必修5《等比数列》
个数
a 与 b 的等差中项 两 相反 个，且互为 唯一 数
备注
任意两个数 a 与 b 只有当 ab＞0 时， a 都有等差中项 与 b 才有等比中项
2
n
3
n
6
n
是 是
1 n ( ） 2
1 n ( ) 3
1 n ( ) 6
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
an amq
nm
试比较 a n =a1qn-1 与上式
练习
已知等比数列an , a5 20, a15 5, 求a20.
解：由a15 =a 5q
5
10
1 q 2 5 5 5 a20 a15 q 或 2 2
1 得 q 4
10
研一研· 问题探究、课堂更高效
对比项 定义 等差中项 等比中项
2.4（一）
若 a，A，b 成等差 若 a， G， b 成 等比 数 数列，则 A 叫做 a 列，则 G 叫做 a 与 b 与 b 的等差中项 定义式 公式 A－a＝b－A a＋b A＝ 2 的等比中项 G b a ＝G G＝ ± ab a 与 b 的等比中项有
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1.等比数列定义：
如果一个数列从第 二 __项起，每一项与它 比 _ 的前一项的 _等于 同 一个常数，那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示
公差通常用字母d表示
等差数列
由于等差数列是 作差 故a 1 d 没有 要求
判断数列是等差数列的方法
等比数列
a3 12, a4 18,
a1q 12 即 3 a1q 18 3 16 解得 q a1 2 3 因此， a a q 16 3 8 2 1 3 2
2
an a1 q
n1
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16 与8. 3
2.4.2《等比数列》 （第二课时）
2.4.1《等比数列》 （第一课时）
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一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数)
2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式 ：an a1 (n 1)d
二、课题引入：
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数称为等比数列的公比。记作 q
n n
bn 的公比为 证明：设数列a n 的公比为p， q，那么数列 a n bn 的第n项与第n+1项分 n 1 n n 别为 a1p n 1 b1q n 1 与 a1p b1q ，即 a1b1 (pq) n 与 a1b1 (pq) ．
因为
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq 为公比的等比数列．
证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，
m＋n－2 ∴am· an＝a2 · q ， 1
s＋t－2 同理，as· at＝a2 ， 1q ∵m＋n＝s＋t，
∴am· an＝as· at.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.4（二）
问题 2
证明
2 在等比数列{an}中， 若 m＋n＝2k， 证明 am· an＝ak (m，
q ≠0
n ∈N +)
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
an=2 n－1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
1 an 2 n 2
an 8 7
·
可见，表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上，如右图所示。
6
5 4
y 2
·
3
· an 的图象是其对应的 结论： 等比数列
细嚼慢咽
(1). an 0 (2) q 0
开动脑筋
非零常数列
是否存在数列既是等比数 列又是等差数列？
考考你
由常数 a, a,, a 所组成的数列 一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
因此，常数列一定是等差数列,但但不一定 是等比数列.
2
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
an=2 n－1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
1 an 2 n 2
an 8 7
·
可见，表示这个等比数列 x 1 的各点都在函数 2 的图象上，如右图所示。
6
5 4
y 2
·
3
· an 的图象是其对应的 结论： 等比数列
1
2
·
2
函数的图象上一些孤立 的点
0
1
3
4
n
等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式 5.性质 (若m+n=p+q)
an1 q an
等差数列
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
a m a n a p a q a m a n a p aq
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d a 4 －a 3 = d
等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
q a2 ___ a1 a3 q ___ a2 ×) q an ___ a n 1 …
n－1个
n－1个
……
+ ) a n －a
n －1
=d (n≥2）
2.中项法:
an1 an1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
2 ac b
五、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
2、a1 .an a2 .an1 a3 .an2 ...
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
当q=1时，这是 一个常函数。
an 0
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
等差数列定义 如果一个数列从第 二项起，每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差
等比数列性质
一、在等比数列{an}中，
1.
am,am+k, am+2k ,am+3k…仍成等比
2.
若m+n=p+q，则 am.an=ap.aq .
