第三章静电场中的导体
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大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
第三章静电场及其边值问题的解法
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
静电场中的导体与电介质习题课
∞ ∞
静电场中的导体和介质习题课
全部分布在外表面。 （2）连接后电荷 ＋q全部分布在外表面。 ）连接后电荷Q＋ 全部分布在外表面
Q+q U1 = U 2 = 4πε 0 R3
（3）内球接地，U1＝0。内球带电 ´，外球壳内表面－ q´， ）内球接地， 。内球带电q´ 外球壳内表面－ ´ 外表面Q＋ ´ 外表面 ＋ q´，
− q′ Q + q′ U1 = + + =0 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R3 R1 R2Q q′ = R1 R2 + R3 ( R2 − R1 )
U 2 = −∫
R1 R2
q′
− q′( R2 − R1 ) Edr = ∫ dr = R2 4πε r 2 4πε 0 R1 R2 0
静电场中的导体和介质习题课
例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（ ）。两 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（εr＝2）。两 ）。 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时， 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下， 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而 给出相应的信号。设金属片面积为50mm2，两金属片间距 给出相应的信号。设金属片面积为 0.6mm。如果电路能检测出的电容的变化是 。如果电路能检测出的电容的变化是0.25pF，那么需要 ， 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 解：按键前电容 C = ε r ε 0 S 1 d ε rε 0 S 按键后电容 C2 = d − ∆d
静电场中的导体和介质习题课
全部分布在外表面。 （2）连接后电荷 ＋q全部分布在外表面。 ）连接后电荷Q＋ 全部分布在外表面
Q+q U1 = U 2 = 4πε 0 R3
（3）内球接地，U1＝0。内球带电 ´，外球壳内表面－ q´， ）内球接地， 。内球带电q´ 外球壳内表面－ ´ 外表面Q＋ ´ 外表面 ＋ q´，
− q′ Q + q′ U1 = + + =0 4πε 0 R1 4πε 0 R2 4πε 0 R3 R1 R2Q q′ = R1 R2 + R3 ( R2 − R1 )
U 2 = −∫
R1 R2
q′
− q′( R2 − R1 ) Edr = ∫ dr = R2 4πε r 2 4πε 0 R1 R2 0
静电场中的导体和介质习题课
例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（ ）。两 下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（εr＝2）。两 ）。 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时， 块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下， 发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而 给出相应的信号。设金属片面积为50mm2，两金属片间距 给出相应的信号。设金属片面积为 0.6mm。如果电路能检测出的电容的变化是 。如果电路能检测出的电容的变化是0.25pF，那么需要 ， 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？ 解：按键前电容 C = ε r ε 0 S 1 d ε rε 0 S 按键后电容 C2 = d − ∆d
静电场中的导体
R1 R2 q′ = Q R1 R3 − R1 R2 − R2 R3
R2
− q′ + q′
R 1
Q + q′
R2
R3
附录: 附录:证明
1 σ∝ Rl >> R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 证明: 用导线连接两导体球
则 VR1 = VR2
Q2 = 即 4πε0R 4πε0R2 1
Q σ3 = − Q 联立求解： 联立求解： σ1 = 0 σ2 = S S EA = EC = 0 EB = Q εoS
若第二块板原来带有电荷Q’，现让其接地，结果如何？ 现让其接地，结果如何？
