不等式的易错点以与典型例题
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
不等式易错点分析
不等式易错点分析易错点一：忽视字母之间的联系性，使字母范围扩大例1.已知函数c ax x f -=2)(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值与最小值．典型错解：由题意得⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤=54141c a a c ，同向不等式相加可得 930≤≤a ，即30≤≤a ，又由41≤-≤a c ，可得71≤≤c ．∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(， ∴)3(f 的最大值是26，最小值是 —7．错因分析：在26)3(7≤≤-f 中，当且仅当1,3==c a 时，右等号成立；当且仅当7,0==c a 时，左等号成立，这两组字值均不满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，因此26)3(7≤≤-f 中的左右等号均不能成立，故26、－7不是要求的最值．究其原因，是将a 、c 的范围扩大了．正确解答：由c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(， 可设)2()1()3(nf mf f +=，则c a c a n c a m -=-+-9)4()(，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--=+3835194n m n m n m ，∴)2(38)1(35)3(f f f +-=，而1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ， ∴320)1(3535≤-≤f ，340)2(3838≤≤-f ，∴20)2(38)1(351≤+-≤-f f ， 即20)3(1≤≤-f ，当⎩⎨⎧=--=-544c a c a ，即⎩⎨⎧==73c a 时，右边等号成立；当⎩⎨⎧-=--=-141c a c a ，即⎩⎨⎧==10c a 时，左边等号成立；两组值均满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，故)3(f 的最大值是20，最小值是1-.易错点二：忽视一元二次不等式中二次项系数的符号 例 1.已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或 典型错解：由题意知，31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，因此由根与系数的关系得a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，即0135322>-+x x ，解得213>-<x x 或，故选D ． 错因分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断．根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解答：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ． 易错点三：忽视基本不等式中定值的条件例2.已知正数a ，b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值．典型错解：∵)1(211222++≤+b a b a ，等号成立的条件是12+=b a ，122+=b a ，又3222=+b a ，∴342=a ，312=b ，∴12+b a 的最大值为34． 错因分析：)1(2122++b a 并不是定植，利用基本不等式求定值时，定值是前提，先有定值后相等，并不是先相等后求值．正确解答：)12(2122122212222++⨯≤+⨯=+b a b a b a 2)13(42=+⨯=，当且仅当122+=b a ，且3222=+b a 时，等号成立． 解得12=a ，12=b ，即1==b a 时，12+b a 有最大值2．易错点四：忽视基本不等式中等号成立的一致性 例3. 已知0,0x y >>，且12=+y x ，求yx 11+的最小值． 典型错解：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 2422112=⋅⋅≥xy yx ，∴y x 11+的最小值为24．错因分析：错解的原因是连续两次使用基本不等式时，忽视了等号成立的一致性．实际上，第一个取“＝”的条件为yx 11=，即y x =，而第二个取“＝”的条件为y x 2=，这样前后就矛盾了．正确解答：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 22322323+=⋅+≥++=yxx y y x x y ，当且仅当y x x y =2，且12=+y x ， 即12-=x ，221-=y 时，等号成立，yx 11+的最小值为223+． 易错点五：该分类讨论的不分类讨论，或能分类讨论但不能做到“不重不漏”例4.已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围．典型错解：根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a解得562<<-a ，∴所求的实数a 的取值范围是562<<-a ． 错因分析：只把不等式当做x 的一元二次不等式，而忽视其它情形，也就是对2x 的系数该分类的不分类，也就使得解法有漏洞．正确解答：当2=a 时，不等式为014≥-x ，解集非空； 当2-=a 时，不等式为01≥-，解集为空集；当2±≠a 时，根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a ，解得562<<-a ． 综上可得，所求的实数a 的取值范围是562<≤-a ． 不等式问题常见思维误区的归纳与总结：在解决不等式的问题时，易错点还是比较多的，除了上述五个易错点外，易错点还有：不能正确运用不等式的性质；在解不等式或证明不等式时不能对不等式进行等价转化；线性规划中不能正确画图、识图，找不准最优解；利用基本不等式时忽视应用的三个条件缺一不可，等等．了解这些易错点可以帮助我们引以为戒、拨乱反正、健步前冲．。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案
新高中数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得()22m n m nm n m +--≤=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.5．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A 85B ．8C 165D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=5点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.8．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ． 6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.17．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.18．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +> C ．133ab a b ++> D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以23323323236a b a b a b ab++>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。
