第4章 功和能
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功和能习题解答
第四章 功和能一 选择题1. 一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进时，若发动机功率恒定，则正确的结论为：（ ）A. 加速度不变B. 加速度随时间减小C. 加速度与速度成正比D. 速度与路径成正比 解：答案是B 。
简要提示：在平直公路上，汽车所受阻力恒定，设为F f 。
发动机功率恒定，则P =F v ，其中F 为牵引力。
由牛顿运动定律得a m F F =-f ，即：f F P/m -v a =。
所以，汽车从静止开始加速，速度增加，加速度减小。
2. 下列叙述中正确的是： ( ) A. 物体的动量不变，动能也不变． B. 物体的动能不变，动量也不变． C. 物体的动量变化，动能也一定变化． D. 物体的动能变化，动量却不一定变化． 解：答案是A 。
3. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转，若卫星在远地点A 和近地点B 的角动量与动能分别为L A 、E k A 和L B 、E k B ，则有：（ ）A. L B > L A ， E k B > E k AB. L B > L A ， E k B = E k AC. L B = L A ， E k B > E k A地球BA选择题3图D. L B = L A ， E k B = E k A 解：答案是C 。
简要提示：由角动量守恒，得v B > v A ，故E k B > E k A 。
4. 对功的概念有以下几种说法：(1) 保守力作正功时，系统内相应的势能增加． (2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零．(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零． 在上述说法中： ( )A. (1)、(2)是正确的；B. (2)、(3)是正确的；C. 只有(2)是正确的；D. 只有(3)是正确的． 解：答案是C 。
5. 如图所示，足够长的木条A 置于光滑水平面上，另一木块B 在A 的粗糙平面上滑动，则A 、B 组成的系统的总动能：（ ）A. 不变B. 增加到一定值C. 减少到零D. 减小到一定值后不变 解：答案是D 。
粤教版高中物理必修二第四章功学案
第四章第一节功学习目标1、会判断是否做了功；2、会计算力对物体所做功；3、理解功的正负。
学习过程一、预习指导：1﹑做功的两要素是和；“做工”时一定“做功”吗？举例说明。
2、当力F与位移S的方向相同时，如何计算功的大小？当力F方向与位移S方向的夹角为α时，如何计算功的大小？3、举例说明：力在什么情况下做正功？在什么情况下做负功？4、正负功表示什么意义？5、物体受到几个力的共同作用而发生一段位移时，如何计算这几个力对物体所作的总功？二、课堂导学：※学习探究一、怎样才算做了功1、概念：如果一物体受力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，则力对物体作了；2、判断课本62页图中，人是否对物体做功? 说明理由。
体会“做工”与“做功”的区别；3、通过上述分析归纳出做功的两个要素：和；二、如何计算功1、如图1，当力F与位移S的方向相同时，功W=2、如图2，当力F与位移S的夹角为α时，功W=推导：结论：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小以及力和位移夹角的余弦的乘积；3、1J的物理含义：在1牛顿力的作用下，物体在这个力的方向上通过的距离是1米；三、功的正负1、讨论一个力做功时可能出现的几种情形:（1）当α= π/2 时，cos α 0，W 0，表示力F方向跟位移l的方向垂直时，力F不做功。
（2）当0 ≤α< π/2 时，cos α 0，W 0，表示力F对物体做了功。
（3）当π/2 < α≤π时，cos α 0，W 0，表示力F对物体做了功。
2、正、负功表示什么意义（1）正功：力对物体做正功时，这个力对物体而言是；（2）负功：力对物体做负功时，这个力对物体而言是，负功可表述成“物体克服这个力做了功”。
如：某个力对物体做了－10J的功，可以说这个物体克服这个力做了的功；（3）功有正负，它是矢量还是标量？它的负号表示大小还是方向？四、总功的计算：物体受到几个力的共同作用而发生一段位移时，几个力对物体所作的总功等于。
第四章第二节动能势能
结论： 质量为m，离地高度为h的物体相对地 面的重力势能 EP=mgh
说明：h指物体重心离参考平面的高度
单位： (国际单位制)焦耳
符号： J
重力势能是标量
例4.质量为m，边长为a的正方形均匀木 块，平放在水平桌面上，以桌面为参考 平面，木块的重力势能为多少？
讨论与交流：
1、重力势能的相对性：选择不同的参考平面，同 一物体在空间同一位置的重力势能就不同。
