高三文科数学第四次适应性训练试题及答案
云南师范大学附属中学2020届高考适应性月考卷(四) 文科数学附答案与详解
西南名校联盟高考适应性月考卷文科数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}|0,1,2,3B x =，则()R C A B =I （ ） A. {}2,3 B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U2. 复数z 满足()12z i i ⋅-=，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a （尺），则n a 与n 的关系为（ ）A. 12n n a =B. 112n n a =-C. 1n a n=D. 11n a n=-4. 若关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A. []0,4 B. ()0,4 C. [)4,0-D. []4,0-5. 已知命题p ：0x ∀≥，1xe ≥或sin 1x ≤，则p ∀为（ ）A. 0x ∃<，1xe <且sin 1x > B. 0x ∃<，1xe ≥或sin 1x ≤C. 0x ∃≥，1xe <或sin 1x > D. 0x ∃≥，1xe <且sin 1x >6. 两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）A.16 B.14 C. 13D. 127. 定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.23B.C.D.568. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）A.B. C. 3D. 9. 如图是函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象，则34f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. -2B.C. 2D.10. 已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A. 1B.C.1D.1l. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ） A. (),2-∞- B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U12. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”，如图，若2AC CB =，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）A.1081B.2081C.49D.89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知狄利克雷函数()1,0,R x QD x x C Q∈⎧=⎨∈⎩，则()()D D x =______.14. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊂，m β⊂.给出下列三个论断：①l m ⊥；②l β⊥；③αβ⊥.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.（用论断序号和推出符号“⇒”作答）15. 双曲线S ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以线段12F F 为直径的圆与S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则S 的离心率为______. 16. 已知数列{}n a满足112n a +=+134a =，则2020a =______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形ABC，56A π=，D 在边BC 上，6CAD π∠=，2BD DC =，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求a ，b ，c .18. 2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图.注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.附注：参考数据：71492.01 iiy ==∑，70.29y=，712131.99 i iit y ==∑165.15≈.参考公式：相关系数()()ni it t y y r--=∑回归方程$$y a bt=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑$，$a y bt=-$.19. 如图，楔形几何体EF ABCD-由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE⊥侧面ABCD，90AED∠=︒，楔面BCF是边长为2的正三角形，点F在侧面ABCD的射影是矩形ABCD的中心O，点M在CD上，且CM DM=.（1）证明：BF ⊥平面AMF ； （2）求楔形几何体EF ABCD -的体积. 20. 已知函数()1sin ln 12f x x x x =+--，()'f x 为()f x 的导数. （1）证明：()f x 在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在12x x ≠，使()()12f x f x =，证明：124x x <.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为()1F .（1）求C 的标准方程；（2）若动点M 为C 外一点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的方程；（3）设C 的另一个焦点为2F ，自直线l ：7x =上任意一点P 引（2）所求轨迹D 的一条切线，切点为Q ，求证：2PQ PF =.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是曲线段C ：2x t y t=⎧⎨=-⎩（t 是参数，1122t -≤≤）的左、右端点，P 是C 上异于A ，B 的动点，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）建立适当的极坐标系，写出点Q 轨迹的极坐标方程； （2）求PA PQ ⋅的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知()()()2f x x x a a R =--∈，若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U . （1）求a ；（2）关于x 的方程()f x b =的方程有三个相异实根1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的取值范围.云南师大附中2020届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：BDAAD 6-10：CACBC11-12：BB【解析】1. (){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I ，故选B.2. ()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，故选D. 3. {}n a 是一个首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，故选A. 4. 当0a =时，不等式为10≥，恒成立，满足题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤，或0a ≠时，()f x 有最小值，且最小值大于或等于0，即0102a f >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得04a <≤.综上，实数a 的取值范围是[]0,4，故选A.5. 全称命题的否定为特称命题，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，故选D.6. 红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为2163=，故选C. 7. 如图，从6cos 5tan 02x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭中解出sin x 的值为23，即为所求线段12P P 的长，故选A.8. 多面体的直观图如图所示，111AE A E ==，111112AD AA EE A D DD DC ======，11CE D E ==，1CD =13CE =，最长棱为1CE ，其长为3，故选C.9. 根据图象，可得()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以332sin 424f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10. 法一：将A ，C 视为定点，OA OC ⊥，O 视为以AC 为直径的圆上的动点，AC 的中点为M ，当BO过圆心M ，且O 在BM 的延长线上时，OB 1，故选C.法二：设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =，令d B O ==，则212d d ≤+，得1d ≤，故选C.1l. 设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >，故选B.12. 设2BC r =，则4AC r =，6AB r =，建立如图所示的坐标系，()0,0C ，()12,0O r -，(),0O r -，()2,0O r ，设()3,O a t -，()4,O b v ，则()()22222r a r a t +--=，得t =所以(3O a -，由圆O与圆3O3r a=-，解得23a r=.同理()()222r b r b v+--=，得v=O与圆4O3r b=-，解得23b r=，于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.()()222211123222223rr r rSππππ⎛⎫⋅-⋅--⋅⋅ ⎪⎝=⎭阴影2109rπ=，所以22102099812SrrSππ==阴影大半圆，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1 14. ②⇒①③15. 2 16.24+【解析】13. ()0D x=或1，()()1D Dx=.14. ②⇒①③.15. tan60ba=︒=2223c aa-=，224ca=，所以2cea==.16.由题意，112na≤≤，22111122n n n na a a a++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭221114n n n na a a a++⇒-+=--①，于是22221114n n n na a a a++++-+-=-②，②-①得()()2210n n n na a a a++-+-=，因为134a=，所以210n na a++-≠，所以2n na a+=，所以数列{}n a是周期数列，周期为2，所以202021224a a==+=.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解：如图，2sinsin 32sin sin 6ABD ACD c S BD c BAD S DC b CAD b ππ∆∆∠==⇒=∠2==，①1151sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆====联立①，②，解得b =c =在ABC ∆中，由余弦定理，得22252cos 682266a b c bc A π=+-=+-=，所以a =18. 解：（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i tty y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元.19.（1）证明：如图，连接MO 交AB 于N ，连接FN ，MB . 则N 是AB 的中点，2AD NM BC ===.因为FO ⊥平面ABCD ，所以平面FMN ⊥平面ABCD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，所以平面//ADE 平面FMN ， 根据题意，四边形ABFE 和DCFE 是全等的直角梯形， 三角形ADE 和NMF 是全等的等腰直角三角形，所以NF MF ==1OF =，在直角三角形BFN 中，NB ==所以AB =2AF =，MB =于是222AF BF AB +=，222MF BF MB +=，所以BF AF ⊥，BF MF ⊥. 因为,AF MF ⊂平面AMF ，AF MF F =I ， 所以BF ⊥平面AMF .（2）解：据（1）可知，楔形几何体EF ABCD -由直三棱柱ADE NMF -和四棱锥F BCMN -组成，直三棱柱ADE NMF -的体积为ADE NMF ADE V S AN -∆=⋅12==四棱锥F BCMN -的体积为13F BCMN BCMN V S FO -=⋅12133=⨯=，所以楔形几何体EF ABCD -的体积为3ADE NMF F BCMN V V --+=. 20. 