历年高考真题分类汇编指数、对数、幂函数

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专题5—指数函数、对数函数-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题5—指数函数、对数函数考试说明：1、了解指数函数模型的实际背景；2、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图像通过特殊点；3、理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；4、理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。

5、知道指数函数、对数函数是一类重要的函数模型。

高频考点：1、指数幂、对数式的化简与求值；2、指数函数、对数函数的图像与性质的应用；3、指数函数、对数函数的综合应用问题。

指数函数、对数函数是非常重要的基本函数，是高考中的高频考点，在选择题、填空题中考查其基本性质，在大题中，与导数结合的解答题年年必考。

一、典例分析1．（2019•新课标Ⅰ）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c <，0.300.21<<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．解答：解：22log 0.2log 10a =<=， 0.20221b =>=，0.3000.20.21<<=，0.30.2(0,1)c ∴=∈，a cb ∴<<，故选：B ．点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 2．（2013•重庆）函数的定义域为( ) A ． B ．C ．(2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：23x <<，或3x >所以原函数的定义域为(2，3)(3⋃，)+∞．故选：C ．点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．3．（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110-分析：把已知熟记代入121252Em m lg E -=，化简后利用对数的运算性质求解．解答：解：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.45m =-，由题意可得：1251.45(26.7)2Elg E ---=，1250.510.15E lgE ==，则10.11210E E =．故选：A ．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．4．（2020•新课标Ⅲ）已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( )A ．a b c <，得到c b >，即可确定a ，b ，c 的大小关系．解答：解：由58335844log log =，345553log log >，而348885log log < 58log 3log 5∴<，即a b <；5458<，554log 8∴<，5log 8 1.25∴>，8log 50.8b ∴=<； 45138<，1345log 8∴<，13log 80.8c ∴=>，c b ∴>，综上，c b a >>．故选：A ．点评：本题考查了三个数大小的判断，指数对的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．5．（2016•新课标Ⅰ）若0a b >>，01c <<，则( ) A ．log log a b c c 分析：根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解答：解：0a b >>，01c <<， log log c c a b ∴<，故B 正确；当1a b >>时，，故A 错误； c c a b >，故C 错误； a b c c <，故D 错误；故选：B ．点评：本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．6．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数10lgx y =的定义域和值域相同的是( ) A ．y x =B ．y lgx =C ．2x y =D ．y=分析：分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．解答：解：函数10lgx y =的定义域和值域均为(0,)+∞，函数y x =的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y lgx =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，不满足要求；函数2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，不满足要求；函数y=(0,)+∞，满足要求；故选：D ．点评：本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．7．（2014•山东）已知函数log ()(a y x c a =+，c 为常数，其中0a >，1)a ≠的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：函数单调递减，01a ∴<<，当1x =时log ()log (1)0a a x c c +=+<，即11c +>，即0c >，当0x =时log ()log 0a a x c c +=>，即1c <，即01c <<，故选：D ．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．8．（2012•新课标）已知函数1()(1)f x ln x x=+-，则的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．分析：考虑函数()f x 的分母的函数值恒小于零，即可排除A ，C ，由()f x 的定义域能排除D ，这一性质可利用导数加以证明解答：解：设()(1)g x ln x x =+- 则()1x g x x'=-+ 在上为增函数，在(0,)+∞上为减函数 ()(0)0g x g ∴<= 1()0()f xg x ∴=< 得：0x >或10x -<<均有()0f x <排除A ，C ，又1()(1)f x ln x x=+-中，，能排除D ．故选：B ．点评：本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题 9．（2020•新课标Ⅰ）若，则( ) A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <分析：先根据指数函数以及等式的性质得到；再借助于函数的单调性即可求解结论．解答：解：因为；因为即；令2()2log x f x x =+，由指对数函数的单调性可得()f x 在(0,)+∞内单调递增；且f （a ）(2)2f b a b <⇒<；故选：B ．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的应用，属于基础题．10．（2014•山东）已知实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是( ) A ．33x y >B ．sin sin x y >C ．22(1)(1)ln x ln y +>+D ．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，x y ∴>，A ．当x y >时，33x y >，恒成立，B ．当x π=，2y π=时，满足x y >，但sin sin x y >不成立．C ．若22(1)(1)ln x ln y +>+，则等价为22x y >成立，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立．D ．若，则等价为2211x y +<+，即22x y <，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y <不成立．故选：A ．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．二、真题集训1．（2020•新课标Ⅲ）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b <且1)a ≠的最大值与最小值之和为3，则22(a a -+= )A ．9B ．7C ．6D ．54．（2017•全国）设01a <<，则( )A ．2log a >B ．aC ．2log a <D ．log <5．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log ()(02a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是( ) A ．B ．C ．D ．6．（2019•新课标Ⅲ）函数在，6]的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．（2015•四川）某食品保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C)︒满足函数关系( 2.718kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在22C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是( ) A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时8．（2014•山东）已知实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是( ) A ．B ．22(1)(1)ln x ln y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >9．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3），则a = ． 10．（2013•北京）函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为．11．（2015•福建）若函数且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是． 12．（2014•重庆）函数22()log log (2)f x x x =的最小值为．13．（2012•上海）已知函数||()(x a f x e a -=为常数）．若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范围是．14．（2011•上海）已知函数，其中常数a ，b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若0a b ⋅<，求时的x的取值范围．真题集训答案1．解：32log 23alog log ===， 52log 33b log log ===，23c =， a c b ∴<<．故选：A ．2．解：0.20.3log 0.35lg a lg ==-，20.3log 0.32lg b lg ==， 50.30.30.30.3(52)2252525lg lglg lg lg lg lg a b lg lg lg lg lg lg -+=-==， 100.30.30.332525lg lg lg lg ab lg lg lg lg ⋅=-⋅=，，，0ab a b ∴<+<．故选：B ．3．解：函数且1)a ≠在[1-，1]上单调，当1x =-时，1y a -=；当1x =时，y a =．则13a a -+=，两边同时平方得：2229a a -++=，227a a -∴+=．故选：B ．4．解：01a <<，201a a ∴<<<，在A中，2log a =A 错误；在B中，，故B 正确；在C中，2log a >，故C 错误；在D中，log ，故D 错误．故选：B ． 5．解：由函数1x y a =，1log ()2a y x =+，当1a >时，可得1xy a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数1log ()2a y x =+，是递增函数，图象恒过1(2，0)；当10a >>时，可得1xy a =是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数1log ()2a y x =+，是递减函数，图象恒过1(2，0)；满足要求的图象为：D 故选：D ．6．解：由32()22x xx y f x -==+在，6]，知，()f x ∴是，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．7．解：( 2.718kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数）．当0x =时，192b e =，当22x =时2248k b e +=， 224811924k e ∴== 1112k e =192b e =当33x =时，3311331()()()192242k b k b e e e +==⨯=故选：C ．8．解：实数x ，y 满足(01)x y a a a <<<，x y ∴>，A ．取2x =，1y =-，不成立；B ．取0x =，1y =-，不成立C ．取x π=，y π=-，不成立；D ．由于3y x =在R 上单调递增，因此正确故选：D ．9．解：函数22()log ()f x x a =+，若f （3），可得：，可得7a =-．故答案为：7-．10．解：当1x 时，；当1x <时，10()222x f x <=<=．所以函数12,1()2,1x log x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为．故答案为．11．解：由于函数且1)a ≠的值域是[4，)+∞，故当2x 时，满足()64f x x =-．①若1a >，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 4a f x x =+，log 1a x ∴，log 21a ∴，12a ∴<． ②若01a <<，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递减， ()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[4，)+∞．综上可得，12a <，故答案为：(1，2]． 12．解：22()log log (2)fx x x=21()log(2)2f x x ∴=21log (2)4x x=14x x =+12)4x x =+211(1)44=+-，当10x +=即x =时，函数()f x 的最小值是14-．故答案为：14-13．解：因为函数||()(x a f x e a -=为常数）．若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数由复合函数的单调性知，必有在区间[1，)+∞上是增函数又在区间[a ，)+∞上是增函数所以[1，)[a +∞⊆，)+∞，故有1a 故答案为(-∞，1]14．（解：（1）①若0a >，0b >，则2x y a =⋅与3x y b =⋅均为增函数，所以在R 上为增函数； ②若0a <，0b <，则2x y a =⋅与3x y b =⋅均为减函数，所以在R 上为减函数．（2）①若0a >，0b <，由得112323x x x x a b a b ++⋅+⋅>⋅+⋅，化简得223x x a b ⋅>-⋅，即22()3x b a->，解得232log b x a -<； ②若0a <，0b >，由可得22()3x b a-<，解得232log b x a ->．。