2、通常我们都是选取地面作为参考平面。 3、选定参考平面后就不能更改！
参考平面
-h3
参考平面
h1 h2=0
参考平面
例5.如图所示，桌面距地面0.8m，一物体质量为2kg， 放在距桌面0.4m的支架上：
(1)以地面为零势能面，计算物体具有的势能，并计算 物体由支架下落到桌面的过程中，势能减少了多少？
的重力势能之比。
B、0.3
C、3.33
D、7.5
练习3.如图所示，直杆长为2L，中点有一垂直于杆的转轴O， 两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转 到竖直位置时，小球a、b构成的系统重力势能如何变化？ 变化了多少？
b
2m
m
a
O
b
a
练习4.从某高处以初速度v0平抛一物体，物体落地时的 速度方向与竖直方向的夹角为θ ，若不计空气阻力，取 地面处物体的重力势能为零，求抛出时物体的动能与它
A、一个力对物体做了多少功，这个物体就有多少能 量
B、由于功和能量具有相同的单位，因此两者的物理 意义相同
C、做功的过程就是能量转化和传递的过程 D、一个物体对另一个物体做了功，它的一部分能量
一定转移到了另一个物体上
二、动能
物体由于运动而具有的能量叫做动能。
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
第四章功和能1
F
b
如果力是位置的函数，设质点在力的作
用元下位沿移一：曲d线r运动，则功的计算如下：
dr
段在位元移位上移的中元将功力为视d为A恒力F，无dr限小 a
在元位移中将力视为恒力，力沿ab的 F
b
功为dA所有F无 d限r小F段c位os移d上r的元F 功cos之d和s 。 dr
A
b
dA
b
F
dr
a
a
分量式： A
A
yb
ya
mgdy
mg
(
yb
ya
)
O
yb
x
可见，重力是保守力。
z
A mg ( yb ya ) －(E pb EPa ) EP
重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能可以某一水平面为零势能点，
EP 为势能增量
EP mgy
•弹力的功和弹性势能
F kx
A
xb xa
Fx
dx
ba
xb xa
这种力称为保守力。
L
2、势能：在具有保守力相互作用的系统内，只 由系统内质点间的相对位置决定的能量称为势 能。
3、几种保守力和相应的势能
•重力的功和重力势能
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点，y
轴d向A上 为m正g，dar、b的Fyy坐d标y 分别m为gyda、yyb。
y b
ma c
mg ya
a
0
例2：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为l0，将 它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其 长度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变 为l2，则由l1伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做 的功为（以弹簧原长处为坐标原点）
克尼希定理汇总
2 2 1
m2 1 u m1 m2
在质心系中，质点系的动能
m m2 1 m1m2 1 1 2 2 2 [ ] u Ek m11 m22 2 2 2 ( m m ) ( m m ) 2 2 1 2 1 2
4 第四章功和能
m1m2 令 m1 m21 1 2 2 Ek mii Ek mV ( mii) V 2 i i 2
若S 系为质心系，则
m 0,
i i i
V c
一般不 为零
1 2
3
克尼希定理说明： （克尼希定理） 在实验室参考系中， 质点系的动能 1 2 EK mc EKC 等于质点系随质心 2 一起的平动动能加 2 mc 质心的动能—整体随质心运动 上质点系相对于质 心的动能。 质点系相对于质心的动能
相对（质心）动能
1 m1m2 2 Ek u 2 m1 m2
称为约化质量（或折合质量）
1 2 Ekr u Ekc 2
高能物理实验 中称 为资用能
2.资用能 相对于质心的动能
Ekr EKC
在高能物理研究微观粒子的结构和相互作用及反应机制 时，有用的能量。 对撞机的优点：相对动能最大，资用能最多 北京正负电子对撞机(BEPC)； 西欧联合核子中心的正负电子对撞机(LEP)
§4.6 克尼希定理
一、克尼希定理 二、两质点系统
1
第四章功和能
一、克尼希定理
在相对速度为 V 的两个惯性系中，质点系各质点的速度按 伽利略变换,有如下关系: S S
i i V
V
i i
任一质点相对S系的速度 任一质点相对S'系的速度
V S'系相对S系的速度 两参考系中的动能关系
m2 1 u m1 m2
在质心系中，质点系的动能
m m2 1 m1m2 1 1 2 2 2 [ ] u Ek m11 m22 2 2 2 ( m m ) ( m m ) 2 2 1 2 1 2
