河北省衡水中学2018年高考押题(三)理科数学 (PDF)理数(三)答案
f ( x ) | 2 x a 4 (1 6a 2b 2 b 4 ) | 2 | x (2a 3b 2ab 3 1) | | 2 x a 4 (1 6a 2b 2 b 4 ) | | 2 x 2(2a 3b 2ab 3 1) | | [2 x 2(2a 3b 2ab 3 1)] [2 x a 4 (1 6a 2b 2 b 4 )] | | ( a b) 4 1| 1 .
二、填空题
13.2 14. 4 3 15.
10 2
所以 BE 平面 ACE . 16.② 所以 BAE 是 AB 与平面 ACE 所成的角. 因为在 Rt ACE 中， BE BC sin 45 3 2 ， 所以在 Rt BAE 中， sin BAE
三、解答题
17.解：（1）因为 an 1 S n 1 S n ，所以 n( S n 1 S n ) (n 2) S n n(n 1) ，
2 x 2 x x 2
3 2 ， 2
9 所以 b a c ， 2
所以点 A 的轨迹方程为
x2 y2 1( y 0) . 9 9 2
设 T ( x, y ) ，点 T 在线段 AO 上，且 | AT | 2 | TO | ， 所以 A(3 x,3 y ) ，代入
x2 y2 y2 1 ，整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x 2 1( y 0) . 9 1 9 2 2
2
|| HI | | JK |||| HI | | IK | | IJ || || t1 | | t4 | 1|| (t1 t4 ) 1| .
1 x 2 t, 3 2 8 2 2 2 把 代入 y 4 x ，得 t 8 2t ，即 3t 8t 32 0 ，故 t1 t4 ，所以 4 3 y 3t 2 || HI | | JK || 11 . 3
所以 x2 x3 ，或 x1 0 . 当 x2 x3 时， PR x 轴.
为 ( x 1) y 1 . 由 ( cos 4) cos ，得 sin 4 cos ，
2 2
2
2
1 2 2m m 2m x ， PR x 轴， 当 x1 0 时， x2 2 ， x3 2 2 1 m 1 ( )2 1 m 1 m
f ( x) k 对任意的 x (0, ) 恒成立. x
1 （2）证明：设 M (m, 0)(m 0) ，由 | OM | | ON | 1 得 N ( , 0) ， P ( x1 , y1 ) ， Q ( x2 , y2 ) ， R ( x3 , y3 ) .由 m
题意， 直线 QM 不与坐标轴平行，kQM
即 f max ( x ) 1 .
S S 即 nS n 1 2(n 1)S n n (n 1) ，则 n 1 2 n 1 ， n 1 n S n 1 Sn S S1 所以 1 2( 1) ，又 1 2 ，故数列 { n 1} 为等比数列. n 1 n 1 n Sn S1 （2）由（1）知 1 ( 1) 2 n 1 2 n ，所以 S n n 2n n ， n 1
由表格可知，女生身高在 [165,180) 的概率为 所以 X 的分布列为：
所以 E ( X ) 0 1
9 4 17 . 2 15 15 15
因为平面 BCDE 平面 ABC ，平面 BCDE 平面 ABC BC ， BC AC ， 所以 AC 平面 BCDE ，又因为 BE 平面 BCDE ， 所以 AC BE .
参考答案及解析 理科数学（Ⅲ） 一、选择题
1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC
（2）由（1） AC 平面 BCDE ， CE 平面 BCDE ， 所以 AC CE . 又因为 BC AC ，平面 ACE 平面 ABC AC ， 所以 BCE 是平面 EAC 与平面 BAC 所成的二面角的平面角，即 BCE 45 . 因为 BE EC ， AC BE ，
2 1 2 1 2 2 1
由（2）可知，当 x (0, ) 时， e x 1 0 恒成立， 令 '( x) 0 ，得 x 1 ；令 '( x) 0 ，得 0 x 1 . 所以 y ( x ) 的单调增区间为 (1, ) ，单调减区间为 (0,1) ，故 ( x) min (1) e 2 ，所以
2 2
f ( x) xf '( x ) f ( x ) x(e x 2 x) (e x x 2 1) ( x 1)(e x x 1) ， x 0 ，得 '( x) . x2 x2 x x2
x
y1 y1 ， 直线 QM 的方程为 y ( x m ) .与椭圆方程联立， x1 m x1 m
23. 解：（1） a 6a b b 4ab (a b ) ( a b ) 4ab( a b ) 4a b ( a b 2ab)
4
2 2
4
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
( a b) 4 ，
因为 ( a b) 0 ， 所以 a 6a b b 4ab (a b ) . （2）
2 1
2
2 1
k ( x ) min e 2 .
所以实数 k 的取值范围为 ( , e 2) . 22.解：（1）因为 x cos ， y sin ，由 2 cos ，得 2 cos ，所以 C1 的直角坐标方程
2
同理 x1 x3
消去 y ，得 ( m 1 2mx1) x 2m(1 x ) x (2mx1 x m x 1 x m x ， m 2 1 2mx1 2mx1 x12 m 2 x12 x1 x2 ， m 2 1 2mx1
所以 | MP || MR | ， 所以 MPR 是等腰三角形. 21. 解：（1）根据题意，得 f '( x ) e 2 x ，则 f '(0) 1 b .
x
所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y 4 x . （2）不妨设四点在 C 上的排列顺序由下而上依次为 H ， I ， J ， K ，它们对应的参数分别为， t1 , t2 , t3 , t4 ， 如图.连接 C1 J ，则 C1 IJ 为正三角形，所以 | IJ | 1 ，故
，
n 1
2n 1 2 n 2n 1 ，
42 3 . 70 5 3 因此，可估计该校学生身高在 [165,180) 的概率为 . 5
所以样本中该校学生身高在 [165,180) 的概率为 （3）由题意可得 X 的可能取值为 0，1，2.
2， 2 n(n 1) . 2 3 AB 2 BC 2 AC 2 ， 2 2 AB BC
n 1 2 n 2 3 n 1 2 n 2 n
BE 6 . AB 4 700 x 40 ， x 30
19.解： （1） 设高一女学生人数为 x ， 由表 1 和表 2 可得样本中男、 女生人数分别为 40， 30， 则 解得 x 300 . 即高一女学生人数为 300.
（2）由表 1 和表 2 可得样本中男女生身高在 [165,180) 的人数为 5 14 13 6 3 1 42 ，样本容量为 70.
20.解：（1）以 BC 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 | AB | | AC | 6 | BC | ， 所以点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的椭圆.
所以 2a 6 ， 2c 3 2 ， 所以 a 3 ， c
2 2 2
由切线方程可得切点坐标为 (0, 0) ，将其代入 y f ( x ) ，得 a 1 ， 故 f ( x) e x 1 . （2）令 g ( x ) f ( x ) x x e x 1 . 由 g '( x ) e 1 0 ，得 x 0 ， 当 x (, 0) ， g '( x ) 0 ， y g ( x ) 单调递减； 当 x (0, ) ， g '( x ) 0 ， y g ( x ) 单调递增. 所以 g ( x ) min g (0) 0 ，所以 f ( x ) x x . （3） f ( x ) kx 对任意的 x (0, ) 恒成立等价于 令 ( x)
n 1
18.解：（1） ABC 中，应用余弦定理得 cos ABC 解得 AC 2 3 ， 所以 AC BC AB ， 所以 AC BC .