2.1指数函数、对数函数和幂函数-高考数学历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)

第二章函数2.1 指数函数、对数函数和幂函数从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等.题型一.指对运算1．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）A．116B．19C．18D．162．（2021•天津）若2a＝5b＝10，则1a +1b=（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7103．（2009•辽宁）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=(12)x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+log23）＝（）A．124B．112C．18D．384．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（√1010≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=52，ab＝b a，则a＝，b＝．6．（2018•新课标Ⅰ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b题型二.指对函数的图像识别1．（2012•四川）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2014•山东）已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜13．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y=1a x，y＝log a（x+12）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．题型三.比较大小1．（2016•新课标Ⅰ）已知a=243，b=425，c=2513，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．（2018•天津）已知a＝log2e，b＝ln2，c=log1213，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b3．（2021•天津）设a ＝log 20.3，b =log 120.4，c ＝0.40.3，则三者大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b4．（2021•新高考Ⅰ）已知a ＝log 52，b ＝log 83，c =12，则下列判断正确的是（） A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c5．（2020•新课标Ⅰ）设a ＝log 32，b ＝log 53，c =23，则（） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（2020•天津）设a ＝30.7，b ＝（13）﹣0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b7．已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．（2016•新课标Ⅰ）若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c9．（2017•新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（） A ．2x ＜3y ＜5zB ．5z ＜2x ＜3yC ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z10．（2020•新课标Ⅰ）若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（） A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2题型四.复合函数的单调性与值域1．（2016•新课标Ⅰ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lgx 的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝xB ．y ＝lgxC ．y ＝2xD ．y =1√x2．（2015•山东）已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b ＝．3．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（） A ．f （x ）＝x 2B ．f （x ）＝sin xC ．f （x ）＝2xD ．f （x ）＝14．（2017•新课标Ⅰ）函数f （x ）＝ln （x 2﹣2x ﹣8）的单调递增区间是（） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（4，+∞）5．（2020•海南）已知函数f （x ）＝lg （x 2﹣4x ﹣5）在（a ，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（5，+∞）D ．[5，+∞）一．单选题（共6小题）1．设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则（） A ．ab ＞0且a +b ＞0 B ．ab ＜0且a +b ＞0 C ．ab ＞0且a +b ＜0D ．ab ＜0且a +b ＜02．已知a ＝log 710，b =log 2√103，c =√1335，则（）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c3．已知点(2，18)在幂函数f （x ）＝x n 的图象上，设a =f(√33)，b ＝f （ln π），c =f(√22)，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b4．若函数f （x ）＝a x ﹣2，g （x ）＝log a |x |（a ＞0，且a ≠1），且f （2）•g （2）＜0，则函数f （x ）、g （x ）在同一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．若函数f （x ）＝log a （8x ﹣ax 2）在区间（14a2，a 2）上为减函数，则a 的取值范围是（） A ．（√22，1） B ．（√32，1） C ．（1，√43]D ．（1，2]6．射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116二．多选题（共4小题） 7．已知函数f(x)=2x +12x ，则（）A ．f(log 23)=43B ．f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增C ．f （x ）为偶函数D ．f （x ）的最小值为28．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则下列选项错误的是（）A ．3x ＞3yB ．(12)x ＜(12)y C ．3x ﹣y ＞1D ．(12)x−y ＞19．已知函数f （x ）＝|3x ﹣1|，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （c ）＞f （b ），则（） A ．a ＜0，c ＜0B ．a ＜0，c ＞0C ．b ＞0D ．3a +3c ＜210．已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0，a ≠1）的图象经过点（4，﹣2），若0＜x 1＜x 2，下列性质正确的有（）A ．f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）﹣f （x 1）B ．f （x 2x 1）＝f （x 2）+f （x 1）C ．f （x 1）＝f （x 2）D ．f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)。