半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距d=2R 的金属球与地相连接,在与球心相距 例2 半径为 的金属球与地相连接 在与球心相距 处有一点电荷q(>0),问球上的感应电荷 q'=? 处有一点电荷 问球上的感应电荷 解： 利用金属球是等势 球体上处处电势: 球体上处处电势 U= 0 球心处： 球心处：
r r r r ∫ E ⋅ ds = ∫ E内 ⋅ ds = 0 体内无净电荷！ ∴ ∑ q内 = 0 即：体内无净电荷！
2 空腔导体 ,空腔内无电荷时
A B
内表面？ 内表面？ 外表面？ 外表面？
v v ∫ E⋅dS = 0
S
∑q = 0
i
若内表面带电, 若内表面带电,必等量异号
UAB = ∫
AB
3. 导体表面附近的场强
σ∆S
在导体表面上任取面元∆ 在导体表面上任取面元∆S, 如图作底面积为∆ 的高斯柱面,轴线垂直∆ 如图作底面积为∆S的高斯柱面,轴线垂直∆S 则有： 则有：r r r r r r0 r 0 r
R2
− q′ + q′
R 1
Q + q′
R2
R3
附录: 附录:证明
1 σ∝ Rl >> R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 证明: 用导线连接两导体球
则 VR1 = VR2
Q2 = 即 4πε0R 4πε0R2 1
Q σ3 = − Q 联立求解： 联立求解： σ1 = 0 σ2 = S S EA = EC = 0 EB = Q εoS
若第二块板原来带有电荷Q’，现让其接地，结果如何？ 现让其接地，结果如何？
半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距d=2R 的金属球与地相连接,在与球心相距 例2 半径为 的金属球与地相连接 在与球心相距 处有一点电荷q(>0),问球上的感应电荷 q'=? 处有一点电荷 问球上的感应电荷 解： 利用金属球是等势 球体上处处电势: 球体上处处电势 U= 0 球心处： 球心处：
r r r r ∫ E ⋅ ds = ∫ E内 ⋅ ds = 0 体内无净电荷！ ∴ ∑ q内 = 0 即：体内无净电荷！
2 空腔导体 ,空腔内无电荷时
A B
内表面？ 内表面？ 外表面？ 外表面？
v v ∫ E⋅dS = 0
S
∑q = 0
i
若内表面带电, 若内表面带电,必等量异号
UAB = ∫
AB
3. 导体表面附近的场强
σ∆S
在导体表面上任取面元∆ 在导体表面上任取面元∆S, 如图作底面积为∆ 的高斯柱面,轴线垂直∆ 如图作底面积为∆S的高斯柱面,轴线垂直∆S 则有： 则有：r r r r r r0 r 0 r
静电场中的导体
静电场中的导体
一：导体的静电平衡条件：
（到体内有大量自由电子）
若施加外电场E0，自由电子定向飘移，电荷重新分布，导体两端出现等量异号电荷，成为静电感应。
静电感应所产生的感生电荷场生一个附加电场E1，导体内合电场为E=E0+E1
自由电子不断漂移，附加电场不断增大，当E‘=E0时，自由电子停止定向漂移。
导体内合电场E=E0+E’=0 导体达到静电平衡。
条件：①导体内部的场强处处为0。
②导体表面的场强处处垂直与导体表面。
此时，不论导体的内部或表面，均无电子作定向运动。
导体的①：整体成为等势面
②：表面成为等势面
导体上电荷的分布
根据：导体的静电平衡条件，导体内E=0和等势性质。
静电场中的导体
'
'
13
电偶极矩： 斜柱体的体积：
' ql Sl V Sl cos
电极化强度矢量的大小： p
' p cos pn
3、电介质的极化规律，极化率：
' V cos
p
极化强度矢量与该点的合场强有关，并与介质有关 对大多数各向同性电介质
2、电容器及其电容： 平板电容：
同轴柱形电容器 设 长 为 l
s c 0 d
C AB
qA U A UB
带电量为 q 外半径为 RB
8
内半径为 RA 则 q l
L
E 2 0 r B U AB E dl
A
RB
q c 2 0 U AB
同心球形电容器
1.0 102 m 处的电势
3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？
10 4 . 0 10 解：1、 V 9 109 40 R2 3.0 10 2
q
+q
-q
120v
2、定义
R1
+q
V1
R1
q 4 0 r
2
r1
dr
R2
q 4 0 r
0
s
E
0
2
尖端放电的实质 三、静电屛蔽：
+
+ + + + +
+ +
四、导体存在时静电场的计算： 例1、金属板面积为S，带电量为 Q。近旁平行放置第二块不 带电大金属板。 1、求电荷分布和电场分布；
静电场中的导体
静电场中的导体2.1 填空题2.1.1 一带正电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带负电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带正电小球靠近不带电的接地导体时，小球将受到（ ）力作用。