证明：（1）()11'cos 12f x x x =+-， 当2x ≥时，1102x <≤，11112x -<-≤-，()11111cos 1cos cos 102222x x x x +-≤-=-≤，“=”不能同时取到，所以()'0f x <；当02x <<时，()211''sin 02f x x x =--<，所以()'f x 在()0,2上递减， 因为()1'1cos102f =>，()11'2cos 2022f =-<，所以在定义域()0,+∞存在唯一0x ，使()0'0f x =且()01,2x ∈；当00x x <<时，()'0f x >；当0x x >时，()'0f x <，所以0x 是()f x 在定义域()0,+∞上的唯一极值点且是极大值点.（2）存在12x x ≠，使()()12f x f x =，即11122211sin ln 1sin ln 122x x x x x x +--=+--， 得()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-. 设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，()g x 在()0,+∞上递增， 不妨设120x x >>，则()()12g x g x >，即1122sin sin x x x x ->-，1212sin sin x x x x ->-， 所以()()()()1212121211sin sin 22x x x x x x x x ---<---12ln ln x x =-，得12122ln ln x x x x -<-，121212ln ln 2x x x x x x -+<<-2<，124x x <. 21.（1）解：设()2220a b c c -=>，由题设，得c =4c a =，所以4a =，29b =， 所以C 的标准方程为221169x y +=. （2）解：设(),M m n ，切点分别为1P ，2P ，当4m ≠±时，设切线方程为()y n k x m -=-，联立方程，得()221169y n k x m x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得()()()22216932161440k x k n km x n km ++-+--=，① 关于x 的方程①的判别式()()()222221324169161440k n km k n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦， 化简，得()22216290m k mnk n -++-=，②关于k 的方程②的判别式()()2222244169m n m n ∆=---()224916144m n =+-，因为M 在椭圆221169x y +=外，所以221169m n +>，即229161440m n +->，所以20∆>， 关于k 的方程②有两个实根1k ，2k 分别是切线1MP ，2MP 的斜率.因为12MP MP ⊥，所以121k k =-，即229116n m-=--，化简为2225m n +=. 当4m =±时，可得3n =±，满足2225m n +=，所以M 的轨迹方程为2225x y +=.（3）证明：如图，)2F ，设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，2202022256812577y PQ OP Q y O ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝=⎭-， 2222200817PF y y =+=+⎝， 所以222PQ PF =，即2PQ PF =.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）如图，曲线段C 即为抛物线上一段21122y x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭， 端点11,24A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11,24B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在A 处的切线斜率为1212⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为QA QB ⊥，所以Q 的轨迹是以线段AB 为直径的圆弧（不含端点），以线段AB 的中点10,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为极点，射线MB 为极轴，建立极坐标系， 则Q 点轨迹的极坐标方程为1022πρθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（2）设直线PM 与以10,4M ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆交于两点E ，F ， 则12ME MF ==, 由相交弦定理，得PA PQ PE PF ⋅=⋅()()214ME PM MF PMPM =+⋅-=-2222211114444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 当0t =，即()0,0P 时，PA PQ ⋅最大，最大值为316。
巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)数学试卷答案
语文参考答案·第5页（共27页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ABDCBDBB【解析】1．【“山城学术圈”解析】由{|N y y ==，得[0)N =+∞，，所以[06)M N = ，，故选A ．中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）语文参考答案·第6页（共27页）语文参考答案·第7页（共27页）【解析】13．【“山城学术圈”解析】15i (15i)(1i)1i 5i 523i 1i (1i)(1i)2z +++++-====-+-+-，则||z =语文参考答案·第8页（共27页）17．（本小题满分10分）解：（1）设{}n a 公差为d ，依题意得11133425a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，，所以1(1)21n a a n d n =+-=-*()n ∈N ．…………………………………………………（5分）所以224()1142(41)2143n n T n n -=+=+--⨯ ．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）语文参考答案·第9页（共27页）解：（1）因为222()sin ()sin a c C bc c B -=-，所以222()()a c c bc c b -=-，即222122b c a bc +-=，………………………………………………………………………（3分）所以1cos 2A =.又0πA <<，所以π3A =．………………………………………………………………（6分）1322所以2bc =．………………………………………………………………………………（8分）故ABC △的周长为2a b c ++=+………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）甲通过初试的概率431442146C C C 93C 155P +===，…………………………………（2分）乙通过初试的概率为3133246C C 1C 5P ==，……………………………………………………（4分）所以甲、乙至少一人通过初试的概率为24171.5525P =-⨯=……………………………（6分）语文参考答案·第10页（共27页）（2）甲合格的概率431234423334466C C C 11391(C C )C 8C 8120P ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭ ，………………………（9分）34大.…………………………………………………………………（12分）12015k a a ===，，．………………………………………………………………（2分）当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，43n a n =-．…………………………………………………………………………（5分）语文参考答案·第11页（共27页）当2n ≥时，1111111111(21)22(1)212n S n n n n n nn n ⎛⎫==<=-⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，………………………………………………………………………………………（7分）且2111111111112224222n n n n n ⎛⎫⎪>=- ⎪⎛⎫ ⎪--+- ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………（10分）4133212n T n -<+≤．………………………………………………………………（12分）解得2243a b ==，，所以椭圆C 的方程为143+=．………………………………（4分）语文参考答案·第12页（共27页）韦达定理得：121222693434m y y y y m m -+=-=++，．……………………………………（6分）T (40)，．…………………………………………………………………（9分）1(4TABS x =-△()(4f x x =-，(20)x ∈-，，……………………………………………………………………………………（10分）（12分）21e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………（4分）语文参考答案·第13页（共27页）1x =t e 1-0e 1t <-≤（6分）令2()2ln(1)1h x x x =+-+，则2()0(1)h x x '=<+，…………………………………（9分）。
2021年高三数学下学期第四次模拟考试 文(含解析)
2021年高三数学下学期第四次模拟考试 文（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()()()321+3i 1+3i 1+3i 213i 1+3i 8==--=-。
2．若向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以22()0,+=+cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅+=⋅⋅=即，所以，所以与的夹角为。
3．记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M 落在区域内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意可得集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x ，y ）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S △AOB = ，根据几何概率的计算公式可得P= 。
故选A ．4.把函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f (x )=（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的反函数为，函数项左平移一个单位得到函数的图像，所以函数f (x )=。
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A. B. 4 C. 2 D.【答案】B【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC ⊥底面ABC ，PD ⊥交线BC ，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．∴V P-ABC= 。
6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知物线的焦点为（2,0），所以双曲线的，所以则该双曲线的离心率为。
7．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取出的两瓶中有一瓶是蓝色的概率为，取出的两瓶墨水都是蓝色的概率为，所以取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率。
高三文科数学第四次适应性训练试题及答案
A.①③B.②③C.①④D.②④
11．定义在 上的函数 满足 （ ）， ，则 等于（）
A．2B．3C．6D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为 （ ），传输信息为 ，其中 ， 运算规则为： ， ， ， ，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）
当sin(x+ )= 时，f(x)取最大值4，即b=4.（10分）
将b=4代入上式得 ，故a+b= （12分）
18．解：设甲、乙两条船到达的时刻分别为x,y.则
若乙先到达，则甲必须晚2小时以上到达，即
作图，(略).利用面积比可算出概率为 .
19．
解：（I）如图所示,连结 由 是菱形且 知，
是等边三角形.因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 而 因此 平面PAB.
又 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.
（II）由（I）知， 平面PAB, 平面PAB,所以
又 所以 是二面角 的平面角．
在 中, ．
故二面角 的大小为
20．解：
（1）
.
上是增函数.
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数 .