2010-2019十年高考数学(文)真题专题2函数概念与基本初等函数第4讲指数函数对数函数幂函数分类

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲指数函数、对数函数、幂函数2019年1.（2019北京文7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）2．（2019全国Ⅰ文5）函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．3.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =，y=log a (x+)，(a>0且a ≠1)的图像可能是A. B.C. D.2010-2018年212152–lgE m m E k m k E 10.1102sin cos x x xx1xa12一、选择题1．(2018天津)已知13313711log ,(),log 245abc ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c B ．bacC ．c baD ．ca b2．(2018全国卷Ⅱ)函数2()xxee f x x的图像大致为3．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x 的图象关于直线1x 对称的是A ．ln(1)yx B ．ln(2)y x C ．ln(1)yx D ．ln(2)yx 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x xx ，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()yf x 的图像关于直线1x 对称D ．()y f x 的图像关于点(1,0)对称5．（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x xx 的单调递增区间是A ．(,2)B ．(,1)C ．(1,)D ．(4,)6．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5af ，2(log 4.1)bf ，0.8(2)cf ，则,,a b c 的大小关系为A ．a bcB ．ba c C ．cb a D ．c a b7．（2017北京）已知函数1()3()3xxf x ，则()f x A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是增函数8．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是A ．()2xf x B ．2()f x xC ．()3xf x D ．()cos f x x9．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈０．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．931010．（2017浙江）若函数2()f x xaxb 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关11．（2016年全国I 卷）若0ab，01c ，则A ．log log a b c cB ．log log c c a bC ．ccab D ．abcc12．（2016年全国I 卷）函数2||2x y xe 在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．13．（2016年全国II 卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy 的定义域和值域相同的是A ．y=xB ．y=lg xC ．y=2xD ．14．（2016全国III 卷）已知4213332,3,25a b c ，则A ．ba cB ．abcC ．b c aD ．c a b15．（2015山东）设0.61.50.60.6,0.6, 1.5abc ，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c B ．a c bC ．ba c D ．bc a16．（2015天津）已知定义在R 上的函数||()21x m f x (m 为实数)为偶函数，记0.5(log 3)a f ，2(log 5)b f ，(2)cf m ，则,,a b c ,的大小关系为A ．a b c B ．c a b C ．a cb D ．c ba17．（2015陕西）设()ln f x x ，0a b ，若()p f ab ，()2a b q，1(()())2rf a f b ，则下列关系式中正确的是A ．q r p B ．q r pC ．p r qD ．p r q18．（2015新课标1）设函数()yf x 的图像与2x ay的图像关于直线yx 对称，且(2)(4)1f f ，则aA ．1B ．1C ．2D ．419．（2014山东）已知函数log ()a yxc （,a c 为常数，其中0,1aa）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a cB ．1,01a cC ．01,1a c D ．01,01ac20．（2014安徽）设3log 7a ， 1.12b， 3.10.8c ，则A ．c a bB ．ba cC ．ab c D ．bc a 1yx21．（2014浙江）在同一直角坐标系中，函数的图像可能是A ．B ．C ．D ．22．（2014天津）函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间是A ．()0,+￥B ．(),0-￥C ．()2,+￥D ．(),2-?23．（2013新课标）设，则A ．B ．C ．D ．24．（2013陕西）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A ．B ．C ．()log og g l lo a a a b cbc D ．25．（2013浙江）已知为正实数，则A ．B ．C ．D ．26．（2013天津）已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间单调递增．若实数a 满足，则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．27．（2012安徽）23(log 9)(log 4)=A ．14B ．12C ．2D ．428．（2012新课标）当102x ≤时，4log xa x ，则a 的取值范围是x x g xx x f a alog )(),0()(xy 1xy1xy xy1O O O O 1-11-111-11-1357log 6,log 10,log 14a bccb a bc aa c bab c·log log log a c c b ab ·log lo log g a a a b a b ()log g og o l l a a a bbcc y x,yxyx lg lg lg lg 222lg()lg lg 222x y xyyx y x lg lg lg lg 222lg()lg lg 222xy xy()f x [0,)212(log )(log )2(1)f a f f a [1,2]10,21,22(0,2]A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)29．（2012天津）已知122a ，0.212b，52log 2c，则,,a b c 的大小关系为A ．c<b<aB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a30．（2011北京）如果,0log log 2121yx那么A ．1y xB ．1x yC ．1x y D ．1y x31．（2011安徽）若点(,)a b 在lg yx 图像上，a,则下列点也在此图像上的是A ．（a ，b ）B ．（10a ，1b ）C ．（a，b +1）D ．（a 2，2b ）32．（2011辽宁）设函数122,1()1log ,1xx f x x x，则满足2)(x f 的x 的取值范围是A ．1[，2]B ．[0，2]C ．[1，+）D ．[0，+）33．（2010山东）函数22xy x 的图像大致是34．（2010天津）设5554log 4log 3log ab c 2，（），，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c35．（2010浙江）已知函数1()log (1),f x x 若()1,f = A ．0B ．1C ．2D ．336．（2010辽宁）设25abm ，且112ab，则mA ．10B ．10C ．20D ．10037．（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的0x ，0y ，函数()f x 满足()()()f x y f x f y ”的是A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数38．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc 的取值范围是A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)39．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x,若()()f a f a ,则实数a 的取值范围是A ．（1，0）∪（0，1）B ．（∞，1）∪（1,+∞）C ．（1，0）∪（1,+∞）D ．（∞，1）∪（0,1）二、填空题40．(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()f x xa ，若(3)1f ，则a =________．41．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()ln(1)1f x x x ，()4f a ，则()f a ___．42．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22，若幂函数()f x x 为奇函数，且在0（，）上递减，则=_____43．(2018上海)已知常数0a，函数2()(2)xxf x ax 的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q ，，若236p qpq ，则a =__________．44．（2017江苏）已知函数31()2xx f x xx ee，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f af a ≤，则实数a 的取值范围是．45．（2015江苏）不等式224xx的解集为________．46．（2015浙江）计算：22log 2，24log 3log 32．47．（2015北京）32，123，2log 5三个数中最大数的是．48．（2015安徽）151lg2lg 2()22=．49．（2015天津）已知0a，0b，8ab ，则当a 的值为时，22log log 2a b取得最大值．50．（2015福建）若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_______．51．（2014新课标）设函数113,1,,1,x ex f xx x 则使得2f x 成立的x 的取值范围是__．52．（2014天津）函数2()lg f x x 的单调递减区间是________．53．（2014重庆）函数22()log log (2)f x x x 的最小值为_________．54．（2013四川）lg5lg20的值是____________．55．（2012北京）已知函数()lg f x x ，若()1f ab ，则22()()f a f b .56．（2012山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝＿＿＿＿．57．（2011天津）已知22log log 1a b，则39ab的最小值为__________．58．（2011江苏）函数)12(log )(5x x f 的单调增区间是__________．()2()x af x aR (1)(1)f x f x ()f x [,)m m ()(0,1)xf x a a a()(14)g x m x [0,)专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019年1.解析由题意知，lg2E m m E 太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg10.1E E 太阳天狼星，所以10.110E E 太阳天狼星.故选 A.2.解析因为，，所以，所以为上的奇函数，因此排除A ；又，因此排除B ，C ；故选D ．3.解析：由函数，，单调性相反，且函数图像恒过可各满足要求的图象为 D.故选D ．2010-2018年1．D 【解析】1331log log 55c，因为3log y x 为增函数，所以3337log 5log log 312．因为函数1()4xy为减函数，所以10311()()144，故c a b ，故选D ．