3.2-1简单的三角恒等变换
3.代数式变换与三角变换的区别在于： 代数式变换主要是对代数式的结构形式 进行变换；三角变换一般先寻找三角式 包含的各个角之间的联系，并以此为依 据选择可以联系它们的适当公式进行变 换，其中有两个变换原理是需要我们了 解的.
探究（一）：异角和积互化原理
思考1：对于sinα cosβ 和cosα sinβ ， 二者相加、相减分别等于什么？ 思考2：记sinα cosβ ＝x，cosα sinβ ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？
左边是积右边是和差， 从左到右积化和差.
思考4令 ， ， 并交换等式两边的式子可得什么结论？
q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2
q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2
思考5：这两个等式左右两边的结构有什 么特点？从左到右的变换功能是什么？
2 2
tan(α ＋β ) 例2 已知cosx＝cosα cosβ ，求证：
x+ a x- a 2 b t an t an = t an 2 2 2
例3 求函数 y sin x 3 cos x 的周期， 最大值和最小值？
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角 为60°的扇形，C是扇形弧上的动点， ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α ,求 Q 当角α 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个 最大面积. D C
3.2 简单的三角恒等变换
第一课时
问题提出
1 5730 p 2
t
1.两角和与差及二倍角的三角函数公式 分别是什么？ sin(α ±β )＝sinα cosβ ±cosα sinβ
cos(α ±β )＝cosα cosβ msinα sinβ
tan tan tan ( ) 1 tan tan
可分别合成为哪个三角函数？
思考3：sin x - cos x , cos x + 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数？
sin x - cos x =
p cos x + 3 sin x = 2 sin(x + ) 6 p p 思考4： 3 sin(x + ) - cos(x + ) 3 3
p 2 sin(x - ) 4
{
x+y＝sin(α +β ) x-y＝sin(α -β )
方程思想
思考3：由上述分析可知 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 1 cos a sin b = [sin(a + b ) - sin(a - b )] 2 这两个等式左右两边的结构有什么特点？ 从左到右的变换功能是什么？
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 cos a cos b = [cos(a + b ) + cos(a - b )] 2
1 sin a sin b = - [cos(a + b ) - cos(a - b )] 2
思考7：cosθ ＋cosφ ，cosθ －cosφ 分别等于什么？其变换功能如何？
O α A P
小结作业
1.异角和积互化原理与同角和差合成原 理，是三角变换的两个基本原理，具体 公式不要求记忆，但要明确其变换思想， 会在实际问题中灵活运用.
2.“明确思维起点，把握变换方向，抓住 内在联系，合理选择公式”是三角变换的 基本要决.
3.对形如 y a sin b cos 的函数，转 化为 y A sin x 的形式后，可使 问题得到简化，这是一种化归思想.
q+ j q- j cos q + cos j = 2 cos cos 2 2
q+ j q- j cos q - cos j = - 2 sin sin 2 2
思考8：上述关系表明，两个不同的三角 函数的和（差）与积是可以相互转化的， 但转化是有条件的，其中和差化积的转 化条件是什么？ 两个角的函数同名
tan 2
2 tan 1 tan 2
sin2α ＝2sinα cosα
cos2α ＝cos2α －sin2α ＝2cos2α －1 ＝1－2sin2α ；
tan 2
2 tan 1 tan 2
2 tan tan 2 2 1 tan
2.三角函数公式是三角变换的理论依据， 基本的三角公式包括同角关系公式，诱 导公式，和差公式和二倍角公式等.有 了这些公式，使得三角变换的内容、思 路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培中，我们不仅 要掌握公式的正向和逆向运用，还要 了解公式的变式运用，做到活用公式， 用活公式.