2 2 2
1 4 ，男生身高在 [165,180) 的概率为 . 3 5 4 1 2 4 1 4 1 9 4 1 4 所以 P ( X 0) (1 ) (1 ) ， P ( X 1) (1 ) (1 ) ， P ( X 2) . 5 3 15 5 3 5 3 15 5 3 15
故 Tn (1 2 2 2 n 2 ) (1 2 n ) . 设 M 1 2 2 2 n 2 ， 则 2M 1 2 2 2 n 2 所以 M 2 2 2 n 2 所以 M (n 1) 2 所以 Tn (n 1) 2
2018年高等学校招生全国统一考试押题卷理科数学试卷(三)及解析
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B班级 姓名 准考证号座位号【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ．4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A BC D 【答案】A【解析】πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =图象关于y y 2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =2不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A B C 1 D 1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ．11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线 其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】①()F x=，x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 处有公共点，因此存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为，即，由，可得当x∈R恒成立，时，()0G x'=；当0x<<时，()'0G x<；当x>时，()'0G x>；当x=时，()G x'取到极小值，极小值是0，∴函数()f x和()h xC．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学(三)Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23z i i +=+（i 为虚数单位），其共轭复数为z ，则z 为（ ）A ．7155i - B ．7155i -- C ．7155i + D ．7155i -+ 2.已知()1cos 3πα-=，2sin 23πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中，α，(0,)βπ∈），则()sin αβ+的值为（ ）A BC D 3.已知集合{}2340A x R x x =∈--≤，{}B x R x a =∈≤，若AB B =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,∞+B ．[)4,∞+C ．(),4-∞D ．(],4-∞4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ） A ．512625 B ．256625 C.64625 D ．641255.已知222351+2=6⨯⨯，2223471236⨯⨯++=，223245912346⨯⨯+++=，，若()22222*1234385n n N +++++=∈，则n 的值为（ ）A ．8B ．9 C.10 D ．116.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若=0NM NF ⋅，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12C.12 D ．12 7.将函数()sin 2f x x =图像上的所有点向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC.6πD ．2π8.如图是计算()11111223341n n ++++⨯⨯⨯+的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．98?n >B ．99?n > C.100?n > D ．101?n >9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ）A ．350升B ．339升 C.2024升 D ．2124升 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）AB D 11.如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，P 为边AB 的中点，现将DAP ∆绕直线DP 翻转至'DA P ∆处，若M 为线段'AC 的中点，则异面直线BM 与'PA 所成角的正切值为（ ）A ．12 B ．2 C.14D ．4 12.若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”.若函数()f x =322,0692,0x x x x a x <⎧⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C.4 D ．6第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()3212x x +-的展开式中含2x 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上的靠近点C 的四等分点，点G 为边AE 上的靠近点A 的三等分点，则向量FG 用AB 与AD 表示为 ．15.已知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，24AB CD ==，60ABC ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC （包含端点D ，C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足11a =，()21122n n n a a a n --=+≥，若()*1112n n n b n N a a +=+∈+，则数列{}n b 的前n 项和n S = ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos cos A A C -()cos sin sin A A C ++=D 为边AB 上一点，2BC =，BD =（1）求BCD ∆的面积；（2）若DA DC =，求角A 的大小.18.如图所示，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4AB =，PA =45PAB ∠=.（1）证明：AC ⊥平面PCB ；（2）若二面角A PB C --的平面角的大小为60，求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值. 19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量y （单位：kg ）和与它“相近”葡萄的株数x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1）求该葡萄每株的收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程及y 的方差2s ； （2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为21m ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，其回归直线y b x a ∧∧∧=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-.20.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线():0l y kx a a =+>与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若直线l 过焦点F ，且与圆()2211x y +-=交于D ，E （其中A ，D 在y 轴同侧）两点，求证：AD BE ⋅是定值；（2）设抛物线C 在点A 和点B 处的切线交于点P ，试问在y 轴上是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()21ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2+cos ,sin P αα（α为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()512f x x x =-+--.（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数()y f x =的图像；（2）记函数()y f x =的最大值为M ，是否存在正数a ，b ，使2a b M +=，且123a b+=，若存在，求出a ，b 的值，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:CABAC 6-10:DDBDB 11、12：AA二、填空题13.18 14.55126FG AB AD =-- 15.(11] 16.21121n -- 三、解答题17.解：（1）由()sin cos cos A A C -+()cos sin sin A A C +=可知sin cos cos cos A C A C -cos sin sin sin A C A C ++=，即()()sin cos A C A C +-+=sin cos B B ⇒+=cos 22B B ⎫+=⎪⎪⎭sin 14B π⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭. 因为在ABC ∆中，()0,B π∈，所以424B B πππ+=⇒=，所以1sin 2BCD S BC BD B ∆=⨯⨯12sin 24π=⨯⨯=2=. （2）在BCD ∆中，由余弦定理，可知2222cos DC BD BC BD BC B =+-⨯⨯8422cos4π=+-⨯⨯8422=42=+-⨯⨯， 所以2DC =，所以DC BC =，所以4BDC π∠=. 又由已知DA DC =，得8A π∠=， 故角A 的大小为8π.18.解：（1）在PAB ∆中，因为4AB =，PA =45PAB ∠=， 所以由余弦定理，可知2222cos PB AB AP AB AP PAB =+-⨯⨯⨯∠163224162=+-⨯⨯=， 所以4PB =.故222PB BA PA +=，即有PB BA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB 平面ABC AB =，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，所以PB AC ⊥. 又因为AC CB ⊥，PBCB B =，所以AC ⊥平面PBC .（2）过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，连接AD . 由（1），知AC ⊥平面PBC ，BD ⊂平面PBC ， 所以AC BD ⊥.又PCAC C =，所以BD ⊥平面PAC ，因此BPD ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角. 又由（1）的证明，可知PB ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，PB BA ⊥， 故ABC ∠即为二面角A PB C --的平面角，即60ABC ∠=. 故在Rt ACB ∆中，由4AB =，得2BC =.在Rt PBC ∆中，PC ==，且42PB BC PC BD BD ⨯=⨯⇒⨯=5BD ⇒=因此在Rt PBD ∆中，得5sin 4BD BPD PB ∠=== 故直线PB 与平面PAC19.解：（1）由题意，可知()112356746x =+++++=， ()11513121097116y =+++++=. ()()()()613422iii x x y y =--=-⨯+-⨯+∑()()()()11112234-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=34-，()()()()62222213211i i x x=-=-+-+-++∑222328+=，所以()()()6162134172814iii i i x x y y b x x∧==--==-=--∑∑， 所以17111114147a yb x ∧∧=-=+⨯=， 故该葡萄每株收获量y 关于它“相近”葡萄的株数x 的线性回归方程为17111147y x ∧=-+. y 的方差为()()()222211511131112116s ⎡=-+-+-+⎣()()()22210119117117⎤-+-+-=⎦. （2）由17111147y x =-+，可知当2x =时，171119421477y =-⨯+=，因此总收入为941010001000013.437⨯⨯÷≈（万元）. （3）由题知，2,3,4x =.由（1）（2），知当2x =时，13.42y ≈，所以13y =；当3x =时，5111117112.2114714y =-+=≈，所以12y =； 当4x =时，341117711777y =-+==， 即2,3,4x =时，与之相对应的y 的值分别为13,12,11， 又()()41132164P y P x =====， ()()81123162P y P x =====， ()()41114164P y P x =====， 所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y 的分布列为()111131********E y =⨯+⨯+⨯=.20.解：由题知抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y .由24x yy kx a⎧=⎨=+⎩2440x kx a ⇒--=， 则()2160k a ∆=+>，且124x x k +=，124x x a =-.（1）若直线l 过焦点F ，则1a =，所以124x x k +=，124x x =-.由条件可知圆()2211x y +-=的圆心为()0,1F ，半径为1， 又由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+， 故可得11AD AF y =-=，21BE BF y =-=， 所以()()121211AD BE y y kx kx ⋅==++()212121k x x k x x =+++=224411k k -++=. 故AD BE ⋅为定值1.（2）假设存在点Q 满足题意，设()00,Q y ， 由22144x y y x =⇒=，因此1'2y x =. 若四边形APBQ 为菱形，则//AQ BP ，//BQ AP ， 则102112AQ y y k x x -==，201212BQ y y k x x -==， 则101212y y x x -=，201212y y x x -=， 则12y y =，所以0k =，此时直线AB 的方程为y kx a a =+=，所以()A a -，()B a .则抛物线在点()A a -处的切线为y a =-，① 同理，抛物线在点B处的切线为y a =-，②联立①②，得()0,P a -. 又线段AB 的中点为()0,R a ，所以点()0,3Q a .即存在点()0,3Q a ，使得四边形APBQ 为菱形，此时0k =.21.解：（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++. 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-.（2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x-+-=-=. 因为1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时，1x =， 且当11x e<<时，()'0g x >；当1x e <<时，()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22g e m e =+-， ()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+210e <， 则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ， 故()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()21101120g m g m e e =->⎧⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）设点(),P x y ，所以2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）， 消去参数，得()2221x y -+=， 即P 点的轨迹C 的方程为()2221x y -+=直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4ρθρθ⇒+=4x y ⇒+=, 所以直线l 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由（1），可知P 点的轨迹C 是圆心为()2,0，半径为1的圆， 则圆心C 到直线l的距离为1d r ==>=.所以曲线C 上的点到直线l1.23.解：（1）由于()512f x x x =-+--24,12,1226,2x x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩.作图如下：（2）由图像可知，当12x -≤≤，()max 2f x =，即得2M =.假设存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b+=， 因为12122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22()242b a a b =++≥+，当且仅当2222,0a b b a a b a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩121a b ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩时，取等号， 所以12a b +的最小值为4，与123a b+=相矛盾， 故不存在正数a ，b ，使22a b +=，且123a b +=成立.。
衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学(三)
衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学(三)2018高校招生全国统考模拟理数（三）一、选择题：1.已知复数z满足z(2+i)=3+i（i为虚数单位），其共轭复数为z，则z为（）A。
7-1iB。
-7-1iC。
5+5iD。
-5+5i2.已知cos(π-α)=1/2，sin(α+β)=3/2（其中，α，β∈(0,π)），则sin(α+β)的值为（）A。
-4/3B。
5/6C。
-5/6D。
4/33.已知集合A={x∈R|x-3x-4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A。
(4,+∞)B。
[4,+∞)C。
(-∞,4)D。
(-∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为0.8，连续测试4次，至少有3次通过的概率为（）A。
0.5512B。
0.5664C。
0.625D。
0.91255.已知1+2=2×3×5×4×7×9×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20×21×22×23×n，其中n∈N*，且1^2+2^2+3^2+。
+n^2=385，则n的值为（）A。
8B。
9C。
10D。
116.已知椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（a>b>0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM×NF=0，则椭圆的离心率为（）A。
√2-1B。
2/√2C。
√2/2D。
1/√27.将函数f(x)=sin^2x图像上的所有点向右平移π/4个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间[0,a]上单调递增，则a的最大值为（）A。
河北省衡水中学2018届高三下学期猜题卷理数试题 含解
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C.考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算． 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．2-B ．12- C ．12 D ．2 【答案】A. 【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 1πα==，故选A. 考点：任意角的三角函数．4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.考点：1.统计的运用；2.程序框图．5.如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===除A ，故选C.考点：三角函数的图象和性质． 6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.考点：函数性质的综合运用．7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1B ．2C ．2D 【答案】C.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．8.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12nn n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ）A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A.考点：数列的通项公式．9.已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（ ）A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是4 【答案】D. 【解析】试题分析：∵()()0a c b c -⋅-=，∴2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，即2||||||cos ,0c a b c a b c a b -+⋅⋅<+>+⋅=，∵1cos ,1a b c -≤<+>≤，∴22||||||0||||||0c a b c a b c a b c a b ⎧-+⋅+⋅≤⎪⎨++⋅+⋅=⎪⎩，解得||||2||222a b a b c ++-≤≤+，（||||||||2222a b a b a bb b +--=+≥-=），故min ||||22a bc +=-，max ||||22a b c +=+， ∴4m n -=，故选D. 考点：平面向量数量积．10.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） AB ．3π CD ．2π【答案】B. 【解析】考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，2R =；2.棱长为a 的正方体的体对角线长2R =；棱长为a ，内切球的半径为12a ； 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A C D 【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，设AOQ α∠=，∴tan cos b a a c αα=⇒=，sin bcα=，∴2||cos a OH a cα=⋅=，||sin ab AH a c α=⋅=，又∵3OQ OP =，∴2||||||2a OP PH HQ c===，∴2|||22ab a AH PH b c c =⇒=⇒=，∴e ==C.考点：双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c +≥等.12.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】A.当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知0a >6)x展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰____________.【答案】223π++考点：定积分的计算及其性质.14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.考点：线性规划.15.设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠=，则AF BF -=________． 【答案】2p .考点：抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切， 112||||AF BF p+=. 16.已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________.【答案】463-.考点：数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，sin 3BAC ∠=，AB =BD =（1）求AD 长； （2）求cos C . 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）∵0AD A C ⋅=，则A D A C ⊥，∴s i n s i n ()c o s 2B AC B AD B A Dπ∠=+∠=∠，即cos 3BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠，即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =；……6分（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，∴sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos C =…………12分 考点：正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2.在Rt D MF '∆中，122D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF ''==∠==cos D FM '∠=，∴二面角D BC E '--…………12分考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解． 19.(本小题满分12分)2018年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； （3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？0.00.18附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.ξ的分布列为()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=；…………8分 （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.…………12分考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，且椭圆过点，，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆（1）求点A的坐标；（2）过点(3,0)B的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点5(,0)2C，则||||CM CN是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）(2,1)A；（2）详见解析.法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+，考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题． 【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21.(本小题满分12分)已知函数221()()(1)(22),2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值. 【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得21(1)(1)(1)2x x e x x x ->-++，分类讨论，构造函数21()(1)2x g x e x x =-++，求导研究其单调性即可得到0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，从而求解.考点：导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.【解析】考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞.【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解. 试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤， 得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤， 又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；…………4分 （2）函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f x g x ->， ∴212a x x <-++对任意x R ∈恒成立，设()212h x x x =-++，则3,2()4,213,1x xh x x xx x-≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，则()h x在区间(),1-∞上是减函数，考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公 ，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知 式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。
2018年河北省衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟(三)试题(三)(解析版)
2018年河北省衡水金卷调研卷全国卷 I A 理科数学模拟（三）试题（三）（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A={x|2﹣x﹣x2＞0}={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B=N，∴A∩B={0}．故选：A．2. 复数（其中为虚数单位，）满足是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意可设∴∴，解得：∴，∴故选：D3. 已知；.若“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，则，∴a1．若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．4. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，]，则tan≤≤tan，即为≤≤，即，记易知：在上单调递减，上单调递增，，∴的取值范围是故选:D5. 电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，可知AC之间未连通的概率是连通的概率是.EF之间连通的概率是，未连通的概率是，故CB之间未连通的概率是，故CB之间连通的概率是，故AB之间连通的概率是故选：B6. 已知点，若实数满足则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出可行域如图所示：目标函数,其中的几何意义为可行域上的动点与定点M连线的斜率，设为，其最小值为，其最大值为,即故故选：D7. 已知，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C8. 某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】题中三视图所表示的几何体是四棱锥，镶嵌入棱长为2的正方体中，即四棱锥的底面为ABCD，面积为4，设截面面积为S，所截得小四棱锥高为h，则解得：故选：C点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．9. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：；第N次循环：此时退出循环，故输出，归纳可得，故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 将函数的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的，②向左平移个单位，得到函数的图象（如图所示），其中点，点，则函数在区间上的对称中心为（）A. ，B.C. ，D. ，，【答案】D【解析】由图可设.由，得到，故是由向右移个单位所得，故，将向右平移个单位，得到然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，所得，∴,∴，令，，故所有的取值为，故所求在区间上的对称中心为，，故选：D11. 已知，，，.给出以下三个命题：①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】对于①，如图所示，，故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，①正确；对于②，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点Ｈ作两圆公切线，交ｘ轴于点Ｑ，如图所示，则，故Ｑ与Ｏ点重合，所以，故点Ｈ的轨迹恒在定圆上，②正确；对于③设与，都相切的圆的圆心为Ｔ，半径为ｒ，则Ｔ满足，，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，③不正确，故选：A12. 已知函数（其中为自然对数的底数）有两个极值点，则函数的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】函数（其中e为自然对数的底数）有两个极值点，即有两个正数根，即一元二次方程有两个正数根，等价于：，得：，得到即。
河北省衡水中学2018年高考押题(三)理科数学 (PDF)理数(三)试卷
3 , ] 时，不等式 2 2
18.如图所示，四棱锥 A BCDE ，已知平面 BCDE 平面 ABC ， BE EC ， BC 6 ，
AB 4 3 , ABC 30 .
