山东省泰安市第一中学2018-2019学年高二10月学情检测数学试题(解析版)
山东省泰安第一中学2018-2019学年高二10月学情检测物理试题+Word版含解析

山东省泰安一中2017级高二上学期第二次学情检测物理试题一.选择题:(本题共14个小题,每小题4分,共56分,在每小题给出的四个选项中至少有一个答案是正确的,请把答案涂在答题卡上.全部选对得4分,选择正确但不全的得2分,有错选或不答的得0分.)1.下列说法正确的是()A. 美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器B. 安培首先发现了电流的磁效应C. 安培首先提出了磁场对运动电荷有力作用D. 法拉第发现了电流产生的磁场方向的判定方法【答案】A【解析】【详解】美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器,选项A正确;奥斯特首先发现了电流的磁效应,选项B错误;洛伦兹首先提出了磁场对运动电荷有力作用,选项C错误;安培发现了电流产生的磁场方向的判定方法,选项D错误;故选A.2.下列关于磁场中的通电导线和运动电荷的说法中,正确的是()A. 磁场对通电导线的作用力方向一定与磁场方向垂直B. 有固定转动轴的通电线框在磁场中一定会转动C. 带电粒子只受洛伦兹力作用时,其动能不变,速度一直不变D. 电荷在磁场中不可能做匀速直线运动【答案】A【解析】【分析】安培力方向与磁场方向一定垂直.有固定转动轴的通电线框在磁场中不一定会转动.带电粒子只受洛伦兹力作用时,其动能不变,速度一直在变.当电荷与磁场方向平行时,在磁场中做匀速直线运动.【详解】磁场对通电导线的作用力即安培力方向与磁场方向一定垂直,故A正确。
有固定转动轴的通电线框在磁场中不一定会转动,当合力矩为零,通电线圈在磁场不会转动,故B 错误。
带电粒子只受洛伦兹力作用时,洛伦兹力与速度方向始终垂直,对电荷不做功,动能不变,而速度方向发生变化,速度一直在变,故C错误。
当电荷与磁场方向平行时,不受洛伦兹力,电荷在磁场中做匀速直线运动。
故D错误。
故选A。
3.如图所示,在通电螺线管的周围和内部a、b、c、d四个位置分别放置了小磁针,小磁针涂黑的一端是N极.图中正确表示小磁针静止时的位置是()A. aB. bC. cD. d【答案】A【解析】根据电源的正负极得出通电螺线管的电流方向从左边流入、从右边流出;根据电流方向,利用安培定则判断螺线管的左端为S极、右端为N极;在磁体内磁场的方向从S极指向N极,而小磁针的N极的指向表示磁场的方向,所以b、c、d三个位置的磁场的指向都错误。
山东省泰安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

高二年级考试 数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列有关不等式的推理( ) (1)a b b a >⇔< (2)a b a c b c >⇒+>+ (3),0a b c ac bc ><⇒< (4)22a b a b >⇒>其中,正确推理的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.“()()120x x -+=”是“1x =”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ,()00,A x y 是抛物线C 上一点,05||4AF x =,则0x =( ) A.1B.2C.4D.84.若1231,,,,4a a a 成等比数列,1233,,,,5b b b 成等差数列,则22a b 的值为( ) A.12-B.12C.2±D.12±5.如图,底面是平行四边形的棱柱''''ABCD A B C D -,'O 是上底面的中心,设,,AB a AD b AA c '===u u u r r u u u r r u u u r r,则AO '=u u u u r( )A.111222a b c ++r r rB.1122a b c ++r r rC.12a b c ++r r rD.12a b c ++r r r 6.等比数列{}n a 中,368,1a a ==,则数列{}2log n a 的前n 项和的最大值为( )A.15B.10C.1218D.2121log 87.已知0,0a b >>,且1a b +=,则49aba b+的最大值为( )A.124B.125C.126D.1278.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,若1AB =,则1AB 与1C B 所成角的大小为( )A.90°B.75°C.60°D.45°9.数列{}n a 满足11221n n n n a a ++=-,且11a =,若15n a <,则n 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5D.610.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ,过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆222x y a +=的两条切线,切点分别为,M N .若椭圆离心率的取值范围为1,22⎡⎢⎣⎦,则MPN ∠的取值范围为( )A.,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+,若11,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2[1,3]x ∀∈,使得()()12f x g x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.2a ≥B.2a ≤C.4a ≤-D.4a ≥-12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ,直线l 与双曲线交于点B ,且2BF AB =,则双曲线的离心率为( )D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知命题p :“000,10xx R e x ∃∈--≤”,则p ⌝为_________.14.设向量()(),4,3,3,2,a x b y ==-r r,且//a b r r ,则xy =___________.15.关于x 的不等式22280(0)x ax a a +-<>的解集为()12,x x ,且2112x x -=,则a =________.16.若双曲线221412x y -=的左焦点为F ,点P 是双曲右支上的动点,已知()1,4A ,则PF PA +的最小值是_____________.三、解答题:本题共6个小题,共η0分,解答应写岀文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知2:210p x x -++≥,:34q x -≤≤,22:120(0)r x ax a a ≤-->. (1)判断是p 是q 什么条件;(2)如果q 是r 的充要条件,求a 的值. 18.(12分)已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足23b a =,37b a =,求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 19.(12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>,其准线方程为1x =-.准线与x 轴的交点为M ,过M 点做直线l 交抛物线于A 、B 两点.若点A 为MB 中点,求直线l 的方程. 20.(12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BC ⊥平面ABC ,1,2,4AB BC AB BC BB ⊥===. (1)求证:AB ⊥平面11BB C C ,并求1BC 的长度; (2)若M 为1CC 的中点,求二面角1A B M B --的余弦值.21.(12分)销售甲种商品所得利润是P 万元,它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+,销售乙种商品所得利润是Q 万元,它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =,其中,a b 为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售;若全部投入甲种商品,所得利润为94万元;若全部投入乙种商品,所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为()f x 万元.(1)求函数()f x 的解析式;(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大,并求最大值. 22.(12分)如图,12F F 、分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,O 为坐标原点,121OF OF ⋅=-u u u r u u u u r .椭圆E经过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求椭圆E 的方程;(2)若B 、C 是椭圆E 上两个动点,直线AB 的斜率与直线AC 的斜率互为相反数,证明:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值.高二数学试题参考答案及评分标准一、选择题:每小题5分,共60分.二、填空题:每小题5分,共20分.13.,10xx R e x ∀∈--> 14. 9 15. 2 16. 9 三、解答题 17.(10分)解:(1)因为2210x x -++≥,整理得2210x x --≤,解方程2210x x --=,得两根121,12x x =-=.…………………………………………2分 所以2210x x -++≥的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.……………………………………4分 因为1,1[3,4]2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦Ü, 所以p 是q 的充分不必要条件.…………………………………………………………5分 (2)因为q 是r 的充要条件,所以不等式22120(0)x ax a a ≤-->的解集是{}34x x -≤≤.…………………………7分 因此,-3,4是方程22120(0)x ax a a =-->的两根, 由方程根与系数的关系(即韦达定理)得:234(3)412aa -+=⎧⎨-⨯=-⎩,………………………………………………………………………………9分 解得1a =.……………………………………………………………………………………10分 18.(12分)解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为43a a d -=,所以2d =. 又因为1210a a +=,所以1210a d +=,解得14a =.所以()*42(1)22n a n n n N =+-=+∈.……………………………………………………4分 (2)设等比数列{}n b 的公差为q ,因为238b a ==,3716b a ==,所以2q =,14b =,所以12n n b +=.………………………………………………………6分 从而2(1)2n n n a b n +=+.345122232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++L ,①…………………………7分 4562322232422(1)2n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯++++L ,②…………………………8分由①-②得:3452322222(1)2n n n S n ++-=⨯++++-+L()33332122(1)2212n n n n S n n ++--=+-+=-⋅-.……………………………………11分所以32n n S n +=⋅.…………………………………………………………………………12分19.(12分)解:∵抛物线的准线方程为1x =-,∴1,22pp == ∴抛物线的方程为24y x =.…………………………………………………………………3分 显然,直线l 与坐标轴不平行,且()1,0M -.∴设直线l 的方程为1x my =-,221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………4分 联立直线与抛物线的方程214x my y x=-⎧⎨=⎩,得2440y my -+=.………………………………6分 216160m ∆=->,解得1m <-或1m >.……………………………………………………7分∵点A 为MB 的中点,∴2102y y +=,即212y y = ∴212124y y y ==,解得1y =.…………………………………………………………9分124y y m +=,∴4m =或4m =∴m =………………………………………………………………………………11分直线方程为440x -+=或440x ++=.…………………………………12分 20.(12分)解:(1)∵1BC ⊥平面ABC ,,AB BC ⊂平面ABC ,∴11,BC AB BC BC ⊥⊥,………………1分 ∵1,AB BC BC BC B ⊥=I ,1,BC BC ⊂平面11BB C C ,∴AB ⊥平面11BB C C .……………3分 又∵2AB BC ==,14BB =,∴1BC =.…………………………………………5分(2)如图所示,分别以1,,BC AB BC 所在的直线为x 轴,y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系, 则()()()((110,0,0,0,2,0,2,0,0,,B A C B C -,易知(M,∴((11,,22AM AB =-=--u u u u ru u u r,,…………………………7分设平面1AB M 的一个法向量为(),,n x y z =r, 100n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r,即20220x y x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩,令1x =-,得2z y ==-,∴(1,2,n =--r.…………………………………………………………10分易知()0,2,0BA =u u u r为平面1BMB 的一个法向量则cos ||||n BA n BA n BA ⋅<⋅>=⋅r u u u rr u u u r r u u u r由题意知:二面角1A B M B --的余弦值为2.