2sin cos x x f xx xπ[]πx ，22sin sin cos cos xx x x fxf x xxxxfx [ππ]，22sin ππππ0cos ππ1πf1xya1log 2a y x1log 2a yx1,022．B 【解析】当0x 时，因为0xxee，所以此时2()0xxee f x x，故排除A ．D ；又1(1)2f ee，故排除C ，选B ．3．B 【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x 的对称点的坐标为(2,)x y ，由对称性知点(2,)x y 在函数()ln f x x 的图象上，所以ln(2)y x ，故选B ．解法二由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ．4．C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x ，2x 知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x xf x ，所以()f x 的图象关于1x 对称，C 正确．5．D 【解析】由2280xx ，得2x或4x，设228u xx ，则(,2)x ，u 关于x 单调递减，(4,)x ，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u 单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)．选D ．6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221(log )(log 5)5af f ，又222log 5log 4.1log 42，0.8122，由题意，a b c ，选C ．7．B 【解析】由11()3()(3())()33xxxx f x f x ，得()f x 为奇函数，()(33)3ln 33ln 30xxx xf x ，所以()f x 在R 上是增函数．选B ．8．A 【解析】对于A,令()e 2xxg x ,11()e (22ln)e 2(1ln )022xxxx xg x ，则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ．9．D 【解析】设36180310M xN，两边取对数得，36136180803lg lglg3lg10361lg38093.2810x ，所以93.2810x，即M N最接近9310，选D ．10．B 【解析】函数()f x 的对称轴为2a x，①当02a≤，此时(1)1Mf a b ，(0)m f b ，1M m a ；②当12a≥，此时(0)M f b ，(1)1m f ab ，1Mma ；③当012a ，此时2()24a amf b，(0)M f b 或(1)1Mf ab ，24aM m或214aM m a．综上，M m 的值与a 有关，与b 无关．选B ．11．B 【解析】因为01c ，所以log c yx 在(0,)上单调递减，又0b a ，所以log log c c a b ，故选B ．12．D 【解析】∵2||2x yxe 是偶函数,设2||2x yxe ,则222(2)228f ee ,所以0(2)1f ，所以排除A ，B ；当02x 剟时，22xyxe ，所以4xyxe ，又()4xy e ，当0ln 4x 时，()0y ，当ln 42x 时，()0y ，所以4xy x e 在(0,ln 4)单调递增，在(ln 4,2)单调递减，所以4xyxe 在[0,2]有14(ln 41)y剟，所以4xyxe 在[0,2]存在零点，所以函数22xy xe 在[0,)单调递减，在(,2]单调递增，排除C ，故选D ．13．D 【解析】函数lg 10xy 的定义域为(0,)，又lg 10xy x ，所以函数的值域为(0,)，故选D ．14．A 【解析】因为422333243ab ，1223332554ca ，所以b ac ，故选A ．15．C 【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选C ．0.6xy(0,) 1.50.600.60.610.61.5116．B 【解析】由于()f x 为偶函数，所以0m ，即||()21x f x ，其图象过原点，且关于y 轴对称，在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增．又0.522(log 3)(log 3)(log 3)af f f ，2(log 5)bf ，(0)cf ．且220log 3log 5，所以ca b ．17．C 【解析】，；．因为，由是个递增函数，，所以．18．C 【解析】设(,)x y 是函数()yf x 的图像上任意一点，它关于直线y x 对称为（,y x ），由已知知（,y x ）在函数2x ay的图像上，∴2y ax，解得2log ()yx a ，即2()log ()f x x a ，∴22(2)(4)log 2log 41f f aa，解得2a，故选C ．19．D 【解析】由图象可知01a ，当0x时，log ()log 0a a x c c，得01c ．20．B 【解析】∵32log 71a ， 1.122b， 3.10.81c ，所以b a c ．21．D 【解析】当1a 时，函数()(0)af x x x 单调递增，函数()log a g x x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当01a 时，函数()(0)af x x x单调递增，函数()log a g x x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D ．22．D 【解析】240x ->，解得2x <-或2x >．由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为(),2-?.23．D 【解析】，由下图可知D 正确．1()ln ln 2p f ab abab ()ln 22a b a b q f 11(()())ln 22rf a f b ab 2a b ab ()ln f x x ()()2a b f f ab qp r 33log 61log 2,a5577log 101log 2,log 141log 2bc解法二，，由，可得答案D 正确．24．B 【解析】a ,b ,c ≠1. 考察对数2个公式：对选项A ：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B ：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C ：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D ：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B ．25．D 【解析】取特殊值即可，如取．26．C 【解析】因为函数是定义在R 上的偶函数，且，yx1cb a x=2O3321log 61log 21log 3a5521log 101log 21log 5b7721log 141log 21log 7c222log 3log 5log 7a b by x xy c c a a a a log log log ,log log log b a bab bc c a c c a log log log log log log ab bba b c c a c c a log log log log log log c b bc a a a log log log ）（c b c ba a a log log )log （lg lg lg lg 10,1,22,223,x yxyx y lg lg11lg lg 22,21x yx y()f x 122log log aa所以，即，因为函数在区间单调递增，所以，即，所以，解得，即a 的取值范围是，选C ．27．D 【解析】23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3．28．B 【解析】由指数函数与对数函数的图像知1211log 42aa ，解得212a ，故选 B.29．A 【解析】因为122.02.022)21(b，所以a b 1，14log 2log 2log 25255c ，所以a b c ，选 A.30．D 【解析】根据对数函数的性质得1xy ．31．D 【解析】当2xa 时，2lg 2lg 2ya ab ，所以点2(,2)a b 在函数lg yx 图象上．32．D 【解析】当1x ≤时122x≤，解得0x ≥，所以01x ≤≤；当1x 时，21log 2x ≤，解得12x ≥，所以1x ，综上可知0x ≥．33．A 【解析】因为当x=2或4时，2x2x =0，所以排除B 、C ；当x=2时，2x2x =14<04，故排除D ，所以选A ．34．D 【解析】因为50log 41，所以b <a <c ．35．B 【解析】+1=2，故=1，选B ．36．A 【解析】211log 2log 5log 102,10,m m m mab又0,10.m m 37．C 【解析】)()()(y x f a a a y f x f yx yx38．C 【解析】画出函数的图象，222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f 2(log )(1)f a f [0,)2(log )(1)f a f 2log 1a 21log 1a 122a1,22如图所示，不妨设a b c ，因为()()()f a f b f c ，所以1ab ，c 的取值范围是(10,12)，所以abc 的取值范围是(10,12)．39．C 【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论．211222<0()()log log log ()log ()aa f a f a a a a a 或001-10112aa a aaaa或或．40．7【解析】由(3)1f 得，22log (3)1a ，所以92a ，即7a．41．2【解析】由2()ln(1)14f a aa ，得2ln(1)3aa ，所以2221()ln(1)1ln(1ln(1)11f a a a a a aa312．42．1【解析】由题意()f x 为奇函数，所以只能取1,1,3，又()f x 在(0,)上递减，所以1．43．6a【解析】由题意2625ppap，2125qqaq，上面两式相加，得22122pqpqapaq，所以22p qa pq ，所以236a，因为0a ，所以6a ．44．1[1,]2【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递xyO1101231()2e()exxf xxf x x ()f x 22()32ee322e e0xxxxf 'xxx ()f x R增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．45．(1,2)-【解析】由题意得：2212x xx ，解集为(1,2)．46．【解析】122221log log 222；2424log 3log 3log 3log 32223333．47．2log 5【解析】∵3128，1233 1.732，而22log 4log 5，即2log 52，所以三个数中最大数是2log 5．48．1【解析】原式＝．49．4 【解析】22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a bab ab≤当2a b 时取等号，结合0a，0b ，8ab，可得4, 2.a b50．1【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．51．(,8]【解析】当1x时，由12x e≤得1ln 2x ≤，∴1x ；当1x ≥时，由132x ≤得8x ≤，∴18x ≤≤，综上8x ≤．52．(,0)-?【解析】22lg ,0()lg 2lg ||2lg(),0x x f x xx x x，易知单调递减区间是(,0)-?．53．14【解析】222221()log (22log )log log 2f x x x xx22111(log )244x≥．当且仅当21log 2x，即22x时等号成立．54．1【解析】lg 5lg 20lg101．55．2【解析】由()1f ab ，得10ab ，于是2222()()lg lg f a f b ab21)02()(f f a a 2())2(1a a f f 221aa 2120aa 112aa 1[1,]21,33212122lg 5lg 2lg 22lg 5lg (1)(1)f x f x ()f x 1x1a 1()2x f x ()f x [1,)1m m 12(lg lg )2lg()2lg102ab ab 56．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.57．18【解析】222log log log abab ，∵2ab ≥且0,0ab ，则39ab =22222223323323232318ababa bab≥≥≥．当且仅当2ab ，即2,1ab时等号成立，所以39ab的最小值为18．58．1(,)2【解析】由题意知，函数)12(log )(5xx f 的定义域为1{|}2x x，所以该函数的单调增区间是1(,)2．141a214,a am 12,2am ()g x x 01a 124,aam 11,416am。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数 Word版含解析