指数不等式与对数不等式易错点
指数不等式与对数不等式的解法易错点一、忘记根据底数的范围讨论函数的单调性【例1】解不等式2122-+>x x a a0(>a 且1≠a ）. 错解：由2122-+>x x a a ，得2122->+x x ，即0322<--x x ，解得31<<-x ，即2122-+>x x a a 的解集为()3,1-.剖析：本题忘记讨论底数10<<a 与1>a 两种情况，导致错误.正解：当1>a 时，由2122-+>x x a a ，得2122->+x x ，即0322<--x x ，解得31<<-x ；当10<<a 时，由2122-+>x x a a ，得2122-<+x x ，即0322>--x x ，解得31>-<x x 或；综上所述，当1>a 时，不等式的解集为()3,1-；当10<<a 时，不等式的解集为()()+∞-∞-,31, .二、忽视对数式的“真数为正”导致错误【例2】解不等式0)2(log )12(log 212>-++x x错解：由0)2(log )12(log 212>-++x x ，得())2(l o g 12lo g 22->+x x ，即212->+x x ，解得3->x ，即0)2(log )12(log 212>-++x x 的解集为()+∞-,3.剖析：本题忽视对数式中的真数为正值导致错误.正解：由0)2(l o g )12(l o g 212>-++x x ，得())2(l o g 12l o g 22->+x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+21202012x x x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->>->3221x x x ，即2>x ，即0)2(l o g )12(l o g 212>-++x x 的解集为()+∞,2. 三、利用换元思想时，忘记中间元的求值范围导致错误 【例3】若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．错解：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立． 令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. 由二次函数的性质可知：y 取得最小值-1，∴实数a 的取值范围为(－∞，-1]．。
不等式易错点
不等式易错点 【易错点 29】含参分式不等式的解法。
易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
例 29 解关于 x 的不等式 a ( x − 1) ＞1(a≠1)【易错点】不等式化为关于 x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论 解：原不等式可化为： (a − 1) x + (2 − a) ＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. x−2 a − 2 )(x－2)＞0 同解.若 a − 2 ≥2，即 0≤a＜1 时，原不等式无解；若 a − 2 ＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是 当 a＞1 时，原不等式与(x－ a −1 a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞). a＞1 时原不等式的解为(－∞， 当 a＜1 时，若 a＜0，解集为( a − 2 ，2)；若 0＜a＜1，解集为(2， a − 2 )a −1x−2a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞)；0＜a＜1 时，解集为(2， a − 2 )；a=0 时， ∅ ；a＜0 时，解集为( a − 2 ，2). 综上所述：a＞1 时解集为(－∞， a −1 a −1 a −1【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正 确的分类标准，进行分类讨论. 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数 f ( x ) = lg m 2 − 3m + 2 x 2 + 2 ( m − 1) x + 5 （1）如果函数 f ( x ) 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。
必学五基本不等式的题型与易错点
高考基本不等式专题典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1•=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x-1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+•+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1•=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9=1，求x+y 的最小值.思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2y x x y 9•=6. 当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y 9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y 9=1，得x=9-y y . ∵x＞0,y ＞0,∴y＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y＞9,∴y -9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-•-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y 9=1，得y+9x=xy,∴(x -1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x -1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y 9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的X 围对另外一个变量的X 围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy 6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(yb x a +)=a+x ay y bx ++b=10+x ay y bx +. ∵x,y＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数. 