个领域中成立. 这个矛盾对于实际问题一般容易解决.根据问题的实际意义多半可以判 定用优化方法求出的局部最优解是否为全局最优解. 而在理论上这是个比较复杂的问题,本书不涉及. 无约束优化方法是优化技术中极为重要和基本的内容之一. 它不仅可直接求解无约束优化问题,而且很多约束优化问题也常转化为 无约束优化问题,然后用无约束优化方法来求解. 另,有些无约束优化方法只略加处理,即可求解约束优化问题. 无约束优化理论发展较早,比较成熟,方法也很多,新的方法还在陆续出 现.把这些方法归纳起来可以分成两大类: 一类是仅用计算函数值所得到的信息来确定搜索方向,通常称它为直接 搜索法,简称为直接法, 另一类需要计算函数的一阶或二阶导数值所得到的信息来确定搜索方 向,这一类方法称为间接法(解析法). 直接法不涉及导数、Hesse矩阵,适应性强,但收敛速度较慢; 间接法收敛速度快,但需计算梯度,甚至需要计算Hesse矩阵. 一般情况是,在可能求得目标函数导数时尽可能用间接方法; 在不能求目标函数导数或根本不存在导数时就使用直接法.
⑴分这此证所其⑵严小 样 准 以 中 格|当当|X时可则要f了第fkkk-=的X用是增,,kfX即(次*值Xk不 加|||可满|迭kX充或)完 条,k作足代分-代XfXk全 件为上k+点小k分1终+可:=最述1X|,量f||这止(靠|fkX优准<k与的-时εk的准f解+则1但k最值1作函+,)则1,因就实优与|为数|<为要(际解1迭Hε值相1,用计X准就代|的|*比很X算充比则终差k很多-中分较X止|)|大计kfX靠可(+准X*1时算是近|靠k|则充),.-未,上此了f即,(分X知述时,|k|小X+的准可1k并)-.|则用X|很不*就下|大能|充太列,保
解 其中
2 0
由由降二法次的X函迭0 数代A11最公速式f0下有(x08)
梯度表达式是
12 4 12 5
g0
f
f
X 0 [1, 1]T
( X ) f (
2 (X 0 ) 8