（I）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；
（II）当a<0且x [0, π]时，函数f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙两条轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘船都不需要等侯码头空出的概率？
重庆市2024届高三高考适应性月考卷(四)数学试题含解析
数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合()(){}Z 243A x x x =∈--<，则A 的子集个数为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素个数，即可判断子集个数.【详解】由22(2)(4)68365(1)(5)0x x x x x x x x --=-+<⇒-+=--<，即15x <<，所以{2,3,4}A =，共有3个元素，故A 的子集个数为328=个.故选：B2.若复数z 满足()1i 34i z -=-，则复数z 的虚部为（）A.12-B.12C.1i 2D.1i2-【答案】B 【解析】【分析】应用复数除法求z ，根据共轭复数、虚部定义即可得答案.【详解】由题设34i (34i)(1i)7i 1i 22z --+-===-，则7i2z +=，所以复数z 的虚部为12.故选：B3.在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，2AE ED =，则BE = （）A.5166AB AC -+B.1566AB AC--C.5166AB AC--D.1566AB AC-+【答案】A 【解析】【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.【详解】因为2AE ED =，所以13AE AD= 由已知可得，()12AD AB AC =+，所以，()16AE AB AC =+，所以，()151666BE AE AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+.故选：A.4.阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.若有34min 可用，那么坐公交车不迟到的概率大C.若有38min 可用，那么骑自行车不迟到的概率大D.()(30)301P X P Y >+≤=【答案】D 【解析】【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】观察图象知，()()2212~30,,~34,X N Y N σσ，对于A ，Y 的密度曲线瘦高、X 的密度曲线矮胖，即随机变量Y 的标准差小于X 的标准差，即12σσ>，因此Y 的数据较X 更集中，A 正确；对于B ，显然1(34)(34)2P X P Y ≤>=≤，则当有34min 可用时，坐公交车不迟到的概率大，B 正确；对于C ，显然(38)(38)P X P Y ≤<≤，则当有38min 可用时，骑自行车不迟到的概率大，C 正确；对于D ，显然11(30),(30)(34)22P X P Y P Y >=≤<<=，因此(30)(30)1P X P Y >+≤<，D 错误.故选：D5.已知圆221:430C x y x +++=，圆222:8120C x y x +-+=，下列直线中不能与圆1C ，2C 同时相切的是（）A.30y +=B.30y -=C.80x +=D.80x -=【答案】D 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可.【详解】由题意知：()()22221221,44C x y C x y ++=-+=：：，所以圆1C 的圆心为(2,0)-，半径为1；圆2C 的圆心为(4,0)，半径为2，对于A ，圆1C 的圆心(2,0)-到直线的距离为11d ==，与半径相等，故满足相切条件，圆2C 的圆心(4,0)到直线的距离为22d =，与半径相等，故也满足相切条件，30y +=是两圆的一条公切线；对于B ，圆1C 的圆心(2,0)-到直线的距离为11d ==，与半径相等，故满足相切条件，圆2C 的圆心(4,0)到直线的距离为22d =，与半径相等，故也满足相切条件，30y -=是两圆的一条公切线；对于C ，圆1C 的圆心(2,0)-到直线的距离为11d =，与半径相等，故满足相切条件，圆2C 的圆心(4,0)到直线的距离为22d ==，与半径相等，故也满足相切条件，即直线80x +=是两圆的一条公切线；对于D ，圆1C 的圆心(2,0)-到直线的距离为1513d =≠，不满足相切条件，即直线80x -=不可能是两圆的公切线；故选：D.6.已知函数()33x x f x -=++，则不等式()()21f x f x +>的解集是（）A.1,13⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,-+∞C.()1,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D.11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】判断出函数()f x 奇偶性、单调性，可得21x x +>，再解不等式可得答案.【详解】由题意x ∈R，函数()()33--==+x x f x f x ，所以()f x 是偶函数，令()33x xg x -=+，设210x x >>，则()()()121122121212313333333+--+--=+--=-x x x x x x x x x x g x g x ，因为210x x >>，所以1212033,3+>>x x x x ，所以()()12g x g x >，所以()33xxg x -=+在()0,x ∈+∞上单调递增，因为y =()0,x ∈+∞上单调递增，所以()33x x f x -=+在()0,x ∈+∞上单调递增，在(),0x ∈-∞上单调递减，因为不等式()()21f x f x +>，所以21x x +>，解得1x <-，或13x >-，则不等式()()21f x f x +>的解集是()1,,13⎛⎫-+∞-∞- ⎪⎝⎭.故选：C.7.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，若()()122f x f x ⋅=-，则21a x x -的最小值为（）A.π2 B.πC.3π4D.5π4【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()sin2cos2f x x a x =+，结合其图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称，可推出辅助角ϕ的表达式，结合其意义求得a 的值，再()()122f x f x ⋅=-结合函数最值以及周期，即可求得答案.【详解】由题意得()sin2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，（sin ϕϕ==），由于函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故π2π,8k k ϕ⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，即ππ,4k k ϕ=+∈Z ，由于tan a ϕ=，故πtan tan(π)=1,4a k k ϕ==+∈Z ，故()π)4f x x =+，最小正周期为2ππ2T ==，由于()()122f x f x ⋅=-，故()()12,f x f x 中的一个为函数最大值，另一个为最小值，即2121a x x x x -=-的最小值为π22T =，故选：A8.已知正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，且224n n n T a +=，2024>的最小正整数n 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】由递推关系224n n n a T +=可得11n nn n a a +-=，取对数并利用累乘法可求得{}n a 的通项公式，再求出n T ，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由题，0n a >，又224n n na T += ，12114n n n a T +--∴=，*2,N n n ≥∈，两式相除可得11n n n n a a +-=，上式两边取对数，可得()11lg lg n n n a n a -+=，即1lg 1lg n n a n a n-+=，*2,N n n ≥∈，12121lg lg lg 13lg lg lg 12n n n n a a a n n a a a n n ---+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯- ，化简得1lg 1lg 2n a n a +=，解得12n n a +=，又32114a T =，即14a =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=，()323122222n n n n T ++∴=⨯⨯⨯= ，2024>，即()3222n n +>，解得31852n -+>，且311522-+<<，所以满足题意的最小正整数n 的值为6.故选：C.【点睛】关键点睛：本题要由递推关系224n n n a T +=求出通项公式12n n a +=，再根据前n 项积求出n T .二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图，已知圆锥的轴截面PAB 为正三角形，底面圆O 的直径为2．E 为线段PB 的中点，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，D 为弦AC 的中点，则（）A.//PA 平面EOCB.平面PAC ⊥平面PDOC.线段PD 长度的取值范围为)2D.三棱锥-P ABC 体积的最大值是【答案】ABC 【解析】【分析】根据线线平行即可求解A ，根据线面垂直即可求证面面垂直，根据线面垂直的性质即可求解C ，根据体积公式即可求解D.【详解】由题意可知PAB 为边长为2的等边三角形，OP =由于E 为线段PB 的中点，O 为线段AB 的中点，所以//PA OE ,而PA ⊄平面EOC ,OE ⊂平面EOC ,故//PA 平面EOC ，A 正确，由于AB 是直径，所以AC AB ⊥,,O D 分别为中点，所以//,OD AB OD AC ∴⊥,又PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以,PO AC ⊥,,PO OD O PO OD ⋂=⊂平面POD ，故AC ⊥平面POD ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PDO ，B 正确，由于PO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，所以PO OD ⊥,故PD ===,由于()10,12OD BC =∈,所以)2PD ∈，C 正确，2111111113232323223P ABCAB V AC BC PO BC -=⨯⋅⋅=⨯⋅≤⨯=⨯=,当且仅当AC BC ==33，故D 错误，故选：ABC10.设A ，B 是双曲线2214y x -=上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是（）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,1 D.()1,4【答案】AD 【解析】【分析】A 选项由双曲线的对称性可直接判断，B 、C 、D 选项，首先根据点差法分析可得4AB k k ⋅=，结合双曲线的渐近线斜率可判断B ，C 、D 可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A ：因为双曲线关于y 轴对称，所以当直线AB 的方程为2y =时，线段AB 的中点为(0,2)，故A 正确；当直线AB 的斜率存在且不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221414y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121204y y x x ---=，所以221222124AB y y k k x x -⋅==-.对于选项B ：可得2,2AB k k =-=-，则:22(1)AB y x -=+，即24y x =+，双曲线的渐近线方程为2y x =±，由于24y x =+与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C ：可得1,4AB k k ==，则:14(1)AB y x -=-，即43y x =-，联立方程224314y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得22413012x x -+=，此时22441213480∆=-⨯⨯=-<，故直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4,1AB k k ==，则:41AB y x -=-，即3y x =+，联立方程22314y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得236130x x --=，此时()2643130∆=-+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：AD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图像如图所示，则（）A.()f x 在(),a b 上有极小值B.()f x 在(),a b 上有极大值C.()()exg x f x -=⋅在x a =时取极小值D.()()e xg x f x -=⋅在x b =时取极小值【答案】BD 【解析】【分析】根据()f x 与()f x '的关系，结合函数图象判断AB ；对()g x 求导，结合()f x 与()f x '的大小关系，分析()g x 的单调性和极值，即可判断CD.【详解】根据()f x 与()f x '的关系可知：()f x 先增后减再增，()f x '先减后增，由图象可知：()f x 在(),a b 上有极大值，无极小值，故A 错误，B 正确；因为()()exg x f x -=⋅，则()()()exf x f xg x '-'=，当x a <时，()()f x f x '>，则()()0f x f x '->，可得()0g x '>，所以()g x 在(),a -∞内单调递增，当a x b <<时，()()f x f x '<，则()()0f x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(),a b 内单调递减，当x b >时，()()f x f x '>，则()()0f x f x '->，可得()0g x '>，所以()g x 在(),b ∞+内单调递增，综上所述：()g x 在x a =时取极大值，在x b =时取极小值，故C 错误，D 正确；故选：BD.12.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n 次，每次发射信号“1”的概率均为p ．记发射信号“1”的次数为X ，记X 为奇数的概率为1f ，X 为偶数的概率为2f ，则下列说法中正确的有（）A.当3n =，12p ≥时，()122P X ≥≤B.12p =时，有12f f =C.