包含与排除练习题
包含与排除——精选推荐
和倍问题基本公式和÷（倍数和）=1倍数1倍数⨯倍数=几倍数例1 某校四年级选出48人到区里参加珠算竞赛，其中女同学是男同学的2倍，问：这个学校参加珠算竞赛的男、女生各多少人？练1 五年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍，参加两个小组的各有多少人？练2 师徒二人共加工零件42件，师傅加工数是徒弟的5倍，师徒各加工多少件？例2 小明买了14张画片，小刚买了10张画片，小明送给小刚几张后，小刚的画片张数是小明的3倍？练1 甲、乙两个数之和为72，甲数除乙数商是2，甲、乙两个数各是多少？练2 父子年龄的和是50岁，再过5年父亲的年龄是儿子的4倍，父子现在的年龄各是多少岁？例3 甲、乙二人共有钱810元，甲比乙的3倍还多10元，甲、乙二人各有钱多少元？练1 两个数的和是29，大数除以小数商是4，余数也是4，两个数各是多少？练2 一个除法算式，商是18，余数是4，被除数与除数的和是270，问：除数、被除数各是多少？例4 两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454。
除数是多少？被除数是多少？练1 被除数比除数的3倍多1，并且被除数、除数、商、余数的和是81，求被除数、除数各是多少？练2 某公社有两个仓库共存粮84吨，已知甲仓库存粮比乙仓库的4倍少1吨，甲、乙两仓库各存粮多少吨？练3 甲站有车192辆，乙站有车48辆，每日从甲站开往乙站的有21辆，从乙站开往甲站的有24辆。
问：如此经过几天后，甲站车辆是乙站车辆的7倍？例5 白、红、黄三种棋子共56颗，白棋子是红棋子的2倍，红棋子是黄棋子的2倍，三种棋子各是多少颗？练1 红、黄、白三种棋子共48颗，红的是黄的3倍，白的是黄的2倍，三种棋子各是多少颗？练2 三个生产队合挖一条长1902米的水渠，第一队挖的是第二队的2倍，第三队挖的是第二队的3倍，三个队各挖了多少米？例6 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的2倍多100，乙数是丙数的2倍多50，已知三个数的和是950，三个数各是多少？练1 胜利化肥厂3天共生产2540袋，第二天生产的比第一天生产的2倍少60袋，第三天生产的比第一天生产的3倍少100袋，三天各生产了多少袋？练2 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，分别求出三个人的年龄。
四年级三大原理包含与排除学生版
包含与排除知识要点在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B=+-U I (其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且"的意思。
)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下:I，即阴影面积。
A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B1、先包含——A B+重叠部分A BI计算了2次，多加了1次；2、再排除——A B A B+-I把多加了1次的重叠部分A BI减去。
两者容斥【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +（意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。
用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数。
1. 先包含——A B C ++A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次。
2. 再排除——A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---I I I 计算时都被减掉了。
包含与排除
包含与排除例1、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加一个队，这个班两队都参加的有几个人？同类练习：1、一个班有学生45人，参加数学兴趣班小组的有30人，参加音乐兴趣班小组的有22人，并且每人至少参加一个组，这两个班两组都参加的有多少人？2、某纺织厂的女工，每人至少参加业余唱歌，舞蹈组中的一个组，有30人参加唱歌组，有36人参加舞蹈组，两个组都参加的有10人，大华纺织厂有女工多少人？例2、五年级某班62个同学在课堂小测验中，答对第一道题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人，两题都没有答对的有几个人？同类练习：1、某班39个同学在一项测试中，答对第一题的有28人，答对第二题的有26人，两题都答对的有18人，问两题都答对的有几人2、某班有58个同学，其中35人参加数学兴趣组，引入参加科技兴趣组，有27个人两个小组都参加那么有多少人两个小组都没有参加？例3、某班58人，参加数学竞赛的有29人，参加语文竞赛的有28人，如果两科都没有参加的有25人，同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？同类练习：1、一个旅行团有42人，其中会法语的有21人，会英语的有30人，两样都不会的有6人，两样都会的有多少人？2、四年级一班参加舞蹈队的有16人，参加合唱队的有28人，即参加合唱队又参加舞蹈队的有14人，这两堆都没有参加的有20人，请问这个班共有多少人？例4、同学们排成方队表演体操，不管是从前边还是后边数，不管是从左边还是从右边数，小晨都排在第11个，参加方队表演的一共有多少人？同类练习：1、同学们参加方队表演体操，不管是从前面还是后面数，不管是从左边还是右边数，小红都排在第8个，参加方队表演的一共有多少人？2、五（1）班同学排成4队做操，每队人数一样多，小华的位置是：从前面数第7个，从后面数第9个，这个班共有多少个学生？例5、育才小学举办学生美术作品展览，学校的橱窗里共展出各个年级学生作品，其中有22副不是四年级的，有28副部是五年级的，四、五年级的参展作品共有12副，其他年级参展的作品共有多少副？同类练习：1、新年到了，某小学把同学们制作的新年贺卡进行展览，学校的走廊里挂出各年级同学的作品，其中76张不是二年级的，有98张不是一年级的，一、二年级的参展作品共有24张，其他年级参展的作品共有多少张？2、儿童节那天学校举办各年级同学的书法作品展览，其中有26副不是五年级的，有30副不是六年级的，五、年年级的参展作品共20副，一、二年级参展的作品总数比三、四年级的作品总数少6副，三、四年级作品共有多少副？例6、在1~100的自然数中，即不是3年的倍数也不是5飞倍数的数，有多少个？同类练习：1、在1到100的自然数中，既不是6也不是7的倍数有多少个？2、在1到120的全班自然数中，既不是3的倍数也不是6的倍数有多少个？例7、全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的有15人，既喜欢数学又喜欢自然的有12人，既喜欢作文又喜欢自然的有14人，三门都喜欢的有8人，求全班人数。