4 第四章功和能
m1m2 令 m1 m21 1 2 2 Ek mii Ek mV ( mii) V 2 i i 2
若S 系为质心系，则
m 0,
i i i
V c
一般不 为零
1 2
3
克尼希定理说明： （克尼希定理） 在实验室参考系中， 质点系的动能 1 2 EK mc EKC 等于质点系随质心 2 一起的平动动能加 2 mc 质心的动能—整体随质心运动 上质点系相对于质 心的动能。 质点系相对于质心的动能
相对（质心）动能
1 m1m2 2 Ek u 2 m1 m2
称为约化质量（或折合质量）
1 2 Ekr u Ekc 2
高能物理实验 中称 为资用能
2.资用能 相对于质心的动能
Ekr EKC
在高能物理研究微观粒子的结构和相互作用及反应机制 时，有用的能量。 对撞机的优点：相对动能最大，资用能最多 北京正负电子对撞机(BEPC)； 西欧联合核子中心的正负电子对撞机(LEP)
§4.6 克尼希定理
一、克尼希定理 二、两质点系统
1
第四章功和能
一、克尼希定理
在相对速度为 V 的两个惯性系中，质点系各质点的速度按 伽利略变换,有如下关系: S S
i i V
V
i i
任一质点相对S系的速度 任一质点相对S'系的速度
V S'系相对S系的速度 两参考系中的动能关系
4.2 保守力及其功
3
4.2 保守力及其功
三、 万有引力的功 为原点， 以 M 为原点， m 的位置矢量为 M 对 m 的万有引力为： 的万有引力为：
第4章 功和能 功能原理
v m a r。 v
M
r (t)
v dr
v m 由 a 点移动到 b 点时 F 作功为： 作功为： v v B Mm v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 3 r ⋅ dr A r
v Mm v F = −G 3 r r
v r (t + dt)
O
b
v v v r ⋅ dr = r dr cos φ = rdr
Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
rb
v r (t )
v dr
v r (t + dt ) ϕ
4
4.2 保守力及其功 rb Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
2
4.2 保守力及其功
二、弹性力的功
Hale Waihona Puke 第4章 功和能 功能原理xb
A = ∫ F dx = ∫ − kx dx
xa xa
xb
v v F = −kxi
1 2 1 2 A = −( kx b − kx a ) 2 2
v F
o xA xB
x
A = ∫ − kxdx = 0
结论： ） 弹性力的功只与始、末位置有关， 结论： 1） 弹性力的功只与始、末位置有关， 与质点所经过的路径无 而与质点所经过的路径无关。 2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； ） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
4.4 功能原理 机械能守恒定律
30° A o
B
Ep = 0
20
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一 质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。 今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入 A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。
解：第一阶段： 子弹射入到相对静止
第4章 功和能 功能原理
人们在总结各种自然过程中发现：
如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系 统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体 传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的 总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这 一结论叫做能量守恒定律。
例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发 电，将机械能转换为电能。
例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在 圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处 于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆 环的底端点B时，小球对圆环没有压力。