2.1.2 在一个带正电的大导体附近P 点放置一个点电荷q(电荷q 不是足够小)，实际测得它的受力为F ，如果q>0, 则F/q 与P 点场强E 0关系为（ ），如果q<0, 则F/q 与P 点场强关系为( )2.1.3 导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）和（ ）。
2.1.4 导体处于静电平衡状态时，导体内部电荷体密度（ ），电荷只能分布在（ ）。
2.1.5 导体处于静电平衡状态时，导体是（ ）体，表面是（ ）面。
2.1.6 接地导体的电势等于（ ），地球与（ ）等电势。
2.1.7 一导体球壳，内外半径分别为R 1和R 2，带电q ，球壳内还有一点电荷q ，则导体球壳的电势是（ ）。
2.1.8 一点电荷q 放在一接地的无限大导电平面附近，则导电平面上的总电量为（ ）。
2.1.9 将一个点电荷+q 移近一个不带电的导体B 时，则导体B 的电势将（ ）。
2.1.10 一封闭导体壳C 内有一些分别带q 1、q 2…的带电体，导体壳C 外也有一些分别带Q 1、Q 2…的带电体，则q 1、q 2…的大小对导体壳C 外的电场强度（ ）影响，对C 外的电势（ ）影响；Q 1、Q 2…的大小对导体壳C 内的电场强度（ ）影响，对C 内的电势（ ）影响。
2.1.11 两个同心导体球壳A 、B ，若内球B 上带电q ，则电荷在其表面上的分布呈（ ）分布；当从外边把另一带电体移近这两个同心球时，则内球B 上的分布呈（ ）分布。
2.1.12 两导体球半径分别为r A 和r B ，A 球带电q ，B 球不带电，现用一细导线连接，则分布在两球上的电荷之比Q A ∶Q B （ ）。
2.1.13 在带等量异号电荷的二平行板间的均匀电场中，一个电子由静止自负极板释放，经t 时间抵达相隔d 的正极板，则两极板间的电场为（ ），电子撞击正极板的动能为（ ）。
电场中的导体和电介质
二、电容器
1、电容器的定义
两个带有等值而异号电荷的导体 所组成的系统，叫做电容器。
+Q
-Q
2、电容器的电容
如图所示的两个导体放在真空中，它们所 带的电量为+Q、-Q，它们的电势分别为 V1、V2，定义电容器的电容为： 计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； •计算两极板之间的电势差； •根据电容器电容的定义求得电容。
3-4 物质中的电场
在静电场中总是有导体或电介质存在的，而且静电场 的一些应用都要涉及静电场中导体和电介质的行为， 以及它们对静电场的影响。
一、静电场中的导体
1、静电感应及静电平衡
若把导体放在静电场中，导体中的自由电子将在电场力的 作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现 出带电的现象，叫作静电感应。 开始时， E’< E0 ，金属内部的场强不零， 自由电子继续运动，使得E’增大。这个过 程一直延续到E’= E0即导体内部的场强为零 时为止。此时导体内没有电荷作定向运动， 导体处于静电平衡状态。
根据静电平衡条件，空腔 由静电平衡条件，腔内壁非均匀 分布的负电荷对外效应等效于： 导体内表面总的感应电荷为 -q， 非均匀分布；外表面，总的感 在与 q 同位置处置 q 。 应电荷为 q，非均匀分布。
9
R
q q q U U U U U 0 q 壳 地 内壁 外壁 q q O o d q外壁 0
C Q V
Q C＝ 4 0 R V
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例题2
2、厚度为d的无限大带电导体板，两表面的电荷均匀
分布，面密度皆为 ，则板外两侧的电场强度的大小
为[ ]。
(A)
2 0
2
(B)
0
(C)
0
d
(D)
2 0
例题3
3、在一个不带电的金属球壳的球心处，放一点电荷 ，
若将 q此点电荷偏离球心，该金属球壳的电势[ ]。
(A)升高； (B) 不变； (C) 降低； (D)不能确定
d
B2
0
解：如图所示，仅有A、B两板时，两板间的电场为
均匀电场，电场强度为E1，方向有A指向B。
当仅有C板，因为C板较薄，可以当做电荷为q、
面积为S的无限大的均匀带电平面，C板在它的两侧
产生的电场强度大小相等，都为 E2
方向如图所示。
2 0
q
2 0S
，
A
S
V
C
d 2
E1
E2
B
d 2
E1
E2
0
A、B、C三板同时存在时的电场强度为两电场强度
5 810 6 C / m2 6 6.5 10 6 C / m2
例题10
10、如图所示，三个面积皆为S、带电量分别为QA 、 QB、 QC的导体板平行放置，达到静电平衡。求各面的
电荷密度。 解：根据电荷守恒
12
1 2
34 56
P
3 4 5 6
A
B
C
1
2
QA S
3
4
QB S
5
6
QC S
根据高斯定理得： 2 3 0
E1 E2
两区域的场强：
即E：103 d1 03
E2
4 0
d2
4 0
如图右侧的板内一点电场强度为零，所以
1 2
1
2
（
0
1