………………………………12分 21.(12分)解:(1)由题意,,1atp Q bt t ==+, 故当3t =时,39,31314a p Q b ====+.…………………………………………2分解得3a =,13b =.……………………………………………………………………4分所以31,13t p Q t t ==+.从而()33,[0,3]13x xf x x x -=+∈+.……………………………………………………6分(2)由(1)可得:()33133113313x x x f x x x -+⎛⎫=+=-+ ⎪++⎝⎭.……………………8分 因为[]0,3x ∈,所以[]11,4x +∈,故31213x x ++≥+,当且仅当3113x x +=+,即2x =时取等号. 从而137()233f x ≤-=.当且仅当2x =时取等号.…………………………………………10分所以()f x 的最大值为73.答:分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时,所得利润总和最大,最大利润是73万元.……12分22.(12分)解:(1)∵212OF OF c ⋅=-u u u r u u u u r ,∴1c =,…………………………………………………1分因为31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上,所以2219114b b +=+.……………………………………2分 解得23b =,234b =-(舍去),……………………………………………………3分 ∴椭圆方程为22143x y +=;…………………………………………………………4分 (2)设直线AB 的方程为3(1)2y k x =-+, 代入22143x y +=得 ()2223344(32)41202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭,……………………………………6分设()()1122,,,B x y C x y ,因为点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上, ∴21112341232,342k x y kx k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+-+,………………………………………………8分 又直线AC 的斜率与AB 的斜率互为相反数, 在上式中以k -代k ,可得22222341232,342k x y kx k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-+++,………………………………………………10分 ∴直线BC 的斜率()12212121212BC k x x k y y k x x x x -++-===--1 2.……………………………………………………12分∴直线BC的斜率为定值,该定值为。
2018-2019学年山东省泰安第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前山东省泰安第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1.“1a <”是“ln 0a <”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】由ln 0a <可得01a <<,所以当01a <<成立时可得到1a <成立,反之不成立,所以1a <是ln 0a <的必要不充分条件,选B.2.等差数列{a n }中,a 4=13,a 6=9,则数列{a n }前9项的和S 9等于( )A .66B .99C .144D .297【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得,a 1+a 9=a 4+a 6,代入求和公式S 9=错误!未找到引用源。
可求.【详解】等差数列{a n }中,a 4=13,a 6=9,∴a 1+a 9=a 4+a 6=22,则数列{a n }前9项的和S 9=错误!未找到引用源。
=99.故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用,属于基础试题.3.下列结论正确的是A.若,a b c d >>,则a c b d ->- B .若,a b c d >>,则a d b c ->-C.若,a b c d >>,则ac bd > D .若,a b c d >>,则a b d c> 【答案】B【解析】出题考查不等式的性质 ,,a b c d a b c d >>∴>-<-所以不能推导出a c b d ->-,A 错,,a b c d a b d c a d b c >>∴>->-⇔->-B 对a b c d的正负情况,所以C,D是错的因为不知道,,,答案 B点评:不等式两边同时乘以或者除以一个负数时,不等式要变化。
泰安市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

泰安市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A .B .C .3D .5 2. 设有直线m 、n 和平面α、β,下列四个命题中,正确的是( )A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB .若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC .若α⊥β,m ⊂α,则m ⊥βD .若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α3. 已知a=,b=20.5,c=0.50.2,则a ,b ,c 三者的大小关系是()A .b >c >aB .b >a >cC .a >b >cD .c >b >a 4. 函数y=(x 2﹣5x+6)的单调减区间为()A .(,+∞)B .(3,+∞)C .(﹣∞,)D .(﹣∞,2)5. 奇函数()f x 满足()10f =,且()f x 在()0+∞,上是单调递减,则()()210x f x f x -<--的解集为()A .()11-,B .()()11-∞-+∞ ,,C .()1-∞-,D .()1+∞,6. 圆()与双曲线的渐近线相切,则的值为( )222(2)x y r -+=0r >2213y x -=rA B . C . D .2【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查基本运算能力.7. 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为,则函数的图像大致为()()S f t =8. 若复数z=2﹣i ( i 为虚数单位),则=()A.4+2i B.20+10i C.4﹣2i D.9.设0<a<1,实数x,y满足,则y关于x的函数的图象形状大致是()A.B.C.D.10.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为()A.(﹣1,0)∪(1,+∞)B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,0)∪(0,1)11.若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A,B两点,且线段AB中点到y轴的距离为3,则|AB|=()A.12B.10C.8D.612.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若a为无理数,则在过点P(a,﹣)的所有直线中()A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点B.恰有n(n≥2)条直线,每条直线上至少存在两个有理点C.有且仅有一条直线至少过两个有理点D.每条直线至多过一个有理点二、填空题13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的X的值为2,则输出的结果是 .14.已知函数f (x )=x m 过点(2,),则m= . 15.已知,,那么.tan()3αβ+=tan(24πα+=tan β=16.已知z 是复数,且|z|=1,则|z ﹣3+4i|的最大值为 . 17.(sinx+1)dx 的值为 .18.不等式恒成立,则实数的值是__________.()2110ax a x +++≥三、解答题19.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于E ,过E 的切线与AC 交于D .(1)求证:CD =DA ;(2)若CE =1,AB =,求DE 的长.220.(本小题满分12分)某超市销售一种蔬菜,根据以往情况,得到每天销售量的频率分布直方图如下:0.0050.02a频率组距千克(Ⅰ)求频率分布直方图中的的值,并估计每天销售量的中位数;a (Ⅱ)这种蔬菜每天进货当天必须销售,否则只能作为垃圾处理.每售出1千克蔬菜获利4元,未售出的蔬菜,每千克亏损2元.假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值.21.已知函数f (x )=lnx ﹣a (1﹣),a ∈R .(Ⅰ)求f (x )的单调区间;(Ⅱ)若f (x )的最小值为0.(i )求实数a 的值;(ii )已知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f (a n )+2,记[x]表示不大于x 的最大整数,求证:n >1时[a n ]=2. 22.(本小题满分12分)一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.P ()0,023.(本题满分15分)若数列满足:(为常数, ),则称为调和数列,已知数列为调和数{}n x 111n nd x x +-=d *n N ∈{}n x {}n a 列,且,.11a =123451111115a a a a a ++++=(1)求数列的通项;{}n a n a (2)数列的前项和为,是否存在正整数,使得?若存在,求出的取值集合;若不存2{}nna n n S n 2015n S ≥n 在,请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识,意在考查运算求解能力.24.(本小题满分12分)已知函数.21()cos cos 2f x x x x =--(1)求函数在上的最大值和最小值;()y f x =[0,]2π(2)在中,角所对的边分别为,满足,,,求的值.1111]ABC ∆,,A B C ,,a b c 2c =3a =()0f B =sin A泰安市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为,即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A.【点评】本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键.2.【答案】D【解析】解:A不对,由面面平行的判定定理知,m与n可能相交,也可能是异面直线;B不对,由面面平行的判定定理知少相交条件;C不对,由面面垂直的性质定理知,m必须垂直交线;故选:D.3.【答案】A【解析】解:∵a=0.50.5,c=0.50.2,∴0<a<c<1,b=20.5>1,∴b>c>a,故选:A.4.【答案】B【解析】解:令t=x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)>0,可得x<2,或x>3,故函数y=(x2﹣5x+6)的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞).本题即求函数t在定义域(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间.结合二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,2)∪(3,+∞)上的增区间为(3,+∞),故选B.【解析】试题分析:由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--,即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反,当0x >时,210x ->;当0x <时,210x -<,结合图象即得()()11-∞-+∞ ,,.考点:1、函数的单调性;2、函数的奇偶性;3、不等式.6. 【答案】C7. 【答案】C 【解析】试题分析:由题意得,当时,,当时,01t <≤()2122f t t t t =⋅⋅=12t <≤,所以,结合不同段上函数的性质,可知选项C 符()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩合,故选C.考点:分段函数的解析式与图象.8. 【答案】A 【解析】解:∵z=2﹣i ,∴====,∴=10•=4+2i ,故选:A .【点评】本题考查复数的运算,注意解题方法的积累,属于基础题.9. 【答案】A【解析】解:0<a <1,实数x ,y 满足,即y=,故函数y 为偶函数,它的图象关于y轴对称,在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1),故选:A .【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题. 【解析】解:由奇函数f(x)可知,即x与f(x)异号,而f(1)=0,则f(﹣1)=﹣f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数,当0<x<1时,f(x)<f(1)=0,得<0,满足;当x>1时,f(x)>f(1)=0,得>0,不满足,舍去;当﹣1<x<0时,f(x)>f(﹣1)=0,得<0,满足;当x<﹣1时,f(x)<f(﹣1)=0,得>0,不满足,舍去;所以x的取值范围是﹣1<x<0或0<x<1.故选D.11.【答案】C【解析】解:直线y=kx﹣k恒过(1,0),恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标,设A(x1,y1)B(x2,y2)抛物y2=4x的线准线x=﹣1,线段AB中点到y轴的距离为3,x1+x2=6,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,故选:C.【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.12.