求：弹簧的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = EA
υ0
mA
B
于物块中。
由于时间极短，可认为物块还没有移动，
应用动量守恒定律，求得物块A的速度υA
mυ0 = ( M + m )υA
∴ υA
=
m (M +
m)
υ0
21
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
第二阶段：A移动，直到当A 和B有相同的速度时，弹簧 压缩最大。应用动量守恒定
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r
r
圆心（坐标原点）
E Ek E p
1 1 kr kr 1 k / 2r 2
r
4-8有一劲度系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m的 小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓 慢提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中外力所做的功 2 2 为 m g (2k ) 。 解：略
x
0
1 2 F dx mv 0 2
1 2 2 1.28 10 (1 2 x) dx 110 800 0 2
x 4
1.2810 ( x x) 32 0
2 2
x 0.5m
4-11 一长方体蓄水池，面积为 S=50m2,贮水深度为 h1=1.5m。 假定水平面低于地面的高度是 h2=5m ，问要将这池水全部抽 到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的功率为 80 ％， 输入功率为P = 35 kW，则抽光这池水需要多长时间？ 解1：
4-1一质点在如图所示的坐标平面内做圆周运动，有一力
F F0 ( xi yj ) 作用在质点上。则该质点从坐标原点运动 到（0,2R）位置过程中，力 F 对它所做的功为（ B ）。
（A） F0 R
2
y
p
R
（B） 2F0 R 2
（C） 3F0 R2 （D） 4F0 R 解：
2
p ( 0, 2 R )
1 2 1 2 1 W m t 4 m t 2 0.5(41 29) 3 2 2 2
4-3一个质点同时在几个力作用下的位移为 r 4i 5 j 6k（SI）， 其中一个力为恒力，F 3i 5 j 9k（SI），则此力在该位移过程中
x
O
W F dr
o ( 0, 2 R )
( 0,0 )
F0 ( xi yj ) (dxi dyj )
0 2R 0
F0
( 0,0 )
xdx ydy F ( xdx ydy)
0 0
2 F0 R 2
4-2 质量为m = 0.5 kg 的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运 动方程为x = 5t, y = 0.5t2 (SI)，从t = 2 s到t = 4 s这段时间内， 外力对质点做的功为（ B ）。 （A）1.5 J 解： （B）3 J （C）4.5 J （D）-1.5 J
子弹刚与振子无相对运动的那一刻为末态，系统动量为 pt (M m)V （速度只有水平分量，故写成标量即可）
故
m ( M m)V
V m M m
随后，机械能守恒
1 1 m m2 2 2 2 E p max Ek max (M m)V (M m)( ) 2 2 M m 2(M m)
dm dV Sdy
将这部分水抽上地面，需克服水重力 做功（即抽水机的“抽力”所作的元 功）为：
地面 h2 h1 dy y
y
dA gS(h1 h2 y)dy
h1
将所有水全部抽上地面，需做功
0
1 2 6 A dA gS (h1 h2 y)dy gS( h1 h1h2 ) 4.2310 J 2 0 A A A 2 P , 即 P 0 . 80 , t 1 . 51 10 s 出 入 t t 0.8P入
4-5 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦 点上，则卫星的（ C ）。 （A）动量不守恒，动能守恒 （B）动量守恒，动能不守恒 （C）对地心的角动量守恒，动能不守恒 （D）对地心的角动量不守恒，动能守恒 解：卫星受地球的力始终指向地球，故卫星运动过程中受到地球的 引力矩始终为零，进而角动量守恒；但地球对卫星的引力的 功不为零，故动能不守恒
0.50 0.50 1.00 1.00
(2)只有弹力做功，系统机械能守恒，取弹簧原长为势能为零 点，有 1 kx2 0 1 kx 2 1 mv 2 , 即 1 mv 2 1 kx2 1 kx 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 既然不遵守 31 1 2 v 5.35m / s 胡克定律那 mv1 31J 1 1 2 2.17 么k是多少？