解：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,x lg 4＜0.∴-x lg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x＜45,∴4x -5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x451-］+3 ≤-2xx 451)45(-•-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（xx 238223-+-）+23,再求最值. 解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23，∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-•-=4，当且仅当xx 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x＞0,∴0＜y ＜6.S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2y x 32•=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y 24.∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x200+80×200. =800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324•+16 000=44 800, 当且仅当x=x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可. 探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8. ∵n+n8≥2248=⨯n n , 当且仅当n=n 8,即n=22时取等号. 但考虑到n∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。
不等式易错点
易错07 不等式易错点1 分式不等式【例1】（1）（2020·江苏）不等式2302x x +≥-的解集为 。
（2）（2020·福建省永泰县城关中学）不等式2312x x +≤+的解集为 。
【答案】（1）32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >（2）{}|21x x -<≤- 【解析】（1）分式不等式2302x x +≥-等价于230x +=或()()2320x x +->，即32x =-或32x <-或2x >， 故解集为32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >.（2）2312x x +≤+可得102x x +≤+，从而()()12020x x x ⎧++≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤-， 【举一反三】易错导图易错详讲【易错总结】解分式不等式的步骤：（1）移项，把分式不等式一边化为0；（2）通分，化不等式为()0()f xg x >或()0()f x g x ≥形式，转化时应使得(),()f x g x 中最高次项系数为正， （3）转化，化为()()0f x g x >或()()0()0f xg x g x ≥⎧⎨≠⎩，（4）得解．1．（2020·利辛县阚疃金石中学）不等式13x x-≤的解集为______________. 【答案】{0x x 或1}2x ≤-【解析】不等式13x x -≤移项通分可得：120x x --≤，即120xx +≥，所以(12)00x x x +≥⎧⎨≠⎩，解得0x >或12x ≤-，故答案为：{0x x 或1}2x ≤-.2．不等式2115x x +≥--的解集为________．【答案】4{|3x x ≤或5}x > 【解析】原不等式移项得21105x x ++≥-，通分整理得3405x x -≥-， 等价于(34)(5)050x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得43x ≤或5x >.故答案为：4{|3x x ≤或5}x > 3．（2020·北京市昌平区前锋学校）不等式2112x x +≥-的解集为________ 【答案】(,3](2,)-∞-+∞【解析】原不等式等价于21102x x +-≥-，即302x x +≥-，即(3)(2)0,2,x x x +-≥⎧⎨≠⎩因此，原不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞．故答案为：(,3](2,)-∞-+∞易错点2 穿根引线【例2】（2020·吴起高级中学）不等式()()()21120x x x +-->的解集为______________.【答案】()()(),11,12,-∞--+∞【解析】不等式()()()21120x x x +-->等价于()()10120x x x +≠⎧⎨-->⎩，解得()()(),11,12,x ∈-∞--+∞.故答案为：()()(),11,12,-∞--+∞.【举一反三】1．（2020·上海普陀·曹杨二中）不等式()()()()2321120x x x x++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x-≤或1x=-或12x≤≤时，()()()()2321120x x x x++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.2.（2020·云南省保山第九中学）不等式(2)3x xx+<-的解集为（）A．{|2x x<-，或03}x<<B．{|22x x-<<，或3}x>C．{|2x x<-，或0}x>D．{|0x x<，或3}x<【答案】A原不等式可转化为()()230x x x+-<，结合数轴标根法可得，2x<-或03x<<．即不等式的解集为{|2x x<-，或03}x<<．故选：A．3．（2020·江苏省响水中学）不等式2(1)0x x-<的解集为（）A．{|0x x<或01}x<<B．{|1x x<-或01}x<<【易错总结】利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.C ．{|10x x -<<或1}x >D ．{|1x x <-或1}x >【答案】B【解析】2(1)0x x -<等价于(1)(1)0x x x -+<，根据穿根法可得1x <-或01x <<.故选：B.易错点3 基本不等式取“=”【例3】已知a ，b >0且a +b =1，给出下列不等式： ①ab ≤14；②1174ab ab +≥≤；④112a b+≥. 其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②③D ．①③④ 【答案】C【解析】∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤2a b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝14，当且仅当12a b ==时，等号成立，故①正确； 令y=ab ＋1ab ，设t ab =由①可知104t <≤ ，则1y t t =+在104t <≤上单调递减，故当14t =时，y 有最小值117444+=，故②正确；)2＝a ＋b ＋a ＋b ＋a ＋b ＝2，故③正确；112a b + ()11332222b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭332222=⨯+=， 当且仅当b a= 时，等号成立，故④不正确.