边缘分布函数和边缘分布密度
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32 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度
联合分布律 及边缘分布律
Y y1 X x1
p11
p1 j
xi
pi1
pij
p• j
p•1
yj
pi•
p• j
1
计算机科学与技术学院 8
pi•
第3章 多维随机变量及其分布
p1•
例(P61) 设随机变量 X 在 1,2,3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可 能地取一整数值，试求 X, Y 的边缘分布律。
D
1
o
x
16
计算机科学与技术学院
同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY ( y )
f ( x, y )dx
2
y
x y 1 2
y 1 , 0 y 2 fY y 2 其它 0,
D
D
1
o
x
第3章 多维随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
17
X， Y 的联合分布律为
Y X
1 2 3
第3章 多维随机变量及其分布
1
2 0
3 0 0
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
1 9
计算机科学与技术学院 9
X， Y 的联合与边缘分布律
Y X
1 2 3 1 2 0 3 0 0
pi
1 3 1 3 1 3
1
1 3 1 6 1 9
1 6 1 9
1 9
p j
第3章 多维随机变量及其分布
11 18
5 18
3-2边缘分布.
且都不依赖于参数.
这意味着对于给定的1,2
,
2 1
,
2 2
,
不同的对应不同的二维正态分布. 如N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.3
与N
1,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.7
对应不同的二维正态分布，而它们的
边缘分布却是相同的. 这一事实表明:仅由边缘分布,一般来说
不能确定随机变量X ,Y的联合分布.也再次说明了联合分布中
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
Y X
x1 x2 xi
y1 y2
p11 p12 p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j
pij
2
e dy,
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
概率论与数理统计32边缘分布解析
y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
边缘分布函数和边缘密度函数
边缘分布函数和边缘密度函数边缘分布函数和边缘密度函数，是概率论和数理统计学中的重要概念。
它们能够帮助我们更加深入地理解随机变量之间的关系，为我们的模型和分析提供便利和支持。
边缘分布函数，又称为边际概率分布函数，是指在一个多维随机变量的联合分布函数中，只保留其中一个或部分随机变量的分布函数。
我们可以通过对多维随机变量的联合分布函数进行求导得到边缘概率密度函数，从而计算出随机变量的概率分布，也就是得到该随机变量的“边缘分布”。
以一个例子来说明，假设我们有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数可以表示为F(x,y)。
如果我们只关注变量X，那么我们可以通过对联合分布函数F(x,y)求偏导数，得到变量X的边缘分布函数。
同样地，如果我们只关注变量Y，那么我们也可以通过对F(x,y)求偏导得到变量Y的边缘分布函数。
边缘分布函数一般表示为F(x)或F(y)，其中F(x)表示变量X的边缘分布函数，F(y)表示变量Y的边缘分布函数。
那么边缘密度函数呢？边缘密度函数，也叫边际概率密度函数，是边缘分布函数的导数，它描述了单个随机变量的概率密度分布情况。
与边缘分布函数类似，边缘密度函数同样可以通过多维随机变量的联合密度函数求解得到。
比如在上述例子中，如果我们已知多维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，那么我们可以通过对其求偏导获得变量X和变量Y的边缘密度函数f(x)和f(y)。
边缘密度函数可以被看作是概率的“密度”，即它代表了在一个小区间内随机变量取某个特定值的概率。
同样地，边缘密度函数也可以被用于计算概率和期望等几乎所有统计分析中的重要量。
那么这两个概念有什么实际用途呢？我们可以通过边缘分布函数和边缘密度函数来分析和预测不同随机变量之间的关系。
例如，在金融领域中，我们可以通过使用边缘分布函数和边缘密度函数来分析不同投资组合中各个资产的风险和收益特征。
又如在医学领域中，我们可以通过边缘分布函数和边缘密度函数来检验某种药物对不同性别、不同年龄、不同身体状况的人群的疗效表现。
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
概率论与数理统计-基于R 第三章 第三节 边缘分布
p·j 2/5 3/5 1
注：由上表可知，两种情形下X和Y的边缘分布律相同，但联 合分布律不同，故边缘分布律不能确定联合分布律.
三、边缘密度函数 设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数
和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则
FX x P X x P X x,Y x
f
X
(
x
)
6e(3 x2 y)dy,
0
0,
x 0 3e3x ,
其它 0,
x0 其它
同理，关于Y的边缘概率密度为
2e2 y , y 0
fY
(
y)
0,
其它 .