当10n =，45p =时，当且仅当8X =时概率最大D.102p <<时，1f 随着n 的增大而增大【答案】BCD 【解析】【分析】由题意知发射信号“1”的次数为X 和概率p 符合二项分布(),X B n p ~，然后对各项分别求解即可判断.【详解】由题意得发射信号“1”的次数为X 和概率p 符合二项分布(),X B n p ~，对于A ：当3n =，X 可取0,1,2,3，所以()()()()22332333223C 1C 32P X P X P X p p p p p ≥==+==-+=-，因为112p ≤<，所以23334p ≤<，31224p -<-≤-，所以235113244p p -<-<，故A 项错误；对于B ：当12p =时，即每次发射信号“1”和发射信号“0”的概率相等，所以X 为奇数的概率和X 为偶数的概率相等，即12f f =，故B 正确；对于C ：当10n =，45p =，此时()101014C 55kkk P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，010,k k ≤≤∈Z ，当x k =取得概率最大时，即()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即10911101010111110101414C C 55551414C C 5555k k k k k k k k k k k k --++----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得8k =，故C 项正确；对于D ：由题知当102p <<，发射信号“1”的次数为X 和概率p 符合二项分布(),X B n p ~，由二项式的均值公式()E X np =，当概率p 一定时，n 越大则()E X 的值越大，所以X 能够出现奇数的概率1f 也增大，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.已知数列{}n a 满足111n n n a a a ++=-，*n ∈N ，若11a =-，则数列{}n a 的前2023项之和为________．【答案】1010【解析】【分析】首先求出数列{}n a 是以3为周期的数列，再求前2023项和即可.【详解】因为111n n n a a a ++=-，显然，1n a ≠，所以111n n a a +=--，又因为11a =-，令1n =可得211121a a --==，令2n =可得32211a a --==，令3n =可得43111a a -=-=-，所以数列{}n a 是以3为周期的数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则202367431167412110102S S ⨯+⎛⎫==⨯-++-= ⎪⎝⎭，故答案为：1010.15.知函数()25ln f x x x a x =-+在()3,4上存在递增区间，则实数a 的取值范围为________．【答案】()12,-+∞【解析】【分析】求出函数的导数()25af x x x-'=+，然后导数在区间()3,4上有()0f x '>即可求解.【详解】由题意得()25ln f x x x a x =-+的定义域为()0,+∞，所以()22525a x x af x x x x='-+=-+，因为函数()f x 在区间()3,4上存在递增区间，即225x x a ->-在区间()3,4上能成立，即()2max25x xa ->-，设()225g x x x =-，开口向上，对称轴为54x =，所以当()3,4x ∈时，()g x 单调递增，所以()()max 412g x g ==，所以12a >-，则12a >-，即()12,a ∈-+∞.故答案为：()12,-+∞.16.已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 点是直线2a x c=上一动点，当P点的纵坐标为3a 时，12F PF ∠最大，则椭圆C 的离心率为________．【答案】3【解析】【分析】利用数型结合画出图，分别设1F PM β∠=，2F PM α∠=，从而得()31244222tan tan mc F PF a c c mβα∠=-=-+，然后结合基本不等式从而可求解.【详解】由题意得如图，设直线2a x c =与x轴的交点设为M ，则2,0a M c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，()1,0F c -，()2,0F c ，所以2221a c a MF c c c +=+=，22222a a c b MF c c c c-=-==设1F PM β∠=，2F PM α∠=，得12F PF βα∠=-，则22221tan c a MF c a c PM m cm β++===，222tan b MF b c PM m cmα===，所以()222312222442244222tan tan 2tan tan 1tan tan 1c a b cmc cm cm m F PF c a b a c c m a c c m cm cm cmβαβαβα+--∠=-====+-++-++⨯，因为0,0m a c >>>，3333444422222mc c a c a c c m mc m =≤--++，当且仅当442a c mc m -=，即4422a c m c -=时取等号，由题意知3m a =，12F PF ∠有最大值，所以24423a c a c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得4422338a c a c -=，即22338e e -=，解得213e =或23e =-（舍）.又因为()0,1e ∈，所以3e =.故答案为：33.【点睛】关键点睛：利用数型结合分别求出()31244222tan tan mc F PF a c c mβα∠=-=-+，然后利用基本不等式从而求解.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22nn n a a =，*n ∈N ，5343S S =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)nn n b a n =+-⋅，求{}n b 的前25项和25T ．【答案】（1）12n n a -=（2）25214-【解析】【分析】（1）利用题中的已知条件求出数列的首项与公比，即可求出等比数列的通项公式；（2）利用（1）结论，分组并项求和可得解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比q ，则0q >，由22nn n a a =得22n n nna q a ==，又0q >，则2q =，又5343S S =+，得()()53111212431212a a --=+--，解得11a =，所以12n n a -=．【小问2详解】由（1）得12(1)n n n b n -=+-⋅，则242512251221234232425T b b b =+++=+++-+-++-+- 252512122521412-=+-=--．18.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin sin sin cos cos C CB C B C=++．（1）求证：2A C =；（2）求ba的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意，根据两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式和诱导公式化简计算即可证明；（2）由（1）知sin sin 3B C =，根据正弦定理、两角和的正弦公式和二倍角的正、余弦公式化简计算可得12cos 2cos b C a C=-，结合C 的范围即可求解.【小问1详解】因为cos sin sin sin cos cos C CB C B C=++，所以()()cos cos cos sin sin sin C B C C B C +=+.所以22cos cos cos sin sin sin B C C B C C +=+，所以22cos cos sin sin sin cos B C B C C C -=-，所以()cos cos 2B C C +=-．因为在ABC 中，()cos cos cos 2B C A C +=-=-，所以cos cos 2A C =，由0π,0πA C <<<<，得2A C =．【小问2详解】在锐角ABC 中，()sin sin sin 3B A C C =+=，sin sin 3sin cos 2sin 2cos sin sin 2sin 2b B C C C C C a A C C +===()222sin 2cos 12sin cos 4sin cos sin 12cos 2sin cos 2sin cos 2cos C C C CC C C C C CC C C-+-===-，因为π22A C =<，得ππ32B C =-<，C 为锐角，故ππ,64C ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，令cos t C =，又函数12,2y t y t ==-在(0,)+∞上都单调递增，则122y t t=-在(0,)+∞上都单调递增，所以112cos 22cos 2C t C t -=-在22t ⎛∈ ⎝⎭上单调递增，所以12,223b t a t ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭．19.如图甲是由梯形ABCD ，BEF △组成的一个平面图形，其中AB DC ，AD BC =，DE AB ⊥，1DC AE EF ===，BF DE =．如图乙，将其沿DE ，EB 折起使得EA 与EF 重合，连接FC ，直线FD 与平面BEF 所成角为60°．（1）证明：EF BF ⊥；（2）求图乙中二面角E BF C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明ED ⊥平面BEF ，找到直线FD 与平面BEF 所成角为60°，再计算得到2BE =，1EF =，BF =;（2）以OB ，OM ,OF的方向分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 与平面BFC 的法向量，利用向量法求出二面角即可.【小问1详解】证明：由图甲，DE AE ⊥，可得图乙中DE EF ⊥，又DE EB ⊥，EB EF E = ，EB,EF 含于面BEF,所以ED ⊥平面BEF 则直线FD 与平面BEF 所成角为60DFE ∠=︒，所以在ADE V 中，60A ∠=︒，1AE =，故有2AD BC ==，DE BF ==在甲中作CH AB ⊥，则cos 601BH BC =⋅︒=，1EH DC ==，故2BE =，1EF =，BF =222EF BF BE +=，即EF BF ⊥．【小问2详解】解：在乙中作FO BE ⊥于O ，由（1）知，DE ⊥平面EFB ，OF ⊂平面EFB ，故DE OF ⊥，又因为BE ED E ⋂=，故FO ⊥平面DEBC ，且由（1）知1122EO EF ==，过点O 作//OM DE ，易判断OM BE ⊥,则可以O 为坐标原点，OB ，OM,OF 的方向分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则1,0,02E ⎛⎫-⎪⎝⎭，0,0,2F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(BC =-，3,0,22BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为ED ⊥平面BEF ，所以平面BEF 法向量可以记为()0,1,0m =，设平面BFC 的法向量为(),,n x y z =，则有0,0,030,n BC x n BF x ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩可取)n =，记二面角E BF C --的平面角为α，则cos 13nm m n α⋅==⋅ ，故sin 13α==．20.已知函数()f x 满足()2e xf x x =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x ax >-+，求a 的取值范围．【答案】20.答案见解析21.()2e,-+∞．【解析】【分析】（1）对函数求导得()e 2x f x x ='-，然后令()e 2xm x x =-，再求导，从而求解.（2）利用分离常数得1e x a x x x >+-在区间()0,+∞上恒成立，从而只需求出()1e x g x x x x=+-的最大值，即可求解.【小问1详解】因为()2e xf x x =-，定义域为R ，得()e 2xf x x'=-令()e 2xm x x =-，则()e 2x m x '=-，当()e 20xm x ='-=，得ln 2x =，当(),ln 2x ∈-∞，()0m x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0m x '>，所以()m x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()()min ()ln 221ln 20m x m ==->，即()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间．【小问2详解】由题意()1f x ax >-+在区间()0,∞+上恒成立，即2e 1x x ax ->-+恒成立，即1e xa x x x >+-在区间()0,∞+上恒成立，令()1e xg x x x x=+-，()0,x ∈+∞，只需max()a g x >因为()()()22211e 1e e 1x x x x x x g x x x x -+-⋅-'=-+-=，令()1e x h x x =+-，()0,x ∈+∞，有()10e xh x '=-<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00h x h <=，即1e 0x x +-<，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()max ()12e g x g ==-，即2e a >-，所以实数a 的取值范围为()2e,-+∞．21.混凝土的抗压强度x 较容易测定，而抗剪强度y 不易测定，工程中希望建立一种能由x 推算y 的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()99,x y ．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成对数据的抗压强度x 为横坐标，抗剪强度y 为纵坐标作出散点图，如图所示．（1）从上表中任选2个成对数据，求该样本量为2的样本相关系数r ．结合r 值分析，由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的线性相关关系？（2）根据散点图，我们选择两种不同的函数模型作为回归曲线，根据一元线性回归模型及最小二乘法，得到经验回归方程分别为：①y bx a =+$$$，② 17.8789ln 75.2844y x =-．经验回归方程①和②的残差计算公式分别为 ()i i i e y bx a =-+ ， ()17.8789ln 75.2844i i iu y x =--，1,2,,9i = ．（ⅰ）求91ˆii e=∑；（ⅱ）经计算得经验回归方程①和②的残差平方和分别为()9211ˆ 5.0177i i Q e ===∑，()9212ˆ 2.5007i i Q u===∑，经验回归方程①的决定系数210.9693R =，求经验回归方程②的决定系数22R ．