,有am.an=a2p
(m，n，p, q N )
特别地,当m+n=2p
3. Sn, S2n-Sn , S3n-S2n …仍成等比
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4.若{an} {bn}为等比数列，则{an bn}也是等比数列。
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n，k∈N*)．
∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，
m＋n－2 ∴am· an＝a2 q ， 1
∵ak＝a1qk－1，
2 2k－2 ∴a2 q . k ＝a1·
∵m＋n＝2k，∴am· an＝a2 k.
结论：如果 a b 是项数相同的等 比数列，那么 a n bn 也是等比数列．
轻松一刻
回答下列各等比数列的公比
1．以下数列是否为等比数列 (1) 2，0，0，0.... (2) 1，x，x ，x .....
2 3
2.等比数列的定义公式
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 . 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
an 是等比数列
an 1 q (n N * ) (q为常数） an
a n 1 b n 1 a1b1 (pq) n pq, n 1 a n bn a1b1 (pq)
特别地，如果是a 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
四、判断等比数列的方法
1.定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 , 且q 0 ） an
三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
当ab>0时,在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比 数列，那么G叫做a与b的
等比中项。
G ab
即G ab
1
2
·
2
函数的图象上一些孤立 的点
0
1
3
4
n
例题讲解
1.在等比数列 a 中,
n
(1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(2)若a2 18, a4 8, 求a1与q;
例题讲解
2.根据右图的框图,写出所打 印数列的前5项,并建立数 列的递推公式.这个数列是 等比数列吗?
开始 A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
an q 行不行？ (n 2, n N * ) 如写成 a n 1
能否改写为an 是等比数列 an1 an q (n N * )
？ (q为常数）
为什么不能？
三.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
高中数学必修五--等比数列
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
高中数学必修5常考题型等比数列 Word版含解析
等比数列【知识梳理】．等比数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示(≠)．．如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做，的等比中项，这三个数满足关系式＝±.．等比数列{}的首项为，公比为(≠)，则通项公式为：＝－.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例】已知数列{}是首项为，公差为－的等差数列，令＝，求证数列{}是等比数列，并求其通项公式．[解]依题意＝＋(－)×(－)＝－，于是＝－.而＝＝－＝.∴数列{}是公比为的等比数列，通项公式为＝－.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法()定义法：＝(为常数且≠)或＝(为常数且≠，≥)⇔{}为等比数列．()等比中项法：＝·＋(≠，∈*)⇔{}为等比数列．()通项公式法：＝－(其中，为非零常数，∈*)⇔{}为等比数列．【对点训练】．已知数列{}的前项和＝－，求证：数列{}是等比数列．证明：∵＝－，∴＋＝－＋.∴＋＝＋－＝(－＋)－(－)＝－＋.∴＋＝.又∵＝－，∴＝≠.又由＋＝知≠，∴＝.∴{}是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例】在等比数列{}中，()＝，＝，求；()＋＝，＋＝，＝，求.[解]()因为(\\(＝，＝，))所以(\\(＝，①＝，②))由得＝，从而＝，而＝，于是＝＝，所以＝－＝.()法一：因为(\\(＋＝＋＝，③＋＝＋＝，④))由得＝，从而＝.又＝，所以×－＝，即－＝，所以＝.法二：因为＋＝(＋)，所以＝.由＋＝，得＝.由＝－＝，得＝.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，＝·－(≠)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用≠验证求得的结果．【对点训练】．()若等比数列的前三项分别为，－，则第项是( )．．－．．－()已知等比数列{}为递增数列，且＝(＋＋)＝＋，则数列{}的通项公式＝.解析：()选∵＝，而＝，＝＝－，∴＝.()根据条件求出首项和公比，再求通项公式．由(＋＋)＝＋⇒－＋＝⇒＝或，由＝＝>⇒>，又数列{}递增，所以＝.。
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一 性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追 踪利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
高中数学人教A版必修5《等比数列》教学反思
《等比数列》教学反思
等比数列和等差数列是两类特殊数列，因为学生学过了等差数列，对等比数列的研究方法有了初步认识，因此我在教学时采取先回顾等差数列的定义、通项公式的探究方法，及通项公式与一次函数的联系，再类比等差数列的研究方法来研究等比数列，因此本节课在教学设计时采取的是：教师为主导，设置问题链，给予适当的启发，以学生为主体，自主探究为主。
在等比数列的概念的建立及通项公式的探索过程都充满了类比归纳的数学思想，目的是使学生体会等差数列和等比数列的知识的有关联系，感受数学的整体性。
上完本节课以后，就课堂反馈情况来看，我的引导比较到位，语言精炼，重点突出，学生配合得很好，达到了教学目标，课堂气氛融洽，不同程度的学生得到了关注，在提问时，我有意抽了基础相对较薄弱的学生，想通过她的掌握情况了解我的教学效果。
从课后作业反馈来看，基础较好的同学很轻松的完成了课后练习，且对课堂提出的探究问题：“等比数列满足什么条件时是递增数列、递减数列？”做了深入的研究，虽然情况较复杂，但完成得很好。
基础差的同学对课堂讲的主要知识点还是能弄懂。
教学是一门学问，也是一门艺术，需要我们在日常教学中不断总结和探索，不断学习，不断研究反思，这样才能取得更大的进步！。
人教课标版高中数学必修五《等比数列(第1课时)》教案(1)-新版