【答案】C【解析】解:设一条直线上存在两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2),由于也在此直线上,所以,当x1=x2时,有x1=x2=a为无理数,与假设矛盾,此时该直线不存在有理点;当x1≠x2时,直线的斜率存在,且有,又x2﹣a为无理数,而为有理数,所以只能是,且y2﹣y1=0,即;所以满足条件的直线只有一条,且直线方程是;所以,正确的选项为C .故选:C .【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题,解题的关键是理解新定义的内容,寻找解题的途径,是难理解的题目. 二、填空题13.【答案】 ﹣3 .【解析】解:分析如图执行框图,可知:该程序的作用是计算分段函数f (x )=的函数值.当x=2时,f (x )=1﹣2×2=﹣3故答案为:﹣3【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识,算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视. 14.【答案】 ﹣1 .【解析】解:将(2,)代入函数f (x )得: =2m ,解得:m=﹣1;故答案为:﹣1.【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题. 15.【答案】43【解析】试题分析:由得, 1tan tan()241tan πααα++==-1tan 3α=tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++.134313133-==+⨯考点:两角和与差的正切公式.16.【答案】 6 .【解析】解:∵|z|=1,|z ﹣3+4i|=|z ﹣(3﹣4i )|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6,∴|z ﹣3+4i|的最大值为6,故答案为:6.【点评】本题考查复数求模,着重考查复数模的运算性质,属于基础题.17.【答案】 2 .【解析】解:所求的值为(x ﹣cosx )|﹣11=(1﹣cos1)﹣(﹣1﹣cos (﹣1))=2﹣cos1+cos1=2.故答案为:2.18.【答案】1a =【解析】试题分析:因为不等式恒成立,所以当时,不等式可化为,不符合题意;()2110ax a x +++≥0a =10x +≥当时,应满足,即,解得.10a ≠20(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩1a =考点:不等式的恒成立问题.三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)证明:如图,连接AE ,∵AB 是⊙O 的直径,AC ,DE 均为⊙O 的切线,∴∠AEC =∠AEB =90°,∠DAE =∠DEA =∠B ,∴DA =DE .∠C =90°-∠B =90°-∠DEA =∠DEC ,∴DC =DE ,∴CD =DA .(2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径,∴∠CAB =90°,由勾股定理得CA 2=CB 2-AB 2,又CA 2=CE ×CB ,CE =1,AB =,2∴1·CB =CB 2-2,即CB 2-CB -2=0,解得CB =2,∴CA 2=1×2=2,∴CA =.2由(1)知DE =CA =,1222所以DE 的长为.2220.【答案】(本小题满分12分)解:本题考查频率分布直方图,以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数.(Ⅰ)由得 (3分)(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=0.035a = 每天销售量的中位数为千克 (6分)0.15701074.30.35+⨯=(Ⅱ)若当天的销售量为,则超市获利元;[50,60)554202180⨯-⨯= 若当天的销售量为,则超市获利元;[60,70)654102240⨯-⨯= 若当天的销售量为,则超市获利元, (10分)[70,100)754300⨯=∴获利的平均值为元. (12分)0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=21.【答案】【解析】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=﹣=.当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当a>0时,由f′(x)>0,解得x>a;由f′(x)<0,解得0<x<a.所以f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).综上述:a≤0时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞);a>0时,f(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞).(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)无最小值,不合题意;当a>0时,[f(x)]min=f(a)=1﹣a+lna=0,令g(x)=1﹣x+lnx(x>0),则g′(x)=﹣1+=,由g′(x)>0,解得0<x<1;由g′(x)<0,解得x>1.所以g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).故[g(x)]max=g(1)=0,即当且仅当x=1时,g(x)=0.因此,a=1.(ⅱ)因为f(x)=lnx﹣1+,所以a n+1=f(a n)+2=1++lna n.由a1=1得a2=2于是a3=+ln2.因为<ln2<1,所以2<a3<.猜想当n≥3,n∈N时,2<a n<.下面用数学归纳法进行证明.①当n=3时,a3=+ln2,故2<a3<.成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N)时,不等式2<a k<成立.则当n=k+1时,a k+1=1++lna k,由(Ⅰ)知函数h(x)=f(x)+2=1++lnx在区间(2,)单调递增,所以h(2)<h(a k)<h(),又因为h(2)=1++ln2>2,h()=1++ln<1++1<.故2<a k+1<成立,即当n=k+1时,不等式成立.根据①②可知,当n≥3,n∈N时,不等式2<a n<成立.综上可得,n>1时[a n]=2.【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等,属难题.22.【答案】.16y x =-【解析】试题分析:设所求直线与两直线分别交于,根据因为分别在直线12,l l ()()1122,,,A x y B x y ()()1122,,,A x y B x y 上,列出方程组,求解的值,即可求解直线的方程. 112,l l 11,x y考点:直线方程的求解.23.【答案】(1),(2)详见解析. 1n a n=当时,…………13分8n =911872222015S =⨯+>>∴存在正整数,使得的取值集合为,…………15分n 2015n S ≥{}*|8,n n n N≥∈24.【答案】(1)最大值为,最小值为;(232-【解析】试题分析:(1)将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(216f x x π=--再利用的性质可求在上的最值;(2)利用,可得,()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><[0,]2π()0f B =B 再由余弦定理可得,再据正弦定理可得.1AC sin A 试题解析:(2)因为,即()0f B =sin(2)16B π-=∵,∴,∴,∴(0,)B π∈112(,)666B πππ-∈-262B ππ-=3B π=又在中,由余弦定理得,ABC ∆,所以.22212cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=AC =由正弦定理得:,所以.sin sin b a B A =3sin A =sin A =考点:1.辅助角公式;2.性质;3.正余弦定理.()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.。
山东省泰安第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年山东省泰安一中高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.“a<1”是“ln a<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件2.等差数列{a n}中,a4=13,a6=9,则数列{a n}前9项的和S9等于()A. 66B. 99C. 144D. 2973.下列结论正确的是()A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则4.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是()A. ∀ ∈,B. ∀ ∈,C. ∈,D. ∈,5.已知数列{a n},a1=1,a n+a n+1=3,则S2017等于()A. 3009B. 3025C. 3010D. 30246.已知2m+n=1,m,n>0,则+的最小值为()A. B. 8 C. 9 D. 127.等差数列{a n}的首项a1=-5,它的前11项的平均值为5,若从中抽去一项,余下的10项的平均值为4.6,则抽去的是()A. B. C. D.8.已知<<,给出下列四个结论:①a<b②a+b<ab③|a|>|b|④ab<b2其中正确结论的序号是()A. B. C. D.9.已知F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为()A. B. C. D.10.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n,且=,则为()A. 13B. 11C. 10D. 911.若点O(0,0)和点,分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和右焦点,A为右顶点,点M为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.12.设F1,F2分别为椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(a1>b1>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e∈[,],则双曲线C2的离心率e1的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.等比数列{a n}中,若前n项的和为S n=2n-1,则a+a22+…+a n2=______.14.已知双曲线的渐近线方程为,并且焦距为20,则双曲线的标准方程为______.15.当x∈(1,2)时,不等式x2-x-m<0恒成立,则m的取值范围是______.16.若P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则•的取值范围是______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设命题p:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0),命题q:实数x满足≥0.(Ⅰ)若a=1,p,q都为真命题,求x的取值范围;(Ⅱ)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.已知数列{a n}为等比数列,a1=2,公比q>0,且a2,6,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,,求使<的n的值.19.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,过椭圆C上一点P(2,1)作x轴的垂线,垂足为Q.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点Q的直线l交椭圆C于点A,B,且3+=,求直线l的方程.20.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2.当n≥2时.S n-1+l,a n.S n+1成等差数列.(I)求证:{S n+1}是等比数列:(II)求数列{na n}的前n项和.21.某科研小组研究发现:一棵水果树的产量w(单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系:.此外,还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场<售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).(1)求L(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?22.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为.(1)求a,b的值.(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解:a<1推不出“lna<0”,比如当a=0时.若lna<0,由对数函数得性质得0<a<1,满足a<1.故选:B.当a=0时,满足a<1,但此时lna<0不成立.若lna<0,由对数函数得性质得0<a<1,满足a<1.本题利用对数的知识考查充要条件的知识.属于基础题.2.【答案】B【解析】解:等差数列{a n}中,a4=13,a6=9,∴a1+a9=a4+a6=22,则数列{a n}前9项的和S9==99.故选:B.由已知结合等差数列的性质可得,a1+a9=a4+a6,代入求和公式S9=可求.本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用,属于基础试题.3.【答案】B【解析】解:对于A选项,c>d⇒-d>-c,又a>b,⇒a-d>b-c,故A错误;对于B,由c>d⇒-d>-c,又a>b,⇒a-d>b-c,故B正确;对于C,特例法:0>-1,-2>-3,显然不能推出0>3,故C错误;对于D,可取特例:2>1,-2>-3,不能推出,故D错误;故选:B.由c>d⇒-d>-c,利用不等式的性质:同向不等式相加所得不等式与原不等式同向,可判断A的正误;同理可可判断的B正误;对于C、D可采用特例法进行判断.