附：相关系数()()niix x y y r --=∑，决定系数()()22121ˆ1ni i i niii y yR y y ==-=--∑∑，2.50070.03070.015305.0177⨯≈．【答案】（1）1r =，答案见解析（2）（ⅰ）0；（ⅱ）0.9847【解析】【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可求解1r =，由相关系数的定义结合统计学知识即可求解，（2）根据残差公式以及决定系数的计算公式即可求解.【小问1详解】不妨设选择的成对数据分别为()11,x y ，()22,x y ，则()()2i i x x y y r --=∑1212121211222222x x y y x x y y x y x y ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪=()()()()121212121212x x y y x x y y --=--．又由表格数据得，当12x x <时，12y y <，则1r =．因为任意两个样本点都在一条直线上，则样本量为2的样本相关系数绝对值都是1（在样本相关系数存在的情况下），显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的．样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系．一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推新变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小，则越不可靠．【小问2详解】（ⅰ）()()()999911119ˆˆˆˆˆˆ90ˆi i i i ii i i i e y bx a y bx a y bx a ====⎡⎤=-+=--=--=⎣⎦∑∑∑∑（直线ˆˆˆy bx a =+经过数据的中心(),x y ）．（ⅱ）∵()()()()99222111992211ˆˆ11i i i i i iiiii i y yeR y y y y ====-=-=---∑∑∑∑，∴()()92921211ˆ1i i i i i ey y R ==-=-∑∑，则()()()()()9922221121992211ˆˆ 2.50071111(10.9693)0.98475.0177ˆii i i i i i i i u u R R y y e =====-=--=-⨯-≈-∑∑∑∑，2R 越大，越接近于1，则模型的拟合效果越好，因此经验回归方程②的拟合效果更好，为最优模型．22.在平面直角坐标系中，抛物线2:2(0)E x py p =>，圆22:(2)1M x y p +-=，F 为抛物线E 的焦点，过F 作圆M．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知A ，B ，C 是抛物线E 上的三点，A 不与坐标原点重合，直线AB ，AC 与圆M 相交所得的弦长均为3，直线BC 与直线AF 垂直，求A 的坐标．【答案】（1）2:2E x y=（2）13,714⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或13,714⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解，（2）求解直线方程，根据圆的弦长公式可得()22216130150a b ab a -++-=，根据一元二次方程根的情况可得230116a b c a +=-，进而可得直线BC 与直线.的斜率，根据垂直关系即可求解【小问1详解】易知()0,2M p ，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故32p MF =．故切线长2l ==，解得1p =，故抛物线2:2E x y =．【小问2详解】已知A ，B ，C 为抛物线上三点，设()22,2A a a ，()22,2B b b ，()22,2C c c ．则直线AB ：()()2222222222b a y x a a a b x ab b a-=-+=+--，圆心M 到直线AB的距离d =，直线AB 与圆M相交所得的弦长为故12d ==12=，即221(22)1()4ab a b ⎡⎤+=++⎣⎦．化简得()22216130150a b ab a -++-=，同理，()22216130150a c ac a -++-=．即b ，c 是方程()22216130150a x ax a -++-=的两根，故230116a b c a +=-，故直线BC 的斜率222223022116BC b c a k b c b c a-==+=--，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且A 点不与坐标原点重合，故直线AF 的斜率221241224AF a a k a a--==，直线BC 与直线AF 垂直，故1BC AF k k ⋅=-，即22304111164a a a a -⋅=--，解得21328a =，即A点坐标为13,714⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或13,714⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．。
2020-2021学年高考数学文科四模检测题及答案解析
最新高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．274．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．1235．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．87．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3C．18 D．12+38．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣29．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．12．在▱ABCD中，•=0，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足不等式，则z=2x﹣y的最大值为______．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为______．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员 A B C D E工作年限x（万元） 2 3 5 7 8年推销金额y（万元） 3 3.5 4 6.5 8（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：+y2=1（a＞1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出关于集合M、N的不等式，得到M的补集，从而求出（∁U M）∩N即可．【解答】解：M={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，N={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，∁U M={x|x≥1}，∴（∁U M）∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：﹣=﹣=+=2i，故选：D．3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．27【考点】伪代码．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由x=3，满足条件1≤x＜4，从而计算可得y的值．【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由于：x=3，满足条件1≤x＜4，可得：y=3﹣1=2．故选：A．4．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．123【考点】归纳推理．【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，问题得以解决．【解答】解：∵1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=47，29+47=76…∴可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，∴m9+n9=76，故选：C．5．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假．【解答】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C6．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用已知条件求解即可．【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=cosB=|BC|2=8．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3C．18 D．12+3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，侧棱与底面垂直，侧棱长是3，∴该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D．8．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C9．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（x）的奇偶性及在x≥0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）＞f（2﹣t），转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=log3（x+1），∴函数在x≥0上为增函数，∵函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）＞f（2﹣t），∴|t|＞|2﹣t|，∴t＞1，∴实数t的取值范围是（1，+∞）．故选：B．10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．12．在▱ABCD中，•=0，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1 B．C．D．【考点】球内接多面体．【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•=0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵平面ABD⊥平面BDC三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4∴外接球的半径为1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足不等式，则z=2x﹣y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，通过平移直线结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是4，故答案为：4．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为 3 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故答案为：3．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是②③④（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．【考点】正弦定理．【分析】根据内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知的式子，由化简的结果进行分类讨论，由内角的范围、余弦定理分别解三角形，根据结果分别判断①、②；利用三角形的面积公式求出△ABC的面积判断③；根据正弦定理判断④．【解答】解：由C=π﹣A﹣B的，sinC=sin（A+B），∵sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，化简得，sinBcosA﹣2sinAcosA=0，则cosA（sinB﹣2sinA）=0，∴cosA=0或sinB﹣2sinA=0，（1）当cosA=0，A=时，由∠C=得B=，∵c=2，∴b=ctanB=，则a=；（2）当sinB﹣2sinA=0时，由正弦定理得，b=2a，∵c=2，∠C=，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，则，解得a=，则b=，此时满足b2=a2+c2，即B=，对于①，当A=时，a=2b，故①错误；对于②，当A=或B=时，△ABC的周长为：a+b+c=2+2，故②正确；对于③，当B=时，△ABC的面积S===，当A=时，=，成立，故③正确；对于④，当A=或B=时，由正弦定理得2R==，得R=，故④正确，综上可得，命题正确的是②③④，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的数列{a n}的通项公式代入b n=a n•3an，求出数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，S n﹣1=，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式．综上，a n=n．（Ⅱ）b n=a n•3a=n•3n（n∈N+），则数列{b n}的前n项和T n，T n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1，﹣2T n=﹣n•3n+1，∴T n=+（﹣）•3n+1，数列{b n}的前n项和T n，T n=+（﹣）•3n+1．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员 A B C D E工作年限x（万元） 2 3 5 7 8年推销金额y（万元） 3 3.5 4 6.5 8（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，画出散点图，利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系；（Ⅱ）利用公式求出线性回归方程即可；（Ⅲ）根据线性回归方程计算x=10时y的值，即可得到预报值．【解答】解：（Ⅰ）年推销金额y关于工作年限x的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大．（Ⅱ）=5，=5，b==，a=5﹣=，∴年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+．（Ⅲ）当x=10时，y=×10+=，∴预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理，证明CP⊥AP，CP⊥D1P，即可证明CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）利用等体积求点P到平面ACD1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=，同理D1C=，AP=同理，Rt△D1A1P中，D1P=，连接C1P，Rt△CCP中，CC1=1，C1P=D1P=，∴CP=，∴CP2+AP2=AC2，CP2+D1P2=D1C2，即CP⊥AP，CP⊥D1P，又AP∩D1P=P，∴CP⊥平面AD1P．