C. (0,
) 3
D． (
, ) 3 3
） D． 2e 0 ln x0 0 （1）求证： AC BE ； （2）若二面角 B AC E 为 45 ，求直线 AB 与平面 ACE 所成角的正弦值. 19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得 身高（单位： cm ）频数分布表如表 1、表 2. ． 表 1：男生身高频数分布表
x
ln x 0 的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是（
B． x0
1 e
C. 2 x0 ln x0 0
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
11.若定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 满足 f (1) 1 ，且 2 f '( x) 1 ，则当 x [
3 x ） 2sin 2 的解集为（ 2 2 4 4 A. ( , B． ( , ) ) 3 3 3 3 f (2 cos x )
12.已知 x0 是方程 2 x e A． x0 ln 2
x2 y2 15.已知双曲线 2 2 1( a 0, b 0) 的左、右顶点分别为 A ， B 两点，点 C (0, 2b) ，若线段 AC 的垂 a b
直平分线过点 B ，则双曲线的离心率为 16.已知下列命题： ①命题“ x R ， x 3 5 x ”的否定是“ x R ， x 3 5 x ”； ②已知 p ， q 为两个命题，若“ p q ”为假命题，则“ (p) (q) 为真命题”； ③“ a 2015 ”是“ a 2017 ”的充分不必要条件； ④“若 xy 0 ，则 x 0 且 y 0 ”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .
衡水中学普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)数学(理)---精校Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}22 2A x y log x x==--,B N =,则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}01，D ．{}-10， 2.复数()+2z x x i =+(其中i 为虚数单位,x R ∈)满足2iz+是纯虚数,则z =（ ）A ．．3 D ．33.已知2:,2028p x R x x a q a ∀∈++><；：.若“P q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．(1,3)D ． ()(), 1 3 ,+ U -∞∞4.已知双曲线()22210,02x y a b a b -=>>的离心率为e ,其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,其斜率为k ,则2e k的取值范围是（ ）A ．(B ．1⎛ ⎝⎦ C.2⎡⎣ D ．2⎡⎢⎣⎦5.电路从A 到B 上共连接着6 个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是13,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027 B ．448729 C.100243 D ．40816.已知点(),P x y ,若实数,x y 满足330103x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩,则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．134⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．534⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 7.已知430.355=2,22 ,=1 9111a b c g g --=+,则,a b c ，的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b << C.c a b << D ．c b a <<8.某锥体的三视图如图所示,用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分,则截面面积为（ ）A ．2 B．2．29.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）A ．1N a +B ．2N a + C.11N a +- D ．21N a +-10.将函数()y f x =的图象按以下次序变换:①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数=()y g x 的图象(如图所示，其中点2(,0)3D π-,点(,0)3E π,则函数()'()f x y f x =在区间[]02π，上对称的中心为（ ）A ．()()020ππ，，，B ．()0π， C.()()000π，，， D ．()()()00020ππ，，，，， 11.已知()()()()22+121122220,,: ,:12a c r r R C x a y r r C x a y r >>∈++-=-+-2，=r给出以下三个命题:①分别过点()(),0,,0E c F c -作1C 的不同于x 轴的切线,两切线相交于点M ,则点M 的轨迹为椭圆的一部分; ②若12,C C 相切于点H ,则点H 的轨迹恒在定圆上;③若12,C C 相离,且122r r a ==,则与12,C C 都外切的圆的圆心在定椭圆上.则以上命题正确的是（ ）A ．①②B ．①③ C.②③ D ．①②③12.已知函数()221ln 323e x e f x c c n x xln ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---(其中e 为自然对数的底数)有两个极值点，则函数()()22211xg x e x c x c c =--+---的零点个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校男女比例为2:3,从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本,若女生比男生多10 人,则m = ． 14.如图所示,已知在ABC ∆中,21,,33AE AC BD BC BE ==交AD 于点F ,AF AB AC λμ=+,则+λμ= ．15.某港口停泊两艘船,大船船速40 海里/小时,小船船速20 海里/小时,某时,大船从港口出发,沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇,最少需要的时间是______小时．16.母线长为O ,与圆锥的侧面、底面都相切,现放入一些小球,小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切,这样的小球最多可放入____个.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足12a =,且1122,*n n n a a n N ++=+∈. (1)设2nn na b =证明:数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和Sn ．18.如图,在ABCD 中,30,2A AD AB =∠==,沿BD 将ABD ∆翻折到'A BD ∆的位置,使平面'A BC ⊥平面'A BD.(1)求证:'A D ⊥平面BCD ;(2)若在线段'A C 上有一点M 满足' 'A M A C λ=,且二面角M BD C --的大小为60°,求λ的值.19.我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响,把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为:风速不小于30米/秒的称为强台风,风速小于30米/秒的称为风暴,下表是2014 年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计:强台风 风暴 东部沿海 9 6 西部沿海312(1)根据上表,计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关;(2)2017 年8月23 日，“天鸽”在深圳登陆,造成深圳特大风暴,如图所示的茎叶图统计了深圳15 块区域的风速.(十位数为茎,个位数为叶)①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25 的概率;②任取3个区域进行统计,X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.82820.已知双曲线2212x y =一的左、右顶点分别为12,A A ,直线:l x p =与双曲线交于,M N ,直线2A M 交直线1A N 于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程;(2)若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切,探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是,求出此值;若不是,说明理出. 21.已知函数()xx af x e +=,其中e 为自然对数的底数,若当[] 1,1x ∈-时,()f x 的最大值为()g a .(1)求函数()g a 的解析式; (2)若对任意的1,a R k e e∈<<,不等式()g a ka t ≥+恒成立,求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为46cos sin ρθθ=+.