故选：C 【举一反三】1．（2020·平遥县综合职业技术学校）已知0x >，0y >，且10xy =，则下列说法正确的是（ ）A ．当x y ==25x y+取得最小值B ．当x y ==25x y+取得最大值C ．当2x =，5y =时，25x y+取得最小值 D ．当2x =，5y =时，25x y+取得最大值 【答案】C 【解析】0x ，0y >，且10xy =，20x∴>，50y >，101xy =，252x y ∴+≥==， 当且仅当25x y=即2x =，5y =时，等号成立， 所以当2x =，5y =时，25x y+取得最小值，最小值为2. 故选：C .2．已知27101x x y x ++=+(1x ≠-)，则y 的取值范围为（ ）A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞C ．(,1][7,)-∞-⋃+∞D ．(,1][9,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】由题意，22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当10x +>即1x >-时，4(1)5591y x x =+++≥=+，当且仅当411x x +=+即1x =时，等号成立； 当10x +<即1x <-时，4(1)5511y x x ⎡⎤=--+-+≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()411x x -+=-+即3x =-时，等号成立； ∴y 的取值范围为(,1][9,)-∞⋃+∞. 故选：D.易错点4 分类讨论【例4】（2020·北京八中月考）解关于x 的不等式(m 为任意实数)：()2220mx m x +--<【答案】答案见解析【解析】当0m =时，原不等式化为220x -<，解得1x <； 当0m ≠时，原不等式可化为()()120x mx -+<，即11x =，22x m=-. 当0m >时，20x <，则原不等式的解集为21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0m <时，20x >，当21m-=，即2m =-时，有121x x ==，则原不等式的解集为{}1x x ≠； 当21m -<，即2m <-时，则原不等式的解集为2x x m ⎧<-⎨⎩或}1x >当21m ->，即20m -<<时，则原不等式的解集为.2x x m ⎧>-⎨⎩或}1x <【举一反三】1．（2020·云南昆明二十三中）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.【答案】答案见解析【解析】不等式化为()2330ax a x +-->，即()()310ax x -+>当0a =时，不等式为330x -->，解得1x <-，当0a >时，31a >-，解得不等式为1x <-或3x a >， 当0a <时，若31a >-，即3a <-时，解得不等式为31x a-<<，若31a =-，即3a =-时，不等式无解， 若31a <-，即30a -<<时，解得不等式为31x a<<-， 综上，3a <-时，不等式的解集为31,⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；3a =-时，不等式无解；30a -<<时，不等式的解集为3,1⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；0a =时，不等式的解集为(),1-∞-；0a >时，不等式的解集为()3,1,⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭a .2．解不等式：2(2)10ax a x +++>. 【答案】答案见解析.【解析】①当0a =时，不等式为210x +>，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，②当0a ≠时，22(2)440a a a ∆=+-=+>，恒有两个实根122a x a --=，222a x a --+=，当0a ><，解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭；当0a <时，222424a a a a，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭，综上所述：0a =时，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；0a >时，解集为x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭；0a <时，解集为22a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.3．（2020·安徽省亳州市第一中学）解关于x 的不等式：()21220ax a x +-->.【答案】当0a =时，解集为()2,+∞，当0a >时，解集为：()1(,)2,a -∞-⋃+∞，当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 【解析】①当0a =时，原不等式可化为：20x ->,可得不等式的解集为()2,+∞， ②当0a >时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 不等式的解集为：()1(,)2,a-∞-⋃+∞； ③当0a <时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭, 当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a =-时，不等式的解集为:∅. 易错点5 恒成立和存在问题【例5】（1）设函数()222f x ax x =-+，对任意的()1,4x ∈都有()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）（2020·吉林汽车区第三中学）若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),22,⎡-∞-+∞⎣ B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．-⎡⎣【答案】（1）D （2）C【解析】（1）∵对任意的()1,4x ∈，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，∴()2221111242x a x x ⎡⎤-⎛⎫>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意的()1,4x ∈恒成立， ∵1114x <<，∴2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. （2）因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-.故选：C.【举一反三】1．