2013B班 数学分析(1) 第六章 §4函数的极值与最值
3.第三充分条件 (定理6.13) 若f ( x)在x0有n 阶导数，
且 f (k) ( x0 ) 0, (k 1, , n 1), f (n) ( x0 ) 0, 则
(i) 当n是偶数时，f 在x0取得极值，
且当 f (n) ( x0 ) 0时取极大值； f (n)( x0 ) 0时取极小值；
x
1 3
3
1 3x
(5x
2a).
当a
0 时,
稳定点为
x
2a 5
, 不可导点为
x
0
;
当 a 0 时，稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
为了更好地加以判别，我们列表如下： f (x) 1 (5x 2a) 33 x (1) a 0
x (, 0)
0
(0,
2a 5
)
2a 5
(
2a 5
,
)
y 不存在
有 f (0) 6 0，
故 f ( x)在x 0取得极小值f (0) 0;
y y=f(x)
-1 O +1 x
又 f (1) 0 ？（第二充分条件不满足）
求更高阶导数：f ( x) 120x3 72x, f (1) 0 ？
（第三充分条件：不取极值）
由于在 x 1 两侧 f (x) 不变号， 根据第一充分条件 ， x 1都不是 f ( x)的极值点.
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x) 0, y
当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x) 0,
则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
o
x0
x
(ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0, 当x ( x0, x0 )
时，f ( x) 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
5 3
2
x3
0
f ( x)在（ ， ）严格增加，不存在极值点.
例2 求 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值.
解：f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2)
令 f ( x) 0，得稳定点 x1 4，x2 2.
由于f ( x) 6x 6，有 f (4) 18 0,
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 , 那么 x x0 是 f ( x)的一个极值点 , 并且 (i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x) 在 x x0 处取极大值 .
证 (i) 由已知
f ( x0 )
2a
5
5
y
0
( 2a , 0) 5
2
y
增
3 5
2 5
3
a
5 3
减
0
不存在
0
(0, )
增
即
x
2a 5
是极大值点,
y
f
2a 5
3 5
2 5
2
3
a 53 是极大值；
1
x 0是极小值点, f (0) 0 是极小值 .
-1 O
1x
-1
(3)
5
a 0, f ( x) x 3 ,
f ( x)
(iii) 若f ( x)在x0两侧不变号，则 f ( x) 在点 x0 不取极值 .
y
y
o
x0
xo
x0
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
x0
x
(不是极值点情形)
2.第二充分条件 (定理6.12)
设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域 U 0(x0, ) 上一阶可导， 在点 x x0 处二阶可导，且
(ii) 当n是奇数时，f 在x0不取极值.
例4 求 f ( x) e x e x 2cos x 的极值. 解 f ( x) e x e x 2sin x
令 f ( x) 0，得稳定点 x 0. (唯一的？) 又f ( x) e x e x 2cos x, 有 f (0) 0;
若x0为f ( x)的极值点，则f ( x0 ) 0 （稳定点）.
极值的必要条件：若 f ( x) 在 x0的某邻域 有定义，
点x0是极值点 f ( x0 ) 0 或 f ( x0 )不存在
一、极值的判别法
1.第一充分条件 (定理6.11)
设函数 f (x) 在点x0 连续，在某邻域 U 0(x0, ) 上可导.
f ( x) e x e x 2sin x, 有 f (0) 0; f (4) ( x) e x e x 2 cos x, 有 f (4) (0) 2 0.
第六章 微分中值定理及其应用
§4 函数的极值与最值
复习极值的概念： 若在 某个U( x0 )上恒有 f ( x) f ( x0 ) ( f (x) f (x0 ) ) 成立,
则称 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值（极小值）， x0 为 f (x)的一个 极大值点（极小值点）.
费马定理：设 f ( x) 在 x0的某邻域 有定义，且在点x0可导.
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
f ( x)
lim
0,
xx0 x x0
根据极限的保号性，存在1 0 （1 ),
当 x U ( x0; 1) 时,
f ( x) 0 . x x0
从而当 x ( x0 1, x0 ) 时, f ( x) 0 ;
当 x ( x0, x0 1) 时, f ( x) 0.