4-9 有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空2倍于地球半 径的高度沿圆轨道运行，用 m 、 R 、引力常数 G 和地球质量 M 表 GMm (6 R) ；（2）卫星的引力势能 GMm (3R) 示（1）卫星的动能 。
解：略
4-10 一质量为 1.0×10-2kg 的子弹，在枪膛中前进时受到的合 力 F 1.28104 (1 2 x) (N),子弹在枪口的速度为800 m/s．试计 算枪筒的长度． 解：由动能定理：
或由动能定理
v p qˆ j
vq p i
Ax 1 mp2 2 0 1 mp2 2 Ay 0 1 mq2 2 1 mq2 2 2 2 2 2
4-14 如图所示，长l、质量为m的匀质链条，置于桌面上，链条与 桌面的摩擦因数为µ，下垂端的长度为a。在重力作用下，由静止 开始下落，求链条完全滑离桌面时重力、摩擦力的功。 解： 设t时刻链条下垂部分的长度为y， O 则桌面部分的长度为l-y a t时刻，桌面部分的重力无功，但摩擦力有功； 下垂部分正好相反。 则重力的功为
，
y q sin t
y d y dt q cos t
2 2 EkP 1 mvx 1 mv y 2 2 1 mq 2 2
点 P ( p, 0 ) 处 点Q ( 0, q ) 处
cos t 1 sin t 0
cos t 0
sin t 1
3.25 1.803m / s
4-12、某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸 长的关系为：F=52.8x+38.4x2（SI） 求： （１）将弹簧从定长x1=0.50m拉伸到定长x2=1.00m时所需做的功； （２）将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质 量为2.17Kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定长 x=1.00m，再将物体 由静止释放。求当弹簧回到x1=0.50m时，物体的速率。 解： (1) A F x dx 52.8 xdx 38.4 x 2dx 31J
2
上述为“标准答案”。第(2)问应该遵循的是功能原理。势能不应该 再是 1 kx 2 的形式，而是 52.8 2 38.4 3 ！Why? 可以引入 x x 2 势能吗？ 2 3
4-13 一质量为m 的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
ˆ q sin t ˆ r p cos t i j (SI)，式中p、q、是正值常数，且p
2
kr 2 m
2
k mr
m F
ˆ r
dr
1 1 1 2 Ek m kr 2 2 ˆ 做功与路径无关（请自己验 有心力F kr 2 r 证）,故为保守力，可引入势能。
如右图，选取蓝色线（沿半径方向由r指向无穷 ˆ方 远）为路径，其上F和dr处处反向（ F 沿- r 向），则： E p F dr kr 2 dr kr 1
A F x dx
1.000
0.500
2 ( 2 x 3 x )dx 1.625J
(2) 依题设，弹簧在伸长量x=1.000m处物体静止， 动能为0，随后释放，弹簧对物体做功。由动能定理，此 功转化为物体的动能的增量
1 m 2 0 2
0.500
1.000
2 ( 2 x 3 x )dx 1.625
依题意，质点的位矢为
t 2 52 2 2 29
2 r xi yj 5ti 0.5t j dr t 2 5i 2 j 5i tj dt t 4 5i 4 j
由动能定理
t 4 52 4 2 41
解2：
dm dV Sdy
dA gSydy
h1 h2
地面 h2 h1 y dy
0
将这部分水抽上地面，需克服水重力 做元功 将所有水全部抽上地面，需做功
y 1 2 6 A dA gS ydy gS ( h1 h1h2 ) 4.23 10 J 2 h2 A A A 2 P , 即P入 0.80 ,t 1.5110 s 出 t t 0.8P入 解3：把所有的水等价成一个质量点(位于质心)，质心离地面 1 垂直距离为 hc h2 h1 则：
2 2 2 EkQ 1 mvx 1 mv y 2 2 1 mp 2 2 2
ˆF ˆ ˆa ˆ F Fx i j m ( a i y x y j)
由点P→Q
0
ax dx dt p 2 cos t ⑵ ay d y d t q 2 sin t
所做的功为（C）。 （A）7 J （B）17 J （C）67J （D）91 J
解：
W F r (3i 5 j 9k ) (4i 5 j 6k ) 67
4-4 一质量为 M 的弹簧振子，水平放置且静止在平衡位置，如图 射入振子中，并随之一起 所示。一质量为m的子弹以水平速度 运动。如果水平面光滑，此后弹簧的最大势能为（ B ）。 （A） （B） （C）
1 2 6 A mgh c Sh1 ghc gS ( h1 h1h2 ) 4.23 10 J 2
2