例. 设(X,Y) 服从以原点为圆心，R为半径的 圆形区域上的均匀分布，求(X,Y)关于X,Y 的边缘概率密度。
y
1
2
arctan
x
x
FY
y
lim
x
F
(
x,
y)
lim
x
1
2
2
arctan
x
2
arctan
y
1
2
arctan
y
y
二、边缘分布律
y
y
x FX(x)
x FY(y)
例 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x,
y)
1
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FX ( x) P{X x} FY ( y ) P{Y y} P{X x, Y } P{ X , Y y} F ( x,) F (, y)
lim F ( x, y )
y
lim F ( x, y)
x
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
3.2.2 随 机 变 量 的 独 立 性
i 1
( i =1,2, …)
( j = 1,2, …) Y y1 y2 · · ·yj · · · p.j p.1 p.2 · · ·p.j · · ·
即
X x1 x2 · · ·xi · · · pi. P1. p2. · · ·pi. · · ·
(X, Y) 的边缘分布函数为： FX(x) = F(x,+∞) = p i j pi.
u2 2
令t
v u 1 p
2
,
1 f X ( x) e 2 1 fY ( y ) 1 2 2
1 e 2
t2 2
1 dt e 2 1
( x 1 ) 2
2 2 1
类似地有
e
( y 2 )2
2 2 2
可见 X~ N(μ1,σ12 ) , Y~ N(μ2,σ22 ).
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§3.2 边 缘 分 布
3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度
3.2.2 随机变量的独立性
3.2.3 条件分布
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3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度 设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分 布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:
x
当0>x或x>1时, f 0 x 1 f X ( x) 其它 0，
同理可得
4 y 3， 0 y 1 f Y ( y) 0， 其它
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例3 设(X，Y)服从N(μ1， σ12； μ2，σ22；ρ)， 求边缘密度。 x 1 y 2 ,v , 则有 解 令 u 1 2
f ( x, y )dx
f X ( x)
f ( x, y)dy
fY ( y )
通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函 数或边缘密度。
例2 设随机变量（X，Y）的密度函数为 kxy, 0 x y 1 f ( x, y) 0, 其他 试求参数k的值及X和Y的边缘密度。
xi x
FY(y) = F(+∞ ,y) =
yj y
p
i 1
j 1
xi x
ij
yjy
p
.j
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例1 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求 关于X 和Y 的边缘分布。 Y 你只要把每列的概率 -1 0 2 相加放在该列的最下面，X 0 0. 1 0. 2 0 把每行的概率相加放在 0. 3 0. 05 0. 1 该行的最右面，就大功 1 2 0. 15 0 0. 1 告成了。 把第一行和最后一行 Y -1 0 2 pi. 拿出来就是X的分布；把 X 第一列和最后一列拿出 0 0. 1 0. 2 0 0. 3 来就是Y的分布。 1 0. 3 0. 05 0. 1 0. 45 边缘分布pi.和p.j分别 2 0. 15 0 0. 1 0. 25 是联合分布表中第i行和 p.j 0. 55 0. 25 0. 2 第j列各联合概率之和．
1 2 2 f X ( x) f ( x, y)dy exp{ ( u 2 u v )}dv 2 2(1 ) 21 1 2
1 2 1 e
u2 2
1
(v u ) 2 exp{ }dv 2 2 2(1 ) 2 1 1
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解 根据联合密度函数的性质，有
1 f ( x，y )dxdy k x ydydx k 1 0 x 8
1 1
所以 k 8 X的边缘密度函数 f X ( x) f ( x，y)dy 1 2 当0≤x≤1时， f X ( x) 8xydy 4x(1 x )
i 1
pi. 1
pi. P{ X xi } pij ,
j 1
p. j P{Y y j } pij
( i = 1,2, …)
例如 p1. P{ X x1} p1 j ,
j 1
( j =1,2, …)
p.2 P{Y y2 } pi 2
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1. 离散型二维随机向量的边缘分布
X
Y
y1 p11 p21
y2
… yj
…
P{X=xi} p1. p2.
x1 x2
p12 … p1j … p22 … p2j …
xi P{Y=yj}
pi1 p.1
pi2 … pij … … … p.2 … p.j …
i 1
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1. 离散型二维随机向量的边缘分布 设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj}, 则 (X, Y) 的边缘分布列为
pi. P{ X xi } pi
j 1
p. j P{Y y j } pi
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2. 二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 f(x,y) 由于 FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } 所以
[
x
f ( x, y)dy]dx