（2020·辽源市第五中学校）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭， 又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-， 故选：C. 2．（2020·浙江）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛-∞ ⎝⎭ B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭ D ．4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】(]0,2x ∈时，不等式可化为32a ax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x >=，当且仅当x =所以a ，即0a <<； 当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A 3．（2020·江苏省邗江中学）命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)(⎡∞⋃-∞⎣+B ．⎡⎣C ．)⎡∞⎣D ．(-∞ 【答案】B 【解析】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B. 4．（2020·江苏周市高级中学）已知函数()24x x a f x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-【答案】B 【解析】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以()2max 4a x x>--，[)1,x ∈+∞， 又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以()()2max 4145x x--=--=-，所以5a >-，故选：B.1．（2020·湖南）若不等式212x mx +>在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．[]1,1-D ．()1,1-【答案】D【解析】由题意，一元二次不等式2210x mx -+>在R 上恒成立，所以()2240m ∆=--<，解得()1,1m ∈-.故选：D. 2．（2020·云南昆明一中）不等式111x ≥-的解集为（ ） A ．(-∞，1)∪[2，+∞)B ．(-∞，0]∪(1，+∞)C ．(1，2]D ．[2，+∞) 【答案】C【解析】不等式111x -等价于(1)(2)0x x --且10x -≠，解得12x <， ∴不等式的解集为(1，2]．故选：C ．3．（2020·江苏省响水中学）已知函数()()2221f x m x mx =+++R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．[]1,2-C ．[][)2,12,--+∞ D ．(][),12,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】因为函数()()2221f x m x mx =+++R ，避错强化所以()22210m x mx +++≥对任意x ∈R 恒成立， 若20m +=，即2m =-时，则不等式可化为410x -+≥，解得14x ≤，不满足题意； 若20m +≠，即2m ≠-时，只需()2204420m m m +>⎧⎨∆=-+≤⎩，解得12m -≤≤. 故选：B.4．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,1{1}5⎛⎤-⋃- ⎥⎝⎦D ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<，不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，所以只需210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，解得315a -<<. 综上，实数a 的取值范围为3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.5．（2020·浙江温州）若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23,15⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．23,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(),1-∞ D ．(],1-∞【答案】C【解析】因为关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解， 所以222x a x x x-<=-在[1,5]上有解， 易知2=-y x x 在[1,5]上是减函数，所以[1,5]x ∈时，max2211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以1a <．故选：C6．（2020·山西）若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≥B ．10a ≤C ．12a ≤D ．10a ≥【答案】C【解析】由题意，可得2284a x x -≥--，设()()222842212f x x x x =--=--，若13x ≤<，则()1210f x -≤≤-，不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则只需()min a f x -≥，即12a -≥-，解得12a ≤.故选：C7．（2020·北京人大附中高三月考）已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0- 【答案】A【解析】方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，当0x =时，方程无解； 当01x <≤时，则有211x a x x x-==-，令1()g x x x =-， 2221(1)'()10x g x x x -+=--=<，即()g x 在01x <≤时为减函数， 由于(1)0g =，所以，当01x <≤时，()0g x ≥，所以，只要0a ≥，方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解故选：A8．（2020·湖北高三月考）若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3a <-B ．0a <C ．1a <D ．3a >-【答案】C【解析】因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x <-成立，令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-， 因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈-所以max ()(1)1f x f ==，所以1a <，故选：C9．（2020·福建厦门一中）（多选）使得2601x x x -->-成 立的充分非必要条件有（ ） A ．{}21x x -<<B ．{}3x x >C ．{}01x x <<D ．