4-12某弹簧不遵守胡克定律，若施力 F，则相应伸长 x ，力与伸长 的关系为F=2x+3x2（SI） 求：（１）将弹簧从伸长x1=0.500m拉 伸到伸长x2=1.000m时所需做的功；（２）将弹簧横放在水平光滑 桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 1.000kg的物体，然后将 弹簧拉伸到伸长 x=1.000m，再将物体由静止释放。求当弹簧回到 伸长x1=0.500m时，物体的速率。 解： (1)
r
圆心（坐标原点）
E Ek E p
1 1 kr kr 1 k / 2r 2
r
4-8有一劲度系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m的 小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓 慢提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中外力所做的功 2 2 为 m g (2k ) 。 解：略
x
0
1 2 F dx mv 0 2
1 2 2 1.28 10 (1 2 x) dx 110 800 0 2
x 4
1.2810 ( x x) 32 0
2 2
x 0.5m
4-11 一长方体蓄水池，面积为 S=50m2,贮水深度为 h1=1.5m。 假定水平面低于地面的高度是 h2=5m ，问要将这池水全部抽 到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的功率为 80 ％， 输入功率为P = 35 kW，则抽光这池水需要多长时间？ 解1：
4-1一质点在如图所示的坐标平面内做圆周运动，有一力
F F0 ( xi yj ) 作用在质点上。则该质点从坐标原点运动 到（0,2R）位置过程中，力 F 对它所做的功为（ B ）。
（A） F0 R
2
y
p
R
（B） 2F0 R 2
（C） 3F0 R2 （D） 4F0 R 解：
2
p ( 0, 2 R )
1 2 1 2 1 W m t 4 m t 2 0.5(41 29) 3 2 2 2
4-3一个质点同时在几个力作用下的位移为 r 4i 5 j 6k（SI）， 其中一个力为恒力，F 3i 5 j 9k（SI），则此力在该位移过程中
x
O
W F dr
o ( 0, 2 R )
( 0,0 )
F0 ( xi yj ) (dxi dyj )
0 2R 0
F0
( 0,0 )
xdx ydy F ( xdx ydy)
0 0
2 F0 R 2
4-2 质量为m = 0.5 kg 的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运 动方程为x = 5t, y = 0.5t2 (SI)，从t = 2 s到t = 4 s这段时间内， 外力对质点做的功为（ B ）。 （A）1.5 J 解： （B）3 J （C）4.5 J （D）-1.5 J
子弹刚与振子无相对运动的那一刻为末态，系统动量为 pt (M m)V （速度只有水平分量，故写成标量即可）
故
m ( M m)V
V m M m
随后，机械能守恒
1 1 m m2 2 2 2 E p max Ek max (M m)V (M m)( ) 2 2 M m 2(M m)
dm dV Sdy
将这部分水抽上地面，需克服水重力 做功（即抽水机的“抽力”所作的元 功）为：
地面 h2 h1 dy y
y
dA gS(h1 h2 y)dy
h1
将所有水全部抽上地面，需做功
0
1 2 6 A dA gS (h1 h2 y)dy gS( h1 h1h2 ) 4.2310 J 2 0 A A A 2 P , 即 P 0 . 80 , t 1 . 51 10 s 出 入 t t 0.8P入
4-5 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦 点上，则卫星的（ C ）。 （A）动量不守恒，动能守恒 （B）动量守恒，动能不守恒 （C）对地心的角动量守恒，动能不守恒 （D）对地心的角动量不守恒，动能守恒 解：卫星受地球的力始终指向地球，故卫星运动过程中受到地球的 引力矩始终为零，进而角动量守恒；但地球对卫星的引力的 功不为零，故动能不守恒
0.50 0.50 1.00 1.00
(2)只有弹力做功，系统机械能守恒，取弹簧原长为势能为零 点，有 1 kx2 0 1 kx 2 1 mv 2 , 即 1 mv 2 1 kx2 1 kx 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 既然不遵守 31 1 2 v 5.35m / s 胡克定律那 mv1 31J 1 1 2 2.17 么k是多少？
4-9 有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空2倍于地球半 径的高度沿圆轨道运行，用 m 、 R 、引力常数 G 和地球质量 M 表 GMm (6 R) ；（2）卫星的引力势能 GMm (3R) 示（1）卫星的动能 。
解：略