本题考查不等式的基本性质,着重考查学生掌握不等式性质并熟练应用这些性质来解决问题的能力,属于中档题.4.【答案】C【解析】解:根据全称命题的否定是特称命题,则命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定x0∈R,|x0|+x02<0,故选:C.根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.【答案】B【解析】解:数列{a n},a1=1,a n+a n+1=3,可得a2=2,a3=1,a4=2,…,即奇数项为1,偶数项为2,则S2017=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2015+a2016)+a2017=3+3+…+3+1=3×1008+1=3025.故选:B.由数列的递推式可得奇数项为1,偶数项为2,S2017=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2015+a2016)+a2017,计算可得所求和.本题考查数列的求和,注意运用分组求和,考查运算能力,属于基础题.6.【答案】C【解析】解:∵2m+n=1,m,n>0,则+=()(2m+n)=5+≥5+4=9,当且仅当且2m+n=1即m=n=时取等号,故+的最小值9,故选:C.由题意可知,+=()(2m+n),展开利用基本不等式即可求解.本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用,解题的关键是进行1的代换.7.【答案】B【解析】解:∵等差数列{a n}的首项a1=-5,它的前11项的平均值为5,∴S11=(a1+a11)=(-5+a11)=55解得a11=15,由a11=-5+10d=15,解得d=2,∴该数列为a n=a1+(n-1)d=-5+(n-1)×2=2n-7,设抽去的是第m项,则a m=55-10×4.6=55-46=9,2m-7=9,解得m=8,∴抽出的这一项为第8项.故选:B.由等差数列{a n}的首项a1=-5,它的前11项的平均值为5,利用等差数前n项和公式求出a11=15,从而得到公差d=2,进而得到该数列为a n=a1+(n-1)d=2n-7,设抽去的是第m项,则a m=55-10×4.6=55-46=9,由此能求出结果.本题考查等差数列中某一项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.8.【答案】B【解析】解:∵,∴b<a<0.a<b,错误.∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,正确.∵b<a<0,∴|a|>|b|不成立.ab-b2=b(a-b),∵b<a<0,∴a-b>0,即ab-b2=b(a-b)<0,∴ab<b2成立.∴正确的是.故选:B.由条件可b<a<0,然后根据不等式的性质分别进行判断即可.本题主要考查不等式的性质,利用条件先判断b<a<0是解决本题的关键,要求熟练掌握不等式的性质及应用.9.【答案】A【解析】解:根据双曲线的对称性,得△ABE中,|AE|=|BE|,△ABE是锐角三角形,即∠AEB为锐角,由此可得Rt△AFE中,∠AEF<45°,得|AF|<|EF|∵|AF|==,|EF|=a+c,∴<a+c,即2a2+ac-c2>0,两边都除以a2,得e2-e-2<0,解之得-1<e<2,∵双曲线的离心率e>1,∴该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2)故选:A.根据双曲线的对称性,得到等腰△ABE中,∠AEB为锐角,可得|AF|<|EF|,将此式转化为关于a、c的不等式,化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围.本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形,求双曲线离心率的范围,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.10.【答案】D【解析】解:∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n,且=,则====9.故选:D.由等差数列的性质和前n项和公式,将转化为,再代入求值.本题考查了等差数列的性质和前n项和公式灵活应用,是常考的题型,注意总结.11.【答案】D【解析】解:设M(m,n),A(a,0),则•=(m,n)•(m-a,n)=m2-am+n2.由F(,0)是双曲线-y2=1(a>0)的右焦点,可得a2+1=3,即a=,则双曲线方程为-y2=1,由点M为双曲线右支上的任意一点,可得-n2=1(m≥),即有n2=-1,则•=m2-m+n2=m2-m+-1=(m-)2-,由m≥>,可得函数在[,+∞)上单调递增,即有m2-m+n2≥2-2+1-1=0,可得的取值范围为[0,+∞).故选:D.先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得,设出点M,代入双曲线方程求得纵坐标的表达式,根据M,F,O的坐标表示,进而利用二次函数的性质求得其最小值,则可得的取值范围.本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.12.【答案】B【解析】解:设MF1=s,MF2=t,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线的定义可得s-t=2a1,解得s=a+a1,t=a-a1,由∠F1MF2=90°,运用勾股定理,可得s2+t2=4c2,即为a2+a12=2c2,由离心率的公式可得,+=2,由e∈[,],可得e2∈[,],即有2-∈[,],解得e1∈[,].由a1>b1,可得e1=<,故选:B.设MF1=s,MF2=t,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线的定义可得s-t=2a1,运用勾股定理和离心率公式,计算即可得到所求范围.本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法,考查运算能力,属于中档题.13.【答案】【解析】解:∵a1=S1=1,a2=S2-S1=3-1=2,∴公比q=2.又∵数列{}也是等比数列,首项为=1,公比为q2=4,∴==故答案为:由已知可得等比数列{a n}的首项和公比,进而可得数列{}也是等比数列,且首项为=1,公比为q2=4,代入等比数列的求和公式可得答案.本题考查等比数列的前n项和公式,得出数列为等比数列是解决问题的关键,属基础题.14.【答案】,【解析】解:当焦点在x轴上时,∵双曲线的渐近线方程为,并且焦距为20,∴,∴∴双曲线的标准方程为;当焦点在y轴上时,∵双曲线的渐近线方程为,并且焦距为20,∴,∴∴双曲线的标准方程为综上知,双曲线的标准方程为故答案为:根据双曲线的渐近线方程为,并且焦距为20,分类讨论,即可得到结论.本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线的标准方程,解题的关键是正确分类,明确双曲线的渐近线方程的求法.15.【答案】m≥2【解析】解:根据题意,构造函数:f(x)=x2-x-m,x∈(1,2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2-x-m<0恒成立即,即解得m≥2,故答案为:m≥2.构造函数,根据函数的性质即可求出.本题考查了二次函数的性质,属于基础题16.【答案】[5,21]【解析】解:因为•=(-)•(-)=•-•(+)+ 2=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|2=-4+|NP|2.又因为椭圆+=1的a=4,b=,c=1,N(1,0)为椭圆的右焦点,∴|NP|∈[a-c,a+c]=[3,5]∴•∈[5,21].故答案为:[5,21].先把•转化为=(-)•(-)=•-•(+)+2=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|2=-4+|NP|2.再结合|NP|的范围即可求出结论.本题主要考查椭圆的基本性质.解决本题的关键在于知道N为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化.17.【答案】解:(Ⅰ)a=1,则x2-2ax-3a2<0化为x2-2x-3<0,即-1<x<3;若q为真命题,则≥0,解得2≤x<4.∴p,q都为真命题时x的取值范围是[2,3);(Ⅱ)由x2-2ax-3a2<0(a>0),得a<x<3a,由≥0,得2≤x<4,∵q是p的充分不必要条件,∴[2,4)⊊(a,3a),则,即<.【解析】(Ⅰ)把a=1代入x2-2ax-3a2<0,化为x2-2x-3<0,可得-1<x<3;求解分式不等式可得q为真命题的x的范围,取交集得答案;(Ⅱ)求解x2-2ax-3a2<0(a>0),得a<x<3a,由≥0,得2≤x<4,由q是p的充分不必要条件,可得[2,4)⊊(a,3a),由此列关于a的不等式组求解.本题考查复合命题的真假判断与应用,考查数学转化思想方法,是中档题.18.【答案】解:(1)由a2,6,a3成等差数列,得12=a2+a3…(2分)又{a n}为等比数列,且a1=2,故12=2q+2q2…(3分)解得q=2,或q=-3,又q>0…(5分),∴q=2,∴ …(7分)(2)∵ ,∴…(10分)∴…(12分)故由<,得n<6,又n∈N*∴n的取值为1,2,3,4,5.【解析】(1)由a2,6,a3成等差数列,知12=a2+a3,由{a n}为等比数列,且a1=2,故12=2q+2q2,由此能求出数列{a n}的通项公式.(2)由,知,由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值.本题考查数列与不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.19.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得=,+=1,a2=b2+c2.解得a2=6,b2=c2=3,则椭圆C:==1.(Ⅱ)由题意得点Q(2,0),设直线方程为x=ty+2(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),由3+=,得3y1+y2=0,y1+y2=-2y1,y1y2=-3,得到=-(*)将直线x=ty+2(t≠0),代入椭圆方程得到(2+t2)y2+4ty-2=0,∴y1+y2=,y1y2=,代入(*)式,解得:t2=,∴直线l的方程为:y=±(x-2).【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得=,+=1,a2=b2+c2.解出即可得出;(Ⅱ)由题意得点Q(2,0),设直线方程为x=ty+2(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线x=ty+2(t≠0),代入椭圆方程得到(2+t2)y2+4ty-2=0,利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【答案】(I)证明:∵S n-1+l,a n.S n+1成等差数列∴2a n=s n+s n-1+2…(2分)∴2(s n-s n-1)=s n+s n-1+2 即s n=3s n-1+2 …(4分)∴s n+1=3(s n-1+1),n≥2…(6分)∴{s n+1}是首项为s1+1=3,公比为3的等比数列…(7分)(II)解:由(I)可知∴ …(9分)当n≥2时,a n=s n-s n-1=2•3n-1又∵a1=3∴ …(11分)∴ +2n•3n-1(1)+2n•3n(2)(1)-(2)得:-2T n=2+2•3+2•32+…+2•3n-1-2n•3n=-2n•3n=3n-1-2n•3n∴ …(14分)【解析】(I)由题意可得2a n=s n+s n-1+2,结合a n=s n-s n-1可得s n与s n-1之间的递推关系,进而可证明(II)由(I)可求s n+1,进而可求s n,然后利用a n=s n-s n-1可求a n,然后利用错位相减可求T n本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项,数列的错位相减求和方法的综合应用21.【答案】解:(1)L(x)=16ω(x)-2x-x<(2)当0≤x≤2时L(x)max=L(2)=42当2<x≤5时l(x)=67-[+3(x+)]≤67-2=43当且仅当时,即x=3时等号成立答:当投入的肥料费用为300元时,种植该果树获得的最大利润是4300元.【解析】(1)根据题意可得L(x)=16ω(x)-2x-x,则化为分段函数即可,(2)根据分段函数的解析式即可求出最大利润.本题考查了函数的应用、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.22.【答案】(本小题满分16分)解:(1)由题设知a=2,e==,所以c=,故b2=4-3=1.因此,a=2,b=1.…(2分)(2)(i)由(1)可得,椭圆C的方程为+y2=1.设点P(m,0)(-2≤m≤2),点A(x1,y1),点B(x2,y2).若k=1,则直线l的方程为y=x-m.联立直线l与椭圆C的方程,即.将y消去,化简得x2-2mx+m2-1=0.解得x1=,x2=,从而有,x1+x2=,x1•x2=,而y1=x1-m,y2=x2-m,因此,|AB|===•=•,点O到直线l的距离d=,所以,S△OAB=×|AB|×d=×|m|,因此,S2△OAB=( 5-m2)×m2≤•()2=1.…(6分)又-2≤m≤2,即m2∈[0,4].所以,当5-m2=m2,即m2=,m=±时,S△OAB取得最大值1.…(8分)(ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-m).将直线l与椭圆C的方程联立,即.将y消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解得,x1+x2=,x1•x2=.…(10分)所以PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=(x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2=(*).…(14分)因为PA2+PB2的值与点P的位置无关,即(*)式取值与m无关,所以有-8k4-6k2+2=0,解得k=±.所以,k的值为±.…(16分)【解析】(1)由题设知a=2,e==,由此能求出a=2,b=1.(2)(i)由(1)得,椭圆C的方程为+y2=1.设点P(m,0)(-2≤m≤2),点A(x1,y1),点B(x2,y2).若k=1,则直线l的方程为y=x-m.联立直线l与椭圆C的方程,得x2-2mx+m2-1=0.