{21x x -<<或}3x > 【答案】ABC 【解析】由2601x x x -->-可得()()()1320x x x --+>，如下图所示：所以，不等式2601x x x -->-的解集为{21x x -<<或}3x >， A 、B 、C 选项中的集合均为集合{21x x -<<或}3x >的真子集， 因此，使得2601x x x -->-成 立的充分非必要条件有A 、B 、C 选项. 故选：ABC.10．（2020·江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）A ．[1,1]a ∈-B ．(2,2)a ∈-C ．[2,2]a ∈-D ．1{}2a ∈ 【答案】ABCD【解析】因为命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，且函数21y x ax =++开口向上，所以当命题p 为真命题时，a R ∈，故命题p 的等价条件为a R ∈，故命题p 成立的一个充分不必要条件可以是a R ∈的真子集，故ABCD 均满足，故选：ABCD.11．（2020·湖南）（多选）下列结论正确的是（ ）A ．当x >02 B ．当x >3时，x +1x的最小值是2 C ．当x <32时，2x -1+423x -的最小值是4 D ．设x >0，y >0，且2x +y =1，则21x y+的最小值是9 【答案】AD【解析】对于选项A ，当0x >0>2≥=，当且仅当1x =时取等号，结论成立，故A 正确；对于选项B ，当3x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但3x >，等号取不到，因此1x x +的最小值不是2，故B 错误；对于选项C ，因为32x <，所以320x ->，则4421322222332y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当43232x x -=-，即12x =时取等号，故C 错误；对于选项D ，因为0x >，0y >，则()222521512y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：AD .12（2020·福建福州）（多选）若0,0m n >>，且111m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．mn 有最大值4B ．2211m n +有最小值12C ．0,0m n ∀>>≤D ．0,0m n ∃>>，使得2m n +=【答案】BC 【解析】因为111m n +=，所以111m n =+≥4mn ≥，故A 不正确； 又2221111221()142m n m n mn +=+-≥-=，故B 正确；211()12m n =+≤=≤，故C 正确； 联立2111m n m m+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22m n mn +=⎧⎨=⎩，所以,m n 是方程2220x x +=-的两根，又此方程无解，故不存在0,0m n >>使得2m n +=，故D 不正确.故选：BC13．（2020·江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（ ）A ．1y x x=+ B．y = C．y = D ．4(2)2y x x x =+>-+ 【答案】BD【解析】0x <时，10y x x=+<，A 错；0>，2y =≥==，即1x =时等号成立，B 正确；同理2y =≥，=等号才能成立，=故2取不到，C 错；2x >-，则20x +>，14(2)22222y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时等号成立，D 正确． 故选：BD ．14．（2020·江苏常熟中学）不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞ 【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩， 解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．15．（2020·江苏省响水中学高一期中）设集合{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+< ，若A B =∅ ，则实数a 的取值围为_________. 【答案】14a ≥- 【解析】因为{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+<，且AB =∅， 所以{}21,302x x a ⎡⎤⋂+<=∅⎢⎥⎣⎦ ，即 当132x ≤≤时，2≥-a x 恒成立，()2max 14a x ≥-=-，所以14a ≥-. 故答案为: 14a ≥-16．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≤-【解析】∵22()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数，且不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则只需min ()(1)30f x f m ==--≥，即3m ≤-.故答案为：3m ≤-.17．（2020·江苏镇江）已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥.∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞.故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.18．（2020·浙江杭州·高三期中）已知0x >，0y >，且21x y +=，则2112y x y++的最小值为________．12【解析】因为21x y +=，0x >，0y >，则210y x =->，所以01x <<， 所以2111121112111y x y x x x xx --+=+=-+++++- ()()()2112111111121211211x x x x x x x x -⎡⎤+⎛⎫=-++++-=-++++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭⎣⎦ ()(2111111131313211222x x x x ⎡-⎡⎤+=-+++≥-++=-++=⎢⎢⎥+-⎢⎣⎦⎣当且仅当()21111x x x x-+=+-，即3x =-3+01x <<范围内，舍去）时，等号成立. 12. 19．（2020·江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式.（1）2340x x -->；（2）213x x-≤-. 【答案】（1）{x 1x <-或43x >}；（2）5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）不等式2340x x -->可化为(1)(34)0x x +->，解得1x <-或43x >， 所以该不等式的解集为{1x x <-或43x ⎫>⎬⎭；（2）∵213x x -≤-，∴2303x x x--+≤-， 即2503x x -≥-，所以(25)(3)0x x --≥且30x -≠ 解得：3x >或52x ≤， 故不等式的解集是5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.20．