(1)求圆M 的直角坐标方程,并写出圆心和半径;(2)若直线l 与圆M 交于,A B 两点,求AB 的最大值和最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数() f x x x a =++.(1)若不等式()221f x a ≥-对任意的x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +],求实数,a b 的值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)一、选择题1-5:ADCB 6-10:DCCDD 11、12：AD 二、填空题13.50【解析】由题意得32105055m m m -=⇒= 14.【解析】设()0,AD k AF k AD AB BD =≠=+=()1212133332AB AC AB AB AC AB AE +-=+=+,即2121+3232k AF AB AE AF k AB AE k =+⇒=,由,,F B E 三点共线,得21=132k k=,解得76k =，又214342327777AF AB AE AB AE AB AC k k =+=+=+,所以47λ=,27μ=所以67λμ==.15.3.5【解析】设港口为O ,小船行驶1.5小时到达B ,此时大船行驶到A ,大船折向按AC 方向行驶,大船与小船同时到达C 点时,用时最少.设从A 到C ,大船行驶时间为t ,则()240 2.5.5160,40,20 1.520OA AC t OC t =⨯+===⨯+.由余弦定理得()()2222 2 . 6016030201603020OA OC OC OA cos AC t t +-∙=⇒++-+,()()()224012202170276310 3.5t t t t t t =⇒+-=⇒-+=⇒=,即最少需要3.5小时.16.10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3,如图1.设球O 半径为R ,由30OCB ∠=,可得2OC R =,故2OA OC R ==,所以231,2R R R OC +==>==,故得1EC =.设小球半径为r ,同理可得'2O C r =r,故31r =,所以小球半径13r =,且4'3OO =.这时'O 到直线AO 的距离为423sin 603=这些小球相邻相切，排在一起,的圆M 上(图2),H 为相邻两球切点,12,M M 分别为相邻两球球心，设1M MH θ∠=,则1,6r sin tan MM θθ===，由三角函数性质,可知22632sin tan πθθθθθθ<<=><⇒<<<<，因为11>=，故可得能入入小球个数最多为10三、解答题17.解:(1)把2n n n a b =,代入到1122n n n a a ++=+， 得1112 122n n n n n b b ++++=+， 两边同除以12n +，得11n n b b +=+,∴{}n b 为等差数列,首项1112a b ==,公差为1, ∴()* n b n n N =∈. (2)由 22n nn n a b n an n ===>=⨯ ， ∴123122232...2nSn n =⨯+⨯+⨯++⨯()23412122232...122nn Sn n n +⇒=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减,得()()()123111-222...221 22?122* n n n n Sn n n Sn n n N +++=++++-⨯=-⨯-⇒=-⨯+∈18.解:(1)ABD ∆中,由余弦定理,可得1BD =. ∴222BD AD AB +=,∴90,90ADB DBC ∠=∴∠=. 作'DF A B ⊥于点F , ∵平面'A BC ⊥平面'A BD , 平面'A BC平面''A BD A B =∴DF ⊥平面'A BC . ∵BC ⊂平面'A BC . ∴DF BC ⊥. 又∵,CB BD BDDF D ⊥=,∴CB ⊥平面'A DB . 又∵'A D ⊂平面'A DB , ∴'CB A D ⊥. 又∵',A D BD BDCB B ⊥=,∴'A D ⊥平面CBD .(2)由(1)知,,'DA DB DA 两两垂直,以D 为原点,以DA 方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则()()(0,1,0,,'B C A . 设(),,M c y z ,则由''x A M A C y z λλ⎧=⎪=⇒=⎨⎪-=⎩(),M λ⇒.设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =,则由00m DB M DM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩0)0b a bc λ=⎧⎪⇒⎨++=⎪⎩ 取() 1-1- 0,a c m λλλλ=⇒=⇒=，.平面CBD的一个法向量可取('DA =,∴1cos ,2DA m <>=⇒=1-1=22λ±⇒∵[]01λ∈，∴λ=19.解:(l)22⨯列联表如下:强台风 风暴 合计 东部沿海 9 6 15 西部沿海 3 12 15 合计121830由22⨯列联表中数据，可得2K 的观测值222()30108-18==5 6.635()()()()12181515n ad bc K a b c d a c b d -⨯=<++++⨯⨯⨯（）所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关. (2)①风速小于25的区域有7块，2块区域风速都小于25的概率为2172515CC =故取到2个区域风速不都小于25的概率为14155-= ②达到强台风级别的区域有5块， 故0,1,2,3X =.()32410039115CP X C ===,()2145105139115C CP X C ===, ()1220105239115CCP X C ===, ()325339115CP X C ===,故随机变量X 的分布列为2445202()=0+1+2+3=191919191E X ⨯⨯⨯20.解:(1)设点()()()0,,, ,, o Q x y M p y N p y -，其中00y ≠ 由题意,得())12,A A .由11QA NA k k =⇒=，①22QA MA k k =⇒=,②两式相乘得222222yy x p =--, ∵22102p y -=， ∴22102p y =-，代入上式得X 0 1 2 3P24914591 2091 291222222112-12222p y x y x p -==-⇒+=--, 由①与0o y ≠,得0y ≠,10x =≠-⇒≠.故点Q 的轨迹方程为221(0,0)2x y x y +=≠≠. (2)设点()(),0,0A m n m n ≠≠,过点A 作椭圆的切线， 则切线的斜率存在且不为0,设斜率为k ,则切线方程为()y n k x m y kx n km -=-⇒=+-,代入到椭圆方程整理， 得()()()222124220.kx k n km x n km ++-+--=()()()222216 41+22- -2 =0k n km k n km ⎡∆-⎤⎣⎦=-即()2222210m k mnk n --+-=.这个关于k 的一元二次方程的两根即为AB k 与AD k , 由1AB AD k k ∙=-,得22221131n m n m -=-⇒+=-. 设O 为坐标原点,故可知OA =同理,得OA OB OC OD ====即点O 为矩形ABCD 外接圆的圆心,其中AC 为直径,大小为 故矩形ABCD对角线长为定值21.解:(1)由题意，得()1'xa xf x e --=当11a -≤-,即2a ≥时,()()0f x f x ≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数， 所以()f x 最大值为()()()11g a f e a =-=-.当111a -<-<,即02a <<时,当()1,1x a ∈--时,()()'0,f x f x >单调递增; 当()1,1x a ∈-时,()()'0,f x f x <单调递减， 所以()f x 的最大值为()()11a g a f a e -=-=.当11a -≥,即0a ≤时,()()'0,f x f x ≥在[]1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11ag a f e+==. 综上得() -1),21,02 1,0e a a g a ea a a a e ⎧⎪≥⎪=-<<⎨⎪+⎪≤⎩（(2)令()()h a g a ka t =--.①当02a <<时,()()()11'a a h a g a ka t e ka t h a e k --=--=--⇒=-,由()'0h a =,得1a lnk =+, 所以当()0,1a lnk ∈+时,()'0h a <; 当()1,2a lnk ∈+时,()'0h a >,故()h a 最小值为()()110 h lnk k k lnk t t kln k +=-+-≥⇒≤-. 故当1k e e<<且t klnk ≤-时,()g a ka t ≥+恒成立. ②当2a >,且t klnk ≤-时,()()()()h a g a ka t a e k e t =-+=---. 因 为0e k ->, 所以()h a 单调递增，故()()()()222 2ln min h a h e k e t e k e kln k e k k k ==---≥--+=-+. 令()2 p k e k kln k =-+, 则()'10p k lnk =-≤,故当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，()p k 为减函数，所以()()p k p e >, 又()0p e =, 所以当1k e e<<时,()0h a >, 即()0h a ≥恒成立. ③当0a ≤,且t klnk ≤-时，()()()11h a g a ka t a k t e e=-+=-⎛⎫ ⎪⎭-⎝+,因为10k e-<, 所以()h a 单调递减， 故()()110min h a h t klnk e e==-≥+. 