故有极大值
f (4) 60 ;
M
又有f (2) 18 0,
故有极小值
f (2) 48.
m
例3 求 f ( x) ( x2 1)3 1的极值.
* 解 f ( x) 6x( x2 1)2.
令 f ( x) 0，得稳定点 x 1, 0, 1.
由 f ( x) 6( x2 1)(5x2 1)，
0
y增
0
减
3 5
2 5
2 3
a
5 3
增
极大值
极小值
y
即 x 0是极大值点，f (0) 0 是极大值 ;
x 2a 是极小值点 ,
1 x 2a 5
5
f
2a 5
3 5
2 5
2 3
5
a 3 是极小值.
-1
O -1
1
x
-2
(2) a 0
f ( x) 1 (5x 2a) 33 x
x (, 2a )
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
问：若 f (x0 ) f (n1) ( x0 ) 0 , 且 f （n）(x0 ) 0 ?
例1
求函数
f
(
x
)
(
x
a
)
x
2 3
的极值点与极值
.
解：f
(x)
5
x3
2
ax 3
在
(, )
上连续
.
当 x 0 时,
f
( x)
5 3
2
x3
2a 3
新教材高中数学第六章导数及其应用：导数与函数的极值最值pptx课件新人教B版选择性必修第三册
在x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 当函数f(x)在x0处取得极值时,f'(x0)=0一定成立,即“函数f(x)在x0处取得
极值”是“f'(x0)=0”的充分条件;
当f'(x0)=0时,若f'(x0)左右两侧同号时,则不能推出在x0处取得极值,如f(x)=x3,
因为(x-1)2≥0(当且仅当x=1时取等号),
则当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)≥0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),
所以函数f(x)的极小值点为0,没有极大值点,
即函数f(x)有且仅有一个极值点.故选D.
规律方法
x0是极值点满足的条件
一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函
数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极
值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么
是极值点.
名师点睛
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
1.极值点与极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于
x0的x,都有
(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极大值点 ,且f(x)在x0处取极大
值;
(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个 极小值点 ,且f(x)在x0处取极小
函数的极值-课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
高中数学备课教案函数的极值与最值
高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。
本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。
二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。
极值分为最大值和最小值两种。
2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。
（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。
（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。
2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。
并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。
（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。
解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。
将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。
高等数学b2第六章教材答案
高等数学b2第六章教材答案高等数学B2 第六章教材答案第一节：函数极值和最值1. 函数的极值和最值是函数在定义域内的特殊点，它们在数学和实际问题中具有重要的应用价值。
下面是第六章教材中相关习题的答案：习题1：a) 求函数$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$在区间[-1, 2]上的极大值和极小值。
解：首先求函数$f'(x) = 6x - 6$的零点，即$6x - 6 = 0$，得$x = 1$。
将$x = -1, x = 1, x = 2$代入$f(x)$中，分别得到$f(-1) = 13, f(1) = -1, f(2)= 10$。
所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值-1，在$x = -1$处取得极大值13。
b) 求函数$g(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 3$在整个定义域上的最大值和最小值。
解：首先求函数$g'(x) = 3x^2 - 9x$的零点，即$3x^2 - 9x = 0$，得$x = 0, x = 3$。
将$x = 0, x = 3$代入$g(x)$中，分别得到$g(0) = 3, g(3) =\frac{27}{2}$。
所以$g(x)$在$x = 3$处取得最大值$\frac{27}{2}$，在$x = 0$处取得最小值3。
2. 函数的极值和最值在实际问题中有很多应用，比如优化问题、经济学中的最大效益等。
通过求解函数的极值和最值，可以找到使函数取得最优结果的变量取值。