|AB|=•,点O 到直线l的距离d=,由此求出S△OAB取得最大值1.(ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-m).将直线l与椭圆方程联立,得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的.本题考查椭圆方程中的参数的求法,考查三角形面积的最大值的求法,考查直线的斜率的求法,解题时要认真审题,注意椭圆弦长公式的合理运用.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二:空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法;2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系;3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想,掌握球的表面积和体积的计算公式,并会求球的表面积和体积;4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体,它们的各个面均是平面多边形,它们的表面积就是各个面的面积之和.计算时要分清面的形状,准确算出每个面的面积再求和.棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表:求多面体的表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积.要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体,它们的底面是圆面,易求面积,而它们的侧面是曲面,应把它们的侧面展开为平面图形,再去求其面积.1.圆柱的表面积(1)圆柱的侧面积:圆柱的侧面展开图是一个矩形,如下图,圆柱的底面半径为r ,母线长l ,那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ,宽等于圆柱侧面的母线长l (也是高),由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l .(2)圆柱的表面积:2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表.2.圆锥的表面积(1)圆锥的侧面积:如下图(1)所示,圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ,半径等于圆锥侧面的母线长为l ,由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧. (2)圆锥的表面积:S 圆锥表=πr 2+πr l .3.圆台的表面积(1)圆台的侧面积:如上图(2)所示,圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么这个扇形的面积为π(r '+r)l ,即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r '+r)l .(2)圆台的表面积:22('')S r r r l rl π=+++圆台表.要点诠释:求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示.要点三、柱体、锥体、台体的体积 1.柱体的体积公式棱柱的体积:棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积,即V 棱柱=Sh . 圆柱的体积:底面半径是r ,高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h . 综上,柱体的体积公式为V=Sh . 2.锥体的体积公式棱锥的体积:如果任意棱锥的底面积是S ,高是h ,那么它的体积13V Sh =棱锥. 圆锥的体积:如果圆锥的底面积是S ,高是h ,那么它的体积13V Sh =圆锥;如果底面积半径是r ,用πr 2表示S ,则213V r h π=圆锥. 综上,锥体的体积公式为13V Sh =. 3.台体的体积公式棱台的体积:如果棱台的上、下底面的面积分别为S '、S ,高是h ,那么它的体积是1(')3V h S S =棱台.圆台的体积:如果圆台的上、下底面半径分别是r '、r ,高是h ,那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台.综上,台体的体积公式为1(')3V h S S =. 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示.要点四、球的表面积和体积 1.球的表面积(1)球面不能展开成平面,要用其他方法求它的面积. (2)球的表面积设球的半径为R ,则球的表面积公式 S 球=4πR 2. 即球面面积等于它的大圆面积的四倍. 2.球的体积设球的半径为R ,它的体积只与半径R 有关,是以R 为自变量的函数. 球的体积公式为343V R π=球. 要点五、侧面积与体积的计算 1.多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上,对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积,能够将其分解成柱、锥、台、球,再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等),以求得其表面积与体积.要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理,并要注意一些性质的灵活运用.(1)棱锥平行于底的截面的性质:在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中,有如下比例关系:S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比.要点诠释:这个比例关系很重要,在求锥体的侧面积、底面积比时,会大大简化计算过程.在求台体的侧面积、底面积比时,将台体补成锥体,也可应用这个关系式.(2)有关棱柱直截面的补充知识.在棱柱中,与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面,正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面.棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式:S 棱柱侧=C 直截l (其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长), V 棱柱=S 直截l (其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长). 2.旋转体的侧面积和体积的计算(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键.(2)计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关问题的关键.【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1.如右图,有两个相同的直三棱柱,高为2a,底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a 的取值范围是 .【答案】03a <<. 【解析】底面积为26a ,侧面面积分别为6、8、10,拼成四棱柱时,有三种情况:221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况:表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+,24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+,解得03a <<. 【总结升华】(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积;表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和.(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法:一是定义法;二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求,公式法即直接用公式求解.举一反三:【变式1】一个圆柱的底面面积是S ,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为( )A .4S πB .2S πC .S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ,求出圆柱的半径为r =4S π.例2.在底面半径为R ,高为h 的圆锥内有一内接圆柱,求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,并求此时侧面积的最大值.【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析,利用相似三角形求解。
2018-2019学年陕西省西安市第一中学高二10月月考数学试题 解析版
绝密★启用前陕西省西安市第一中学2018-2019学年高二10月月考数学试题一、单选题1.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a的值等于()A.-4 B.-1 C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】根据数列的前n项和与通项的关系求出通项,再根据建立方程求解即可。
【详解】由得,=,又,且此数列为等比数列,所以有所以,答案选B。
【点睛】在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时,一定要注意公式的条件为,求出通项必须验证首项是否对于所求结果成立,当已知数列为等差或等比数列时,则其首项一定适合所求的通项,常用此关系建立方程求参数。
2.现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和共有()A.8×1.0253万元B.8×1.0254万元C.8×1.0255万元D.8×1.0256万元【答案】C【解析】【分析】【详解】存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,第一年末的本利和为万元,第二年末的本利和为万元,第三年末的本利和为万元,依次下去,第5年末的本利和为万元,答案选C。
【点睛】本题考查数比数列的实际应用中本息和计算公式,属于基础题。
3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=(A )(B )(C)2 (D)3【答案】D【解析】试题分析:由余弦定理得,解得(舍去),选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记!4.4.已知数列{an}满足a1=0,an+1= (n∈N*),则a20=()A.0 B.C.D.【答案】B【解析】试题分析:根据题意,由于数列{a n}满足a1=0,a n+1,那么可知∴a1=0,a2,a3a4=0,a5a6,故可知数列的周期为3,那么可知a20等于=a2选B.考点:数列的周期性点评:本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法,可能大部分人都想直接求数列的5.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过h,则船实际航程为()A.2km B.6 km C.2km D.8 km【答案】B【解析】【分析】可先求船速与水速的合速度,再计算实际航程。
山东省泰安第一中学2018-2019学年高一数学10月学情检测试题(含解析)
泰安一中2018-2019学年高一10月学情检测数学试题一.选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,请将正确答案填入答题卷)1.下列四个图像中,不可能是函数图像的是 ( )【答案】B【解析】试题分析:根据题意,对于选项A,对于任意的x ,有唯一确定的y与其对应,故成立,对于B,由于一个x,有两个y对应,不成立,对于C,由于满足对于任意的x ,有唯一确定的y与其对应,因此是函数图像,对于D,也是做一条垂直x轴的直线,交点至多一个即可,故选B.考点:函数图像点评:本题主要考查函数的定义,函数的图象特征,属于基础题.2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,6},B={2,4,5},则(∁U A)∩B=( )A. {4,5}B. {1,2,3,4,5,6}C. {2,4,5}D. {3,4,5}【答案】A【解析】【分析】根据补集及交集的运算法则求解即可.【详解】因为,所以(∁U A)∩B,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集补集运算,属于容易题.3.已知函数,则f[f(1)]=()A. B. 2 C. 4 D. 11【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式,先计算,再计算.【详解】因为,所以,又所以,故,选C. 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值,属于中档题.4.已知集合A={x∈N*|x﹣3<0},则满足条件B⊆A的集合B的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据集合的描述法可知,集合A中的元素为,所以A的子集个数为.【详解】由解得,又,所以,故, 因为B⊆A,所以B是A 的子集,故B可以是,故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法表示,集合的子集,属于中档题.5.下列有关集合的写法正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:元素和集合是属于或不属于的关系,空集是没有元素的集合,所以D选项正确.考点:元素和集合的关系.6.函数,当时是增函数,当时是减函数,则等于()A. -3B. 13C. 7D. 5【答案】B【解析】试题分析:由题意知函数的对称轴,所以,所以,故选B.考点:函数的单调性.7.函数f(x)=的定义域为()A. [3,+∞)B. [3,4)∪(4,+∞)C. (3,+∞)D. [3,4)【答案】B【解析】【分析】要使函数有意义,只需函数各个部分都有意义,即,解得,写出定义域即可.