（2020·上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：（1）212302x x -+-≤； （2）5331x x +-≤.【答案】（1）35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（2）[3,1)-. 【解析】（1）由212302x x -+-≤可得： 20461x x ≤-+，解得：x 或x ≥，故解集为：35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ （2）由5331x x +-≤化简为：531x x +--3≤0， 即261x x +-≤0，等价于(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩， 解得31x -≤<，故解集为[3,1)-.218．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理））解下列不等式. （1）(1)(2)(3)0x x x x -+->；（2）2112x x +≥-. 【答案】（1）(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）(,3](2,)-∞-+∞. 【解析】（1）方程(1)(2)(3)0x x x x -+-=的根为：2,0,1,3-，利用数轴穿根法可得：所以不等式的解集为(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞； （2）()()212131*********x x x x x x x x +++≥⇒-≥⇒≥⇒+-≥---且2x ≠， 解得(,3](2,)x ∈-∞-+∞. 22．（2020·湖北武汉）解关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)>0.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】若a ＝0，则原不等式为一元一次不等式()10x -+>，解得1x <-，故解集为(－∞，－1). 当a ≠0时，方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝1a ，x 2＝－1. 当a >0时，12x x >，所以解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当－1<a <0，即1a <－1时，所以解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a <－1，即0>1a >－1时，所以解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a ＝－1时，不等式化为()210x -+>，所以解集为∅.23（2020·辽宁沈阳二中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >， （4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，（5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >， 综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。
15. 不等式的常见错误有哪些？
15. 不等式的常见错误有哪些？15、不等式的常见错误有哪些？在数学学习中，不等式是一个重要的知识点，但在解决不等式问题时，同学们常常会出现一些错误。
下面我们就来详细探讨一下不等式中常见的错误类型。
一、符号问题在不等式的运算中，符号的处理是最容易出错的地方之一。
例如，当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向需要改变，但很多同学会忽略这一点。
比如，对于不等式－2x ＞ 6 ，在求解时，两边同时除以－2 ，不等号方向应该改变，得到 x ＜－3 。
如果忽略了不等号方向的改变，就会得出错误的结果 x ＞－3 。
还有在移项时，符号也容易出错。
例如，从 3x ＋ 5 ＜ 2x 1 到 3x 2x ＜－1 5 ，如果移项时没有改变符号，就会导致错误。
二、不等式性质运用错误不等式具有一些基本性质，如传递性、加法和乘法法则等。
但在实际运用中，如果对这些性质理解不透彻，就容易犯错。
比如，对于不等式 a ＞ b ， b ＞ c ，那么可以得出 a ＞ c ，这是传递性。
但如果错误地认为 a ＞ b ， c ＞ d ，就能得出 a ＋ c ＞ b ＋ d ，这就是对性质的错误运用。
再比如，对于不等式 a ＞ b ， c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；但如果 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
如果忽略了 c 的正负性，就会得出错误的结论。
三、解集表示错误求出不等式的解集后，在表示解集时也可能出现错误。
例如，对于不等式组的解集，应该是两个不等式解集的交集。
但有些同学可能会错误地将其表示为并集。
另外，在表示区间时，开闭区间的使用也容易出错。
比如，x ≥ 2应该表示为 2, ＋∞），如果写成（2, ＋∞）就是错误的。
四、忽略定义域有些不等式问题中，变量可能存在定义域的限制，如果忽略了这一点，也会导致错误。
例如，对于分式不等式，分母不能为 0 。
在求解（x 1）／（x ＋2）＞ 0 时，不仅要考虑分子分母的正负性，还要注意 x ＋2 ≠ 0 ，即x ≠ －2 。
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不等式的易错点以及典型例题1.同向不等式能相减，相除吗？2.不等式的解集的规书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3.分式不等式()()()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回）4.解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）5.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)6.利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等)7.) R b , (a , b a 2ab2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）； 8.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”10.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）11.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y 的系数变为正值。
如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b 的取值围，但也可以不用线性规划。
11.不等式易错典型例题（1）未等价转化致错例题1：已知1324a b a b-<+<<-<且，则2a+3b的取值围是A1317(,)22- B711(,)22- C713(,)22- D913(,)22-错解：对条件“1324a b a b-<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b的围，再求2a+3b的围，扩大了围。