探究（二）：同角和差合成原理
思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30° 可合成为哪个三角函数？ sin(20°+30°)=sin50°
1 o 思考2： sin 20 2
3 o cos 20 ,sin(20°-60°) 2
1 o cos 20 2
3 o sin 20 sin(30°-20°) 2
y Asin x
可合成为哪个三角函数？ p p 2 sin[(x + ) - ] 3 6
思考5：一般地，a sin x + b cos x 可 合成为一个什么形式的三角函数？
a sin x + b cos x = a + b sin(x + q)
2 2
b 其中 t an q = a
理论迁移
sin a - sin b 例1 化简 sin a cos a - sin b cos b
简单的三角恒等变换(一)
§ 3.2 简单的三角恒等变换（一）学习目标： ⒈娴熟掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．⒉能灵巧应用和 （差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形 ．教课要点 ：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换对比较中，领会三角变换的特色，提升推理、运算能力．教课难点 ：认识三角变换的特色， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不停提升从整体上掌握变换过程的能力．教课方法 ：讲练联合．教具准备 ：多媒体投影．教课过程 ：（Ⅰ）复习引入：师：前方一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．生：（默写公式）．师：学习了上述公式此后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，进而使三角函数的内容、思路和方法更为丰富，为我们提升推理、运算能力供给了新的平台本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，认识三角恒等变换在数学中的应用．（Ⅱ）讲解例题：例 1 试以 cos表示 sin 2 ， cos 22 ， tan 2．22剖析： 是 的二倍角，所以在仅含 的正弦、余弦的二倍角公式 C (2) 中，2以 取代就能够获得 sin 2 、 cos 2，而后运用同角三角函数的基本关系可222得 tan 2 ． 2解：略．师：例 1 的结果还能够表示为：1 cos1 cos1 cos，sin2， cos， tan21 cos222有些书上称之为半角公式，其符号由角终边的地点确立． 2师：由例题 1 和过去的经验，你以为代数式变换与三角变换有什么不一样？生：代数式变换常常着眼于式子构造形式的变换．三角恒等变换经常第一找寻式子所包括的角之间的联系．师：因为不一样的三角函数式不单会有构造形式方面的差别，并且还会有所包括的角，以及这些角的三角函数种类方面的差别，所以以式子所包括的角之间的关系为依照选择能够联系它们的适合公式，这是三角恒等变换的特色．例 2求证：⑴ sincos1 [sin() sin()] ；2⑵ sinsin2sincos．22剖析：关于⑴我们能够从此中右式出发，利用和（差）的正弦公式睁开、归并即可得出左式．我们也能够从两个式子构造形式的不一样点考虑，发现sin cos 与和（差）的正弦公式之间的联系． 记 sin cos x ，cos sin y ，则有 x y sin() ， x y sin( ) ，由此解出 x ，即求出了 sin cos ．⑵的证明能够直接利用⑴的结果，令， ，解出 、 后代如即可．证明：略师：在此例中，假如不利用⑴的结果，如何证明⑵？大家能够从角与角之间的关系下手考虑．生：将 ，22 代入左侧，而后利用和（差）的2 2正弦公式睁开、归并即可得出右式．师：在例 2 的证明中，把 sin cos 当作 x ，sin当作 y 把等式看作 x ，cosy 的方程，经过解方程组求得 x ，是方程思想的表现； 把 看作 ， 看作 ，进而把包括、 的三角函数式变换成、 的三角函数式，是换元思想的应用．（Ⅲ）课后练习：课本P练习155（Ⅳ）课时小结 :⑴关于例 1 和例 2，不该只看重它的结果，而要从获得结果的过程中领会三角恒等变换的门路和思想方法．⑵进行三角恒等变换的大概过程是：剖析题意，明确思想起点；选择公式，掌握思想方向；实行变换，运用数学思想．（Ⅴ）课后作业：⒈课本 P习题 3.2 A 组⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组⒈156⒉预习课本154 155，思虑问题：P ～ P形如 y a sin x bcos x 的函数如何转变为 y A sin( x ) 的形式？转变过程表现了如何的思想？板书设计：§ 3.2简单的三角恒等变换（一）例1例2小结预习纲要教课后记 :。
高二数学 简单的三角恒等变换(3个课时)教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换教学设计数学教案
简单的三角恒等变换一、教材分析本节内容《简单的三角恒等变换》选自人教版.必修四.第三章第二节,是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式后的内容,其的中心任务是通过以知的和（差）角公式知识以及诱导公式,探索简单的三角恒等变换，通过简单运用，使学生初步理解简单的三角恒等变换的基本原则.二、目标及重难点三维目标： 1.掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路;2.提高对变换过程中体现的换元、方程、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高自己的推理能力;3.由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题.教学重点：学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.三、学情分析我们在组织和引导探索恒等变换的过程中，不仅要考虑学生学习积极性的问题，还有探索过程必需的基础知识学生是否熟练掌握的问题，运用已学知识和方法的能力问题. 四、教学支持条件分析为了加强学生对．复习提问，创设情境的理解，帮助学生克服在学习过程中可能遇到的障碍，我将由和（差）角公式，倍角公式出发，推导出简单的三角恒等变换，让学生更好的理解简单的三角恒等变换。
