无约束问题的最优化条件
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第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法
2
1
u f ( x)u m u
T 2
2
u R
n
则从任意的初始点 x 0 出发，阻尼牛顿法产 生的迭代点列 满足： （1）当 x k 为有穷点列时，其最后一个点 为 f ( x) 的唯一极小点。 （2）当 x k 为无穷点列时，收敛到 f ( x) 的
第3.2节 Newton法及其改进
第3.1节 最速下降法（Steepest Method）
对于最速下降法的几点说明 （1）第2.6节中介绍的关于下降算法的收敛 性定理对最速下降法都是成立的 。 （2）目标函数在负梯度方向下降得最快只 是局部性质。 （3）锯齿现象 （4）改进策略：在计算的开始阶段使用最 速下降法，在迭代数次后，改用其他算法。
本节的主要内容：
（1）牛顿法的基本思想
（2）阻尼牛顿法
（3）带保护措施的阻尼牛顿法
（4）吉尔-默里稳定牛顿法
（5）信赖域方法（一）
第3.2节 Newton法及其改进
（1）牛顿法的基本思想： * 在目标函数f ( x)的极小点 x 的近似点 x k 附近将 f ( x) 二阶Tayler展开，用展开的二次 函数去逼近 f ( x)，将这个二次函数的极小点 * x 作为 的一个新的近似点 x k 1 ，依次下去， 用一系列二次函数的极小点 xk 1 去逼近 f ( x) 的极小点 x * 。
第3.2节 Newton法及其改进
设 f ( x)二次连续可微，则 f ( x) 在 x k 处的二次 近似为： 1 T f ( x) qk ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 令
1
u f ( x)u m u
T 2
2
u R
n
则从任意的初始点 x 0 出发，阻尼牛顿法产 生的迭代点列 满足： （1）当 x k 为有穷点列时，其最后一个点 为 f ( x) 的唯一极小点。 （2）当 x k 为无穷点列时，收敛到 f ( x) 的
第3.2节 Newton法及其改进
第3.1节 最速下降法（Steepest Method）
对于最速下降法的几点说明 （1）第2.6节中介绍的关于下降算法的收敛 性定理对最速下降法都是成立的 。 （2）目标函数在负梯度方向下降得最快只 是局部性质。 （3）锯齿现象 （4）改进策略：在计算的开始阶段使用最 速下降法，在迭代数次后，改用其他算法。
本节的主要内容：
（1）牛顿法的基本思想
（2）阻尼牛顿法
（3）带保护措施的阻尼牛顿法
（4）吉尔-默里稳定牛顿法
（5）信赖域方法（一）
第3.2节 Newton法及其改进
（1）牛顿法的基本思想： * 在目标函数f ( x)的极小点 x 的近似点 x k 附近将 f ( x) 二阶Tayler展开，用展开的二次 函数去逼近 f ( x)，将这个二次函数的极小点 * x 作为 的一个新的近似点 x k 1 ，依次下去， 用一系列二次函数的极小点 xk 1 去逼近 f ( x) 的极小点 x * 。
第3.2节 Newton法及其改进
设 f ( x)二次连续可微，则 f ( x) 在 x k 处的二次 近似为： 1 T f ( x) qk ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 令
第八章 无约束多维问题的最优化方法
5 共轭梯度法
共轭梯度法的迭代公式
设从xk出发，沿dk=-gk 方向作一维搜索到 xk+1点，并算 出xk+1点的梯度方向gk+1。由于gk+1 是沿等直面在该点的法 线方向，而dk是沿等直面在该点的切线方向，故(dk)Tgk+1= 0，即 gk+1Tgk=0，gk+1 与 gk 正交。 为了在 gk+1 和 gk 构成的正交系中确定共轭方向dk+1，令 dk+1 = -gk+1+k dk 即把共轭方向dk+1看成-gk+1与 dk的线性组合，k 为待定 系数。要使dk+1与dk 共轭，就应使 (dk+1)TGdk =0 而 (dk+1)TGdk =(-gk+1+kdk)TGdk =(-gk+1 kgk)TG(-gk ) =gk+1TGgk+k gkTGgk =0
T
0 T 4 100 1 50
T
1 1 2 2 4 0 100 0 4 100 50 2 f x 0
0 0
T
对照梯度法和牛顿法迭代公式，可以看出只相差一项 海赛矩阵的逆矩阵。因此，牛顿法是对梯度法的进一步修 正。事实上，梯度法是对目标函数f(x)在点xk的一阶(线性) 近似，而牛顿法是对f(x)在点xk 的二阶(二次)近似。
2 最速下降法