4-10 一质量为 1.0×10-2kg 的子弹，在枪膛中前进时受到的合 力 F 1.28104 (1 2 x) (N),子弹在枪口的速度为800 m/s．试计 算枪筒的长度． 解：由动能定理：
或由动能定理
v p qˆ j
vq p i
Ax 1 mp2 2 0 1 mp2 2 Ay 0 1 mq2 2 1 mq2 2 2 2 2 2
4-14 如图所示，长l、质量为m的匀质链条，置于桌面上，链条与 桌面的摩擦因数为µ，下垂端的长度为a。在重力作用下，由静止 开始下落，求链条完全滑离桌面时重力、摩擦力的功。 解： 设t时刻链条下垂部分的长度为y， O 则桌面部分的长度为l-y a t时刻，桌面部分的重力无功，但摩擦力有功； 下垂部分正好相反。 则重力的功为
，
y q sin t
y d y dt q cos t
2 2 EkP 1 mvx 1 mv y 2 2 1 mq 2 2
点 P ( p, 0 ) 处 点Q ( 0, q ) 处
cos t 1 sin t 0
cos t 0
sin t 1
3.25 1.803m / s
4-12、某弹簧不遵守胡克定律，若施力F，则相应伸长为x，力与伸 长的关系为：F=52.8x+38.4x2（SI） 求： （１）将弹簧从定长x1=0.50m拉伸到定长x2=1.00m时所需做的功； （２）将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质 量为2.17Kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定长 x=1.00m，再将物体 由静止释放。求当弹簧回到x1=0.50m时，物体的速率。 解： (1) A F x dx 52.8 xdx 38.4 x 2dx 31J
2
上述为“标准答案”。第(2)问应该遵循的是功能原理。势能不应该 再是 1 kx 2 的形式，而是 52.8 2 38.4 3 ！Why? 可以引入 x x 2 势能吗？ 2 3
4-13 一质量为m 的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为
ˆ q sin t ˆ r p cos t i j (SI)，式中p、q、是正值常数，且p
2
kr 2 m
2
k mr
m F
ˆ r
dr
1 1 1 2 Ek m kr 2 2 ˆ 做功与路径无关（请自己验 有心力F kr 2 r 证）,故为保守力，可引入势能。
如右图，选取蓝色线（沿半径方向由r指向无穷 ˆ方 远）为路径，其上F和dr处处反向（ F 沿- r 向），则： E p F dr kr 2 dr kr 1
A F x dx
1.000
0.500
2 ( 2 x 3 x )dx 1.625J
(2) 依题设，弹簧在伸长量x=1.000m处物体静止， 动能为0，随后释放，弹簧对物体做功。由动能定理，此 功转化为物体的动能的增量
1 m 2 0 2
0.500
1.000
2 ( 2 x 3 x )dx 1.625
依题意，质点的位矢为
t 2 52 2 2 29
2 r xi yj 5ti 0.5t j dr t 2 5i 2 j 5i tj dt t 4 5i 4 j
由动能定理
t 4 52 4 2 41
解2：
dm dV Sdy
dA gSydy
h1 h2
地面 h2 h1 y dy
0
将这部分水抽上地面，需克服水重力 做元功 将所有水全部抽上地面，需做功
y 1 2 6 A dA gS ydy gS ( h1 h1h2 ) 4.23 10 J 2 h2 A A A 2 P , 即P入 0.80 ,t 1.5110 s 出 t t 0.8P入 解3：把所有的水等价成一个质量点(位于质心)，质心离地面 1 垂直距离为 hc h2 h1 则：
2 2 2 EkQ 1 mvx 1 mv y 2 2 1 mp 2 2 2
ˆF ˆ ˆa ˆ F Fx i j m ( a i y x y j)
由点P→Q
0
ax dx dt p 2 cos t ⑵ ay d y d t q 2 sin t
所做的功为（C）。 （A）7 J （B）17 J （C）67J （D）91 J
解：
W F r (3i 5 j 9k ) (4i 5 j 6k ) 67
4-4 一质量为 M 的弹簧振子，水平放置且静止在平衡位置，如图 射入振子中，并随之一起 所示。一质量为m的子弹以水平速度 运动。如果水平面光滑，此后弹簧的最大势能为（ B ）。 （A） （B） （C）
1 2 6 A mgh c Sh1 ghc gS ( h1 h1h2 ) 4.23 10 J 2
2
4-12某弹簧不遵守胡克定律，若施力 F，则相应伸长 x ，力与伸长 的关系为F=2x+3x2（SI） 求：（１）将弹簧从伸长x1=0.500m拉 伸到伸长x2=1.000m时所需做的功；（２）将弹簧横放在水平光滑 桌面上，一端固定，另一端系一个质量为 1.000kg的物体，然后将 弹簧拉伸到伸长 x=1.000m，再将物体由静止释放。求当弹簧回到 伸长x1=0.500m时，物体的速率。 解： (1)