2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二 探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二 新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二 类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一 温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二 类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三 思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四 夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一 初步运用 基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________． 【知识点:等比数列通项公式】 答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二 能力提升 通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】 答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（ ） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】 答案:D 3．课堂总结 【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测 一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破 一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______． 答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ． 答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ． 答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ． 答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研 一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】 二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18． 三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】 由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】 设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即 （1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ． 二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐 一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（ ）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（ ）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（ ）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（ ）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（ ） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________． 答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ． 答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式． 答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22； （2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立． 当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立； 当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。
高一数学必修5等比数列知识点自己总结
高一数学必修5等比数列知识点自己总结等比数列是数学中常见的数列，其特点是每个数与前一个数的比例保持不变。
等比数列在高中数学中常用于解题和推导。
下面是关于高一数学必修5中等比数列的知识点总结。
一、等比数列的定义等比数列是一种数列，它的每一项与前一项之比都相等。
记作a1、a2、a3、...、an、...的等比数列，它的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
二、等比数列的性质1. 公比为0时，等比数列为常数列。
2. 公比大于1时，等比数列呈递增趋势。
3. 公比小于1但大于0时，等比数列呈递减趋势。
4. 公比小于-1但大于-1时，等比数列呈交替增减趋势。
5. 等比数列的首项与公比的正负关系决定了数列的增减趋势。
三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过下述推导得出：设等比数列的首项是a1，公比是r，第n项是an，第n-1项是an-1。
an=a1*r^(n-1) （等比数列的通项公式）an-1=a1*r^(n-2) （等比数列的通项公式）将第一个式子除以第二个式子得：an/an-1=(a1*r^(n-1))/(a1*r^(n-2))=r即等比数列的两项之比恒等于公比r。
四、等比数列的和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算得出：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r) （等比数列的前n项和公式）其中Sn是前n项的和。
特殊情况下，当公比r=1时，等比数列的前n项和可以简化为Sn=n*a1。
五、等比中项等比数列中，若数列中的某个数是它前后两个数的几何平均数，则称该数为等比数列的等比中项。
设该数为x，前一项是a，后一项是b，根据等比数列的性质可得：a/x=x/b即x^2=ab，解得x=√(ab)。
六、等比数列的应用1. 判断一组数是否构成等比数列，可通过两项之比是否恒等于公比来判断。
2. 求等比数列的前n项和，可使用等比数列的前n项和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
高二人数学必修五课件时等比数列的性质
以上内容仅供参考，具体教学 内容和顺序请根据实际教学情 况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利 息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构 成等比数列，首项为本金与利率的 乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性 质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一 种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性 质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据 进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常 数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指 数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等 比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．