(1) 最速下降法以负梯度方向作为搜索方向并作一维搜索，因 此又称为“梯度法”，属于求导数的间接法。它的基本思想早 在1847年就已提出。尽管它本身不再被认为是一种有效的方法， 但它是许多优化方法尤其是二次收敛方法的基础。 各点的梯度一般各不相同，因此“最速下降方向”仅对某 一点附近而言，它具有局部性质。 当作一维搜索时，搜索方向是与目标函数等值线相切的， 而切点的梯度方向是与等值线正交的。因此，相邻两次搜索方 向相互垂直，搜索路径呈严重的“之”字形，特别是目标函数 接近二次型时更为明显。 可以利用梯度矢量在极值点为零这一重要性质设立收敛准 则 f(x*)
最优化计算方法(工程优化)第4章
f (x*) 0, 2 f x 正定，则 x 为 f (x) 的严格局部极小
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
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无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
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利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
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是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
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2 0
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是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
最优化方法 powell法求解无约束优化问题
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称powell法求解无约束优化问题
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
最优化方法第六讲 无约束(多维)最优化
step4. 若 || f ( xk1) || ,停止，x* xk1 ;
否则，令 k : k 1, 转step 2 。
14
➢算法框图
给定初始点x0和精度 || f ( x0 ) ||
停止，输出x1
否
是
| x1 x0 |
是 停止，输出x0
否 否
2 f (x0) 0
计算x1
x0
f ( x0 ) 2 f (x0)
1
13 62
x2
x1
1d 1
(
36 , 31
8 31
)T
7
三、最速下降法的特点
1.性质. 设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若 步长 满足 k
f ( xk d k ) min f ( xk d k )
k
则有 f ( xk d k )T d k 0。 k
证明：令 ( ) f ( xk d k )，所以
5
一、梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：d k f ( xk ) ,也称为最速下降方向；
2. 搜 索 步 长: k 取 最 优 步 长, 即 满 足
f (xk
kd k )
min
f
(xk
d k ) 。
二、梯度法算法步骤：
1. 给定初始点 x1 Rn ,允许误差 0, 令k 1。
2. 计算搜索方向 d k f ( xk ) ;
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
24
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
无约束问题的最优化条件
即，在算法每次迭代中，求解信赖域子问题：
1 T min (d ) f ( xk ) g k d d Gk d 2
(k ) T
s.t
d hk
在信赖域算法中，信赖域半径 hk 采用自适应方式调整， 若
(k )
(d ) 与 f ( xk d ) 近似程度好，则 hk 尽可能取大，
T (0)
2)方向
d
(0)
(G( x )) f ( x ) 1, 3 2
(0) 1 (0)
T
3)求最优步长
x
(0) dFra bibliotek(0)代入目标函数得：
(1)
1 0 3 3 0 2 2
(0)
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f ( x ) f ( x0 )
有界，则由最速下降法得到的迭代点列 xk 具有如下性质： 1） 数列 f ( xk ) 严格单调下降； 2） xk 的任何极限点（聚点） x 都是 f ( x ) 的驻点，
T k 1
d k 0
5.3 牛顿法
自动化学院
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f ( x ) 的近似极小点。
设 xk 是当前迭代点， 2 f ( xk ) 正定，