考点指数函数、对数函数、幂函数一、选择题.(·全国乙卷理科·)设为正数,且,则()<< <<<< <<【命题意图】主要考查指数与对数之间的相互转化,并结合实际问题考查比较大小的方法.【解析】选.令,分别可求得,分别对分母乘以可得,故而可得⇒>>⇒<<,故而选.【光速解题】选.取对数.>,所以>,则<,所以<,所以<<,故选..(·全国甲卷文科·)函数()()的单调递增区间是().(∞).(∞).(∞).(∞)【命题意图】对数的性质和函数的单调性,意在考查学生的转化与化归思想以及运算能力.【解析】选.函数有意义,则>,解得<或>,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(∞)..(·北京高考文科·)同(·北京高考理科·)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是(参考数据≈)()【命题意图】本题主要考查对数运算.意在培养学生数学建模能力,及计算能力.【解析】选.因为,因为≈,所以≈,所以..(·天津高考理科·)已知奇函数()在上是增函数()().若()()(),则的大小关系为()<< <<<< <<【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强.【解析】选.因为()是奇函数,且在上递增,所以>时()>,从而()()在上为偶函数,且在[∞)上是增函数()()<,又<<,所以<<,即<<<()<()<(),所以<<..(·天津高考文科·)已知奇函数()在上是增函数.若()()(),则的大小关系为()<< <<<< <<【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强.【解析】选.由题意()(),且>><<,。