解：（Ⅱ）△ACD1中，AC=D1C=，AD1=，∴==．△AD1P中，AD1=AP=D1P=，∴=，设点P到平面ACD1的距离为h，由等体积，得，∴h=1，即点P到平面ACD1的距离为1．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：+y2=1（a＞1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出椭圆C1的方程．利用=c，解得p，即可得出抛物线C2的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．直线方程与抛物线方程联立可得：y2﹣my﹣4=0，利用斜率计算公式可得k OA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得=2，进而得到，，利用向量数量积运算性质可得：，，利用•=2•，及其根与系数的关系解出m，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1．∴椭圆C1的方程为：=1．又F（1，0），∴=1，解得p=2．∴抛物线C2的方程为y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．联立，化为：y2﹣my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．△=16m2+16＞0，∴k OA==，∴直线OA的方程为：x=y，∴，得=2，=，同理=，∴=×+y1y2=﹣3，=x3x4+y3y4=+y3y4=y3y4，∵•=2•，∴y3y4=﹣，∴=•===，∴m2=，∴m=，∴直线l的方程为：x=±y+1．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx++1，设g（x）=f′（x），g′（x）=，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）设h（x）=（x+1）lnx﹣ax+a，由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx++1﹣a=g（x）﹣a，g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，（1）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．（2）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）=，当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，ω（1）=2﹣a＜0，ω（e a）=1+e﹣a＞0，∴∃x0∈（1，e a），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用等腰三角形的性质，证明∠CAE=∠E，即可证明：AC=CE；（Ⅱ）证明△ADF∽△BDA，即可求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC=2∠DBC，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=2∠DBC，∵∠ADB=∠DBC+∠E，∴∠DBC=∠E，∵∠DBC=∠CAE，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABD=∠DBC=∠CAD，∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴AD2=DF•BD=12，∴AD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，∴，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程：=1．同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1．可得曲线C3的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），则|PC|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+，∴当sin时，=．∴PQ的最大值为+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】不等式的证明．【分析】（I）使用基本不等式证明；（II）使用分析法证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a+b+≥3，≥3．∴（a+b+）（a2++）≥3•3=9．（Ⅱ）欲证|1﹣ab|＞|a﹣b|，只需证：（1﹣ab）2＞（a﹣b）2，即1+a2b2﹣a2﹣b2＞0．只需证：（a2﹣1）（b2﹣1）＞0．∵|a|＜1，|b|＜1，显然上式成立．∴|1﹣ab|＞|a﹣b|．2016年10月5日。
高三数学上学期第四次适应性考试试题文扫描试题
第八中学2021届高考适应性月考卷〔四〕 文科数学参考答案一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBAACDDCADCB【解析】1．{141664}{14}B A B =⇒=，，，，，应选C ．2．1>0p p ∆=⇒：为假命题；322q y x y x ==-+：与的图象有交点，q ∴为真命题，应选B ．3．(10)(32)()()3a b a b a b a b +=-=-+-=，，，，，应选A ． 4．1141154455445515n n n n n nn a S a --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭===-=- ⎪⎝⎭-，，应选A ．5．42(2)(3log 2)(4)216f f f =+===，应选C ． 6．设直线方程为y kx =2227|3|2321k k ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪+⎝⎭，应选D ．7．如图1，1//EF CD FED ⇒∠即为1DE CD 和所成的角或者其补角，令11CC =，那么在DEF △中，55222DF EF DE ===，由余弦定理得10cos 5DEF ∠=，应选D ．8．原函数()f x 单减对应导函数()0f x '<，原函数()f x 单增对应导函数()0f x '>，应选C ．9．设00()(30)(30)P x y M N -，，，，，，||5OP =，满足22005x y +=，那么PM PN = 22000000(3)(3)32x y x y x y ----=+-=，，，应选A ．10．由B 点向AC 作垂线交AC 于点D ，满足223(3)444T TBD AD DC T ω=⇒=⇒=⇒π2=，应选D ．11．任意等高处，半径之比为2∶1，截面积之比为4∶1，所以18π==43V V 椭球球，应选C ． 12．2222221144116()1616()2a a a b a b a a b a b ++=+=-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭≥≥，而0cos 1x <≤，cos 1x =∴ 0x ⇒=，应选B ．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．(3i)(1i)12i ||(1i)(1i)z z ++==+⇒=-+14．223π3π3tan2tan333π388=tan 3π3π22421tan 1tan 88==---．15．1sin sin 601202S ab C C C =⇒=⇒=︒︒或，又22()2cos 2a b ab c C ab +--=，当60C =︒⇒ 3a b +=；当120C a b =︒⇒+=16．12BFF S △∶124AF F S=△∶3B y ⇒∶||4A y =∶334A y b ⇒=-，1F Bl ：74A b y x b x c c =+⇒=-，7344A c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴，点A 在椭圆上，代入椭圆方程，得e =．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕解：〔1〕当2n ≥时，11=2(1)n n S a n ----，所以121n n a a -=+，设1n n c a =+，所以11121n n n n c a c a --+==+，所以{}n c 是等比数列． …………………………………………………………〔3分〕 当1n =时，11112112S a a c =-⇒=⇒=，所以1221n nn n n a c a +==⇒=-． …………………………………………〔6分〕 〔2〕(1)(1)(21)(1)2(1)n n n n n nn n b a =-=--=---， ……………………………〔7分〕 23421221234212()()()(22)(22)(22)n n n n n T b b b b b b --=++++++=-++-+++-+3212422223n n --=+++=． ………………………………………………〔12分〕18．〔本小题满分是12分〕解：〔1〕当100n <时，(105)(53)(100)7200y n n n =----=-； 当100n ≥时，5100500y =⨯=，于是，本次售卖利润y (单位：元)关于当天场需求量n (单位：个，n ∈N )的函数解析式为7200100500100n n y n -<⎧=⎨⎩，，，≥.………………………………………………〔5分〕〔2〕购进100个，利润的平均数为3600.14300.25000.7472⨯+⨯+⨯=，………………………………………………………………〔7分〕购进110个，由7220110550110n n y n -<⎧=⎨⎩，，，≥， ……………………………………〔9分〕所以利润的平均数为3400.14100.24800.25500.45500.1487⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………………………………………………………〔11分〕所以他应该购进110个． ……………………………………………………〔12分〕 19．〔本小题满分是12分〕〔1〕证明：当M 为PD 的中点时，能使得AM ⊥平面PDC ． 由PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，所以AM PD ⊥， 由PA ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥， 所以DC ⊥平面PAD ，所以DC AM ⊥， 又PDDC D =，所以AM ⊥平面PDC ． ……………………………………〔6分〕〔2〕解：取PC 的中点为N ，连接MN ，BN ，即求四棱锥P AMNB -的体积和几何体MNABCD 的体积， ………………………………………………………………〔7分〕由于AB ⊥平面PAD ，所以PD AB ⊥，PD AM ⊥， 又ABAM A =，所以PD ⊥平面AMNB ，所以PM 即为四棱锥P AMNB -的高， …………………………………………〔8分〕 又MN12DC ，所以MNAB ，又AB AM ⊥，所以22122ABNM S ==，22PM =所以12213226P ABNM V -==， ………………………………………………〔9分〕又11113263MNABCD P ABCD P ABNM ABCD P ABNM V V V S PA V ---=-=⨯⨯-=-=， 所以12P ABNM MNABCD V V -=． ……………………………………………………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕 方法一：解：〔1〕由切点弦公式知，直线AB 的方程为3y =， …………………………〔2分〕 那么点(33)A -，，点(233)B ，， ………………………………………………〔3分〕 所以AKB △是等边三角形，即π3AKB ∠=． ……………………………………〔5分〕〔2〕设1122()()P x y Q x y ，，，，直线1l y x =+：与抛物线联立，得24(1)x x =+，即2440x x --=，所以121244x x x x +==-，，由于直线l 过焦点(01)F ，，所以1212||21128PQ y y x x =++=++++=． ………………………………………………………………〔7分〕在MKF △中，||||sin sin FM FK MKF FMK =∠∠，由于30105||4MKF FMK FK ∠=︒∠=︒=，，，所以||FM =||FN =，所以||||||MN FM FN =+= ………………………………………………〔10分〕因此，||||||11||||PM QN MN PQ PQ +=-=-． ……………………………………〔12分〕方法二：解：〔1〕曲线214C y x =：，求导得12y x '=， ……………………………………〔1分〕设点A 的横坐标为t ，那么直线KA 的方程为211()42y t t x t -=-，代入点(03)K -，，即22342t t --=-，解得t =±所以点(3)A -，点3)B ， …………………………………………〔3分〕 那么AKB △是等边三角形，即π3AKB ∠=． ……………………………………〔5分〕〔2〕设1122()()P x y Q x y ，，，，直线1l y x =+：与抛物线联立，得24(1)x x =+，即2440x x --=，所以12||x x -== ……………………………………〔7分〕设3344()()M x y N x y ，，，，切线KA ，KB 的方程为(3)(3)0y y ++-=，联立直线1l y x =+：，得(4)(4)0x x +++=，即2480x x --=，所以34||x x -== ………………………………………〔10分〕【注：分别联立直线KA ，KB ，解得34x x ，同样给分】因此，3412||||||||111||||||x x PM QN MN PQ PQ x x -+=-=-=-．………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕〔1〕解：当1a =时，1()e x f x x =+，21()e x f x x '=-+，(1)e 1k f '==-，(1)e 1f =+，∴切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． ………………………〔4分〕 〔2〕证明：0()e e (0)x x aa f x x x ⇒=+>≥≥， …………………………………〔6分〕记()e ln 2(0)xg x x x =-->，1()e x g x x '=-，显然()g x '在(0)+∞，上单增，而120(1)e 102g g ⎛⎫''=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0112x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得0001()e 0x g x x '=-=， …………………………………〔8分〕0000011e ln ln ()x x x g x x x ===-，，在0(0)x ，上单减，在0()x +∞，上单增，000001()()e ln 2220x g x g x x x x =--=+-=≥≥〔当且仅当01x =时取等号〕，而011()02x g x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，，∴，即e ln 2x x >+，故()ln 2f x x >+． …………………………………………………………〔12分〕 22．