(完整word版)包含与排除
【例1】五年级二班40 名同学，其中有25 人没参加数学小组，有18 人参加航模小组，有10 人两个小组都参加．那么只参加了一个小组的学生有多少人？【试一试】1. 李老师出了两道题，全班40 人中，第一题有30 人做对，第2 题有12 人未做对，两题都做对的有20 人．（1）第1 题不对、第2 题对的有几个人？（2）两题都不对的有几个人？【例2】渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305 人参加．有150 名男生和90 名女生参加长跑比赛，有120 名男生和70 名女生参加游泳比赛，有110 名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【试一试】1. 某校参加数学竞赛的有120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有120 名女生、80 名男生．已知该校共有260 名学生参加竞赛，其中75 名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？2、三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66 只，王经理买过其中40 只，李经理买过23 只．张经理和王经理都买过的有17 只，王经理和李经理都买过的有13 只，李经理和张经理都买过的有9 只，三个人都买过的有6 只．请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？3.卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40 平方分米、36 平方分米和27 平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7 平方分米，而第一块和第三块则重叠了4 平方分米．如果三块重叠的部分等于2 平方分米，那么这张桌子的面积是多少？【例3】培英学校有学生1000 人，其中500 人订阅了《中国少年报》，350 人订阅了《少年文艺》，250 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400 人，订阅了三种报刊的有100 人．请问：这个学校有多少人没有订报？【试一试】1. 五年级一班共有41 个同学，将参加绘画、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都选其中的两项．已知航模组有27 人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：这批图书中最少有多少本没有被借阅过？2. 五年级一班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？3. 有100 名同学回答A、B 两个问题．都没有回答对的有10 人，答对A 的有75 人，答对B 的有83 人，两题都答对的有多少人？4. 在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至100 的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；标签号为3 的倍数，奖3 只铅笔；标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1 支铅笔．那么游艺会应该准备多少支铅笔作为奖品？5. 一根长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棍10 等分，第二种刻度线将木棍12 等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？6. 中国田径队的40 名运动员们在训练基地进行封闭训练．其中男运动员有20 名，训练长跑的运动员有15 名，训练竞走的女运动员有8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？7. 五年级共有110 人，其中92 人参加了语文小组，51 人参加了英语小组，58 人参加了数学小组，至少参加2 个小组的有80 人，参加了三个小组的有20 人．那么五年级有多少人没有参加小组？。
【思维拓展】数学四年级思维拓展之包含与排除(附答案)
四年级思维拓展之包含与排除1.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4.某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？5.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
问：仅会打羽毛球的有多少人？6.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。
这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？7.有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。
问既懂英语又懂俄语的有多少人？8.三年级科技活动组共有63人。
在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。
每个同学都至少完成了一项活动。
问：同时完成这两项活动的同学有多少人？9.在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有____件.10.四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。
（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？参考答案1.【解答】分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：38＋53-4＝87(厘米)。
2.【解答】分析：如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。
五年级奥数-包含与排除
五年级奥数－包含与排除1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。
那么有多少人两个小组都不参加？2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49)50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。
三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。
问：图中阴影部分的面积之和是多少？五年级奥数－包含与排除答案1.解析：40=--人。
(+)171015182.解析：面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38+[=-+50-人。