指数函数和对数函数历年高考题汇编附答案

历届高考中的“指数函数和对数函数”试题汇编大全一、选择题：（2006年）2.（2006北京理）已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)74.（2006福建理）函数y=㏒21-x x(x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x(x <0)C.y =x x 212- (x >0)D. .y =xx 212- (x <0)6、（2006湖北文、理）设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4)8.（2006湖南理）函数y =( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)9．（2006辽宁文、理）与方程221(0)xx y ee x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（）Ａ．ln(1y =+ Ｂ．ln(1y =Ｃ．ln(1y =-+Ｄ．ln(1y =--10、（2006全国Ⅰ卷文、理）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>11.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知函数()ln 1(0)f x x x =+>，则()f x 的反函数为（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y e x +=> （D ）1(1)x y e x -=> 12.（2006全国Ⅱ卷理）函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为(A )f (x )＝1log 2x(x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0)(C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)13.（2006山东文、理）函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）14.（2006山东文、理）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）16. （2006陕西理）设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a ≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b 等于( )A.6B.5C.4D.3 19、（2006天津理）已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．),2[+∞ B ．)2,1()1,0( C ．)1,21[ D ．]21,0( 22.（2006浙江理）已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则 (A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜123、（2006广东）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-（2005年）1．(2005全国卷Ⅰ理、文)设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）A ．()0,∞-B ．()+∞,0C ．()3log ,a ∞-D ．()+∞,3log a2．(2005全国卷Ⅲ理、文)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c4．(2005天津理科)若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(5．(2005天津理科)设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 8．(2005上海理、文)若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值9．(2005湖南理、文)函数f (x )＝x21-的定义域是（）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞） 10．(2005春考北京理科)函数y=|log 2x|的图象是（）11．(2005福建理、文)函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（） A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a12．(2005辽宁卷)函数1ln(2++=x x y ）的反函数是（）A ．2x x e e y -+=B ．2xx e e y -+-=C ．2x x e e y --=D ．2xx e e y ---=13．(2005辽宁卷)若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(14．(2005江西理、文)已知实数a , b 满足等式,)31()21(ba=下列五个关系式①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =bA 1 x y OB 1 x y OC 1 x y OD 1 x y O其中不可能．．．成立的关系式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(17、（2005江苏）函数)(321R x y x∈+=-的反函数的解析表达式为（）A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 18．(2005湖北卷理、文)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（）19．(2005湖北理、文)在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．320．（2005山东文、理）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2xf x lnx-=+ 21．(2005山东理、文)函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-0,01,)sin()(12x ex x x f x π，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（）Ａ．1 Ｂ．1，22-Ｃ．22- Ｄ． 1，22 22．(2005山东理科) 01a <<，下列不等式一定成立的是（）A ．(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>B ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+二、填空题（2006年）3.（2006江苏）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 _______ 4．（2006江西文、理）设3()log (6)f x x =+的反函数为1()fx -，若11[()6][()6]27f m f n --++=，则()f m n +=．6．（2006辽宁文、理）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________7、（2006上海文、理）若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图像过点(2,1)-，则___a =。

高考真题与模拟训练专题03 指数、对数函数、幂函数(解析版)