1 f ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2 1 (k ) T Q ( x) f ( xk ) f ( xk ) ( x xk ) ( x xk )T 2 f ( xk )( x xk ) 2
拉格朗日乘子法公式约束优化无约束优化
拉格朗日乘子法公式约束优化无约束优化拉格朗日乘子法是一种常用于求解约束优化问题的数学方法。
通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数统一起来，将原问题转化为一个无约束优化问题。
本文将介绍拉格朗日乘子法的基本原理和公式，并以实际问题为例，演示其具体应用过程。
1. 拉格朗日乘子法的基本原理在求解最优化问题时，常常会伴随着一些约束条件。
如果我们将这些约束条件直接作为目标函数的一部分进行求解，会使问题变得复杂且难以处理。
拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将问题转化为一个无约束优化问题。
拉格朗日乘子法的基本思想是，在目标函数后面添加一个乘以约束条件的拉格朗日乘子的项，构建一个新的被称为拉格朗日函数的函数。
然后，通过对拉格朗日函数进行求导，将约束条件转化为一个等式。
通过求解该等式，可以得到最优解。
2. 拉格朗日乘子法的公式拉格朗日乘子法的公式可以通过以下步骤进行推导：(1) 假设有一个最优化问题：Maximize (或Minimize) f(x)Subject to g(x) = 0(2) 引入拉格朗日乘子λ，构建拉格朗日函数：L(x, λ) = f(x) + λ * g(x)(3) 对拉格朗日函数进行求导，并令其导数为零：∇L(x, λ) = 0(4) 根据求导得到的等式，得到一组方程：∂f/∂x = -λ * ∂g/∂xg(x) = 0(5) 求解这组方程，得到x和λ的取值。
3. 拉格朗日乘子法的应用举例为了更好地理解拉格朗日乘子法的应用，我们将以一个实际问题为例进行演示。
假设我们有一个优化问题：求解函数 f(x) = x^2 的最大值，同时满足约束条件 g(x) = x - 1 = 0。
根据拉格朗日乘子法，我们可以构建拉格朗日函数：L(x, λ) = x^2 + λ * (x - 1)然后，对拉格朗日函数进行求导，得到一组方程：∂L/∂x = 2x + λ = 0∂L/∂λ = x - 1 = 0解这组方程，可以得到λ = -2 和 x = 1。
非线性规划-无约束问题的最优化方法
f x( ) + l e1 = 3( + l ) + 2? 22 1
1
(
)
2
32 = 3( + l ) + 17 1
2
fl ' = 0 ? l 1
- 1
轾 轾 1 1 犏 犏 2 1 x( ) = x( ) + l e1 = 犏 + (- 1)犏 = 2 0 犏 犏 犏 犏 3 0 臌 臌
轾 0 犏 犏 ? f x(2) 2 犏 犏 3 臌
第 二 节 最
二、最速下降法的算法步骤
速 下
降 法
第1步：给定初始点 x(0)，及终止误差 e > 0 ，令k =0 第2步：求梯度向量的范数 Ñ f (x(k )) 若 ? f (x(k )) 停止计算，输出x e ，停止计算，输出 (k)作为极小点的近
p( ) = - f x( )
k k
似值，否则转到下一步。 似值，否则转到下一步。 第3步：构造负梯度方向
第 一 节
一、基本思想
变
量
轮 换
法
认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向， 认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向，因此它轮流 按各坐标的方向搜索最优点。 按各坐标的方向搜索最优点。 过程：从某一个给定点出发，按第 个坐标轴 个坐标轴x 过程：从某一个给定点出发，按第i个坐标轴 i的方向搜 索时，假定有 个变量 则只有x 在变化，其余(n-1)个变量 个变量， 索时，假定有n个变量，则只有 i在变化，其余 个变量 都取给定点的值保持不变。这样依次从 做了n次单变 都取给定点的值保持不变。这样依次从x1到xn做了 次单变 量的一维搜索，完成了变量轮换法的一次迭代。 量的一维搜索，完成了变量轮换法的一次迭代。
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f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
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a
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
5.1 无约束问题的 最优性条件
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1
a