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：〔1〕直线l 的极坐标方程为π6θ=()ρ∈R ， …………………………………〔2分〕由题意，C的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=，即2220x y x +--=，由直角坐标与极坐标转换公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，，得C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ……………………………………………………………………〔5分〕【注：l 的极坐标方程写为π6θ=或者7π6θ=；C 的极坐标方程为2cos 23sin ρθθ=+均可】 〔2〕C ∵的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴令0θ=，得A 点的极径1π4cos 023ρ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令2π3θ=，得B 点的极径22ππ4cos 233ρ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ………………………………〔8分〕12112π||||sin sin 03223AOB S OA OB AOB ρρ⎛⎫=∠=-= ⎪⎝⎭△∴． …………………〔10分〕 23．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】〔1〕解：35(2)2(1)2|2|31(26)22235(6)2x x x x x y f x f x x x x ⎧-⎪⎪⎪⎛⎫=-+-=-+-=+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩≤，≤，，…………………………………………………………………………〔3分〕 其函数图象如图2所示．………………………………………………〔5分〕〔2〕证明：要证()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证|1|1||ab b a a ->- ，只需证|1|||ab b a ->-，只需证22(1)()ab b a ->-， ………………………………………………〔7分〕22222222(1)()1(1)(1)ab b a a b a b a b ---=--+=--，∵又(10)(01)a ∈-，，∵，(11)b ∈-，，22(1)(1)0a b -->∴，从而22(1)()ab b a ->-，∴原不等式()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立． ………………………………………〔10分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2020届高三数学第四次模拟测试试题文(含解析)
2020届高三数学第四次模拟测试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效．一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再进行交集运算即可.【详解】集合，所以故选C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属基础题.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题.命题“”的否定是:“”所以B选项符合.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的值，根据，即得答案.【详解】，又，.故选：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.4.等比数列中，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列知识可知，进而求出的值，再由进行计算即可得解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5. 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 以上都不是【答案】A【解析】试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由部分到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理．考点：逻辑推理.6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A. B.C. D. 与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积＝阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，阴影部分M的面积为：，阴影部分的面积＝阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，所以，圆锥的底面圆周长为，解得.故选：D.【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2x sin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosx sin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值.【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得：，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.10.在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题首先可以结合角是的内角排除两条直线一条平行于轴、一条平行于轴的情况，然后根据两直线垂直得出，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】当，时，两直线方程为、，相互垂直，因为角是的内角，所以与不可能同时为，故排除这种情况，因为直线与垂直，所以，即，，，故一定等腰三角形，故选：C.【点睛】本题考查两直线垂直的相关性质，若两直线与垂直，则满足一条直线平行于轴、一条直线平行于轴或，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.11.已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】设为的中点，由，可得为等腰三角形，由双曲线的定义可得，在直角三角中，可求出答案.【详解】如图，设为的中点，则,由，即,所以所以为等腰三角形，由双曲线的定义有：，所以则直角三角中，，所以所以，则故选：D【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题.12.已知函数且则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.【详解】由题意可知，是偶函数，且当时，，在区间上，函数单调递增，，原不等式等价于，即，即，解得：，即不等式的解集是.故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数是纯虚数，则实数____________．【答案】1【解析】【分析】根据复数为纯虚数得出复数的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数的值.【详解】由于复数为纯虚数，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，考查计算能力，属于基础题.14.等差数列中，已知，，则其前9项和____________．【答案】81【解析】【分析】由等差数列的性质：若，则可得，即可求出的值，同理可求得，根据求和公式及等差的性质可得，，代入数据即可求解.【详解】在等差数列中，所以，同理，所以，所以.故答案为81.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和的计算，注意灵活应用此性质，可大大降低计算难度，属基础题.15.曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由，则由题意，则所以曲线在点处的切线的斜率为所以所求切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．属于基础题.16.正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则为异面直线与所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，其中，，连接，，因为，所以为异面直线与所成角（或其补角），设，则，，∵为正三角形，∴，由余弦定理得，∴，则，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（每道题12分，共60分）17.已知的内角，，所对的边长分别为，，，的面积为，且．（1）求的值；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由得，即可求出的值；（2）由和，易得和的值，再由可得出的值，进一步可得，进而得出，最后得出.【详解】（1）由得，即，∴；（2）∵，∴，即，①又∵，②又，由①②可得，，又已知，，，，∴或（舍去），故为等腰三角形，所以．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系，考查简单三角恒等变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18.在贯彻精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各户贫困户，工作组对这户村民的年收入、劳动能力、子女受教育等情况等进行调查，并把调查结果转换为贫困指标，再将指标分成、、、、五组，得到如下图所示的频率分布直方图．若规定，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当时，认定该户为“低收入户”，当时，认定该户为“亟待帮助户”．已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的．（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）某干部决定在这两村贫困指标在、内的贫困户中，利用分层抽样抽取户，现从这户中再随机选取户进行帮扶，求所选户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率．附：，其中．【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为绝对贫困户数与村落有关；（2）.【解析】【分析】（1）计算出甲村中“绝对贫困户”的户数，计算出甲、乙两村的“绝对贫困户”户数之和，可得出列联表，可计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出所抽取的户中，抽到的“亟待帮助户”户数为，分别记为、，抽到不是“亟待帮助户”户数为，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有（户），甲、乙两村的“绝对贫困户”有（户），可得出下表：所以的观测值，查表可知，没有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）贫困指标在内的贫困户共有（户），亟待帮助户共有（户），所以利用分层抽样抽取户，抽到的“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、，抽到不是“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、、、，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，其中，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共个.因此，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.19.如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面互相垂直，已知，，（1）求证：平面平面（2）若几何体和几何体的体积分别为和，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得平面ABEF，从而得到，由圆的直径的性质得，故得出平面ADF，从而得出平面DAF平面CBF；（2），设，则可用a表示出，，从而得出体积比．【详解】（1）∵平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF，，平面ABCD，∴平面ABEF，∵平面ABE，∴，∵AB是圆O的直径，∴，又平面ADF，平面ADF，，∴平面ADF，∵平面BCF，∴平面DAF平面CBF；（2）如图，连结、，则，∴，，是等边三角形，过作于，则，平面，设，则，．∴.【点睛】本题考查平面与平面垂直判定，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知双曲线的左右焦点分别为，的周长为12．（1）求点的轨迹的方程．（2）已知点，是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，答案见解析.【解析】【分析】（1）依题意根据椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，（除去与x轴的交点），设方程为，由，，求出即可得到椭圆方程；（2显然直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线的斜率存在时，设方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由求出的取值范围，设点，的中点，列出韦达定理，表示出，由又，得到，得到方程判断方程的解即可；【详解】解：（1）由题意可得，，∴，又∵的周长为12，∴，∴点P的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点），设方程为，∴，∴，∴，∴点的轨迹C的方程为．（2）①当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则，联立，得，由，解得，且．设点，的中点∵，∴又∵，∴，∵∴，此方程无解．综上所述，不存在直线使得．