正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D。
或用线性规划法。
（2）含参函数未讨论致错（3）是否取端点致错（4）充分必要条件概念不清致错例题4-1：设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y+≥ B1122x y>>或 C 1x≥ D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清。
正确答案为D。
（5）均值不等式应用不当致错：一正二定三相等①忽视条件正数②忽视条件定值③忽视条件取等号例7-1若实数m ，n ，x ，y 满足m 2+n 2=a ，x 2+y 2=b （a ≠b ），则mx+ny 的最大值为（ ）A 、2b a +B 、abC 、222b a +D 、ba ab+点评：易误选A ，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。
④多次使用忽视等号是否同时成立例题8-1：实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a 2 , x 2+y 2=b , 则mx+ny 的最大值是 。
A 、2b a +B 、abC 、222b a + D 、22b a +答案：B错因：忽视基本不等式使用的条件，而用2222222ba y n x m ny mx +=+++≤+得出错解。
正解：三角函数换元法设m=a .cosA, n=a sinA; x=b .cosB, y=b sinB则mx+ny=（a .cosA ）（b .cosB ）+（a .cosB ）（b sinB ）=ab .[sin(A-B ）]因此mx+ny 的最大值是ab .⑤用均值不等式时忽略实际情况例题9：数列{a n }的通项式902+=n na n ，则数列{a n }中的最大项是（ ） A 、第9项 B 、第8项和第9项C 、第10项D 、第9项和第10项 答案：D点评：易误选A ，运用基本不等式，求nn a n 901+=，忽略定义域N*。
（6）综合应用中考虑不全致错 例题10：如果2log 3log 2121ππ≥-x 那么x sin 的取值围是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2121,21D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2323,21 正确答案：B错因：利用真数大于零得x 不等于60度，从而正弦值就不等于23，于是就选了D.其实x 等于120度时可取得该值。
故选B 。
（7）不会应用几何意义致错例题11：x 为实数，不等式|x －3|－|x －1|>m 恒成立，则m 的取值围是（ ）A.m>2B.m<2C.m>－2D.m<－2正确答案：D 。
错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。
（8）数形结合应用不当致错例题12：f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2a -＜2c D 22+a c ＜2正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
（9）换元后的取值围不对致错例13：已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos x y -的最大值和最小值。
错解一：22111sin cos (sin )612x y x -=+-，当1sin 6x =-时，取得最小值1112-；当sin 1x =时，取得最大值1；错解二：22111sin cos (cos )212x y x -=--，当1cos 2x =时，取得最小值1112-；当cos 1x =-时，取得最大值43； 正解分析：解法二忽略了围限制，应由1sin 111sin sin 13y x y -≤≤⎧⎪⎨-≤=-≤⎪⎩得：2sin 13y -≤≤。
12.线性规划典型题型由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
（1）求线性目标函数的取值围例1：（一次函数型）若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A拓展：思考二次函数型、指数函数型、对数函数型等。
（2）求可行域的面积例2：不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B例3：在平面直角坐标系xoy 中，已知集合2(,)|00x y A x y x y ⎧-≤⎫⎧⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭，则集合 {}(2,2)|(,)B x y x y x y A =+-∈表示的平面区域的面积为 10例4：在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为M ，1t x t ≤≤+表示的区域为N ，若12t <<，则M 与N 公共部分面积的最大值为解：因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形，再结合图形求公共部分的面积为f （t ）即可，注意将公共部分的面积分解成两个图形面积之差，那么可知公共部分的面积为2AOE BOC FOE 111S S S S EO 1t (2(t 1))222∆∆∆=--=⨯---+，借助于二次函数得到最大值56（3）求可行域中整点个数例5：满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D（4）求线性目标函数中参数的取值围例6：已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D例7：如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若)54,32(是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值围是( A )A ． )103,512(--B ．)125,310(-- C ．)512,103(D ．)103,512(- （5）距离平方型目标函数的最值例8：已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、13，25解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C （6）求约束条件中参数的取值围例9：已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C（7）比值问题（斜率型）当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例10： 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]解析 y x是可行域的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6. 答案A 例11：已知函数f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且f(6)＝2。