令()1m k kln k e=+, 则()'10m k lnk =+≥,所以当1,k e e ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()p k 为增函数， 所以()1(0)m k em >=, 所以()0h a >,即()0h a ≥. 综上可得当1k e e<<时,“ t kln k ≤-”是“()g a ka t ≥+g(a) 成立”的充要条件. 此时2tk k ln k ≤-. 令()2q k k ln k =-,则()()'2 21 1q k kln k k k n k =--=-+, 令()'0q k =,得1-2k e =故当112,k e e --⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时,()'0q k >;当12k e e -⎛⎫⎪⎝∈⎭，时,()'0q k <,所以()q k 的最大值为1-212q e e⎛⎫ =⎪⎝⎭，当且仅当11--221,2k e t klnk e ==-=时,取等号，故tk 的最大值为12e. 22.解:(1)24 64 6 cos sin cos sin ρθθρρθρθ=+⇒=+2246x y x y ⇒+=+ 22 2)(3)13x y ⇒-+-=（.圆心为(2,3),.(2)把直线l 的参数方程代入圆M 的标准方程, 得()()22122313tcos tsin αα+-++-=, 整理得()22 2110t cos sin t αα-+-=,()22 2 440cos sin αα∆=++>,设,A B 两点对应的参数分别为12,t t , 则12122 2,11t t sin cos t t αα+=+=-.所以12AB t t =-==因为[]21,1sin a ∈-,所以AB ∈⎡⎣,即AB 的最大值为最小值为23.解:(1)对(), ()|x R f x x x a x x a a ∀∈=++≥-+=当且仅当()0x x a +≤时取等号， 故原条件等价于21a a ≥-,即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤, 故实数a 的取值范围是(],1-∞.(2)由210a x x a -≥++≥,可知210a -≥, 所以12a ≥’ 故-0a <.故()2,,02,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩,的图象如图所示，由图可知222152(3)212a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⇒⎨⎨++=-=-⎩⎪⎩。
河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题(3)及解析
第1页，总19页河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（3）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数 z 满足 z(2+i)=3+i （ i 为虚数单位），其共轭复数为 z ¯，则 z ¯为（ ） A.75−15i B.−75−15iC.75+15i D.−75+15i2.已知 cos(π−α)=13， sin(π2+β)=23（其中， α ， β∈(0,π) ），则 sin(α+β)的值为（ ） A.4√2−√59 B.4√2+√59 C.−4√2+√59 D.−4√2−√593.已知集合 A ={x ∈R|x 2−3x −4≤0 } ， B ={x ∈R|x ≤a } ，若 A ∪B =B ，则实数 a 的取值范围为（ ） A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(−∞,4) D.(−∞,4]4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 45 ，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）答案第2页，总19页A.512625 B.256625 C.64625 D.641255.已知 12+22=2×3×56， 12+22+32=3×4×76， 12+22+33+42=4×5×96， ⋯ ，若 12+22+32+42+⋯+n 2=385(n ∈N ∗) ，则 n 的值为（ ）A.8B.9C.10D.116.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左顶点为 M ，上顶点为 N ，右焦点为 F ，若NM ⇀⋅NF ⇀=0 ，则椭圆的离心率为（ ）A.√32 B.√2−12 C.√3−12 D.√5−127.将函数 f(x)=sin2x 图像上的所有点向右平移 π4 个单位长度后得到函数 g(x) 的图像，若 g(x) 在区间 [0,a] 上单调递增，则 a 的最大值为（ ） A.π8 B.π4 C.π6 D.π28.如图是计算 11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1) 的程序框图，若输出的 S 的值为 99100 ，则判断框中应填入的条件是（ ）第3页，总19页外…………○…………装…………○………………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：__内…………○…………装…………○………………线…………○…A.n >98?B.n >99?C.n >100?D.n >101?9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ） A.350升 B.339升 C.2024升 D.2124升10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（ ）A.3+4√3+√6B.6+2√3+√6C.2+3√3+2√6D.4+3√3+2√611.如图所示，在矩形 ABCD 中， AB =4 ， AD =2 ， P 为边 AB 的中点，现将 ΔDAP 绕直线 DP 翻转至 ΔDA′P 处，若 M 为线段 A′C 的中点，则异面直线 BM 与 PA′ 所成角的正切值为（ ）答案第4页，总19页外…………○…………装…○…………线…………○※※请※※不※※※※内…………○…………装…○…………线…………○A.12 B.2 C.14 D.412.若函数 y =f(x) 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 (A,B) 为函数y =f(x) 的“孪生点对”，且点对 (A,B) 与 (B,A) 可看作同一个“孪生点对”.若函数 f(x)= {2,x <0−x 3+6x 2−9x +2−a,x ≥0恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ A.0 B.2 C.4 D.6第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.(2x +1)(x −2)3 的展开式中含 x 2 项的系数为 ．14.如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 的中点，点 F 为边 CD 上的靠近点C 的四等分点，点 G 为边 AE 上的靠近点 A 的三等分点，则向量 FG ⇀ 用 AB ⇀ 与 AD ⇀表示为 ．15.已知在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， |AB|=2|CD|=4 ， ∠ABC =60∘ ，双曲线以 A ， B 为焦点，且与线段 AD ， BC （包含端点 D ， C ）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．第5页，总19页…○…………外……装…………○…………订………姓名：___________班级：___________考号：______…○…………内……装…………○…………订………16.已知数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n =a n−12+2a (n ≥2)n−1 ，若 b n =1a n+1+1an +2(n ∈N ∗) ，则数列 {b n } 的前 n 项和 S n = ．三、解答题（题型注释）17.在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 (sinA −cosA)cosC+(cosA +sinA)sinC =√2 ， D 为边 AB 上一点， BC =2 ， BD =2√2 .（1）求 ΔBCD 的面积；（2）若 DA =DC ，求角 A 的大小.18.如图所示，在三棱锥 P −ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥CB ， AB =4 ，PA =4√2 ， ∠PAB =45∘ .（1）证明： AC ⊥ 平面 PCB ；（2）若二面角 A −PB −C 的平面角的大小为 60∘，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量 y （单位： kg ）和与它“相近”葡萄的株数 x 具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m ），（1）求该葡萄每株的收获量 y 关于它“相近”葡萄的株数 x 的线性回归方程及 y 的方差 s 2 ；答案第6页，总19页（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/ kg 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为 1m 2 ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）20.