三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85471

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。

一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故0=++OC OB OA ,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=.证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心二、垂心1、O 是ABC ∆的垂心⇔OC OA OC OB OB OA •=•=•若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故0tan tan tan =++OC C OB B OA A2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0PB PA PC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0PB CA ⋅=u u u r u u u r ，所以PB CA u u u r u u u r⊥．同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥，PA BC u u u r u u u r ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足图1Acos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、内心1、O 是ABC ∆的内心的充要条件是=⎫⎛•=⎫⎛•=⎫⎛•引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA BC AB ,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆的内心的充要条件可以写成()()()322131=+•=+•=+•e e e e e e2、O 是ABC ∆的内心的充要条件也可以是0=•+•+•OC c OB b OA a 。

3、若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆故 0=•+•+•OC c OB b OA a 或者0sin sin sin =•+•+•OC C OB B OA A ; 4、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r，则I 是ABC △的内心．∵IB IA AB =+u u r u u r u u u r ，IC IA AC =+u ur u u r u u u r ，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=u u r u u u r u u u r ， ∵bAB cAC AC AB AB AC AC AB ⎛⎫+=⋅+⋅=⋅⋅u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u r u u u r u u u r ．∵AB ABu u u r u u u r 与ACAC u u u r u u ur 分别为AB u u u r 和AC u u u r 方向上的单位向量， ∴AI u u r与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图。

5、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0)λ∈+∞，心．由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴当(0)λ∈+∞，时，AP u u u r表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图。

例3 O 平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）B（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心四、外心1、O是ABC ∆的外心⇔==若O 是ABC ∆的外心则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆故0sin sin sin =++OC C OB B OA A 。

2、 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r ，则O 是ABC △的外心．若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC△的外心，如图1。

3、已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足图122cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图2。

例4 若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例5 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

证明：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、,AB(x 1,0)C(x 2,y 2)yx HQG DEF122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x yAH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，212(,)BC x x y =-u u u r2212422142()0()AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r212223221232()()0222()22QF AC x x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--u u u r u u uu r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r，故Q 、G 、H 三点共线，且21:：=GH QG例6．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证OC OB OA OH ++=.证明若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.“欧拉定理”简化：例7 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.求证 OH OG 31= 证明按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++= 按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 31=.补充练习一：1．已知C B A 、、是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +21+2OC ),则点P 一定为ABC ∆ （ ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222AB OC AC OB BC OA +=+=+，则Ｏ为ABC ∆的 （ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r，则P 为ABC ∆的 ( )Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 点为三角形的 （ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：a PAb PBc PC ⋅+⋅+•=u u u r u u u r u u u r ，则P 点为三角形的（ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（ ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB 与AC 满足21,==•⎫⎛+， 则ABC ∆为A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 。