五、教学过程教学基本流程1 问题2：α与2α有什么关系？2．通过例题及变题，熟练掌握三角恒等变换的思路，方法。
例题1：试以cos α表示2sin 2α、2cos 2α、2tan 2α.分析：考虑二倍角的相对性，α可以看成2α的二倍角（此时亦可称2α为α的半角），结合刚才我们复习的二倍角公式，问题得解。
点评：本题结果还可表示为sin2α=cos2α=tan2α=，并称之为“半角公式”，符号由2α所在象限决定.问题3：请大家观察三个结果，它们有什么共同特点？问题4：代数式变换与三角变换有什么不同？ 变1：求证：sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+ 变2：求证：21cos 22sin 2θθ++=设计意图：通过例题给出“半角公式”，并分析结构上的区别联系.变式训练为了巩固知识，提升能力。
第三章 3.2简单的三角恒等变换(一)答案
2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.2 简单的三角恒等变换（一）班级_______姓名________座号________一、选择题1．已知tan θ－1tan θ＝m ，则tan2θ＝( ) A ．－1m B ．－2mC ．2m D.2m解析：tan θ－1tan θ＝m ＝tan 2θ－1tan θ又tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2tan θtan 2θ－1，∴tan θ＝－2m . 答案：B2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 3．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D ．2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( )A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的，∴a <c <b .6．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用辅助角公式化简求值答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为()A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用弦化切对齐次分式化简求值答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45 ＝－12.故选A. 10．化简：sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析 (1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα， 所以sinα＝43cosα. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．因为cos(α＋β) ＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255. 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－247， 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan （α＋β）1＋tan2αtan （α＋β）＝－211.13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π4，π4]上的值域．解：(1)由已知有f (x )＝cos x (12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin2x －34cos2x＝12sin(2x －π3)．∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈[－π4，π4]，∴2x －π3∈[－5π6，π6]．当2x －π3＝－π2，即sin(2x －π3)＝－1时，f (x )取最小值为－12.当2x －π3＝π6，即sin(2x －π3)＝12时，f (x )取最大值为14.∴f (x )在区间[－π4，π4]上的值域为[－12，14]14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于() A ．－13 B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 15．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)解析：∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴3cos(α＋β)sin(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)， ∴tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.答案：A。
3.2 简单的三角恒等变换
sin 2cos
=2
2
=
2 cos cos 2cos
2
2
2
tan
sin =2
sin 2sin
=2
2
=
2 cos cos 2sin
2
2
2
sin
1 cos ,
1 cos
sin .
思考1:半角公式的符号是由什么决定的?
提示:由 所在象限决定的.
3.2 简单的三角恒等变换
目标导航
1.了解半角公式及其推导过程. 课标要求 2.能用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简和证明.
3.掌握三角恒等变换在研究三角函数图象与性质中的应用.