【详解】要使函数有意义,则,解得,故选B.【点睛】本题主要考查了函数的定义域,属于中档题.8.若函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)﹣2f(﹣x)=3x﹣1,则f(x)等于()A. x+1B. x﹣1C. 2x+1D. 3x+3【答案】A【解析】【分析】根据题意,可得,与已知方程联立方程组,把视作未知数,即可求解. 【详解】因为,所以,联立方程组,解得,故选A.【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法,属于中档题.9.函数f(x)=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为()A. [3,+∞)B. (﹣∞,2),(4,+∞)C. (2,3),(4,+∞)D. (﹣∞,2],[3,4]【答案】C【解析】【分析】画出的图象,将图象在x轴下方的部分对称到x轴上方,即可得到的图象,根据图象可写出函数的单调递增区间.【详解】画出的图象如图:由图象可知,函数的增区间为,故选C.【点睛】本题主要考查了函数的调性,函数的图象,属于中档题.10.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是()A. [﹣1,+∞)B. (﹣1,+∞)C. [﹣1,0)D. (﹣1,0)【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性,函数在R上单调递增,需要每段都单调递增且左段的右端点函数值不大于右段的左端点的函数值,即可求出a的取值范围.【详解】因为函数在R上是递增函数,所以,解得,故选C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性,属于中档题.11.设={1,2,3,4,5} ,若={2},,,则下列结论正确的是()A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】B【解析】【分析】根据题意画出韦恩图,确定出A与B,即可作出判断.【详解】因为={1,2,3,4,5} ,若={2},,,所以画出韦恩图:,,则且,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算,集合的韦恩图,属于中档题.12.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx2﹣5x+a>0的解集是()A. {x|x<﹣3或x>﹣2}B. {x|x<﹣或x>﹣}C. {x|﹣<x<﹣}D. {x|﹣3<x<﹣2}【答案】C【解析】【分析】由题意可知,的根为,利用根与系数的关系可求出,即可解出不等式的解.【详解】由题意可知,的根为, ,解得,,不等式bx2﹣5x+a>0可化为,即,解得,故选C. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次函数的关系,属于中档题.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案填入答题卷。
山东省泰安市第一中学2018-2019学年高二10月学情检测数学试题(解析版)
2018-2019学年度第一学期阶段检测高二数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若数列的前项分别是,则此数列的一个通项公式为()A. B. C. D.【答案】A【解析】数列的前4 项分别是,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于,故此数列的一个通项公式为故选A2.已知实数,且,,那么下列不等式一定正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐一检验即可.【详解】选项中若时,不等式不成立.错.选项中满足条件时,不等式成立,题设,故错误.中若时结论不成立,故错误.中由同向不等式的可加性可得,则成立,选.【点睛】判断一个结论不成立,只需要一个反例即可,判断一个结论成立必须要有严格的逻辑推理.3.关于的方程有两个不相等的正实根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由判别式判断方程有两个不相等的实数根,再由根与系数的关系限制两根均为正实数即可.【详解】方程有两个不相等正实根,则,解得.选.【点睛】在的情况下,一元二次方程的根与系数的关系,本题即利用了两根之和两根之积均为正来限制正实根这个条件.4.中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何,其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的,已知第一天织5尺,经过一个月(30天)后,共织布九匹三丈,问每天多织布多少尺?(注:1匹=4丈,1丈=10尺).A. B. C. D.【答案】C【解析】设每天多织布d尺,由题意得:,解得,每天多织布尺,故选C.5.关于的不等式的解集是空集,则实数的范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将时的结果代入不等式检验是否有解,再将时不等式的解集为空集转化函数的图象始终在轴下方,利用二次函数知识求解.【详解】①当,解得或,当时,不等式的解集为,不符合题意;当时,代入不等式得不成立,故符合题意.②当时,令,解集为空集,则有解得.由①②可得,选.【点睛】一元二次式的二次项系数含有参数时,要讨论其系数为0的情况.这也是本题的易错点,很多考生忽略而导致解题失误.6.若且则关于的不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可变成,变为,利用一元二次不等式解法可求得结果.【详解】,则,因为,则,的解集为,选.【点睛】解一元二次不等式要注意不等式中二次项系数的符号.7.已知各项为正的等比数列中,与的一个等比中项为,则的最小值为()A. 1B. 4C.D. 8【答案】D【解析】【分析】利用等比中项的性质得到,再利用均值不等式求最值.【详解】由题意可得等比数列中,则有.数列各项均为正,则.选.【点睛】等比数列中等比中项的性质:等比数列中,,若,则.8.若关于的不等式的解集为,则实数()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先去绝对值,再对分类讨论求不等式解集与已知对照求.【详解】则,,若,则,则,解得(舍)若,不等式恒成立.(舍)若,则,则,则,选.【点睛】解题中注意对分类讨论.9.已知数列为等差数列,若,且它们的前n项和有最大值,则使得的n的最大值为A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】A【解析】由题意可得,又由有最大值,可知等差数列{a n}的,所以,所以,即S n>0的n的最大值为19.选B.10.设是等差数列,下列结论中正确的是()A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】B【解析】选项中,,分别取即可得错误;假设,则,公差,,即正确;C选项中,,分别取即可得C错误;项中无法判断公差的正负,故无法判断正负,即错误,故选B.11.已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过换元令,函数可变为将恒成立可转化为在上恒成立.即,大于0恒成立,通过对与区间之间的关系讨论得出结果.【详解】函数,令,函数可变为,当时,.故恒成立可转化为在上恒成立.令,①当即时,函数在上单调递增,则当时,解得,又有,所以.②当即时,在上单调递减,在上单调递增,当时,解得,又,则.③当即时,函数在上单调递减,则当时,解得,又有,无解.综上可得.选.【点睛】通过换元法将带根号的式子转化为二次式求解是本题的基本思路.二次式中涉及到有限制条件的恒成立问题,要注意对称轴与限制区间之间的关系,对参数进行分类讨论.12.定义函数如下表,数列满足,. 若,则()A. 7042B. 7058C. 7063D. 7262【答案】C【解析】分析:利用题设条件,结合函数定义能够推导出数列是周期为6的周期数列,由此能求出数列的前2018项的和.详解:由题设知,,,,,,∵,,,∴,,,,,,……,∴是周期为6的周期数列,∵,∴,故选C.点睛:本题考查函数的定义和数列的性质的应用,解题的关键是推导出数列是周期为6的周期数列.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数的最小值为__________.【答案】5【解析】,,当且仅当时取等号,故答案为. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).14.已知正实数满足,则的最小值为__________.【答案】16【解析】分析:利用基本不等式将和为定值转化为积的最值,即可得出结果详解:∵正数满足,∴,可化为,当且仅当,时取等号,故的最小值为16,故答案为16.点睛:本题考查了基本不等式的性质,以及运算能力,属于基础题.15.已知是数列的前项和,若,,.则__________.【答案】【解析】【分析】根据递推得到,判断数列是等比数列,由等比数列中公式求解即可.【详解】,则,所以,,.当时,,,.所以从第二项起,数列是公比为的等比数列,.【点睛】由求通项公式一定要注意检验的情况,本题中很容易错解认为数列是等比数列.16.将等差数列1,4,7……,按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵中第20行从左至右的第3个数是_______【答案】577【解析】【分析】由等差数列的特征得到等差数列的通项公式,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.【详解】由题意可得等差数列的通项公式为,由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为:,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项,中.【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)解下列关于的不等式:(1);(2).【答案】(I)(II)当时,不等式的解集为{0},当时,不等式的解集为,,当时,不等式的解集【解析】试题分析:(1)化为,等价不等式求解即可;(2)分三种情况讨论,分别求解一元二次不等式即可.试题解析:(I)将原不等式化为,即所以原不等式的解集 .(II)当时,不等式的解集为{0};当时,原不等式等价于,因此当时,,当时,,综上所述,当时,不等式的解集为{0},当时,不等式的解集为,,当时,不等式的解集18.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,.(1)若,求的通项公式;(2)若,求.【答案】(1);(2)21或.【解析】【详解】试题分析:(1)设等差数列公差为,等比数列公比为,由已知条件求出,再写出通项公式;(2)由,求出的值,再求出的值,求出。
东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内2.直线在平面外是指()A.直线与平面没有公共点B.直线与平面相交C.直线与平面平行D.直线与平面最多只有一个公共点3.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)﹣g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2﹣3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为()A.(﹣,﹣2] B.[﹣1,0] C.(﹣∞,﹣2] D.(﹣,+∞)4.如图,三行三列的方阵中有9个数a ij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.B.C.D.5.已知实数a,b,c满足不等式0<a<b<c<1,且M=2a,N=5﹣b,P=()c,则M、N、P的大小关系为()A.M>N>P B.P<M<N C.N>P>M6.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为()A.B.C.D.7.“x≠0”是“x>0”是的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若﹣+1=0,则角B的度数是()A.60°B.120°C.150°D.60°或120°9.设x,y∈R,且满足,则x+y=()A.1 B.2 C.3 D.410.函数y=﹣lnx(1≤x≤e2)的值域是()A.[0,2] B.[﹣2,0] C.[﹣,0] D.[0,]11.已知命题p:“∀∈[1,e],a>lnx”,命题q:“∃x∈R,x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.(1,4] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(4,+∞)12.已知向量=(1,2),=(m,1),如果向量与平行,则m的值为()A.B. C.2 D.﹣2二、填空题13.如图所示是y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题:①f(x)在(﹣3,1)上是增函数;②x=﹣1是f(x)的极小值点;③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数;④x=2是f(x)的极小值点.其中真命题为(填写所有真命题的序号).14.已知函数f(x)=x2+x﹣b+(a,b为正实数)只有一个零点,则+的最小值为.15.已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切,则m= .16.设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lgx n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为 .17.已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.18.已知平面向量a ,b 的夹角为3π,6=-b a ,向量c a -,c b -的夹角为23π,23c a -=,则a与c的夹角为__________,a c ⋅的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.三、解答题19.已知函数f (x )=lnx+ax 2+b (a ,b ∈R ).