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
解: f ( x ) [ ( 1 4 x 1 2 x 2 , 1 2 x 1 + 2 x 2 ] T , f ( x ( 0 ) ) ( 1 , 1 ) T
|| f(x(0))||2(12(1)2)22
x(1 )x(0 ) f(x(0 )) 0 0 1 1
17
a
牛顿迭代公式: xk 1 xk Gk1gk . 其中, Gk 2 f (xk ), gk f (xk )
18
a
例2:用牛顿法求 f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
的极小值, 0.01取初X 始 （ 0） 点 （ 0， 0） T
2） 计算 dk f (xk ) ，若 f (xk ) ，停，并令 x* xk ，否则转 3）；
3） 由一维搜索确定步长因子k ，使得
f
(xk
kdk
)
min
0
f
(xk
dk
)
4） 令 xk1 xk k dk ， k k 1，转 2)。
8
a
例1:用最速下降法求 f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
f (xk ) f (x*) ( 1)2 (1 n)2 xk x*
( 1)
其中 1 n G G1 （ 为矩阵 G 的条件数）。
13
a
五.算法特点
相邻两次迭代的搜索方向是正交的,迭代点列呈 锯齿形前进，迭代点越靠近最优解附近,目标函 数值下降的速度越慢，算法收敛速度慢。
Q dk1 f (xk1) f (xk k dk )
定理 1（一阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 。 定理 2（二阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 ，
2 f (x ) 0 。（半正定） 定理 3 （二阶充分条件） x 是局部极小点的充分条件是： f (x) 0 ，且 2 f (x ) 正定。 注：使 f (x) 0 的点 x 称为函数的驻点。驻点可以是极大
f( x ( 2 ) ) ( 0 .2 , 0 .2 ) T ,|| f( x ( 2 ) ) || 0 .2 8 2 8 f,L
10
a
二.算法终止标准
常用的算法终止准则有：
(1) xk1 xk ； (2) f (xk1) f (xk ) ；
f (xk )
(3) f (xk ) 。
11
a
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f (x) f (x0)
有界，则由最速下降法得到的迭代点列xk 具有如下性质： 1） 数列 f (xk ) 严格单调下降； 2） xk 的任何极限点（聚点） x 都是 f (x) 的驻点，
f (x ) 0 ，若 f (x) 为凸函数，则 x 为 f (x) 的最小值点。
9
a
代入目标函数得：
f(x ( 1 )) f(x (0 ) f(x (0 )) )2 2
令 df(x(1))/d0
0 1
x (1)
1
1
f(x (1 )) ( 1 , 1 )T ,|| f(x (1 ))||2 f
继续迭代,计算可得 d(1) 1 1,11 5,x(2) 10.2.8
➢ 最速下降法又称为负梯度法，由Cauchy于 1847年给出。是最为古老但又十分基本的一 种方法。
➢ 最速下降法解决的是具有连续可微的目标函 数的无约束极值问题。
➢ 优点：迭代过程简单，使用方便。
➢ 最速下降法的基本思想：从当前点xk出发寻找 使得目标函数下降最快的方向，即负梯度方向。
6
a
➢ 关于梯度的复习： ☺梯度是一个向量。n元函数f(x1 ,x2 ,…xn)在点x
处的梯度为： (f ,f ,...,f )T
x1 x2 xn
☺梯度的方向与函数f 的等值线的一个法线方 向相同，从较低的等值线指向较高的等值线。
☺梯度的方向就是函数f 的值增加最快的方向， 其相反方向就是函数值降低最快的方向。
7
a
算法步骤：
1） 给出初始点 x0 Rn ，允许误差 0 ， k 0 ；
点，极小点或者鞍点。
3
a
定理 4 若 f (x) : Rn R 是连续可微的凸函数，则 x 是全局 极小点的充要条件是 f (x ) 0 。
证明：必要性由定理 1，充分性则由凸函数定义
f (x) f (x) f (x)T (x x) 可得。
4
a
5.2 最速下降法
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5
a
一. 最速下降法
证明：......
12
a
四.最速下降法的收敛速度
定理 6 对极小化问题 min f (x) 1 xTGx ，其中 G 为 n n 对称正定 2
矩阵， 1， n 分别为 G 的最大与最小特征值。设 x* 是最优解，则最
速下降算法的收敛速度至少是线性的，且下面的界成立：
f (xk1) f (x*) ( 1)2 (1 n )2 ， xk1 x* ( 1)