专题3 指数、对数函数、幂函数一、单选题1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【解析】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈. 故选：C.2．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（） A ．a b c <=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -=-=+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222xxy -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x xx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．4．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D【解析】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D5．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.6．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.7．（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.8．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.10．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．11．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<<ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.二、填空题12．已知常数0a >，函数()22xx f x ax=+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．【答案】6【解析】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++，整理得：22222222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q=a 2pq ，由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36，由于a ＞0，故：a=6．故答案为613．已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．一、单选题1．设1n n c q -=，n T 是{}n c 的前n 项和.若{}n c 是递增数列，且对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得10m nm n T c T c +-≤-.则q 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．[2,)+∞【答案】D 【解析】1n n c q-=，1nn c q +=，11mm q T q-=-，因为{}n c 是递增数列，所以1q >．因为10m nm n T c T c +-≤-，所以对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得1n m n c T c +≤<，即：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得111m n n q qq q--≤<-， ①当12q <<时，由题意可知：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，11mn qq q-<-成立，则()(1)[1]m nmin min q qq -<-成立，而(1)0mmin q -=，()[1]0nmin qq -=，解不等式00<无解．②当2q ≤时，由题意可知：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，11mn q q q-<-成立，则()(1)[1]m nmin min q qq -<-成立，而(1)1mmin q -=，()[1]2nmin qq -=，恒成立.故选：D ．2．若实数a ，b 满足1a b >>，()log log a a m b =，()2log a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（） A ．m l n >> B ．l n m >> C ．n l m >> D ．l m n >>【答案】B【解析】∵实数a ，b 满足1a a a b m log log b=＞＞，（），2()a n log b =，2a l logb =， 01110a a a a a a log log b log a m log log blog ∴==∴==＜＜，（）＜，0＜ 2()a n log b = 1＜，1＞ 2a l log b = 2a log b =＞ 2()a n log b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l n m >>．故选B ．3．已知函数()()1ln 11xxxf x e ex--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（） A ．1 B ．1-C ．3D ．3-【答案】D 【解析】由题得111(ln11,(ln 2,(ln 2,111a a a a a a a a ae e e e e e a a a-----++-=∴+=∴-+=++-））） 1(ln2.1a a ae e a-+∴+=--）所以1()(ln 121 3.1a aa f a e e a-+-=+-=--=--）故答案为D 4．函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，则函数()y f x =与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，所以()log a f x x =，在选项A 中，对数函数的图像单调递增，所以a >1, 所以a -1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，抛物线的对称轴为1102(1)2(1)x a a -=-=>--所以选项A 是正确的，故选A ..5．设函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（） A ．(16,32) B ．(18,34)C ．(17,35)D ．(6,7)【答案】B【解析】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=．结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．故选：B ．6．已知函数ln ,010()(20),1020x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，设方程()()f x t t R =∈的四个不等实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列判断中错误的是（）A ．123440x x x x +++=B ．121=x xC ．34361x x =D ．()3434203990x x x x -++=【答案】C【解析】由题意知函数()f x 的图象关于直线10x =对称，故142320x x x x +=+=，123440x x x x +∴++=，故A 正确；又1212ln ln ,1x x x x -==，故B 正确；又()()()()343421122039920202040399x x x x x x x x -++=----++⎡⎤⎣⎦()()12121240020800203990x x x x x x =-++-+++=，故D 正确；故选：C . 二、填空题7．已知函数()1log a x x f =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 . 【答案】48．已知函数lg(1),0,()1,0,2xx x f x x +>⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩则[(0)][(2)]f f f f +-=___________．【答案】1【解析】由题意01(0)()12f ==，21(2)()42f --==，∴[(0)][(2)](1)(4)lg 2lg51f f f f f f +-=+=+=．故答案为：1．9．若函数()f x ，()g x 满足：()0,x ∀∈+∞，均有()f x x >，()g x x <成立，则称“()f x 与()g x 关于y x =分离”.已知函数()xf x a =与()log a g x x =（0a >，且1a ≠）关于y x =分离，则a 的取值范围是________.【答案】1,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】函数()xf x a =与()log a g x x =的图象关于y x =对称当()f x 与()g x 相切于y x =上一点()00,M x y 时，()()000f x g x x ==，()()001f x g x ''==即()()00ln 1,111,2ln x a a x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由()2可得01ln x a =，代入（1）得1ln ln 1a a a =所以1ln 1ln aaa =，两边同时取对数得1ln 1ln ln ln a a a=，即11ln ln 1ln ln a a a == 所以1ln e a =，解得1e a e = 此时000log x a ax x ==，即()()00f x g x =又因为11ea a e ⎛⎫>> ⎪⎝⎭越大，()x f x a =的图象越靠近y 轴，()log a g x x =的图象越靠近x 轴所以当函数()xf x a =与()log a g x x =关于y x =分离时，1,e a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：1,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知n ∈N *,2nn a =，21n b n =-，{}1122max ,,,n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0n n a T λ+≥对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值是______．【答案】89【解析】设212nn n n d b a n n n =-=--()()112112212220n n nn n d d n n n n ++⎡⎤-=+-+---=-≤⎣⎦，即123n d d d d =>>>>∴11112n c d b a n n ==-=-∴()21122n n n T n -+-==-即220nn λ-≥，22nnλ≤由2y x =与y 2x=图象可知：在第一象限n 取正整数时，仅有n=3时，22n n ＜即2289n n ≥ ∴89λ≤，即实数λ的最大值是89 故答案为89三、解答题11．已知函数4()()2x xmf x m R +=∈. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()y f x =为R 上的偶函数，且关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）1m =，偶函数；1m =-，奇函数；1m ≠±，非奇非偶函数，理由见解析；（2）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）f （﹣x ）＝2﹣x +m •2x ，若f （x ）是偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即2﹣x +m •2x ＝2x +m •2﹣x ，所以（m ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0对任意实数x 成立，所以m ＝1；若f （x ）是奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即2﹣x +m •2x ＝﹣2x ﹣m •2﹣x ，所以（m +1）（2x +2﹣x ）＝0对任意实数x 成立，所以m ＝﹣1．综上，当m ＝1时，f （x ）是偶函数；当m ＝﹣1时，f （x ）是奇函数；当m ≠±1时，f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）f （x ）412x x+=＞0，3k 2+1＞0，且2k •f （x ）＞3k 2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等价于()22131k k f x +＞在（﹣∞，0）上恒成立，又x ∈（﹣∞，0），所以f （x ）∈（2，+∞），所以()1102f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，从而221312k k ≥+，即有3k 2﹣4k +1≤0，因此，113k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 12．已知()12)f x g x =，其中b 是常数. (1)若()y f x =是奇函数，求b 的值；(2)求证：()y f x =的图像上不存在两点A B 、，使得直线AB 平行于x 轴. 【答案】(1) 1b =. (2)见解析.【解析】(1)设()y f x =定义域为D ，因为()y f x =是奇函数，所以对任意x D ∈, 有()()0f x f x +-=，))lg2lg20x x +=整理得lg 0b =，故1b =.此时()12)f x g x =，D R =，为奇函数. (2)若0b >，则D R =，若0b =，则()0,D =+∞，若0b <，则D ⎫=+∞⎪⎪⎣⎭，设定义域D 内任意12x x <，设()2h x x =+，x D ∈.1212()()22h x h x x x -=2212]x x =-122()x x =-1)+.当0b <12x x ≤<，12122()122x xx x+>=+，得12()()h x h x<；当0b=时，1=，得12()()h x h x<；当0b>时，12x x-<12x≥22x≥，11∴-<<，得12()()h x h x<，故总有()h x在定义域D上单调递增，所以总有()f x 在定义域D上单调递增.()y f x∴=的图像上不存在两点,使得所连的直线与x轴平行.13．已知数列{}n a是公比为2的等比数列，且2a，31a+，4a成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）记21221log?lognn nba a++=，nT是数列{}n b的前n项和，若0.99nT>，求n的最小值.【答案】（I）12nna.（II）n的最小值为100.【解析】（I）∵2a，31a+，4a成等差数列，∴()3242+1a a a=+，又数列{}n a是公比为2的等比数列，∴()11124+128a a a=+，解得11a=，∴12nna-=．（II）由（Ⅰ）得()21221111log log11nn nba a n n n n++===-++，∴1211111111223111n nnT b b bn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由0.99n T >，得0.991nn >+， ∴99n >，又*n N ∈，∴n 的最小值为100. 14．已知函数22,?10,()=1,? 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()f x -；(2)试问:函数()f x 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足:123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．【答案】（1）1,? 0<2,2?10.x x x ⎧-≤⎪-≤≤；（2）存在点1,2(12)A B --关于原点对称；（3【解析】(1)()22,10,=1,0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩∴当10x -≤<时，()()2,02f x x f x =-<≤.由2y x =-，得12x y =-，互换,x y ，可得()11(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，()()21,10f x x f x =--≤≤.由21y x =-，得x =,x y ，可得())110fx x -=-≤≤.()11,0<2,210.x x f x x -⎧-≤⎪∴=-≤≤(2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.设点()()00000,(01),A x y x B x y <≤--、是函数图象上关于原点对称的点，则()()000f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,x x ==舍去），且满足01x <≤ .因此，函数图象上存在点()1,2,12AB -关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数y =的图象，可得当12x -≤≤-时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得2+2x a =-，且由21+22a -≤-≤-，得02a ≤≤.当1x <≤时，有()f x <240ax -=，化简得()22440ax ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，(当02a ≤≤时，24024aa -<-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++.由()32212x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =因为312a -=<-，故32a --=不符合题意，舍去；02a <=<，满足条件.因此，所求实数a =.。