【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若且时，，求的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求得该函数的导数，求出该函数的极值点，并分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出不等式对任意的恒成立，构造函数，可得出，利用导数分析函数在区间上的单调性，求得函数的最小值，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，．令，得．当时，；当时，．函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）等价于，即.令，则,函数在上单调递增，，解得，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是曲线上任意一点，求面积的最大值．【答案】（1），；（2）4.【解析】【分析】（1）利用消去曲线参数方程中的参数得到的普通方程，利用两角和的余弦公式和将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点P的坐标为，可求出点P到直线的距离，易得，进而求出面积的最大值.【详解】（1）由（为参数）消去参数，得，所以曲线C的普通方程为：，由，得，可得直线的直角坐标方程为：；（2）设点P的坐标为，则点P到直线的距离为：，又直线与x轴，y轴的交点分别为，，所以，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数法解决三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化能力，属于常考题.23.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R).(1)当a＝－1时，求f(x)≤2的解集；(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，由，根据绝对值的几何意义，求出满足条件的的值即可；（2）根据题意，把，转化为在上恒成立，求解，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒＋≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，即原不等式的解集为.(2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含，∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，∴当x∈时，|2x－a|＋2x－1≤2x＋1恒成立，∴2x－2≤a≤2x＋2在x∈上恒成立，∴(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，∴0≤a≤3.2020届高三数学第四次模拟测试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效．一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B，再进行交集运算即可.【详解】集合，所以故选C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属基础题.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题.命题“”的否定是:“”所以B选项符合.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的值，根据，即得答案.【详解】，又，.故选：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.4.等比数列中，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列知识可知，进而求出的值，再由进行计算即可得解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5. 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 以上都不是【答案】A【解析】试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由部分到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理．考点：逻辑推理.6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）A. B.C. D. 与的大小关系与半径长度有关【答案】C【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积＝阴影部分的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，阴影部分M的面积为：，阴影部分的面积＝阴影部分的面积，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，所以，圆锥的底面圆周长为，解得.故选：D.【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2x sin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosx sin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．考点：三角函数的性质.9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值.【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得：，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.10.在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题首先可以结合角是的内角排除两条直线一条平行于轴、一条平行于轴的情况，然后根据两直线垂直得出，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】当，时，两直线方程为、，相互垂直，因为角是的内角，所以与不可能同时为，故排除这种情况，因为直线与垂直，所以，即，，，故一定等腰三角形，故选：C.【点睛】本题考查两直线垂直的相关性质，若两直线与垂直，则满足一条直线平行于轴、一条直线平行于轴或，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.11.已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】设为的中点，由，可得为等腰三角形，由双曲线的定义可得，在直角三角中，可求出答案.【详解】如图，设为的中点，则,由，即,所以所以为等腰三角形，由双曲线的定义有：，所以则直角三角中，，所以所以，则故选：D【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题.12.已知函数且则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.【详解】由题意可知，是偶函数，且当时，，在区间上，函数单调递增，，原不等式等价于，即，即，解得：，即不等式的解集是.故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数是纯虚数，则实数____________．【答案】1【解析】【分析】根据复数为纯虚数得出复数的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数的值.【详解】由于复数为纯虚数，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，考查计算能力，属于基础题.14.等差数列中，已知，，则其前9项和____________．【答案】81【解析】【分析】由等差数列的性质：若，则可得，即可求出的值，同理可求得，根据求和公式及等差的性质可得，，代入数据即可求解.【详解】在等差数列中，所以，同理，所以，所以.故答案为81.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和的计算，注意灵活应用此性质，可大大降低计算难度，属基础题.15.曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由，则由题意，则所以曲线在点处的切线的斜率为所以所求切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．属于基础题.16.正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则为异面直线与所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，其中，，连接，，因为，所以为异面直线与所成角（或其补角），设，则，，∵为正三角形，∴，由余弦定理得，∴，则，∴，。
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10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形， ，E是CD的中点，PA 底面ABCD， 。
（I）证明：平面PBE 平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。
20．（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，判断函数 上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求函数 上的最大值.
21．己知双曲线C: 过点A( )作直线 与双曲线C交于P,Q两点，若PQ的长等于双曲线C的实轴长的3倍，求直线 的斜率.
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设｛an｝是等差数列，若 ， ，则数列｛an｝前8项的和为（）
A．128B．80C．64D．56
4．函数 ，若f(a)=2，则 的值为（）
A．3B．0C． D．
5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）
A． B． C． D．
① ② ③ ④ 其中正确式子的序号是
A.①③B.②③C.①④D.②④
11．定义在 上的函数 满足 （ ）， ，则 等于（）
A．2B．3C．6D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为 （ ），传输信息为 ，其中 ， 运算规则为： ， ， ， ，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）
是等边三角形.因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 而 因此 平面PAB.
又 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.
（II）由（I）知， 平面PAB, 平面PAB,所以
又 所以 是二面角 的平面角．
在 中, ．
故二面角 的大小为
20．解：
（1）
.
上是增函数.
整理， 此时，
22．解：（Ⅰ）经计算 ， ， ， ．……………2分
当 为奇数时， ，即数列 的奇数项成等差数列，
；………………4分
当 为偶数， ，即数列 的偶数项成等比数列，
．……………………6分
因此，数列 的通项公式为 ．……… 7分
（注：如遇考生用数学归纳法推证通项公式，可酌情给分）
（Ⅱ） ，………………8分
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数 .
（I）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；
（II）当a<0且x [0, π]时，函数f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙两条轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘船都不需要等侯码头空出的概率？
11.A 12.C
二、填空题：13、4 14． 15． 16.
三、解答题：
17.解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b= (2分)
（１）当a=1时，f(x)= ,
当 时，f(x)是增函数，所以f(x)的单调递增区间为 （6分）
（２）由 得 ，∴
∴当sin(x+ )=1时，f(x)取最小值3，即 ，
22．（本题满分 分）已知数列 满足： 且 ， ．
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ；
西工大附中2009届高考数学模拟试题（四）（文）
（参考答案及评分细则）
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．5．C6．D7.A8.D9.B10.B
（2）
（i）
当 的单调递增区间是
（ii）
当
当 的单调递增区间是 单调递减区间是 .所以， 的单调递增区间是 单调递减区间是 .
由上知，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=2
又b>1，由2=b3－3b，解得b=2.
所以， 时取得最大值f（1）=2.
当 时取得最大值 .
所以，函数 上的最大值为
21.解:设 : 代入 得 设P( ),Q
6．如图，在长方体 中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1
与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）
A． B． C． D．
7.将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A. B. C. D.
8.函数 的定义域为
A. B.
C. D.
9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为
普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学试卷（文科）
第一卷：选择题
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．若集合 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
2．“ ”是“直线 和直线 互相垂直”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
A．11010B．01100C．10111D．00011
二．填空题(4×4′=16分)：
13．若二项式 的展开式中含 的是第三项，则n的值是
14．已知实数x,y满足 ，则 的最小值为
15．已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=.
16.在长度为a的线段内任取两点将其分成三段，则它们可以构成一个三角形的概率为
当sin(x+ )= 时，f(x)取最大值4，即b=4.（10分）
将b=4代入上式得 ，故a+b= （12分）
18．解：设甲、乙两条船到达的时刻分别为x,y.则
若甲先到，则乙必须晚1小时以上到达，即
若乙先到达，则甲必须晚2小时以上到达，即
作图，(略).利用面积比可算出概率为 .
19．
解：（I）如图所示,连结 由 是菱形且 知，
……（1）
（2）
（1）、（2）两式相减，
得 …………10分
．
．……………………12分