已知抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F ，直线 l:y =kx +a(a >0) 与抛物线 C 交于A ，B 两点.（1）若直线 l 过焦点 F ，且与圆 x 2+(y −1)2=1 交于 D ， E （其中 A ， D 在y 轴同侧）两点，求证： |AD|⋅|BE| 是定值；（2）设抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线交于点 P ，试问在 y 轴上是否存在点 Q ，使得四边形 APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数 f(x)=a(x −1)2+lnx ， a ∈R .（1）当 a =2 时，求函数 y =f(x) 在点 P(1,f(1)) 处的切线方程；（2）当 a =−1 时，令函数 g(x)=f(x)+lnx −2x +1+m ，若函数 g(x) 在区间[1e,e] 上有两个零点，求实数 m 的取值范围.22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(2+cosα,sinα) （ α 为参数）.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π4)=2√2 .（1）求点 P 的轨迹 C 的方程及直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.第7页，总19页…………○…………线…………○…：___________…………○…………线…………○…23.已知函数 f(x)=5−|x +1|−|x −2| .（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数 y =f(x) 的图像；（2）记函数 y =f(x) 的最大值为 M ，是否存在正数 a ， b ，使 2a +b =M ，且1a +2b=3 ，若存在，求出 a ， b 的值，若不存在，说明理由.答案第8页，总19页……装……………………订……………………线…※※不※※要※※在※※装※订※※线※※内※※答※※题※※……装……………………订……………………线…参数答案1.C【解析】1. z =3+i 2+i=(3+i)(2−i)(2+i)(2−i)=7−i 5，故 z ¯=75+15i . 所以答案是：C【考点精析】掌握复数的定义是解答本题的根本，需要知道形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部． 2.A【解析】2.由诱导公式得 cosα=−13〈0,cosβ=23〉0 ，故 α 为钝角， β 为锐角.且sinα=√1−cos 2α=2√23 ， sinβ=√1−cos 2β=√53， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23⋅23+(−13)⋅√53=4√2−√59. 所以答案是：A【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：．3.B【解析】3.对于集合 A ， x 2−3x −4=(x −4)(x +1)≤0 ，解得 −1≤x ≤4 .由于 A ∪B =B 故 a ≥4 . 所以答案是：B【考点精析】通过灵活运用集合的并集运算，掌握并集的性质：（1）A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则A B ，反之也成立即可以解答此题．4.A【解析】4. 4 次独立重复实验，故概率为 C 43(45)3⋅15+C 44(45)4=512625 . 所以答案是：A5.C【解析】5.通过归纳得 ∑k=1nk 2=16n(n +1)(2n +1) ，故 16n(n +1)(2n +1)=385 解得 n =10 . 所以答案是：C【考点精析】认真审题，首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理)． 6.D第9页，总19页…………线…………○……………线…………○…【解析】6.依题意 M(−a,0),N(0,b),F(c,0) ，代入 NM ⇀⋅NF ⇀=0 得 (a,b)(c,−b)=ac −b 2=0 ，即 ac −(a 2−c 2)=0 ，两边除以 a 2 得 e 2+e −1=0 ，解得 e =√5−12. 所以答案是：D【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的概念(平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距)． 7.D【解析】7.右移 π4 个单位得到 g(x)=sin[2(x −π4)]=−cos2x ，根据余弦函数的图像可知， 0≤2x ≤π ，即 0≤x ≤π2时递增，故 a 的最大值为 π2 . 故答案为：D 首先利用函数的平移性质得到 g(x) 的代数式，再结合余弦函数的图像和性质即可得到函数的增区间，进而求出a 的最大值即可。
衡水中学2018年高考理数押题试卷
衡水中学 2018 年高考理数押题试卷D．2225.定义平面上两条订交直线的夹角为：两条订交直线交成的不超出 90 的正角.已知双曲线E：x2y21(a 0, b 0) ，当22a b其离心率 e [2, 2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．[0, ]B． [, ]C．[, ] 66343 D．[,]3 26.某几何体的三视图如下图，若该几何体的体积为3 2 ，则它的表面积是（）A．(313B313323)222． (42)22 2C．1322D．1322247. 函数y sin x ln x在区间[ 3,3]的图象大概为（）A．B．C．D．8. 二项式( ax 1 )n(a 0, b 0)的睁开式中只有第6项的二项式系bx数最大，且睁开式中的第 3项的系数是第 4 项的系数的 3 倍，则 ab 的值为（）A．4B．8C．12D．169. 履行如图的程序框图，若输入的x 0，y 1，n 1，则输出的 p 的值为（）A．81B． 812C．81D． 814810. 已知数列a11，a2 2，且 a n 2an 2 2(1)n，n N *，则 S2017的值为（）A．20161010 1B．10092017C．2017 1010 1 D．1009201611. 已知函数f (x)Asin( x)(A 0,2)的图象如下图，0,令 g( x) f ( x) f '( x) ，则以下对于函数 g(x) 的说法中不正确的选项是（）A．函数g ( x)图象的对称轴方程为x k(k Z )12B．函数g ( x)的最大值为2 2C．函数g ( x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线 l ：y 3x 1平行D．方程g ( x) 2的两个不一样的解分别为x1，x2，则x1x2最小值为212.已知函数 f (x) ax 3 3x2 1 ，若 f ( x) 存在三个零点，则 a 的取值范围是（）A．(, 2)B．( 2,2)C．(2,)D．( 2,0) (0,2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13. 向量a (m, n)，b ( 1,2)，若向量a，b共线，且a 2 b ，则 mn 的值为．2214.设点M是椭圆a2b21(a b 0) 上的点，以点M为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴订交于不一样的两点xy P 、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范15.2x y 3 0设 x ， y 知足拘束条件 x 2 y 20 ，则 y的取值范围2x y 2 x为．16.在平面五边形 ABCDE 中，已知 A 120 ， B 90 ， C 120 ，E 90， AB 3 ， AE 3，当五边形 ABCDE 的面积 S [6 3,9 3) 时，则 BC 的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17. 已知数列 { a n }的前 n 项和为 S n ， a 121，2SnS n 1 1(n 2, n N * ).（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）记 b n log 1 a n (n N *)，求{1 }的前 n项和 T n.2b nbn 118. 如下图的几何体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形， AB 2a ，ABC 120， AC 与 BD 订交于 O 点，四边形 BDEF 为直角梯形，，，2 2a ，平面底DE / /BF BDDE DE 2BFBDEF面 ABCD .（2）求二面角E AC F的余弦值 .19.某校为缓解高三学生的高考压力，常常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如下图（视频次为概率），依据以上抽样检查数据，回答以下问题：（1）试估量该校高三年级学生获取成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70 分、60 分，学校要求均匀分达90 分以上为“考前心理稳固整体过关”，请问该校高三年级当前学生的“考前心理稳固整体”能否过关？（3）为认识心理健康状态稳固学生的特色，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中的散布列与数学希望 .20. 已知椭圆C ：x2y21(a b 0) 的离心率为2，且过点a2b22P( 2 ,3) ，动直线l： ykx m 交椭圆C于不一样的两点A，B，且22OA OB 0 （O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程 .