(Ⅰ)若曲线y=f (x )在x=1处的切线为y=﹣1,求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)求证:对任意给定的正数m ,总存在实数a ,使函数f (x )在区间(m ,+∞)上不单调;(Ⅲ)若点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 2>x 1>0)是曲线f (x )上的两点,试探究:当a <0时,是否存在实数x 0∈(x 1,x 2),使直线AB 的斜率等于f'(x 0)?若存在,给予证明;若不存在,说明理由.20.(本小题满分12分)若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=,且()01f =.(1)求()f x 的解析式; (2)若在区间[]1,1-上,不等式()2f x x m >+恒成立,求实数m 的取值范围.21.已知函数()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈. (1)令()()()1g x f x ax =--,讨论()g x 的单调区间;(2)若2a =-,正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=,证明12x x +≥.22.已知等比数列{a n }中,a 1=,公比q=.(Ⅰ)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =(Ⅱ)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.23.【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数,其中实数为常数,为自然对数的底数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,解关于的不等式;(3)当时,如果函数不存在极值点,求的取值范围.24.某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如图(注:图中幸福指数低于70,说明孩子幸福感弱;幸福指 数不低于70,说明孩子幸福感强).(1)根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表,并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计1111](2)从5人中随机抽取2人进行家访, 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表:20()P K k ≥ 0.050 0.010 0k3.8416.635东区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1.【答案】D【解析】解:对A,当三点共线时,平面不确定,故A错误;对B,当两条直线是异面直线时,不能确定一个平面;故B错误;对C,∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,∴当三条直线两两相交且共点时,不一定在同一个平面,如墙角的三条棱;故C错误;对D,由C可知D正确.故选:D.2.【答案】D【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交,∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点.故选D.3.【答案】A【解析】解:∵f(x)=x2﹣3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣5x+4﹣m在[0,3]上有两个不同的零点,故有,即,解得﹣<m≤﹣2,故选A.【点评】本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基础题.4.【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题;概率与统计.【分析】利用间接法,先求从9个数中任取3个数的取法,再求三个数分别位于三行或三列的情况,即可求得结论.【解答】解:从9个数中任取3个数共有C93=84种取法,三个数分别位于三行或三列的情况有6种;∴所求的概率为=故选D.【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用,考查概率的计算公式,直接解法较复杂,采用间接解法比较简单.5.【答案】A【解析】解:∵0<a<b<c<1,∴1<2a<2,<5﹣b<1,<()c<1,5﹣b=()b>()c>()c,即M>N>P,故选:A【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键.6.【答案】D【解析】解:双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x联立方程组,解得A(,),B(,﹣),设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点,∴F(C,0)∵△ABF为钝角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA∴c﹣<,b<a,c2﹣a2<a2∴c2<2a2,e2<2,e<又∵e>1∴离心率的取值范围是1<e<故选D【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含a,c的齐次式,再解不等式.7.【答案】B【解析】解:当x=﹣1时,满足x≠0,但x>0不成立.当x>0时,一定有x≠0成立,∴“x≠0”是“x>0”是的必要不充分条件.故选:B.8.【答案】A【解析】解:根据正弦定理有:=,代入已知等式得:﹣+1=0,即﹣1=,整理得:2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C),又∵A+B+C=180°,∴sin(B+C)=sinA,可得2sinAcosB=sinA,∵sinA≠0,∴2cosB=1,即cosB=,则B=60°.故选:A.【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.9.【答案】D【解析】解:∵(x﹣2)3+2x+sin(x﹣2)=2,∴(x﹣2)3+2(x﹣2)+sin(x﹣2)=2﹣4=﹣2,∵(y﹣2)3+2y+sin(y﹣2)=6,∴(y﹣2)3+2(y﹣2)+sin(y﹣2)=6﹣4=2,设f(t)=t3+2t+sint,则f(t)为奇函数,且f'(t)=3t2+2+cost>0,即函数f(t)单调递增.由题意可知f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2,即f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0,即f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y),∵函数f(t)单调递增∴x﹣2=2﹣y,即x+y=4,故选:D.【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件构造函数f(t)是解决本题的关键,综合考查了函数的性质.10.【答案】B【解析】解:∵函数y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故函数y=﹣lnx在(0,+∞)上为减函数,当1≤x≤e2时,若x=1,函数取最大值0,x=e2,函数取最小值﹣2,故函数y=﹣lnx(1≤x≤e2)的值域是[﹣2,0],故选:B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值,熟练掌握对数函数的图象和性质,是解答的关键.11.【答案】A【解析】解:若命题p:“∀∈[1,e],a>lnx,为真命题,则a>lne=1,若命题q:“∃x∈R,x2﹣4x+a=0”为真命题,则△=16﹣4a≥0,解得a≤4,若命题“p∧q”为真命题,则p,q都是真命题,则,解得:1<a≤4.故实数a的取值范围为(1,4].故选:A.【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出命题p,q的等价条件是解决本题的关键.12.【答案】B【解析】解:向量,向量与平行,可得2m=﹣1.解得m=﹣.故选:B.二、填空题13.【答案】①【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增,∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确,x=3是f(x)的极小值点,②④不正确;③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确,故答案为:①.14.【答案】9+4.【解析】解:∵函数f(x)=x2+x﹣b+只有一个零点,∴△=a﹣4(﹣b+)=0,∴a+4b=1,∵a,b为正实数,∴+=(+)(a+4b)=9++≥9+2=9+4当且仅当=,即a=b时取等号,∴+的最小值为:9+4故答案为:9+4【点评】本题考查基本不等式,得出a+4b=1是解决问题的关键,属基础题.15.【答案】8或﹣18【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径,先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径,在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径,求得答案.【解答】解:整理圆的方程为(x﹣1)2++y2=1故圆的圆心为(1,0),半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1,求得m=8或﹣18故答案为:8或﹣18 16.【答案】 ﹣2 .【解析】解:∵曲线y=x n+1(n ∈N *),∴y ′=(n+1)x n,∴f ′(1)=n+1,∴曲线y=xn+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为y ﹣1=(n+1)(x ﹣1),该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =,∵a n =lgx n ,∴a n =lgn ﹣lg (n+1), ∴a 1+a 2+…+a 99=(lg1﹣lg2)+(lg2﹣lg3)+(lg3﹣lg4)+(lg4﹣lg5)+(lg5﹣lg6)+…+(lg99﹣lg100) =lg1﹣lg100=﹣2.故答案为:﹣2.17.【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】试题分析:由题意得,令1t x =-,则1x t =+,则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+,所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+.考点:函数的解析式.18.【答案】6π,18+ 【解析】三、解答题19.【答案】【解析】解:(Ⅰ)由已知得解得…此时,(x>0).(Ⅱ)(x>0).(1)当a≥0时,f'(x)>0恒成立,此时,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,舍去.…(2)当a<0时,令f'(x)=0,得,f(x),f'(x)的变化情况如下表:)所以函数f(x)的增区间为(0,),减区间为(,+∞).…要使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调,须且只须>m,即.所以对任意给定的正数m ,只须取满足的实数a ,就能使得函数f (x )在区间(m ,+∞)上不单调.…(Ⅲ)存在实数x 0∈(x 1,x 2),使直线AB 的斜率等于f'(x 0).…证明如下:令g (x )=lnx ﹣x+1(x >0),则,易得g (x )在x=1处取到最大值,且最大值g (1)=0,即g (x )≤0,从而得lnx ≤x ﹣1. (*)…由,得.…令,,则p (x ),q (x )在区间[x 1,x 2]上单调递增.且,,结合(*)式可得,,.令h (x )=p (x )+q (x ),由以上证明可得,h (x )在区间[x 1,x 2]上单调递增,且h (x 1)<0,h (x 2)>0,… 所以函数h (x )在区间(x 1,x 2)上存在唯一的零点x 0,即成立,从而命题成立.…(注:在(Ⅰ)中,未计算b 的值不扣分.)【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.20.【答案】(1)()2=+1f x x x -;(2)1m <-. 【解析】试题分析:(1)根据二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()+12f x f x x -=,利用多项式相等,即可求解,a b 的值,得到函数的解析式;(2)由[]()1,1,x f x m ∈->恒成立,转化为231m x x <-+,设()2g 31x x x =-+,只需()min m g x <,即可而求解实数m 的取值范围.试题解析:(1) ()()20f x ax bx c a =++≠ 满足()01,1f c ==()()()()2212,112f x f x x a x b x ax bx x +-=+++--=,解得1,1a b ==-,故()2=+1f x x x -.考点:函数的解析式;函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题,其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,推理与运算能力,以及转化与化归思想,试题有一定的难度,属于中档试题,其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.21.【答案】(1)当0a ≤时,函数单调递增区间为()0,+∞,无递减区间,当0a >时,函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)证明见解析. 【解析】试题解析:(2)当2a =-时,()2ln ,0f x x x x x =++>,由()()12120f x f x x x ++=可得22121122ln 0x x x x x x ++++=, 即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-,令()12,ln t x x t t t ϕ==-,则()111t t t tϕ-'=-=,则()t ϕ在区间()0,1上单调递减,在区间()1,+∞上单调递增,所以()()11t ϕϕ≥=,所以()()212121x x x x +++≥,又120x x +>,故12x x +≥, 由120,0x x >>可知120x x +>.1考点:函数导数与不等式.