)]44812(3.解析：1000=(-+-个。
142686200)284.解析：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900)961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。
所以既不是平方数也不是立方数的有9621000=+-个。
-)3(10315.解析：2⨯-=-⨯。
88236320cm。
包含与排除
复习盈亏问题1、少先队员到山上植树，如果每人载4棵，还剩18棵树苗，如果每人栽8棵，则少6棵树苗。
问：有多少名少先队员？多少棵树苗？2、活动课某班同学们参加拔河比赛，分成若干组，每组8人。
后来改成12人，结果少两组。
问全班有多少人？3、老师给大班小朋友分桃子，若8位小朋友每人分到3个，其余小朋友各分到5个，则还余54，若每人分到7个则正好分完。
问小朋友人数和桃子总数？4同学们秋游去公园划船，如果租船增加1条，那么正好每条船坐6人，如果少一条那么正好每条船坐8人。
问这个班共有多少人？包含与排除1、同学们到图书馆借书。
四（1）同学每人都借到课外书，其中借文艺书有40人，借科技书的有30人，两种书都借的有25，四（1）班共有多少人？2、四年级二班有46人，其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的有多少人？3、期末考试小芳的语文成绩和自然成绩加起来是187分，语文成绩和数学成绩加起来195分，数学成绩和自然成绩加起来是190分，那么小芳的语文成绩是多少?4、小玲会唱19首歌，小丽会唱24首歌，两人一共会唱的歌有36首，两人会唱的歌有几首？5、一个班级有48人，班主任在会上问：“谁做完语文作业的？这时有37人举手，又问”谁做完数学作业的有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完的？没有人举手。
这个班级语文、数学作业都玩的有多少？6、某班级40人在一次体育达标测试中，立定跳远达标的有26人，50米跑达标的有24人，两项都达标的有15人，有多少人两项都没有达标？7、四年级有48人，23人参加科技小组，26人参加文艺小组，12人两个小组都参加了。
有多少人两个小组都没有参加？8、一个旅行团有40人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有14人，那么，两样都会的有多少人？9、某校进行体育竞赛，项目有短跑、游泳、跳高。
其中参加短跑的有75人，游泳的有52人，跳高的有38人，同时参加短跑与游泳的有26人、短跑与跳高有22人、游泳与跳高的有10人；三项都参加的有2人。
包含与排除
包含与排除例1．五年级有168人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课获优，其中语文获得优的有87人，数学获优的有109人，问，语文和数学都获优的有多少人？例2．某班有56名同学，在一次测验中有25人得满分，在第二次测验中有23人得满分，如果两次测验中都没有得过满分的学生有18人，那么，两次测验中都得满分的人有多少？例3．某班一次测验中有28人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学都获优的有13人，另外还有8人语文、数学均未获优，这个班共有多少学生？例4．80个英语、日语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既有懂英语又懂日语的老师，问只懂英语的老师有多少人？例5．周老师针对42人做问卷调查，结果18人喜欢阅读，22人喜欢写作，16人喜欢朗诵，6人喜欢阅读和写作，8人喜欢阅读和朗诵，9人喜欢写作和朗诵，还有6人同时有三种爱好，有多少人这三中爱好都没有？例6．在1到100的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？例7．在1—100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例8．从100—1000的所有自然数中既不是3也不是5的倍数的数有多少个？练一练1.有20名同学做两道数学思考题，做对第一题的有10人，做对第二题的有15人，两题都做错的人有2人，求两道题都做对的有多少人？2.五年级有112名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文获优的人数？3.一批教师会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的有19人，三种都不会的有17人，这批教师共有多少人？4.有50名同学面向老师站成一行，老师让大家从左到右按1、2、3、……49、50一次的报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，再让报数是6的倍数的同学在向后转，问现在面向老师的同学有多少名？5.在1—1000这1000个自然数中，不能倍3、5、7整除的数有多少个？6.某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种，结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三种语言，既学习英语又学习德语的有多少人？7. 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。
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包含与排除
1.某班学生，每人至少有乒乓球或羽毛球中的一样，已知有乒乓球的有41人，有羽毛球的有33人，两者都有的有22人，这个班级共有多少人？
2.光明小学四年级一班学生到野外每人都采集到标本，采集到昆虫标本的有29人，采集到植物标本的有31人，两种标本都采集到的有9人。
全班学生共有多少人？
3.四二班学生在体育课时除2名因病请假的学生外都参加了体育考试，考了短跑的有32人，考了跳远的有26人，两样都考了的11人。
那么四二班共有学生多少人？
4.在100人种，会下中国象棋的有66人，会下国际象棋的有49人，这两种棋都不会的有19人，两种棋都会下的有几人？
5.有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。
那么这100位旅客中，既懂英语又懂俄语的有多少人？
6.某校四年级有学生135人，报名参加体育组的有120人，参加文艺组的有98人，规定：每人至少参加一项。
问：只参加体育小组和只参加文艺小组的各有多少人？
7.学校组织了50名队员的文艺演出队，有19人排练唱歌的节目，有15人排练舞蹈，既唱歌又跳舞的有7人。
问：
（1）只唱歌的有几人？（2）只跳舞的有几人？（3）排练歌舞节目以外的其他节目的有多少人？
8.如图边长6cm的正方形，与长5cm宽4cm的长方形重叠地放在桌上，重叠部分是边长为3cm的正方形。
那么桌面被盖住部分是多少m²？
9.小明和小强同时从相距1500米的甲、乙地出发，沿同一条道路相
向而行，小明行了1050米时，小强行了840米。
这是小明和小强是相向（或是背向）相距多少米？。