指数函数、对数函数、幂函数高考试题汇编

指数函数、对数函数、幂函数高考试题汇编一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞2．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<5．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（2017北京）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010．则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg 3≈0．48）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310 8．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 10．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．1211．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是AB Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤12．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 14．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞15．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<<16．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<17．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是18．（2014天津）函数212()log (4)f x x 的单调递增区间是A ．(0,) B ．(,0) C ．(2,) D ．(),219．（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >> 20．（2013陕西）设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A ．·log log log a c c b a b =B ．·log lo log g a a a b a b =C ．()log og g l lo a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+ 21．（2013浙江）已知y x ,为正实数，则A ．y x y x lg lg lg lg 222+=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=C ．y x y x lg lg lg lg 222+=•D ．lg()lg lg 222xy x y =22．（2013天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]23．（2012安徽）23(log 9)(log 4)⋅=A ．14 B ．12C ． 2D ． 424．（2012新课标）当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是 A ．2(0,)2 B ．2(,1)2C ．(1,2)D ．(2,2) 25．（2012天津）已知122a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 26．（2011北京）如果,0log log 2121<<y x 那么A ．1y x <⎩≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）29．（2010山东）函数22xy x =-的图像大致是30．（2010天津）设5log 4a =，5(log 3)b =2，4log 5c =，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a 0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数34．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a = ()f b =()f c ，则abc 的取值范围是A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)35．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-36.（2019全国Ⅰ理3）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<37.（2019天津理6）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 二、填空题1.（2019浙江16）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.2．(2018江苏)函数()f x 的定义域为．3．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____．4．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)x x f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．5．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a = ，b = ． 6．（2015江苏）不等式224x x-<的解集为_______．7．（2015浙江）若4log 3a =，则22aa-+=_______．8．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__．9．（2014天津）函数2()lg f x x =的单调递减区间是________． 10．（2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________．11．（2013四川）+的值是____________．12．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ．13．（2012山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿．14．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b+的最小值为__________． 15．（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________．。

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历年高考真题分类汇编---指数、对数、幂函数
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————————ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ——————————————————————— 日期：
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考点7指数函数、对数函数、幂函数
7.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ8）设，，，则（）
A. B. C. D.
【解析】选D.因为，，又，所以最大。又，所以，即，所以，选D.
8.（2013·上海高考文科·T15）函数（x≥0）的反函数为f-1(x)，则f-1(2)的值是（）
A. B.－ C.1+ D.1－
【解析】选A
9.(2013·浙江高考理科·T3)已知x,y为正实数,则()
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgy
C.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy
【解题指南】运用指数的运算性质与对数的运算性质解答.
【解析】选D.选项A,2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故A错误;选项B,2lgx·2lgy=2lgx+lgy≠2lg(x+y),故B错误;选项C,2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故C错误.
所以，所以＞0
所以命题①正确
令，此时因为，违反三角形边长定理，故不能构成一个三角形的三边长，所以命题②正确.
由于为钝角三角形，故，因为，
所以，所以对任意，都有
所以，
所以，结合命题①可知，
当所以命题③正确.
综合可得命题①②③都正确.
【答案】（1）{x|0<x≤1}（2）①②③
6.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T8)设a=log36,b=log510,c=log714,则()
A.c>b>aB.b>c>a
C.a>c>bD.a>b>c
【解题指南】将a,b,c利用对数性质进行化简,分离出1后,再进行比较大小即可.
【解析】选D.由题意知:a=log36=1+log32=
因为log23<log25<log27,所以a>b>c,故选D.
二、填空题
11.（2013·四川高考文科·Ｔ11）的值是____________。
【解题指南】根据对数的运算性质进行求解.
【解析】
【答案】1
12.（2013·上海高考理科·T6）方程的实数解为________
【解析】原方程整理后变为．
【答案】
13.（2013·上海高考文科·T8）方程的实数解为.
【解析】
【答案】
14.（2013·湖南高考理科·Ｔ16）设函数
（1）记集合，
则所对应的的零点的取值集合为____.
（2）若 .
（写出所有正确结论的序号）
①
② ；
③若
【解析】（1）由于不能构成三角形三边长，所以，又，故，
即，当时，得即，
因为，所以 .
（2），因为，
所以，所以对任意，都有，
15.（2013·安徽高考文科·Ｔ11）函数的定义域为______
【解题指南】根据对数函数的概念及根式的意义求解。
【解析】由题意可得
【答案】
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一、选择题
1.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同
函数的反函数（）
A. B. C. D.
【解题指南】首先令求出，然后将互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.
【解析】选A.由，，得函数的值域为，又，解得，所以
2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()
3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数的定义域是（）
A． B． C． D．
【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.
【解析】选C.解不等式可得是定义域满足的条件.
4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数的定义域为（）
A.(-3，0] B.(-3，1]
10.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ12）若存在正数使成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解题指南】将，转化为，然后分别画出的图象，数形结合分析求解.
【解析】选D.因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，
当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D.
C. D.
【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.
【解析】选A. ，解得 .
5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )
A． B.
C. D.
【解题指南】a, b,c≠1，掌握对数两个公式:
并灵活转换即可得解.
【解析】选B.对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假。对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真。对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假。对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假。
A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1
【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=ex关于y轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).
【解析】选D.与y=ex关于y轴对称的函数应该是y=e-x,于是f(x)可由y=e-x向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e-(x+1)=e-x-1.