【方法点晴】解答此类求单调区间问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化:(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.【答案】【解析】证明:(I )∵数列{a n }为等比数列,a 1=,q=∴a n =×=,S n =又∵==S n∴S n =(II )∵a n =∴b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =﹣log 33+(﹣2log 33)+…+(﹣nlog 33)=﹣(1+2+…+n )=﹣∴数列{b n }的通项公式为:b n =﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质.23.【答案】(1)单调递增区间为 ;单调递减区间为.(2)(3)【解析】试题分析:把代入由于对数的真数为正数,函数定义域为,所以函数化为,求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入,,分和两种情况解不等式;当时,,求导,函数不存在极值点,只需恒成立,根据这个要求得出的范围.试题解析:(2)时,.当时,原不等式可化为.记,则,当时,,所以在单调递增,又,故不等式解为;当时,原不等式可化为,显然不成立,综上,原不等式的解集为.24.【答案】(1)有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关;(2)3 5 .【解析】∴240(67918)4 3.84115252416K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯. ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关.(2)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人,记作:1a ,2a ;幸福感强的孩子3人,记作:1b ,2b ,3b .“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ,11(,)a b ,12(,)a b ,13(,)a b ,21(,)a b ,22(,)a b ,23(,)a b ,12(,)b b ,13(,)b b ,23(,)b b 共10个.事件A :“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ,12(,)a b ,13(,)a b ,21(,)a b ,22(,)a b ,23(,)a b 共6个. 故63()105P A ==. 考点:1、 茎叶图及独立性检验的应用;2、古典概型概率公式.。
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2018-2019学年度第一学期阶段检测高二数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若数列的前项分别是,则此数列的一个通项公式为()A. B. C. D.【答案】A【解析】数列的前4 项分别是,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于,故此数列的一个通项公式为故选A2.已知实数,且,,那么下列不等式一定正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐一检验即可.【详解】选项中若时,不等式不成立.错.选项中满足条件时,不等式成立,题设,故错误.中若时结论不成立,故错误.中由同向不等式的可加性可得,则成立,选.【点睛】判断一个结论不成立,只需要一个反例即可,判断一个结论成立必须要有严格的逻辑推理.3.关于的方程有两个不相等的正实根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由判别式判断方程有两个不相等的实数根,再由根与系数的关系限制两根均为正实数即可.【详解】方程有两个不相等正实根,则,解得.选.【点睛】在的情况下,一元二次方程的根与系数的关系,本题即利用了两根之和两根之积均为正来限制正实根这个条件.4.中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”:今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何,其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的,已知第一天织5尺,经过一个月(30天)后,共织布九匹三丈,问每天多织布多少尺?(注:1匹=4丈,1丈=10尺).A. B. C. D.【答案】C【解析】设每天多织布d尺,由题意得:,解得,每天多织布尺,故选C.5.关于的不等式的解集是空集,则实数的范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将时的结果代入不等式检验是否有解,再将时不等式的解集为空集转化函数的图象始终在轴下方,利用二次函数知识求解.【详解】①当,解得或,当时,不等式的解集为,不符合题意;当时,代入不等式得不成立,故符合题意.②当时,令,解集为空集,则有解得.由①②可得,选.【点睛】一元二次式的二次项系数含有参数时,要讨论其系数为0的情况.这也是本题的易错点,很多考生忽略而导致解题失误.6.若且则关于的不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可变成,变为,利用一元二次不等式解法可求得结果. 【详解】,则,因为,则,的解集为,选.【点睛】解一元二次不等式要注意不等式中二次项系数的符号.7.已知各项为正的等比数列中,与的一个等比中项为,则的最小值为()A. 1B. 4C.D. 8【答案】D【解析】【分析】利用等比中项的性质得到,再利用均值不等式求最值.【详解】由题意可得等比数列中,则有.数列各项均为正,则.选.【点睛】等比数列中等比中项的性质:等比数列中,,若,则.8.若关于的不等式的解集为,则实数()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先去绝对值,再对分类讨论求不等式解集与已知对照求.【详解】则,,若,则,则,解得(舍)若,不等式恒成立.(舍)若,则,则,则,选.【点睛】解题中注意对分类讨论.9.已知数列为等差数列,若,且它们的前n项和有最大值,则使得的n的最大值为A. 19B. 20C. 21D. 22【答案】A【解析】由题意可得,又由有最大值,可知等差数列{a n}的,所以,所以,即S n>0的n的最大值为19.选B.10.设是等差数列,下列结论中正确的是()A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】B【解析】选项中,,分别取即可得错误;假设,则,公差,,即正确;C选项中,,分别取即可得C错误;项中无法判断公差的正负,故无法判断正负,即错误,故选B.11.已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过换元令,函数可变为将恒成立可转化为在上恒成立.即,大于0恒成立,通过对与区间之间的关系讨论得出结果.【详解】函数,令,函数可变为,当时,.故恒成立可转化为在上恒成立.令,①当即时,函数在上单调递增,则当时,解得,又有,所以.②当即时,在上单调递减,在上单调递增,当时,解得,又,则.③当即时,函数在上单调递减,则当时,解得,又有,无解.综上可得.选.【点睛】通过换元法将带根号的式子转化为二次式求解是本题的基本思路.二次式中涉及到有限制条件的恒成立问题,要注意对称轴与限制区间之间的关系,对参数进行分类讨论.12.定义函数如下表,数列满足,. 若,则()A. 7042B. 7058C. 7063D. 7262【答案】C【解析】分析:利用题设条件,结合函数定义能够推导出数列是周期为6的周期数列,由此能求出数列的前2018项的和.详解:由题设知,,,,,,∵,,,∴,,,,,,……,∴是周期为6的周期数列,∵,∴,故选C.点睛:本题考查函数的定义和数列的性质的应用,解题的关键是推导出数列是周期为6的周期数列.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数的最小值为__________.【答案】5【解析】,,当且仅当时取等号,故答案为. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).14.已知正实数满足,则的最小值为__________.【答案】16【解析】分析:利用基本不等式将和为定值转化为积的最值,即可得出结果详解:∵正数满足,∴,可化为,当且仅当,时取等号,故的最小值为16,故答案为16.点睛:本题考查了基本不等式的性质,以及运算能力,属于基础题.15.已知是数列的前项和,若,,.则__________.【答案】【解析】【分析】根据递推得到,判断数列是等比数列,由等比数列中公式求解即可.【详解】,则,所以,,.当时,,,.所以从第二项起,数列是公比为的等比数列,.【点睛】由求通项公式一定要注意检验的情况,本题中很容易错解认为数列是等比数列.16.将等差数列1,4,7……,按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则,数阵中第20行从左至右的第3个数是_______【答案】577【解析】【分析】由等差数列的特征得到等差数列的通项公式,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.【详解】由题意可得等差数列的通项公式为,由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为:,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项,中.【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)解下列关于的不等式:(1);(2).【答案】(I)(II)当时,不等式的解集为{0},当时,不等式的解集为,,当时,不等式的解集【解析】试题分析:(1)化为,等价不等式求解即可;(2)分三种情况讨论,分别求解一元二次不等式即可.试题解析:(I)将原不等式化为,即所以原不等式的解集 .(II)当时,不等式的解集为{0};当时,原不等式等价于,因此当时,,当时,,综上所述,当时,不等式的解集为{0},当时,不等式的解集为,,当时,不等式的解集18.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,.(1)若,求的通项公式;(2)若,求.【答案】(1);(2)21或.【解析】【详解】试题分析:(1)设等差数列公差为,等比数列公比为,由已知条件求出,再写出通项公式;(2)由,求出的值,再求出的值,求出。
试题解析:设等差数列公差为,等比数列公比为有,即.(1)∵,结合得,∴.(2)∵,解得或3,当时,,此时;当时,,此时.19.(本小题满分12分)已知数列的前项和为.其中,,且时,有成立.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是首项与公比均为2的等比数列,求数列的前项和为.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据递推公式得出,验证,得到数列是等差数列,利用公式求通项公式. (2)由题意直接得到,将变为,通过分组利用等比数列求和公式以及裂项相消法求和.【详解】解:(1)由递推得,则,所以,①又时,,即.又,,则满足①,则,则数列是等差数列,公差.所以数列的通项公式为.(2)令,数列是首项与公比均为2的等比数列,则,又,数列的前项和为:.【点睛】(1)通过递推得到,这里是很多考生容易忽略导致丢分的地方;(2)中求和时成功裂项是本题解题的关键地方.20.(本小题满分12分)已知数列中,,. 且对,有.设,求证:数列为等比数列,并求的通项公式;求数列的前项和.【答案】证明见解析;,.【解析】【分析】由递推关系直接推导,即可得证数列为等比数列;再根据等比数列公式求的通项公式.由可知数列的奇数项和偶数项分别为等比数列,则可以通过分组求和求.【详解】证明:,则,,则,,,数列为公比为的等比数列.,则.由题意可知,【点睛】证明数列是等差或者等比数列,通常都是通过递推式子先将数列的第项和第项表示出来后再找其相互之间的关系.本题解题中要注意数列是一个分段数列,求和时注意分组求和.21.(本小题满分12分)一个生产公司投资A生产线万元,每万元可创造利润万元.该公司通过引进先进技术,在生产线A投资减少了万元,且每万元的利润提高了;若将少用的万元全部投入B生产线,每万元创造的利润为万元,其中.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求的取值范围;(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润,求的最大值.【答案】(1)(2)5.5【解析】【分析】(1)分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可.(2)中不高于可转化为式子之间的恒成立问题,通过参变分离求最值从而得参数范围.【详解】(1)由题意得:,整理得:故.(2)由题意知,生产线的利润为万元,技术改进后,生产生的利润为万元,则恒成立,,且,.又,当且仅当时等号成立,,的最大值为5.5.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题,第二问实际问题中的不高于转化为恒成立问题是本题解题的关键步骤,利用基本不等式求最值要注意变量的取值范围.22.(本小题满分12分)设公差不为的等差数列的首项为,且构成等比数列.(1)求数列的通项公式,并求数列的前项和为;(2)令,若对恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用等差数列的首项和公差,代入,求出,进而求出;可看成是一个等差数列和一个等比数列的乘积,故可用错位相减法求和.(2)通过分奇偶讨论求出,再利用参变分离求的范围.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为,首项,由题意,则,解得.则.①,②,①-②得,.(2),当为奇数时,,当为偶数时,,综上所述,【点睛】错位相减法是求数列前项和的一种基本方法,解题过程计算比较繁琐,特别要注意解题中符号的变化以及相减后消去哪些项,保留哪些项.处理数列与不等式相结合的恒成立问题,其方法与函数中恒成立问题相同,但是一定要注意数列中变量的取值的特殊性.。