概率论与数理统计课件 4条件概率和乘法定理
2019/3/13
概率论与数理统计
15
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
练习1某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而 随意拨号，假设拨过的号码不再重复，试求下列事 件的概率。
掷骰子
例： B ={掷出2 点}，A ={掷出偶数点}
P(B|A）= 1
3
A发生后的缩减
在缩减样本空
样本空间所含样
间中B所含样
本点总数
本点个数
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例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解 设A={掷出点数之和不小于10}
于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新
的样本空间SA , 于是有
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4
2. 条件概率的定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0,称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B发生的条件概率.
同理可得
P( A B) P( AB) P(B) 0 P(B)
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件, n 2, 且 P(A1A2 An1) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 )
P( An1 A1 A2 An2 ) P( An A1 A2
An1 ).
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乘法定理例题 例1 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等 品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 (1)取两次，两次都取得一等品的概率; (2)取两次，第二次取得一等品的概率; (3)取三次，第三次才取得一等品的概率; (4)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得 的是二等品的概率.
A={掷出偶数点}，P(B )=1/6，P(B|A)=？
已知事件A发生,此时试验所有可能
结果构成的集合就是A ,
掷骰子
A中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中.
P(B|A)= 1/3.
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3
若事件A已发生, 则为使 B也发生 , 试验结
果必须是既在 A 中又在B中的样本点 , 即此点必属
(1)拨号不超过三次接通电话 (2)第三次接通电话
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练习2 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时,
打破的概率为 1 ,若第一次落下未打破 ,第二次落下 2
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打 10
破的概率是 9 ,试求透镜落下三次未打破的概率 . 10
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1
§6 条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时,往往需要在有某些 附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件A 发生的条件下求事件B发生的 概率,将此概率记作P(B|A).
一般地 P(B|A) ≠ P(B)
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2
引例 掷一颗均匀骰子，B ={掷出2点}，
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Байду номын сангаас
例2 （波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机 地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进 行四次, 试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
随机取一个球,观看颜色后放 回罐中,并且再加进c个与所抽出的
球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解
设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1
P( A |
B)
P( AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2 P( A | B) 3 1 62
在B发生后的缩减样本
空间中计算
二、 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P( A)P(B A). 若P(B) 0, 则有 P( AB) P( A B)P(B )
(5) 可列可加性 : 设 B1, B2,是两两不相容的事
件, 则有
P i1 Bi A i1 P(Bi A).
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4. 条件概率的计算
1) 用定义计算: P(B A) P( AB) , P( A) 0
P( A)
2)从加入条件后改变了的情况去算
即：在新的样本空间SA中考虑古典概 型计算问题。
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
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3. 性质
(1) 非负性 : P(B A) 0;
(2) 规范性 : P(S B) 1, P( B) 0;
(3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(4) P( A B) 1 P( A B).
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概率论与数理统计课件-条件概率
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
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C32 C120
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
概率论与数理统计第3讲
6
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
7
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
18
18
P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
19
19
P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
28
从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
6
定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
7
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
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P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
22
22
而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
A C B
图1-3
28
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从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
概率论与数理统计期末复习PPT课件
P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
P(B | A) P(B| A) 1
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2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
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2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
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3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
《概率论与数理统计》1.4条件概率
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A
|
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36Βιβλιοθήκη 样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2, ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
条件概率与乘法定理
条件概率与乘法定理
在概率论中，条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的计算方法可以由乘法定理来表示。
乘法定理是概率论中的基本定理之一，它表明两个事件共同发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以在该事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率；P(A∩B)表示A事件与B事件同时发生的概率；P(B)表示B事件发生的概率。
乘法定理可以表示为：
P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
这意味着事件A与事件B同时发生的概率等于已知B事件发生的条件下，A事件发生的概率乘以B事件发生的概率。
条件概率与乘法定理在实际应用中具有重要的意义。
例如，在医疗诊断中，通过已知某种疾病的患病率以及某种诊断方法的准确率，可以计算出在进行该诊断方法的情况下，某人患病的概率。
在金融风险评估中，可以通过已知某种投资品的风险以及市场情况的变化，来计算在特定市场条件下的投资风险。
此外，条件概率与乘法定理也在统计学中被广泛应用。
在贝叶斯定理中，条件概率是重要的基础，用于根据先验概率和观察到的证据来更新概率分布。
总结起来，条件概率与乘法定理是概率论中重要的概念和工具，它们能够帮助我们计算两个事件共同发生的概率。
在实际应用中，我们可以利用条件概率和乘法定理来进行各种概率计算和预测，从而帮助我们做出更加明智的决策。
概率论与数理统计(条件概率与全概率公式)
2 22
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
返回
例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划 分， 且 P(Bi）>0(，i=则1,2对, 任n一) 事件A，有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B）i P(A Bi )
k 1, 2,
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
（2）
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随 机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
二、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式 和条件概率的综合运用.
综合运用
加法公式
乘法公式
条件概率
P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B|A) P(A|B)= P(AB)/P(B)
A、B互斥
P(A)>0
600 1000
1%
250 1000
4%
150 1000
2%
0.019
(2)
P(B1 A)
P(AB1 ) P(A)
P(B1 )P(A B1 )
3
P(Bi )P(ABi )
i=1
0.6 0.01 0.3158 0.019
所以甲厂应承担约31.58%的经济责任.
返回
例7 甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个
接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题
贝叶斯公式 P19
设S是试验E的样本空间， B1, B2 ,是SB的n 一个划 分， 且 P(Bi）>0(，i=则1,2对, 任n一) 事件A，有
P(B k
A )=
P(ABk ) P(A)
=
P(Bk )P(A Bk )
n
P(B）i P(A Bi )
k 1, 2,
P( A1)P( A3
|
A1 )
2 5% 3
1 30
（2）
P( A2 A3)
P( A2 )P( A3 |
A2 )
1 3% 1
3
100
返回
例5(P18) 一口袋中装有a 只白球，b 只红球，每次随 机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同 色的球 c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到 白球，第三次取到红球的概率。 解 设 A表i 示事件“第 i 次取到白球’’ （i=1,2,3)
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计第一章第四节
21 2005
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“ 任取一件为i 厂的产品 , i 1, 2, 3. ”
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
" 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破 ,
P( A B j )P(B j ) j 1
n
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A) P ( Bi A) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P( B j ) j 1
n
, i 1,2,, n.
在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E的样本空间 B1 , B2 ,, Bn 为 , E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“ 任取一件为i 厂的产品 , i 1, 2, 3. ”
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
" 解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破 ,
P( A B j )P(B j ) j 1
n
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A) P ( Bi A) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P( B j ) j 1
n
, i 1,2,, n.
在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验E的样本空间 B1 , B2 ,, Bn 为 , E 的一组事件, 若 (i ) Bi B j , i j , i , j 1, 2,, n ; (ii ) B1 B2 Bn S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .
因此所求概率为
P ( A1 A2 A3 A4 )
P ( A4 A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 )