1.通过半角公式及其推导过程的学习,使学生养成逻辑推理
的核心素养.
素养达成
2.熟练应用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简和 证明,增强数学运算和数据分析的核心素养.
方法技巧
三角恒等式证明的五种常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们 之间的差异,简言之,即化异求同. (4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“ 左边 =1”.
右边
52
5
由 cos θ=2cos2 -1 得 cos2 = 1 cos = 1 .
2
225
因为 5π < < 3 π.
4 22
所以 cos =- 1 cos =- 5 .2源自25
tan
=
sin 2
2cos sin = 22
=
3.2.1三角恒等变换①
[解题过程] (1)∵180° ＜θ＜270° ， θ ∴90° ＜135° ＜ 2 1－cos θ θ sin ＝ 2 2 3 1－－5 2 5 ＝ ＝ 2 5 1＋cos θ θ cos ＝－ 2 2 3 1＋－5 5 ＝－ ＝－ . 2 5 θ sin 2 θ tan ＝ θ ＝－2. 2 cos 2
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
应用半角公式求值 3 已知 cos θ＝－ ， 180° 且 ＜θ＜270° 求 sin ， 5 θ θ θ ，cos ，tan . 2 2 2
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
可用半角公式求值或用倍角的正、余弦表示 半角的正切．
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
栏目导引
3π 1 1 1 1 2.若 ＜α＜2π，化简 ＋ ＋ cos 2α. 2 2 2 2 2 3π 3π α 解析： ∵ ＜α＜2π，∴ ＜ ＜π. 2 4 2 1 1 1＋cos 2α 1 1 2 ∴原式＝ ＋ ＝ ＋ cos α 2 2 2 2 2 1＋cos α 1 1 2α ＝ ＋ cos α＝ ＝ cos 2 2 2 2 α ＝－cos . 2
答案： C
必修4
第三章
三角恒等变换
栏目导引
3 α 3．已知 sin α＝－ ，cos α<0，则 tan 的值为 5 2 ________． 3 解析： ∵sin α＝－ ，cos α<0， 5 4 2 ∴cos α＝－ 1－sin α＝－ ， 5 sin α α ∴tan ＝ ＝－3. 2 1＋cos α 答案： －3
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第三章
三角恒等变换
栏目导引
半角公式
高中数学必修四 第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换
<
0.
∴tan
������ 2
=
−
1-cos������ 1+cos������
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
������ 2
=
1-cos������ sin������
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2������ 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2������ + 2 cos2������
2
π
= 2 sin 2������ + 4 .
������ 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
������ 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
������ 2
3.2.1简单的三角恒等变换(一)课件人教新课标
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ
得 cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ 所以有 sinαsinβ= [c1os(α+β)-cos(α-β)]．
2
3．求证：(1) sinθ-sinψ= 2cos
θ+ψsin
2
(2) cosθ+cosψ= 2cos θ+ψcos
本题证明中用到换元思想和方程思想，(1)式是 积化和差的情势，(2)式是和差化积的情势．
如果记 sinαcosβ = x，sinαcosβ = y． 则有 x+y=sin(α+β) ，x-y=sin(α-β)．
只要解上述方程组，就可以求出x，y．
1．求证：tan
α＝பைடு நூலகம்
2
sinα 1＋cosα
＝
1－cosα．
θ-ψ．
2
θ-ψ．
2
θ-ψ．
2
cos(α+β) -cos(α-β)= 2sinαsinβ
设α+β=θ，α-β=ψ
则θ= θ+2ψ，ψ =
θ-ψ
2
所以 cosθ-cosψ= -2sin
θ+ψsin
2
θ-ψ．
2
4．求证：3+cos4α- 4cos2α=8sin4α.
证明：左边=3+2cos2 2α-1- 4cos2α =2cos2 2α- 4cos2α+2 =2(cos 2α-1) 2 =2(1-2sin2α-1) 2 =8sin4α=右边
三角函数的和（差）公式
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标
[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象