（2）议论3m22k2能否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明原因 .21. 设函数f ( x) a2ln x x2ax( a R) .（1）试议论函数 f (x)的单一性；（2）设( x) 2x (a2a)ln x ，记 h( x) f (x) ( x) ，当a 0时，若方程h( x) m(m R) 有两个不相等的实根x1， x2，证明 h '( x1x2 ) 0 .2请考生在 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： x 3cost（t 为参数，a 0），y 2sin t在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4sin .并指出两曲线有公共点时 a 的取值范围；（2）当a 3时，两曲线订交于 A ， B 两点，求AB .23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) 2x 1 x 1 .（1）在下边给出的直角坐标系中作出函数并由图象找出知足不等式 f ( x) 3 的解集；（2）若函数y f ( x)的最小值记为m，设a,by f ( x) 的图象，R ，且有 a2b2m ，试证明：211 b 2418 .a 1 7参照答案及分析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD6-10: AABCC 11、12：CD二、填空题13.16.814.62 5 115.[ 2, 7] 2e25 4[ 3,3 3)三、解答题17. 解：（1）当 n2 时，由 2S nS n 1 1及 a11 ，2得 2S 2S 1 1，即 2a 1 2a 2a 1 1，解得 a21 .4又由 2S nS n 1 1，①可知 2S n 1S n 1，②②- ①得 2a n 1a n11(n 2).an，即a n2且 n1时，a 211 为首项，1为a 12 合适上式，所以数列 { a n } 是以22公比的等比数列，故 a n1n (nN *).2（2）由（ 1）及 b nlog 1 a n (nN *)，2可知 b n log 1(1 )nn，22所以1111，b nbn 1n(n 1) n n 1故 T n1 11 [(1 1 ) ( 11 )( 1 1 )] 11n.b n b 2b 2b 3b nbn 122 3n n 1n 1 n 1又平面 BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF 平面 ABCD BD ，所以AC 平面 BDEF ，进而 AC EF .又 BD DE ，所以 DE 平面 ABCD ，由 AB 2a， DE 2BF22a ， ABC120 ，可知 AF4a22a26a， BD 2a，， AE4a28a 223a ，EF4a22a26a进而 AF2FE 2AE2，故 EF AF .又 AF AC A，所以 EF 平面 AFC .又 EF 平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC .（2）取EF中点G，由题可知OG / / DE，所以OG平面ABCD，又在菱形 ABCD 中， OA OB ，所以分别以OA，OB，OG的方向为 x ，y， z 轴正方向成立空间直角坐标系 O xyz（如图示），则 O(0,0,0) ， A( 3a,0,0) ， C (3a,0,0) ， E(0,a, 2 2a) ， F (0, a, 2a) ，所以 AE(0,a, 22a)(3a,0,0)( 3a, a,22a) ，， EF(0, a, 2a) (0, a,22a) (0, 2a, 2a) .AC (3a,0,0)( 3a,0,0)( 2 3a,0,0)由（ 1）可知EF平面 AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为.EF (0, 2a,2a)设平面AEC 的法向量为n ( x, y, z)，则 n AE0 ，即3x y 2 2z 0 ，即 y 2 2z，令 z 2 ，得 y 4 ，n AC0x0x0所以 n(0, 4,2) .进而n EF6a3cos n, EF n EF 6 3a 3 .故所求的二面角 E AC F 的余弦值为 3 .19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为 B，所以能够预计该校学生获取成绩等级为B 的概率为56 14 ，100 25则该校高三年级学生获取成绩为 B 的人数约有80014448 .25（2）这100名学生成绩的均匀分为1(321005690780370260)91.3，100由于 91.3 90 ，所以该校高三年级当前学生的“考前心理稳固整体”已过关 .（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，此中A级 4 个，B 级 7 个，进而随意选用 3个，这 3个为 A 级的个数的可能值为0，1，2，3.则 P(C40C737， P(C41C7228，0)C113331)C11355C42 C7114，P( 3)C43C704P(2)C355C3165.1111所以可得的散布列为：0123728144则E() 071 282 14341233555516511.20.解：（1）由题意可知①c2，所以 a22c22( a2b2 ) ，即 a22b2，a223231，②又点P( ,) 在椭圆上，所以有22 224a4b由①②联立，解得 b21， a22，故所求的椭圆方程为x2y21.2（2）设A( x1, y1)，B( x2, y2)，由OA OB0 ，可知 x1 x2 y1 y2 0.y kx m联立方程组x2y 2，21消去 y 化简整理得(1 2k2) x24kmx2m220 ，由16k 2m28(m21)(12k 2 )0，得 12k 2m2，所以 x1x24km2 ，12kx1 x22m 222，③12k又由题知 x1x2 y1 y20，即 x1 x2 (kx1 m)(kx2 m) 0，整理为 (1 k 2 ) x1 x2 km(x1 x2 ) m2 0 .将③代入上式，得(1 k 2 )2m22km4km m20.12k212k2化简整理得3m222k2，进而获取 3m22k2 2 .12k2021. 解：（1）由 f (x)a2 ln x x2ax ，可知由于函数 f ( x) 的定义域为(0,) ，所以，①若 a0时，当 x (0, a) 时，f '( x) 0 ，函数 f (x) 单一递减，当 x 时， f '( x) 0 ，函数 f (x) 单一递加；②若 a0时，当 f '(x) 2x 0 在 x (0,) 内恒成立，函数 f ( x)递加；(a,)单一③若 a0时，当 x (0,2a ) 时， f'(x)0 ，函数 f (x) 单一递减，当x (a) 时， f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单一递加. ,2（2）证明：由题可知h( x) f ( x)( x)x2(2a)x a ln x(x0) ，所以 h '(x)2x(2 a)a2x2(2a) x a(2 x a)( x1) .x x x所以当 x(0,a) 时， h '( x)0 ；当 x(a ,) 时， h '( x) 0；当 x a 时，222h'( a)0.2x1x20 ，只要证 h '(x1x2a a，即 h'( x) 单欲证 h '(2)2) h '(2 )，又h ''(x) 2x20调递加，故只要证明x12x22a .设 x1，x2 是方程h(x)m 的两个不相等的实根，不如设为0 x1x2 ，则x12(2 a)x1 a ln x1m ，x22(2 a) x2 a ln x2m两式相减并整理得 a(x1x2ln x1ln x2 )x12x222x12x2 ，进而 a x12x222x12x2 ，x1x2ln x1ln x2故只要证明x，即 x1 x2x12x222x12x2 .x1x2ln x1ln x2由于 x1x2ln x1ln x20，所以 (*) 式可化为 ln x1 ln x22x12x2，x1x2即 ln x12x12 x2.x2x11x2由于 0x1x2 ，所以0x11，x2不如令t x1，所以获取ln t2t2，t (0,1). x2t1设R(t)ln t 2t2，(0,1)，所以R '(t)14(t 1)2，当且仅当t 1 t时，等号成立，所以R(t) 在 (0,1) 单一递加.又 R(1) 0，所以 R(t )0 ， t(0,1)，故 ln t2t2， t(0,1)得证，t1进而 h '( x1x2 )0 得证.222. 解：（1）曲线C1：x 3cost，消去参数 t 可得一般方程y 2sin t为 (x 3)2( y 2) 2a2.曲线 C2：4sin ，两边同乘. 可得一般方程为x2( y 2)2 4 .把 ( y 2) 2 4 x2代入曲线 C1的一般方程得： a2 ( x 3) 2 4 x2 13 6 x ，而对 C2有 x2x2( y 2)24，即2x 2，所以 1 a225 故当两曲线有公共点时，的取值范围为.两曲线交点，所在直线方程为2A B 3.x曲线 x2( y 2)2 4的圆心到直线 x2的距离为 d2，33所以AB 2 448 2.933x, x 123. 解：（1）由于 f (x) 2x 1 x 1x 2, 1 x1 ，21 3x, x2所以作出图象如下图，并从图可知知足不等式f ( x) 3的解集为 [ 1,1].（2）证明：由图可知函数的最小值为3 ，即3 y f (x)22.m所以 a 2b223，进而 a21 b2127，进而142 2 21)] (142b 2 14(a 2 1) )]a 22[( a 1) (b 2 2) [5 (21b 211 b 1 7a ab 1 7a2[5 2 b 2 1 4(a 2 1)] 18 .7 a 21 b2 17当且仅当b 2 1 4(a 21)a 2 1b 21时，等号成立，所以1418得证 .a2 1b2 17。