习题2：一块长方形的地面上，以其一条边为底，作一个等腰直角梯形，使得梯形的上底与下底分别与已知两块木板的宽度相等。
问该等腰直角梯形的底边长度为多少，才能使梯形的面积最大。
解：设等腰直角梯形的底边长度为$x$，则梯形的上底和下底长度也都为$x$。
设梯形的高为$h$，根据勾股定理得到$h = \sqrt{2}x$。
梯形的面积$S(x) = \frac{1}{2}(x + x)(\sqrt{2}x)$。
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
高中数学教案学习函数的极值与最值
高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。
通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。
一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。
极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
它分为两种类型：极大值和极小值。
1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。
1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。
二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。
常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。
对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。
而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。
2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。
如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。
2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。
如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。
三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。
3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
高中数学教案函数的极值与最值
高中数学教案函数的极值与最值高中数学教案：函数的极值与最值一、引言函数的极值与最值是数学中重要且常见的概念。
通过求解函数的导数和解方程，我们可以确定函数在特定区间内的极值和最值。
本教案将介绍如何理解和求解函数的极值与最值。
二、概念解释1. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。
极大值是最大值，极小值是最小值。
2. 最值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为最值。
最大值是所有极大值中的最大值，最小值是所有极小值中的最小值。
三、求解过程1. 确定定义域：首先确定函数的定义域，即函数的取值范围。
2. 求导数：对函数进行求导，得到函数的导数表达式。
3. 求导数为零的点：将导数表达式等于零，求解方程，得到导数为零的点，即可能的极值点。
4. 求导数不存在的点：在导数表达式中寻找导数不存在的点，即可能的极值点。
5. 确定极值点：将求解得到的导数为零和导数不存在的点代入原函数，求出对应的函数值。
6. 比较大小：通过比较极值点对应的函数值，确定极大值和极小值。
四、示例教学在具体教学中，可以通过以下步骤和实例来引导学生理解和掌握函数的极值与最值。
步骤一：引入问题利用一个实际问题，例如一个汽车行驶的距离和时间的关系，通过绘制图像或给出函数公式，展示函数的变化趋势，并引出极值和最值的概念。
步骤二：概念解释在引入问题后，对极值和最值进行简单而清晰的解释，帮助学生理解这两个概念的含义，并区分极值和最值之间的区别。
步骤三：求解过程演示通过具体的函数例子，例如二次函数或三角函数，演示求解函数的极值与最值的过程。
引导学生理解每一步骤的目的和意义。
步骤四：学生练习提供一些练习题目，让学生自己应用所学的求解方法，求解给定函数的极值与最值。
逐步增加难度，让学生独立思考和解决问题。
步骤五：总结与巩固结合课堂练习的结果，对函数的极值与最值进行总结，强化学生对这一概念的理解和应用能力。
五、教学评估在教学过程中，可以进行以下一些评估方式：1. 课堂练习：通过课堂练习题目的完成情况，评估学生对函数极值与最值的理解和应用能力。
2013B班 数学分析(1) 第四章 函数的连续性 习题课
5、间断点及其分类
第 一 类 ：f ( x0
0)全都存
在{可 跳去 跃： ：ff
( (
x0 x0
0) 0)
f ( x0 f ( x0
0); 0).
第二类：f ( x0 0)之一不存在(无穷大间断、振动间断、 ）
例2 （1）讨论函数
y
y 1 x
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim(1 x) 2
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 1为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,
则可使其变为连续点.（连续延拓）
令fˆ
(1)
2，则
fˆ
(
x)
2
x,
0 x 1, 在x 1处连续.
令
min
1im,ri
{|
x0
ri
x0
|} 0,
若x为无理数，则R( x) 0;
当0 | x x0 | 时，
（x ri )
若x为有理数，则其分母必大于k，于是
R( x)= 1 1 ,
qk
(欲使 | R( x) | ,只需取k [ 1] 1 1 )
总之，有 | R( x) 0 | , lim R( x) 0. x x0
证
x0 （0,1）, 0,
取k [ 1] 1,
要证:x0
（0,1）,
有 lim xx0
R( x)
0.
0, 0,当 x x0 时,
有 R(x) 0 R(x)
因为分母不超过k的有理点的个数是有限的，设只有m个