三大抽样分布
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三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
三大抽样分布课件
在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
三大抽样分布知识点一览
三大抽样分布知识点一览抽样分布的概念抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
三大抽样分布1. 卡方分布χ2(n)定义：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
2. t分布定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。
3. F分布定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。
与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。
由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。
所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。
在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。
概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识4-5
2
t 分布的概率密度函数图形如图所示
①关于x =0 对称； ②当k充分大时，其图形
k 30 k 3
与标准正态分布图形相似.
k 1
lim
k
ft ( x)
( x)
1
x2
e 2 ,xR
2π
t(30) N(0,1)
4/4/2020
13
例3. 设总体X和Y相互独立 ，且都服从 N (0,9),
X1, X 2 , , X 9和Y1,Y2 , ,Y9来自总体 X ,Y的样本，
自由度k：指χ 2
X
2 1
X
2中包含独立
k
变
量的个数.
特别地,当k=1时,若X1 ~ N (0,1)，则X12 ~ （2 1）
4/4/2020
2
其概率密度函数:
1
k 1 x
f
2
(
x)
2
k 2
(
k 2
)
x
2
e 2 , x 0;
0,
x 0.
其图形随着参数k的变化而改变，如图所示
k2
k 6
k 1
26
第五节 正态总体统计量的分布
基本内容： 一、抽样分布——统计量的分布； 二、正态总体下的抽样分布
4/4/2020
27
一、统计量的分布
统计量是对样本信息的“加 它依赖于样本,
工”, 由于样本是随机变量,
所以统计量也是随机变量,
故统计量有一定的概率分布.
我们称统计量的分布为抽样分布.
4/4/2020
在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经
酿酒化学技师Gosset W S，他在酒厂从事试验和
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
三大抽样分布课件(课件类别)
y 2
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
课件精选
15
课件精选
16
n 40 n 10
n4 n 1
课件精选
17
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
m n
u
mn 2
1eu
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m
n
2 2
z0
课件精选
14
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y
1
F1 m, n
课件精选
20
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
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15
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16
n 40 n 10
n4 n 1
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17
若F ~ F(m, n),对给定的 (0 1),称满足
PF F1 m, n 1
的F1 (m, n)是自由度为m与n的F分布的1 分位数.
m n
u
mn 2
1eu
du
0
2
2 2
m
2
n
m1
z2
1
z
mn 2
m
n
2 2
z0
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14
第二步，我们导出 F n Z 的密度函数 m
pF
y
pZ
m n
y
1
F1 m, n
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20
例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么从附表5上查得
F10,05 10，5 F0.9510，5 4.74
由F n, m
1
F1 m, n
F0.0510,5
1
F0.95 5,10
1 3.33
1
从而t与-t有相同分布。
P(0 t y) P(0 t y) P( y t 0)
X1
~
2(m)
p1( x1)
2
m
m
x1 2
1e
x1 2
,
2
n
1 2
5-4三大抽样分布
F 0 .0 5 (1 2 , 9 ) 1 F1 0 .0 5 (9 ,1 2 ) 1 2 .8 0 0 .3 5 7
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
三、t 分布 设X1～N(0,1) , X2～ (n ) , 且X1与X2相 X1 互独立，则称变量 t
1、定义:
2
X2 n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
例2:
若总体X ~ N ( 0,1)，从此总体中取一个容量为
6的样本X 1 , X 2 ，X 6 , 设 Y ( X1 X 2 X 3 ) ( X 4 X 5 X 6 )
2 2 2
试决定常数C，使随机变量CY服从 分布 .
解:
因为
X 1 X 2 X 3 ~ N (0, 3), 所以
2
( y 0)
F
( y1 ym ) / m ( x1 xn ) / n
2 2
p( y )
( m2 n )
m
m 2
1
( ) ( )
m 2 n 2
( ) 2 ( y)
m n
1
m n
y
n n 2
m (n 2) (n 4)
2
( y 0)
1
1 2 2 3 43 5 4 6 5 6
2. F分布的性质
(1).F分布的数学期望
E(F )
n n2
(n>2)
即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数
对于给定的 (0 1), 称满足条件
P F F1 (m, n)
F ( m , n ) 1
p( y )dy 1
的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.