2
3
4
5
6）
0
3 4 5 6
1 6.5 10 6 C / m2 2 510 6 C / m2
8.0cm 5.0cm
E1 E2
解得
3 5 10 6 C / m2 4 810 6 C / m2
B
1A 2 C （2）A板的电势
d1
d2
E1
E2
U AB E 1d1
U AB
1 0
d1
2.3103V
例题8
8、如图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相
距为d，分别维持UA=V，UB=0不变。把一块带电量为q 的导体薄片C插入两极板的正中间，导体片面积也是S，
求薄片C的电势UC？
A
S
V
d
C2
的叠加。结果为C、B间的电场强度ECB=E1+E2；A、 C间的电场强度为ECA=E1-E2；C、B两板间的电势差
为
A
S
V
C
d 2
E1
E2
B
d 2
E1 E2
0
U CB
(E1
E2 )
d 2
E1d E2d V qd
2 2 2 40S
例题9
9、如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块 用导线连接，原来不带电。中间一块上所带电荷总面密 度为 1.3105 C / m2 。求每块板的两个表面的电荷面密 度各是多少？（忽略边缘效应）
例题7
7、如图所示,三个面积相等且很大的平行金属板 A、B、
C，S=0.2m2，A和B之间的距离为d1=0.04m，A和C之间
的距离为d2=0.02m，B和C都接地；如果使A板带电量为
qA=3.0×10-7C，求（1）B和C板上的感应电荷qB，qC？
（2）A的电势UA？ B
AC
d1
d2
解：如图所示，设A板两侧的电荷面密度分别为 1 和 2，A、B板和A、C板间电场强度分别为 E1和 E2 。
E / （0 式中 是该点附近导体表面电荷面密度）
(3)孤立导体表面的电荷面密度与表面的曲率有关。
例题1
1、当一个带电导体达到静电平衡时，正确的说法是 [ ]。 (A)表面上电荷密度较大处电势较高；
(B)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零;
(C)导体内部的电势比导体外表面的电势高；
(D) 表面曲率较大处电势较高。
第三章 静电场中的导体
第三章 静电场中的导体
一、教学基本要求
了解静电平衡状态及平衡条件。
二、基本概念
导体的静电平衡状态 ： 导体内部及表面上的电荷都无宏观定向运动的状
态，称为导体的静电平衡状态。
导体的静电平衡条件： (1)导体内部任一点场强为零； (2)导体表面附近任一点场强方向与表面垂直。 根据静电平衡条件可推出： (1) 导体是等势体；(2)导体表面是等势面。 静电平衡下导体的电荷分布： (1)导体内部没有净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 (2)导体外，靠近导体表面附近某点的电场强度大小为
12
1 2
A
34
P
3 4
解：电荷分布如图所示
根据电荷守恒得：
1
2
QA S
3
4
QB S
B 根据高斯定理得： 2 3 0
x
静电平衡条件得：
Ep
1
2 0
(1
2
3
4)
0
12
1 2
A
34 P
3 4
B
x
解得
1
4
QA QB 2S
2
3
QA QB 2S
总结：四个面的电荷分布特点如下
向背的两面（1和4面）等值同号， 相向的两面（2和3面）等异号。
（1）根据电荷守恒得：
1 S 2 S qAK 1
AB间与AC间的场强分别为
B
1A 2 C
E11 0, E22 0K2
d1
d2
因为B和C板均接地，U AB U AC
E1
E2
即
1 0
d1
2 0
d2 K
3
解得：B和C板上的感应电荷
qB 1S 1.010 7 C
qC 2S 2.0 10 7 C
例题4
4、在半径为R的金属球内偏心地挖出一个半径为r(r<R)
的球形空腔，如图所示，在距空腔中心点d (d<r)处放一
点电荷q，金属球带电-q，则O’点的电势为[ ]。 （A） q q
4 0d 4 0 R
d o o r
（B）
q
4 0d
q
4 0r
R
（C）0
（D）因q偏离球心而无法确定
例题5
5、如图所示,一无限大均匀带电平面附近设置一与之
平行的无限大平面不带电导体板。已知带电平面的电
荷面密度为 ，则导体板两表面的感应电荷面密度分
别为 1 = ， 2 = 。
1 2
p
解：在无限大导体板内任选一点p ，则
p点的场强为0.即
Ep
2 0
1 2 0
2 2 0
0
根据电荷守恒得 1 2
两方程联立解得1
0
2
2
2
例题6
6、如图所示，两个大的导体板A、B，面积都为S、带 电量分别为QA 、QB，当移近后平行放置，达到静电平 衡。求四个面的电荷面密度。
8.0cm 5.0cm
解：如图所示，设各板两侧的电荷面密度分别
为 1、 2、 3、 4、 5和 6 。
根据电荷守恒得 3 4 1.310 5
1 2 5 6 0
根据高斯定理得： 3 2 4 5
1 2 3 4 5 6 两板连接：E1d1 E2d2
8.0cm 5.0cm