三大抽样分布的理解与具体性质
数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
交流平台
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143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）
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P{F F (n1, n2 )}
( y)dy
F ( n1 , n2 )
的点 F (n1, n2 ) 为 F (n1, n2 ) 分布的上 分位点.
第15页/共58页
例4 设 F (n1, n2 )分布的上分位点满足
P{F F (n1, n2 )}
( y)dy ,
F (n1 , n2 )
第11页/共58页
例3 设 T ~ t(n), t(n) 的上 分位点满足
P{T t (n)}
t( y; n)dy ,
t (n)
求 t (n) 的值, 可通过查表完成.
t0.05(10) 1.8125, 附表3-1
t0.025(15) 2.1315. 附表3-2
在Matlab中求解
第12页/共58页
3. F分布
设U ~ 2(n1 ), V ~ 2(n2 ), 且U , V 独立, 则称
随机变量 F
U V
/ n1 / n2
服从自由度为( n1 ,
n2 ) 的
F
分
布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
随机数演示
分布函数与密度函数演示
第13页/共58页
F (n1, n2 )分布的概率密度为
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
费舍尔资料
当
n
充分大时,
2 (n)
1 2
(
z
2n 1)2.
其中 z 是标准正态分布的上 分位点.
利用上面公式,
可以求得 n 45 时, 上 分位点的近似值.
例如
2 0.05
(50)
1 2
(1.645
99)2 67.221.
而查详表可得
2 0.05
(50)
求 F (n1, n2 ) 的值, 可通过查表完成.
F0.025(7,8) 4.90, 附表5-1 F0.05(14,30) 2.31 . 附表5-2
在Matlab中求解
第16页/共58页
F 分布的上 分位点具有如下性质 :
67.505
.
第8页/共58页
2. t 分布
设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y 独立,
则称随机变量t X 服从自由度为n 的 t Y /n
分布, 记为 t ~ t(n).
学生氏资料
t 分布又称学生氏(Student)分布. 随机数演示
t(n) 分布的概率密度函数为 分布函数与密度函数演示
所以
X
2 1
,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2
n i 1
Xi2
~
n 2
,
2.
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
第2页/共58页
2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 12 ~ 2(n1 ),
2 2
~
2(n2 ),
并且
2 1
,
2 2
独
立,
则 12
2 2
~
2 (n1
(
y)
n1
n2
n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2
n1 2
n2 2
1
n1 y n2
2
,
y 0,
0,
其他.
第14页/共58页
F分布的概率密度曲线如图
根据定义可知,
若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2 , n1 ).
F 分布的分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
i1
i1
第4页/共58页
2 分布的分位点 对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
f ( y)dy
2 ( n)
的点
2
(n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
第5页/共58页
例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)
n 22
1 (n)
n1 y
y2 e 2
,
2
0
y0 其他.
证明 因为 2(1) 分布即为 1 , 2 分布,
2
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i
~
1, 2
2 ,
i 1, 2, , n.
第1页/共58页
因为 X1, X2, , Xn 相互独立,
分位点 z 满足 P{ X z }
1
x2
e 2 dx ,
2π z
求 z 的值, 可通过查表完成.
z0.05 1.645,
附表2-1
z0.025 1.96,
附表2-2
根据正态分布的对称性知 z1 z .
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例2 设 Z ~ 2(n), 2(n) 的上 分位点满足
h(t)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
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t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1, D( Xi2 ) E( Xi4 ) [E( Xi2 )]2 3 2 1, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
n2 ).
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设
2 i
~
2(ni ),
并且
2 i
(i 1, 2,, m) 相互
m
独立, 则
2 i
~
2(n1
n2
nm ).
i 1
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性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
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t 分布的分位点 对于给定的 , 0 1, 称满足条件
P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
可以通过查表求
得上分位点的值.
由分布的对称性知
t1 (n) t (n). 当 n 45 时, t (n) z .
P{Z 2 (n)}
2( y; n)dy ,
2 (n)
求2 (n)的值, 可通过查表完成.
2 0.025
(8)
17.535,
附表4-1
2 0.975
(10)
3.247,
附表4-2
2 0.1
(
25)
34.382.
附表4-3
附表4只详列到 n=45 为止.
在Matlab中求解
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